广东汕头市华侨中学2026-2027学年高三上学期11月阶段检测数学试题

广东汕头华侨中学2026-2027学年度第一学期 高三年级月考2数学科试卷 1、 选择题：本大题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知i为虚数单位，复数，则（     ） A．2+2i B． C．2-2i D． 3.若双曲线：（）的渐近线方程为，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 4.已知等比数列中，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D．± 5．哈三中百年校庆活动将5名教师志愿者分配到教学楼、田径场、艺体中心、普育广场4个地点参加志愿活动，每名志愿者仅去1个地点，每个地点至少需要1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ） A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 6．已知，，其中．若，则（     ）． A． B． C． D． 7．关于函数，下列结论正确的是（    ） A．在单调递增 B．的图象关于原点对称 C．的最小正周期为 D．的最大值为1 8．已知函数有4个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。部分选对的得部分分，错选不得分。 9．设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法错误的是（    ） A．若，则的虚部为 B． C．若点的坐标为，且是关于的方程的一个根，则 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 10.在等差数列中，公差为，且，，是公比为的等比数列，，则（     ） A． B． C． D．数列的前项和小于 11．在中，，，分别是边，，中点，下列说法正确的是（    ） A． B．点在边上，且，则的面积是面积的 C．若，则是在的投影向量 D．若点是线段上的动点，且满足，则的最大值为 三、填空题：本大题3小题，每小题5分，共15分.把答案写在题中横线上. 12．已知，则______． 13．已知抛物线：的焦点为，若上的一点到直线的距离为8，则______． 14．已知为等差数列，定义数列满足：，记为数列的前项和，已知，且，则__________． 四、解答题：本大题5小题，共77分.应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分） 随着人工智能技术的快速发展，学习助手逐渐成为学生课后学习的新工具．某校为了解工具对数学成绩的影响，随机抽取了该校名高二学生进行问卷调查，得到的列联表如下： 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 经常使用工具 不经常使用工具 (1)依据的独立性检验，分析使用工具与数学成绩是否有关． (2)将样本频率视为概率，从该校经常使用工具的学生中随机抽取人，求这人中数学成绩优秀的人数比不优秀的人数多的概率；附：． 16.（本小题满分15分） 已知在中，，，． (1)求； (2)设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 17.（本小题满分15分） 已知数列是等差数列，其前和为，，数列满足 (1)求数列，的通项公式; (2)若对数列，， 在与之间插入个2（），组成一个新数列，求数列的前2023项的和. 18. （本小题满分17分） 如图，平面四边形中，，，点为中点，于，将沿翻折至，使得. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值 19.（本小题满分17分） 已知函数． (1)若=1,求在（1，）处的切线方程； (2)若 (i)求证：函数在上存在唯一极值点； (ii)设为（1）中的极值点，求证：对任意，都有． 第5页共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东汕头华侨中学2026-2027学年度第一学期 高三年级月考2数学科参考答案 1、 选择题：本大题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D A D C A B A 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。部分选对的得部分分，错选不得分。 题号 9 10 11 答案 ABD BD AC 三、填空题：本大题3小题，每小题5分，共15分.把答案写在题中横线上. 12. 13. 5 14. 四、解答题：本大题5小题，共77分. 15.（本小题满分13分） 解：（1）零假设为：使用工具与数学成绩无关． ...............1分 根据列联表中的数据，得．    ...............4分（代入1分，计算2分，没有保留小数点后三位扣1分） 因为，...............5分（没有写扣1分） 所以依据的独立性检验，我们推断不成立，即认为使用工具与数学成绩有关，且犯错误率不超过0.01 ...............7分 （2）由表中数据可知，经常使用工具的学生中，数学成绩优秀的概率为，数学成绩不优秀的概率为．    ...............8分 设A=“人中数学成绩优秀的人数比不优秀的人数多”  ...............9分 优秀人数为2人时P1== 优秀人数为3人时 P2=． ...............12分（对1个2分，对2个3分） ∴P（A）=+= ...............13分 16.（本小题满分15分） （1）在中，，，. 由余弦定理可知， 故.  ...............3分（公式1分，计算2分） 再由余弦定理得.  ...............6分 （2） ∵AE⊥AC ∴cos∠BAC = sin∠DAE=  ...............8分 又DE∥BC,∴∠ABC+∠ADE=π， ∴cos∠ABC= - cos∠ADE =  ...............10分 ∴sin∠ADE = ...............11分 在△DAE中，由正弦定理得=, 即= ，解得AE=6  ...............13分（公式1分，计算1分） ∴在RT△ACE中，CE==3  ...............15分 17.（本小题满分15分） （1）设等差数列的首项为，公差为， 由题意，， ...............2分（代入1分，计算1分） 所以 ...............3分   ① 当时，②， ...............4分 ①-②可得，， ...............6分（相减1分，化简1分） 当时，适合， ...............7分 所以 ...............8分 （2）因为，所以在数列中，从项开始到项为止， 共有项数为， ...............9分 当时，； 当时，， ...............11分 所以数列前2023项是项之后还有2023-1034=989项为2， ...............12分 所求和为. ...............15分（列式1分，代入求和公式1分，结果1分） 18.（本小题满分17分） （1）证明：因为由翻折而成，且， 根据翻折的性质，翻折前后对应边和对应角不变，所以.   ...............2分（一个垂直1分） ∵，平面 ∴平面 ...............4分（平面写少了扣1分） 已知，所以 ...............5分 所以平面 （2）由（1）知平面，平面，所以 ， 又，.可求得. 又.则.则. ...............7分 则两两垂直， 以点E为原点，直线ED,EF,EP分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系. ...............8分 平面的法向量可取. ...............9分 点为中点，则 ，， 则.则， ...............10分 则 点为中点，则，则. ...............11分 设平面法向量为，则 ，即，解得，故. ...............14分（列式1分，计算2分） 设平面与平面的夹角为，则 . ...............17分（公式1分，代入1分，结果1分） 19.（本小题满分17分） 解：(1)若=1，则 ...............1分 ...............2分 ∴ ...............3分 ∴ ...............4分 (i)定义域为（0，+∞） ...............5分 由，则， ...............6分 令 则，则在上单调递减， ...............7分 令 ,- ∵>e ∴>0,<0 ...............9分 由零点的存在性定理，存在唯一的ϵ（，），使得=0，即=0 ...............10分 且当ϵ（，）,>0,当ϵ（，+∞）,<0 ∴在（，）单调递增，在（，+∞）单调递减，即为存在的唯一极大值点。 ............11分（没有单调性说明扣1分） (ii)由（i）可知是极大值点，所以对任意，都有． 因此只需证明不等式：对任意，都有． ............12分 由，得，得， ............13分 则， ............14分 则， 令，则， ............15分 当时，，则在上单调递减，............16分 故，即，证毕．............17分 学科网（北京）股份有限公司 $