云南省昆明市第三中学2026-2027学年高三上学期11月月考数学试题

昆明市第三中学高2027届高三年级上学期11月月考 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C B C A D C C ABD AC AD 12．62 13．或 14． 15．（1）（2） 【详解】（1）由正弦定理及，得，即，由余弦定理得，所以，因为，，成等比数列，所以，所以． （2）因为，整理得，因为，所以，所以， 代入得，则根据正弦定理有 16．【详解】（1）连接，因为为的中点，且，所以，又因为且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，又因为，且平面，平面，所以平面，因为，且，平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面； （2）若选择条件①：，在四棱柱中，可得，所以，而可以由题干条件得到，此时无法确定四棱柱的高，不满足唯一性，不符合题意；若选择条件②：．因为，，，，由余弦定理得 ，所以，所以，以为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 设四棱柱的高为，可得，，，，． 因为，分别为，的中点，可得，，可得， 因为，可得，解得，所以 ，，则，， 设平面的一个法向量为，所以，取，可得，，所以，取平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为，可得， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 若选择条件③：与平面所成角为．连接，在直四棱柱中，可得底面，所以为直线与平面所成的角，即，因为，在直角中，可得，因为为的中点，所以，即直四棱柱的高，所以，，，则，，设平面的法向量为，所以，取，可得，，所以， 又因为平面的一个法向量为，设平面与平面所成角为，可得 ，所以平面与平面所成角的余弦值为． 17．【详解】（1）由题意知．若，则，所以 ．令，得．当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增，所以的极小值等于． （2）因为，所以，由，即，解得或， 所以在和单调递增，由，即，解得， 所以在单调递减，故的单调增区间为和． （3）当时，由（2）知，的极大值等于； 当时，，单调递增，无极大值； 当时，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以的极大值等于， 令，所以，在上，在上，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以故，综上所述，． 18．（1）依题意，所以，由直线交于，两点，，可知点在椭圆上，所以，解得，所以椭圆方程为； （2）（i）设，，，，设直线，，由可得：，解得 ，同理联立和椭圆方程，可得，所以直线的斜率为 ，所以直线， 同理可得的斜率为，所以直线， 由可得，又，所以； （ii）假设存在点，使得为定值，即， 所以恒成立，则，解得，， 所以存在点，使得为定值． 19．【详解】（1）解：记“一轮游戏结束后1号手中有两张红卡”， 若要1号手中是两张红卡，则应从在1号手中放入红卡，取出黑卡所以， 所以一轮游戏结束后，1号学生恰有两张红卡的概率为； （2）解：记“抽取卡片后号学生手中有两张红卡和一张黑卡”，“从号手中取出的卡为红卡”， 所以，， ，，则由全概率公式可得： 则，故， 又，所以，， 假设一轮游戏结束后，号手中红卡个数为，可能取值为，，， ， ， ， 所以 （3）解：由题可知，一轮游戏后至少还有两位学生未被淘汰， 记“一轮游戏后剩个学生未被淘汰”，其中，，…，， 记“两轮游戏后恰好剩一个学生未被淘汰”， 则， 由（2）知，每个学生，一轮后最终卡片的状态概率为： 两红的概率；两黑的概率， 所以，单个学生被淘汰的概率均为，不淘汰的概率为 故一轮结束后，未被淘汰的人数服从二项分布，所以，，，…，， 第二轮结束后，人中剩1人未被淘汰的概率为：， 所以， 由全概率公式得： 因为， 因为， 所以 所以比赛进行两轮后终止，且此时只剩一个学生未被淘汰的概率 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市第三中学高2027届高三年级上学期11月月考 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔认真填涂考号． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1．已知集合，，则的元素个数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．设双曲线经过点和点，则的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 3．已知向量，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．样本数据2，14，20，16，8的上四分位数为（ ） A．14 B．8 C．16 D．18 5．设的展开式中的系数为，二项式系数为，则（ ） A．4 B． C． D． 6．已知平行六面体的体积为8，的面积为，则到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则（ ） A．1 B．3 C． D． 8．已知，且，则的最小值为（ ）． A．2 B．4 C．8 D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．已知，e为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 10．任意抛掷一枚骰子一次，观察它向上一面的点数，得到样本空间为，若事件，事件，事件满足，下列结论中正确的是（ ） A． B．事件，，两两独立 C．当事件时， D．当事件时，事件包含10个样本点 11．已知抛物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线交于，两点（点和点在点的两侧），则下列命题正确的是（ ） A．若为的中线，则 B．若为的角平分线，则 C．存在直线，使得 D．对于任意直线，都有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知正项等比数列的前项和为，，，则_______． 13．已知函数，则曲线经过点的切线方程的一般式为_______． 14．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，三棱锥的体积为，为的中点，则过点的平面截球所得截面面积的最小值是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 已知的内角，，所对的边分别为，，，满足，且，，成等比数列． （1）求； （2）若，求． 16．（本小题15分） 如图，在直四棱柱中，，，、，且，分别为，的中点． （1）求证：平面 （2）从下列条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知条件，使得直四棱柱存在且唯一，求平面与平面夹角的余弦值． 条件①：；条件②：：条件③：与平面所成角为． 17．（本小题15分） 已知函数． （1）若，求的极小值； （2）当时，求的单调递增区间； （3）当时，设的极大值为，求证：． 18．（本小题17分） 已知椭圆的左、右顶点分别为，，，直线交于，两点，． （1）求的方程； （2）点在线段上，直线，分别交于，两点，直线，交于点． （i）证明：； （ii）判断轴上是否存在定点，使得为定值．若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 19．（本小题17分） 某班级在课堂上开展传递卡片游戏，规则如下： ①将各学生依次编号为，，…，，每个学生手中均有红卡、黑卡各一张； ②老师先给1号学生随机等可能地发放一张红卡或黑卡； ③2号从1号手中的三张卡片中随机抽取一张，接着，3号从2号手中的三张卡片中随机抽取一张，重复上述操作，直至号从号手中的三张卡片中随机抽取一张； ④老师从号手中的三张卡片中随机取出一张弃置． 则一轮游戏结束． （1）求在一轮游戏结束后，1号学生手中恰有两张红卡的概率； （2）求在一轮游戏结束后，号学生手中红卡张数的期望； （3）在一轮游戏结束后，将手持两张同色卡片的学生淘汰，余下的学生重新编号，并按照游戏规则重新进行下一轮游戏；当且仅当只剩一个学生未被淘汰或所有学生均被淘汰时，游戏终止．求比赛进行两轮后终止，且此时只剩一个学生未被淘汰的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $