精品解析：青海西宁市大通县2026-2027学年高三上学期期中考试数学试卷

青海大通县2027届高三第一学期期中考试 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题知，所以. 2. 复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 复数在复平面内所对应的点为， 所以复数在复平面内所对应的点位于第二象限. 3. 已知函数为奇函数，且时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的性质直接求解即可. 【详解】因为为奇函数，且时，， 所以. 故选：A 4. 若点到直线：的距离为1，则实数（ ） A. -1或1 B. 0或10 C. 1或5 D. -5或3 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，， 所以， 所以或， 解得或. 5. 已知等差数列的前n项和为，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由等差数列的前项和公式即可得到，再由等差数列的求和公式即可得到结果. 【详解】因为数列为等差数列，则， 又，则，即， 则. 故选：C 6. （ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式化简求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 故. 故选：A. 7. 已知轴截面为正三角形的圆锥的表面积与球的表面积相等，则圆锥的体积与球的体积的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，结合表面积公式，可得圆锥底面半径r与球的半径R的关系，代入体积公式，整理变形，即可得答案. 【详解】设圆锥的底面半径为r，球的半径为R， 由题意，圆锥的母线长为，高为， 则圆锥的表面积，球的表面积， 所以，解得， 则圆锥的体积，球的体积， 所以圆锥的体积与球的体积的比. 8. 一袋子里有大小形状完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，现从袋子里这6个球中随机摸球，每次摸一球，不放回，摸到红球就结束摸球，表示摸球次数，则的数学期望（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定的可能取值，分别计算每个取值的概率，再根据数学期望公式计算. 【详解】随机变量的可能取值为. （第一次摸到红球）； （第一次摸到非红球，第二次摸到红球）； （前两次摸到非红球，第三次摸到红球）； （前三次摸到非红球，第四次摸到红球）. 数学期望. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则在上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量平行时坐标的关系，代数计算，可判断A的正误；根据向量垂直时坐标的关系，代数计算，可判断B的正误；根据求模公式，结合条件，代数计算，可判断C的正误；根据投影向量的求法，代数计算，可判断D的正误. 【详解】选项A：若，则，即，故A错误； 选项B：若，则，解得，故B正确； 选项C：若，则，解得，即，故C正确； 选项D：若，则， 所以在上的投影向量为，故D正确. 故选：BCD 10. 已知函数（）的最小正周期为，则（ ） A. B. 直线是图象的一条对称轴 C. D. 函数图象的对称中心为（） 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数周期求解判断A，根据余弦型函数的对称性判断B，根据余弦型函数的单调性判断C，根据对称中心结论求解判断D. 【详解】由题意可知，解得，故A错误； 由上得， 令，，解得，， 当时，直线是图象的一条对称轴，故B正确； 当时，， 因为函数在上单调递减， 易得在上单调递减，且， 所以，故C正确； 令，，解得，， 所以的对称中心为（），故D错误. 故选：BC. 11. 已知函数，则（ ） A. 有2个极值点 B. 有3个零点 C. D. 曲线在点处的切线过点 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数求出单调区间及极值点判断A；求出极大值判断B；利用单调性判断C；利用导数的几何意义求出切线方程判断D. 【详解】对于A，，当或时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，与1为的两个极值点，A正确； 对于B，由选项A得函数的极大值，因此函数最多只有一个零点，B错误； 对于C，由及选项A，得，C正确； 对于D，，曲线在点处的切线方程为， 该切线过点，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某平台统计了“十一”期间在一款App上的购买电影票情况： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 购票数量（单位：万张） 2.5 4.0 5.5 7.8 6.5 4.8 2.1 1.9 则“十一”期间App上的购票数据的分位数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将这组数据从小到大排序，根据百分位数的定义即可确定答案． 【详解】将购票数量按照从小到大顺序排列为：1.9，2.1，2.5，4.0，4.8，5.5，6.5，7.8． 由于，则这组数据的第分位数是第5个数据，即4.8． 故答案为：4.8． 13. 已知椭圆 的左顶点为，上顶点为， 为坐标原点，若，则的离心率为___________________. 【答案】## 【解析】 【分析】求出的值，即可求得该椭圆的离心率的值. 【详解】由题意，即，所以， 因此椭圆的离心率为. 故答案为：. 14. 若不等式对任意的恒成立，则的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】由不等式恒成立，确定，且，再由基本不等式即可求解. 【详解】当时，不可能对任意的恒成立，不满足题意； 当时，函数开口向下，不满足题意； 所以，令，得，， 当时，不等式对任意的恒成立， 所以，即，且，， 所以，当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为4. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 随着我国经济的发展，人民的生活质量日益提高，对商品的需求也日益增多．商家销售商品，既要满足顾客需要，又要为商家创造效益，是一种相互依存的合作关系．为较好地达到这个目的，商家需要运用数学模型分析商品销售的规律并确定最优的销售价格．某商店以每件2元的价格购进一种小商品，经过一段时间的试销后，得到下表的统计数据： 售价x（元/件） 3 4 5 6 7 日销量y（件） 69 57 54 40 30 （1）由上表数据知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的经验回归方程； （2）试问商家将每件售价定为多少元时，可使其获得的日利润最大？（结果保留整数） 附：经验回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．参考数据：． 【答案】（1） （2）6元 【解析】 【小问1详解】 由表知，，， ，又， 所以， 所以关于的经验回归方程为； 【小问2详解】 设商家的日利润为元， 则， 该二次函数的对称轴方程为， 所以当售价定为每件6元时，商家可获得的日利润最大． 16. 如图，在中，角所对的边分别为为边上的一点，且. （1）求； （2）若，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，再由两角和的正弦公式得，进而求解. （2）由余弦定理得，由得，在中由正弦定理得，进而得由即可求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 即，所以， 因为，所以，即， 因为，所以； 【小问2详解】 因为， 由余弦定理得 ，所以， 因为，所以. 在中由正弦定理得，，所以，即， 所以所以， 所以，解得. 17. 如图，在正三棱柱中，点为的中点． （1）证明：平面； （2）若点满足，且平面，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，易得，再由线面平行的判定定理证明结论； （2）取中点，构建合适空间直角坐标系，设，并标注出相关点坐标，求出直线的方向向量、平面的法向量，应用向量法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 连接交于，则为中点， 连接，因为为中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 取中点，在正三棱柱中，，，两两垂直， 以为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立如图示的空间直角坐标系， 设，，则，，，， 所以，，，则， 因为平面，平面，所以， 所以，又，所以，所以， 由题意知为平面的一个法向量，又，所以， 设直线与平面所成角为，则. 18. 已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A，B两点，且. （1）求抛物线C的方程； （2）过点F且斜率不为0的直线l与抛物线C交于M，N两点.若四边形的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义可得，解得即可求解； （2）设，联立得到，再根据，得到，再结合求出即可得到直线方程． 【小问1详解】 解：由题意，得的准线方程为， 因为直线与交于两点，所以的纵坐标为2， 又，所以，解得， 所以抛物线的方程为； 【小问2详解】 因为直线与交于两点，不妨设在第一象限， 所以， 由题意知直线的斜率存在且不为0，， 故可设直线，不妨设， 则由题意知， 联立，得， ， 因为， 所以， 又 ， 解得或， 所以直线的方程为或， 即或． 19. 已知函数． （1）当时，取得极值为2，求，的值； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）设，，是否存在，使得的最小值为2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）利用极值的性质并结合题意建立方程求解参数，进而通过检验复核确认即可. （2）利用分离参数法得到，进而结合导数求解参数范围即可. （3）结合题意并对参数范围分类讨论，进而求解参数值即可. 【小问1详解】 由题意得的定义域为，且， 可得，解得，， 所以，． 令，则， 令，可得，令，可得， 得到在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增， 可得，又， 令，可得，令，可得 故在处取得极小值，所以，． 【小问2详解】 由题意得， 因为在上单调递增，所以，恒成立， 即在上恒成立，故在上恒成立， 令，则， 可得在上单调递减，所以， 得到，解得，即的取值范围为． 【小问3详解】 由题意得，所以， 若，则，所以在上单调递减， 故在上单调递减，所以，不合题意． 若，令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，， 所以，所以，所以存在，使得的最小值为2； 当时，，不合题意． 综上所述，存在，使得的最小值为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青海大通县2027届高三第一学期期中考试 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知函数为奇函数，且时，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若点到直线：的距离为1，则实数（ ） A. -1或1 B. 0或10 C. 1或5 D. -5或3 5. 已知等差数列的前n项和为，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 6. （ ） A. B. C. 1 D. 7. 已知轴截面为正三角形的圆锥的表面积与球的表面积相等，则圆锥的体积与球的体积的比为（ ） A. B. C. D. 8. 一袋子里有大小形状完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，现从袋子里这6个球中随机摸球，每次摸一球，不放回，摸到红球就结束摸球，表示摸球次数，则的数学期望（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则在上的投影向量为 10. 已知函数（）的最小正周期为，则（ ） A. B. 直线是图象的一条对称轴 C. D. 函数图象的对称中心为（） 11. 已知函数，则（ ） A. 有2个极值点 B. 有3个零点 C. D. 曲线在点处的切线过点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某平台统计了“十一”期间在一款App上的购买电影票情况： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 购票数量（单位：万张） 2.5 4.0 5.5 7.8 6.5 4.8 2.1 1.9 则“十一”期间App上的购票数据的分位数为__________． 13. 已知椭圆 的左顶点为，上顶点为， 为坐标原点，若，则的离心率为___________________. 14. 若不等式对任意的恒成立，则的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 随着我国经济的发展，人民的生活质量日益提高，对商品的需求也日益增多．商家销售商品，既要满足顾客需要，又要为商家创造效益，是一种相互依存的合作关系．为较好地达到这个目的，商家需要运用数学模型分析商品销售的规律并确定最优的销售价格．某商店以每件2元的价格购进一种小商品，经过一段时间的试销后，得到下表的统计数据： 售价x（元/件） 3 4 5 6 7 日销量y（件） 69 57 54 40 30 （1）由上表数据知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的经验回归方程； （2）试问商家将每件售价定为多少元时，可使其获得的日利润最大？（结果保留整数） 附：经验回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．参考数据：． 16. 如图，在中，角所对的边分别为为边上的一点，且. （1）求； （2）若，求的长. 17. 如图，在正三棱柱中，点为的中点． （1）证明：平面； （2）若点满足，且平面，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A，B两点，且. （1）求抛物线C的方程； （2）过点F且斜率不为0的直线l与抛物线C交于M，N两点.若四边形的面积为，求直线的方程. 19. 已知函数． （1）当时，取得极值为2，求，的值； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）设，，是否存在，使得的最小值为2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $