精品解析：广东汕头市华侨中学2026-2027学年高三上学期11月阶段检测数学试题

广东汕头华侨中学2026-2027学年度第一学期 高三年级月考2数学科试卷 一、选择题：本大题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. ，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对一元二次不等式左侧因式分解得，解得解集为. 又因为，因此集合. 已知，根据交集的定义，取两个集合的公共元素，可得. 2. 已知为虚数单位，复数，则的共轭复数是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据复数的除法可得，进而可得的共轭复数. 【详解】根据复数的除法，复数， 所以，因此的共轭复数是. 3. 若双曲线：（）的渐近线方程为，则（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接由双曲线方程可得渐近线方程，再结合题中所给的渐近线方程可得的值. 【详解】由双曲线：（）得渐近线方程为， 因为题目中给的渐近线方程为，所以，解得. 4. 已知等比数列中，是方程的两根，则（    ） A. B. C. D. ± 【答案】D 【解析】 【详解】由题意，根据韦达定理得， 又因为，则. 5. 哈三中百年校庆活动将5名教师志愿者分配到教学楼、田径场、艺体中心、普育广场4个地点参加志愿活动，每名志愿者仅去1个地点，每个地点至少需要1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先将5名教师志愿者分为4组，再将分好的4组安排4个地点参加志愿活动，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，分2步进行： ①将5名教师志愿者分为4组，有种分组方法， ②将分好的4组安排4个地点参加志愿活动，有种情况， 则有种分配方案. 故选：C 6. 已知，，其中．若，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，，则有， 由，有，即，故， 得，又，所以. 7. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 在区间是严格增函数 B. 的图象关于原点对称 C. 的最小正周期为 D. 的最大值为1 【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角恒等变换化简函数的解析式，再结合三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值逐一判断选项. 【详解】 ， 对于A：当时，，在该区间单调递减，故是严格减函数，A错误； 对于B：，是奇函数，图象关于原点对称，B正确； 对于C：的最小正周期，C错误； 对于D：的最大值为，故的最大值为，D错误. 8. 已知函数有4个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】为偶函数，转化为时，方程有两个解，即和的图象在时有两个交点，令，利用导数求得函数单调性与最值，画出函数的图象，结合图象，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为， 且， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称， 所以有4个零点，等价于当时，有2个零点， 当时，令，即， 若，则方程为，不符合题意，所以， 则方程可变形为，令， 则问题转化为和的图象在时有两个交点， 又由， 当时，，单调递增； 当时， ，单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，最大值为， 当时，，所以； 当时，的增长速度远小于，所以， 当时，，解得， 即当时 ，；当时 ，， 画出函数的图象，如图所示， 要使得和的图象在时有两个交点， 结合图象，满足，解得，所以实数的取值范围为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．部分选对的得部分分，错选不得分． 9. 设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法错误的是（    ） A. 若，则的虚部为 B. C. 若点的坐标为，且是关于的方程的一个根，则 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】ABD 【解析】 【详解】复数，则的虚部为，选项A错误； ，选项B错误； 点的坐标为对应的复数，且是关于的方程的一个根， 则，即，解得，所以，选项C正确； 表示点到点的距离不小于1且不大于， 点的集合所构成的图形是一个以为圆心的圆环，面积为，选项D错误. 10. 在等差数列中，公差为，且是公比为的等比数列，，则（     ） A. B. C. D. 数列的前项和小于 【答案】BD 【解析】 【分析】先由等差数列中，，成等比数列得，可判断A错误；进而可得判断B正确；由等差数列通项公式可判断C错误；再通过裂项相消法求和可得D正确. 【详解】因为为等差数列，且，，是公比为的等比数列， 所以，显然，则，A错误. 因为，解得，B正确. 又，所以，所以， 所以，C错误. 又因为， 所以数列的前项和， ， 即，所以，D正确. 11. 在中，，，分别是边，，中点，下列说法正确的是（ ） A. B. 点在边上，且，则的面积是面积的 C. 若，则是在的投影向量 D. 若点是线段上的动点，且满足，则的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用平面向量线性运算法则判断A；推导出，即可判断B，根据平面向量加法的平行四边形法则及投影向量的定义判断C，首先根据，，三点共线，设， ，再根据已知得到 ，再根据二次函数的性质求出的最大值，即可判断D． 【详解】对于A： ，故A正确； 对于B：因为点在边上，且， 所以，即， 即，所以，即， 所以， 所以，即，故B错误； 对于C：，，分别表示，，方向上的单位向量， 不妨令，， 以、为邻边作平行四边形，又， 所以为菱形，所以平分， 又， 因为，即，所以为的平分线， 又因为为的中线，所以 ，如图所示， 所以在的投影为 ， 所以是在上的投影向量，故C正确． 对于D，如图所示， 因为在上， 即，，三点共线. 设，. 又因为 ，所以， 因为 ， 则 ，， 则， 当时， 取得最大值为，故D错误． 故选：AC． 三、填空题：本大题3小题，每小题5分，共15分.把答案写在题中横线上. 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【详解】，两边同平方得， 即，解得， 则. 13. 已知抛物线：的焦点为，若上的一点到直线的距离为8，则______． 【答案】5 【解析】 【详解】抛物线：的准线为直线， 由上的一点到直线的距离为8，得点到直线的距离为5， 由抛物线定义得. 14. 已知为等差数列，定义数列满足：，记为数列的前项和，已知，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列下标和性质求出数列的通项公式，再结合等差数列求和公式以及分组求和即可. 【详解】因为为等差数列，所以，得， 则， 得， 故数列的公差为， 故， 故 四、解答题：本大题5小题，共77分.应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 随着人工智能技术的快速发展，学习助手逐渐成为学生课后学习的新工具．某校为了解工具对数学成绩的影响，随机抽取了该校名高二学生进行问卷调查，得到的列联表如下： 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 经常使用工具 不经常使用工具 （1）将样本频率视为概率，从该校经常使用工具的学生中随机抽取人，求这人中数学成绩优秀的人数比不优秀的人数多的概率； （2）依据的独立性检验，分析使用工具与数学成绩是否有关． 附：． 【答案】（1） （2）使用工具与数学成绩有关 【解析】 【小问1详解】 由表中数据可知，经常使用工具的学生中，数学成绩优秀的概率为，数学成绩不优秀的概率为． 所以人中数学成绩优秀的人数比不优秀的人数多的概率为． 【小问2详解】 零假设为：使用工具与数学成绩无关． 根据列联表中的数据，得． 因为，所以依据的独立性检验，我们推断不成立，即认为使用工具与数学成绩有关． 16. 已知在中，，，． （1）求； （2）设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知两边及夹角，先用余弦定理求第三边，再用余弦定理求； （2）建立坐标系，设出点坐标，由平行关系得点的坐标，利用垂直条件求参数，由长度解出，再计算. 【小问1详解】 在中，，，. 由余弦定理可知， 故. 再由余弦定理得. 【小问2详解】 以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系如图： 则，，由，得. 在延长线上，设，则，，， 设，则. 由，得，故. 于是. 已知，则，则. 代入得，而， 故. 17. 已知数列是等差数列，其前和为，，数列满足 （1）求数列，的通项公式; （2）若对数列，， 在与之间插入个2（），组成一个新数列，求数列的前2023项的和. 【答案】（1）， （2）4090 【解析】 【分析】（1）首先建立等差数列的基本量的方程组，求数列的通项公式，再利用数列的和求数列的通项公式； （2）根据通项公式，确定前2023项有多少个2以及含有数列的多少项，再求和. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为， 由题意，，所以 ① 当时，②， ①-②可得，， 当时，适合， 所以 【小问2详解】 因为，所以在数列中，从项开始到项为止， 共有项数为， 当时，； 当时，， 所以数列前2023项是项之后还有2023-1034=989项为2， 所求和为. 18. 如图，平面四边形中，，，点为中点，于，将沿翻折至，使得. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为由翻折而成，且， 根据翻折的性质，翻折前后对应边和对应角不变，所以. 已知，所以 因为，，所以， 又因为，即，，平面，所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据折叠的性质得到一些垂直关系，再利用平行关系和已有的垂直关系推出更多垂直关系，最后根据线面垂直的判定定理得出结论. （2）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标，求出面的法向量，结合向量夹角公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，平面，所以， 又，.可求得. 又.则.则. 则两两垂直，可以建立空间直角坐标系. 平面的法向量可取. 点为中点，则，， 则.则， 则 点为中点，则，则. 设平面法向量为，则 ，即，解得，故. 设平面与平面的夹角为，则 . 故平面与平面的夹角的余弦值为. 19. 已知函数． （1）若，求在处的切线方程； （2）若 （i）求证：函数在上存在唯一极值点； （ii）设为（i）中的极值点，求证：对任意，都有． 【答案】（1）； （2）（i）定义域为， 由已知， 则， 令，，则，则在上单调递减， 令，，则， 当，，则在上单调递减；当，，则在上单调递增， 所以，所以，即，所以， 由，则，所以， 所以存在唯一零点，使得， 当，，即；当，，即， 因此是的唯一极值点． （ii）由（i）可知是极大值点，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以对任意，都有． 因此要证明对任意，都有，只需证明不等式：对任意，都有． 由，得，得， 则， 则，其中， 令，，则， 当时，，则在上单调递减， 故，即． 【解析】 【分析】（1）求函数的导函数，再求，根据导数的几何意义和点斜式方程求结论； （2）（i）先求出，再构造函数，求，从而得到的单调性，再结合零点定理即可证明结论； （ii）结合（i）可将需证明的结论转化为对任意，都有，再结合，通过构造函数，求导，分析函数的单调性求出最值即可证明． 【小问1详解】 若，则， ， ∴， ∴在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东汕头华侨中学2026-2027学年度第一学期 高三年级月考2数学科试卷 一、选择题：本大题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. ，，则（ ）. A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，复数，则的共轭复数是（     ） A. B. C. D. 3. 若双曲线：（）的渐近线方程为，则（   ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列中，是方程的两根，则（    ） A. B. C. D. ± 5. 哈三中百年校庆活动将5名教师志愿者分配到教学楼、田径场、艺体中心、普育广场4个地点参加志愿活动，每名志愿者仅去1个地点，每个地点至少需要1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 6. 已知，，其中．若，则（ ）． A. B. C. D. 7. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 在区间是严格增函数 B. 的图象关于原点对称 C. 的最小正周期为 D. 的最大值为1 8. 已知函数有4个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．部分选对的得部分分，错选不得分． 9. 设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法错误的是（    ） A. 若，则的虚部为 B. C. 若点的坐标为，且是关于的方程的一个根，则 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 10. 在等差数列中，公差为，且是公比为的等比数列，，则（     ） A. B. C. D. 数列的前项和小于 11. 在中，，，分别是边，，中点，下列说法正确的是（ ） A. B. 点在边上，且，则的面积是面积的 C. 若，则是在的投影向量 D. 若点是线段上的动点，且满足，则的最大值为 三、填空题：本大题3小题，每小题5分，共15分.把答案写在题中横线上. 12. 已知，则______． 13. 已知抛物线：的焦点为，若上的一点到直线的距离为8，则______． 14. 已知为等差数列，定义数列满足：，记为数列的前项和，已知，且，则__________． 四、解答题：本大题5小题，共77分.应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 随着人工智能技术的快速发展，学习助手逐渐成为学生课后学习的新工具．某校为了解工具对数学成绩的影响，随机抽取了该校名高二学生进行问卷调查，得到的列联表如下： 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 经常使用工具 不经常使用工具 （1）将样本频率视为概率，从该校经常使用工具的学生中随机抽取人，求这人中数学成绩优秀的人数比不优秀的人数多的概率； （2）依据的独立性检验，分析使用工具与数学成绩是否有关． 附：． 16. 已知在中，，，． （1）求； （2）设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 17. 已知数列是等差数列，其前和为，，数列满足 （1）求数列，的通项公式; （2）若对数列，， 在与之间插入个2（），组成一个新数列，求数列的前2023项的和. 18. 如图，平面四边形中，，，点为中点，于，将沿翻折至，使得. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 19. 已知函数． （1）若，求在处的切线方程； （2）若 （i）求证：函数在上存在唯一极值点； （ii）设为（i）中的极值点，求证：对任意，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $