精品解析：四川成都市蓉城名校联盟2026-2027学年高二上学期期中考试数学试题

高二试卷 数学 时间120分钟，满分150分 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某公园在年国庆期间举办了丰富多彩的活动，参与游客中的老年、中年、青少年人数之比为．现采用分层抽样的方法抽取名游客调查活动满意度．若抽取的老年人数有人，则样本容量为（ ） A. B. C. D. 2. 平面和平面的法向量分别为，，平面平面，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 随机事件与随机事件相互独立，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 在三棱锥中，，，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 点关于轴对称的点的坐标为 B. 空间中点，，，四点共面 C. 若空间四个点，，，满足，则，，三点共线 D. 若点是点在坐标平面内的射影，则 6. 四名同学各投掷一枚质地均匀的正四面体骰子（四个面分别标有，，，点）次，分别记录每次骰子接触地面的点数．根据以下四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数的是（ ） A. 平均数为，方差为 B. 中位数为，众数为 C. 中位数为，极差为 D. 平均数为，中位数为 7. 甲、乙两名同学各投掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，记录面朝上的点数．，分别为甲、乙记录的结果，事件“为奇数”，事件“”，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方体的棱长为，点是正方形外接圆上一点，为正方形的中心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 成都市某区市民艺术学校开设了免费的书画、舞蹈、声乐、古筝、电子琴课程．学校从只参加一个课程的市民中随机选取部分市民进行问卷调查，将选取的市民情况和调查情况绘制成如下三个统计图，则下列说法正确的是（ ） A. 共选取市民人 B. 参加声乐课程的市民占比为 C. 参加古筝课程人数与参加舞蹈课程人数之比为 D. 参加声乐课程市民周练习时长总和小于参加舞蹈课程市民周练习时长总和 10. 有三个电器元件，每个元件能正常工作的概率均为，如图有甲、乙两个电路，甲电路为通路的概率为，乙电路为通路的概率为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 不能确定，的大小关系 D. 的最大值为 11. 如图，在正方体中，棱长为，为中点，为正方体表面上的动点，为线段上的动点．下列结论正确的是（） A. 三棱锥的体积为定值 B. 当平面时，点的运动轨迹长度为 C. 当平面，且点在侧面上运动时，与平面所成角的正切值可能为 D. 直线与所成角的余弦值的最大值为 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在日常训练中，教练组希望利用计算机模拟实验来估计男排队员在连续三次发球中，恰有两次得分的概率．利用计算机产生～的随机整数来模拟发球结果：当出现随机数，，时，表示发球得分，当出现随机数，，，，，，时，表示发球未得分．利用计算机产生组随机数： 根据上述模拟实验，估计三次发球中恰有两次得分的概率为________． 13. 学生甲从一本英语杂志上随机抽取个句子，再筛选出单词数不低于的句子，数出每个句子中不认识的单词数，作出频率分布表并计算平均数和上四分位数，如果平均数超过且上四分位数不低于，学生甲就放弃阅读整本杂志，根据计算结果可知学生甲________（填“放弃”或“不放弃”）阅读整本杂志． 不认识的单词数 频数 频率 14. 如图，平面与平面的夹角为，，点，在平面上，点，在平面上，点，在直线上且，，，，，则________．（用，，，表示） 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 国庆期间某商场为促销设计了两款摸球抽奖游戏．两款游戏道具均是不透明盒子内装小球，小球除颜色外都完全相同．游戏甲：盒中装有个球，其中红球个、白球个，玩家从盒中一次性随机摸出个球，摸出的个球颜色相同即中奖；游戏乙：盒中装有个球，其中红球个、白球个，玩家从盒中逐个不放回摸出个球，摸出的个球颜色相同即中奖． （1）分别求玩一次游戏甲、游戏乙的中奖概率，作为玩家，你会选择哪一款游戏？请说明理由； （2）若商场希望两个游戏公平，将中奖概率小的游戏的规则调整为：小球个数和颜色保持不变，玩家从盒中逐个有放回摸出个球，摸出的个球颜色相同即中奖．这种调整方案可行吗？请说明理由． 16. 成都某学校高二年级共有名学生，他们某次数学定时测试成绩在分之间，将成绩分成，，，，，共组，其频数分布表和频率分布直方图如下所示． 分数段 频数 （1）求，和的值；并估计该校学生本次定时测试的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）若成绩为前的学生为“优秀”，根据频率分布直方图，试估计本次定时测试的优秀分数线； （3）这次定时测试中某班名学生的成绩分别为：，，，…，．已知这名学生成绩的平均数，方差，若增加两个分数分别为和的学生成绩，求这名学生成绩的平均数与标准差． 17. 如图，在三棱柱中，为中点，，，，． （1）求的长； （2）判断异面直线与是否垂直，并说明理由； （3）求三棱柱的体积． 18. 年月亚运会排球项目中，中国女排成功卫冕夺冠．本次亚运会排球比赛规则为每场采用五局三胜制，先胜三局的队伍赢得整场比赛．前四局每局先得分并至少领先对手分的一方胜出，若出现比分，则要继续比赛至某队领先分才能取胜；决胜局（第五局）先得分并至少领先分的一方胜出，若出现比分，则要继续比赛至某队领先分才能取胜．每一局采用每球得分制，无论哪一方发球，胜球即得分的队有发球权．小组赛中，甲、乙两队进行一场排球比赛，已知甲队发球时甲队得分的概率为，乙队发球时乙队得分的概率为，且各次发球的得分结果相互独立． （1）第一局比赛中，甲、乙两队双方比分为，且乙队拥有发球权，求两队共再发次球结束本局比赛的概率； （2）第二局比赛中，甲、乙两队双方比分为，且甲队拥有发球权，求两队共再发次球，且甲队取得该局比赛胜利的概率； （3）前四局比赛甲、乙两队各胜局，目前甲、乙两队第五局的比分为，且甲队拥有发球权，求该局比赛结束时甲队得分，且乙队赢得整场比赛的概率． 19. 如图所示，在菱形中，且边长为，为中点，将沿对角线翻折至，其中为动点，． （1）在线段上是否存在一点使平面，若存在，请找出并证明，若不存在，请说明理由； （2）二面角的大小为． ①当时，三棱锥各个顶点都在球的球面上，求球的表面积； ②当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二试卷 数学 时间120分钟，满分150分 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某公园在年国庆期间举办了丰富多彩的活动，参与游客中的老年、中年、青少年人数之比为．现采用分层抽样的方法抽取名游客调查活动满意度．若抽取的老年人数有人，则样本容量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分层抽样的方法分析求解即可. 【详解】由题意得：，解得：. 2. 平面和平面的法向量分别为，，平面平面，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两平行平面的法向量互相平行的性质，结合空间向量共线的坐标运算规则求解参数即可. 【详解】已知平面和平面的法向量分别为，，且平面平面， 则，即，解得，故B正确. 3. 随机事件与随机事件相互独立，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合独立事件的概率性质与对立事件的概率公式，建立关于的方程求解. 【详解】由事件与事件相互独立，所以事件与事件也相互独立， 所以， 又，所以，解得：. 4. 在三棱锥中，，，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以，则， 因为，所以. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 点关于轴对称的点的坐标为 B. 空间中点，，，四点共面 C. 若空间四个点，，，满足，则，，三点共线 D. 若点是点在坐标平面内的射影，则 【答案】B 【解析】 【分析】结合空间直角坐标系的对称规律、共面向量定理、向量线性运算的几何意义、点在坐标平面内的射影定义，逐一判断各选项的正误. 【详解】选项A：空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标特征为坐标不变，坐标取相反数， 即对称点为，因此点关于轴对称的点为，故A错误； 选项B：根据共面向量定理，若从同一点出发的三个向量满足其中一个向量可由另外两个不共线向量线性表示，则三个向量共面，对应四点共面， 取点为公共起点，计算得： ，， ， 假设存在实数使得，代入向量坐标得：， 对比各分量可得方程组：，即，因此共面，即四点共面，故B正确。 选项C：如图平行四边形中，满足向量等式 ， 但是三点不共线，故C错误； 分析选项D：点在平面（即的坐标平面）内的射影，坐标特征为坐标变为0，坐标与原来得点一致， 因此点在平面内的射影的坐标为，则，其模，故D错误. 6. 四名同学各投掷一枚质地均匀的正四面体骰子（四个面分别标有，，，点）次，分别记录每次骰子接触地面的点数．根据以下四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数的是（ ） A. 平均数为，方差为 B. 中位数为，众数为 C. 中位数为，极差为 D. 平均数为，中位数为 【答案】A 【解析】 【分析】结合平均数、中位数、众数、极差、方差的定义，通过构造反例排除可能出现点数4的选项，再通过反证法验证剩余选项是否一定不存在点数4. 【详解】选项A：已知平均数为2，因此6次点数的总和为；方差为，因此所有点数与平均数的离均差平方和为， 假设某次投掷出现点数4，则该点数对应的离均差平方为， 此时剩余5次点数的离均差平方和需为，即剩余5次点数均等于平均数2， 此时6次点数总和为，与总和为12矛盾， 若出现2次及以上点数4，则仅这部分点数的离均差平方和就已超过总离均差平方和4，无法满足方差条件， 因此该统计结果下一定没有出现点数4，A正确； 选项B：已知中位数为2，即6次点数从小到大排序后，第3位与第4位点数的平均值为2，众数为1，即点数1出现的次数最多； 构造数据：1,1,1,3,3,4，排序后为1,1,1,3,3,4，满足中位数为，众数为1，且存在点数4，因此该选项可能出现点数4，不符合要求； 选项C：已知中位数为2.5，即排序后第3位与第4位点数的平均值为2.5；极差为2，即最大点数与最小点数的差为2； 构造数据：2,2,2,3,4,4，排序后为2,2,2,3,4,4，满足中位数为，极差为，且存在点数4， 因此该选项可能出现点数4，不符合要求； 选项D：已知平均数为2.5，因此6次点数总和为；中位数为2.5，即排序后第3位与第4位点数的平均值为2.5， 构造数据：1,1,2,3,4,4，排序后为1,1,2,3,4,4，满足平均数为，中位数为，且存在点数4， 因此该选项可能出现点数4，不符合要求. 7. 甲、乙两名同学各投掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，记录面朝上的点数．，分别为甲、乙记录的结果，事件“为奇数”，事件“”，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】的可能取值有共6种，甲和乙不同的记录有种， 符合事件所有情况为：时，， 时，， 时，， 时不满足条件，共9种； 符合事件所有情况为：时，， 时，， 时，， 时，， 时，， 时，，共24种； 则共有26种，所以. 8. 如图，正方体的棱长为，点是正方形外接圆上一点，为正方形的中心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 如图所示，连接，且，以为坐标原点，分别以为轴建立直角坐标系， 因为正方体的棱长为，所以， 设点， 则，， 则， 因为，所以，即的最小值为. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 成都市某区市民艺术学校开设了免费的书画、舞蹈、声乐、古筝、电子琴课程．学校从只参加一个课程的市民中随机选取部分市民进行问卷调查，将选取的市民情况和调查情况绘制成如下三个统计图，则下列说法正确的是（ ） A. 共选取市民人 B. 参加声乐课程的市民占比为 C. 参加古筝课程人数与参加舞蹈课程人数之比为 D. 参加声乐课程市民周练习时长总和小于参加舞蹈课程市民周练习时长总和 【答案】BCD 【解析】 【分析】先由电子琴的人数和占比求出总人数，再分别验证各选项：计算声乐占比、结合扇形比例与折线人数验证人数比、累加计算两类课程的总练习时长并比较大小． 【详解】对于A，由图（扇形图）可知，参加电子琴课程的占比为； 由图（条形图）可知，参加电子琴课程的人数为， 所以选取的市民总人数为，A错误； 对于B，由图可知，参加声乐课程的人数为， 所以参加声乐课程的市民占比为，B正确； 对于C，由电子琴课程人、占比，可求得调查总人数为， 书画课程占比，对应人数为； 结合条形图中声乐人、电子琴人， 可得古筝与舞蹈课程的总人数为， 从折线图统计舞蹈课程各标注练习时长的人数， 累加得已标注人数之和为，故古筝总人数为； 因此参加古筝课程与舞蹈课程的人数之比为，C正确； 对于D，参加声乐课程市民周练习时长总和约为（小时）， 参加舞蹈课程市民周练习时长总和，仅计算已知点：（小时）， 显然，即声乐总时长小于舞蹈总时长，D正确． 10. 有三个电器元件，每个元件能正常工作的概率均为，如图有甲、乙两个电路，甲电路为通路的概率为，乙电路为通路的概率为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 不能确定，的大小关系 D. 的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据概率乘法公式和对立事件的概率公式求出，，再作差比较大小及配方得到的最值即可． 【详解】设三个电器元件正常工作为事件，不能正常工作为事件， 则， 所以， ，故A正确，B错误； ， 又，所以， ，，故C错误； ，当时取等， 所以的最大值为，故D正确． 11. 如图，在正方体中，棱长为，为中点，为正方体表面上的动点，为线段上的动点．下列结论正确的是（） A. 三棱锥的体积为定值 B. 当平面时，点的运动轨迹长度为 C. 当平面，且点在侧面上运动时，与平面所成角的正切值可能为 D. 直线与所成角的余弦值的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A：由平面得到平面距离恒定，底面积固定，体积为定值；B：构造平行平面，其与正方体表面的交线即为的轨迹，求和得长度；C：求出侧面内轨迹上线面角正切的值域，可知无法取到；D：参数化点坐标，用向量夹角公式求出余弦值的表达式，再求最大值. 【详解】选项A，正方体中且，故四边形是平行四边形，得， 又平面，而平面，由线面平行的判定定理得平面， 于是直线上每一点到平面的距离都相等， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以， 故三棱锥的体积为定值，A正确； 选项B，取的中点、的中点，连接，，， ， 且，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面，故平面， 在中，、分别为、的中点，为中位线，故，得， 又平面，平面，所以平面， ，由面面平行的判定定理得平面平面；平面，所以平面； 三边分别落在正方体表面上，在上底面内，在侧面内，在侧面内，因此的轨迹就是的三边， 中；中； 中，轨迹总长度为，B正确； 选项C，当平面，且点在侧面上运动时，由选项B知的轨迹是线段 ， 建立如图所示空间直角坐标系， 可设 ，，因为平面，所以 与平面所成的角为 ，且 ， ，当 时， ， 所以 ，而 ，故正切值不可能为 ， C 错误； 选项D，，；设 ，，则 ，， ，直线与所成的角为， 故 ，令 ，则 ， 当，， 当，， ，得，，， 故，当且仅当，即（与重合）时取等号， 所以直线与所成角的余弦值的最大值为，D正确. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在日常训练中，教练组希望利用计算机模拟实验来估计男排队员在连续三次发球中，恰有两次得分的概率．利用计算机产生～的随机整数来模拟发球结果：当出现随机数，，时，表示发球得分，当出现随机数，，，，，，时，表示发球未得分．利用计算机产生组随机数： 根据上述模拟实验，估计三次发球中恰有两次得分的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题通过随机模拟试验估计概率，需先明确得分对应的随机数判定规则，再统计20组随机数中满足“三次发球恰有两次得分”的组数，利用频率估计概率, 【详解】首先明确模拟规则：随机数0、1、2对应发球得分，随机数3、4、5、6、7、8、9对应发球未得分； 每组3位随机整数代表连续三次发球的结果，需统计每组中属于得分类别的数字个数， 筛选出个数恰好为2的组别， 对全部20组随机数逐一判定： 192：包含数字1、9、2，其中1、2为得分，共2次得分，符合要求； 980：包含数字9、8、0，仅0为得分，共1次得分，不符合； 280：包含数字2、8、0，其中2、0为得分，共2次得分，符合要求； 379：包含数字3、7、9，无得分，不符合； 960：包含数字9、6、0，仅0为得分，共1次得分，不符合； 134：包含数字1、3、4，仅1为得分，共1次得分，不符合； 114：包含数字1、1、4，其中两个1为得分，共2次得分，符合要求； 214：包含数字2、1、4，其中2、1为得分，共2次得分，符合要求； 594：包含数字5、9、4，无得分，不符合； 931：包含数字9、3、1，仅1为得分，共1次得分，不符合； 425：包含数字4、2、5，仅2为得分，共1次得分，不符合； 780：包含数字7、8、0，仅0为得分，共1次得分，不符合； 740：包含数字7、4、0，仅0为得分，共1次得分，不符合； 019：包含数字0、1、9，其中0、1为得分，共2次得分，符合要求； 595：包含数字5、9、5，无得分，不符合； 691：包含数字6、9、1，仅1为得分，共1次得分，不符合； 885：包含数字8、8、5，无得分，不符合； 063：包含数字0、6、3，仅0为得分，共1次得分，不符合； 239：包含数字2、3、9，仅2为得分，共1次得分，不符合； 443：包含数字4、4、3，无得分，不符合， 经统计，满足“三次发球恰有两次得分”的组别共5组，总模拟组数为20组， 根据频率与概率的关系，估计三次发球中恰有两次得分的概率为. 13. 学生甲从一本英语杂志上随机抽取个句子，再筛选出单词数不低于的句子，数出每个句子中不认识的单词数，作出频率分布表并计算平均数和上四分位数，如果平均数超过且上四分位数不低于，学生甲就放弃阅读整本杂志，根据计算结果可知学生甲________（填“放弃”或“不放弃”）阅读整本杂志． 不认识的单词数 频数 频率 【答案】不放弃 【解析】 【分析】先根据已知的频数与频率求出筛选后的样本容量，补全频数分布表，再计算平均数和上四分位数，对照放弃的判定条件即可得出结论. 【详解】因为当不认识的单词数为3时，频数为15，频率为，所以样本容量； 则当不认识单词数为4时，频数； 则平均数为， 又因为上四分位数为第75百分位数，且为整数， 所以上四分位数为排序后第45个数与第46个数的平均数， 因为不认识单词数为0时，累计5个数据；不认识单词数为1时，累计个数据；不认识单词数为2时，累计个数据； 不认识单词数为3时，累计个数据； 不认识单词数为4时，累计个数据， 故第45和46个数据均为4，因此上四分位数为， 根据条件，当平均数超过且上四分位数不低于时，学生甲就放弃阅读整本杂志， 所以甲学生不放弃阅读整本杂志. 14. 如图，平面与平面的夹角为，，点，在平面上，点，在平面上，点，在直线上且，，，，，则________．（用，，，表示） 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量加法法则将表示为，通过两边平方利用数量积运算即可求解. 【详解】由题意可知：，两边平方得：， 即， 因为，且点，在直线上，所以，， 即，，又因为二面角的大小为，与分别是平面和平面垂直于棱的向量，且方向均背离棱， 所以向量与的夹角为，所以， 代入上述平方展开式，得：， 所以，所以. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 国庆期间某商场为促销设计了两款摸球抽奖游戏．两款游戏道具均是不透明盒子内装小球，小球除颜色外都完全相同．游戏甲：盒中装有个球，其中红球个、白球个，玩家从盒中一次性随机摸出个球，摸出的个球颜色相同即中奖；游戏乙：盒中装有个球，其中红球个、白球个，玩家从盒中逐个不放回摸出个球，摸出的个球颜色相同即中奖． （1）分别求玩一次游戏甲、游戏乙的中奖概率，作为玩家，你会选择哪一款游戏？请说明理由； （2）若商场希望两个游戏公平，将中奖概率小的游戏的规则调整为：小球个数和颜色保持不变，玩家从盒中逐个有放回摸出个球，摸出的个球颜色相同即中奖．这种调整方案可行吗？请说明理由． 【答案】（1）选择游戏甲，理由如下： 设游戏甲盒中红球为，白球为，则玩家从盒中一次性随机摸出个球的可能情况有共6种， 其中摸出的个球颜色相同的情况有共3种，所以游戏甲中奖的概率； 设游戏乙盒中红球为，白球为，则从盒中一次性随机摸出个球的可能情况有共6种， 其中摸出的个球颜色相同的情况有共2种，所以游戏乙中奖的概率； 所以游戏甲的中奖概率更高，因此选择游戏甲. （2）该调整方案可行，调整后游戏乙的中奖概率为，与游戏甲的中奖概率相等，可实现两个游戏的公平性. 理由如下： 调整后玩家从盒中逐个有放回摸出个球的可能情况有： 共16种， 其中摸出的个球颜色相同的情况有共8种， 此时游戏乙中奖的概率，与游戏甲的中奖概率相等，可实现两个游戏的公平性，所以该调整方案可行. 【解析】 【分析】（1）利用古典概型分别求游戏甲和游戏乙的中奖概率即可. （2）利用古典概型求出调整后游戏乙的中奖概率即可得到结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 成都某学校高二年级共有名学生，他们某次数学定时测试成绩在分之间，将成绩分成，，，，，共组，其频数分布表和频率分布直方图如下所示． 分数段 频数 （1）求，和的值；并估计该校学生本次定时测试的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）若成绩为前的学生为“优秀”，根据频率分布直方图，试估计本次定时测试的优秀分数线； （3）这次定时测试中某班名学生的成绩分别为：，，，…，．已知这名学生成绩的平均数，方差，若增加两个分数分别为和的学生成绩，求这名学生成绩的平均数与标准差． 【答案】（1），，，平均成绩为分 （2）优秀分数线约为分 （3）平均数为，标准差为 【解析】 【小问1详解】 由频数分布表可知，，整理得. 由频率分布直方图可知，最后一段的频率密度为，故其频率为. 故，代入得. 区间的频率密度. 估计平均成绩为 【小问2详解】 前为优秀，即寻找第百分位数. 成绩在分以下的频率为. 成绩在分以下的频率为. 故优秀分数线位于内，满足. 解得，即优秀分数线估计为. 【小问3详解】 原名学生总分为，增加两人后名学生总分为. 故新平均数. 由原方差知，. 新方差 . 故标准差. 17. 如图，在三棱柱中，为中点，，，，． （1）求的长； （2）判断异面直线与是否垂直，并说明理由； （3）求三棱柱的体积． 【答案】（1） （2）垂直，理由如下： ，， ， 所以异面直线与垂直. （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量的基底运算，结合模长公式可得答案； （2）利用向量数量积为零即可判断垂直； （3）利用向量求出三棱柱的高，结合体积公式可得答案. 【小问1详解】 设，则， ，，； ， ，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设点在底面的投影为，过点作，垂足分别为，连接， 由平面，得，而平面， 则平面，又平面，于是，同理， 由，得，则全等于， ，，因此， 而， 所以三棱柱的体积. 18. 年月亚运会排球项目中，中国女排成功卫冕夺冠．本次亚运会排球比赛规则为每场采用五局三胜制，先胜三局的队伍赢得整场比赛．前四局每局先得分并至少领先对手分的一方胜出，若出现比分，则要继续比赛至某队领先分才能取胜；决胜局（第五局）先得分并至少领先分的一方胜出，若出现比分，则要继续比赛至某队领先分才能取胜．每一局采用每球得分制，无论哪一方发球，胜球即得分的队有发球权．小组赛中，甲、乙两队进行一场排球比赛，已知甲队发球时甲队得分的概率为，乙队发球时乙队得分的概率为，且各次发球的得分结果相互独立． （1）第一局比赛中，甲、乙两队双方比分为，且乙队拥有发球权，求两队共再发次球结束本局比赛的概率； （2）第二局比赛中，甲、乙两队双方比分为，且甲队拥有发球权，求两队共再发次球，且甲队取得该局比赛胜利的概率； （3）前四局比赛甲、乙两队各胜局，目前甲、乙两队第五局的比分为，且甲队拥有发球权，求该局比赛结束时甲队得分，且乙队赢得整场比赛的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分乙连赢三局和甲连赢三局两种情况，分别求出相加即可； （2）分两种情况分别求出相加即可； （3）根据题意只有四种情况符合，分别求出相加即可. 【小问1详解】 情况一：乙连赢三局，则； 情况二：甲连赢三局，则， 则两队共再发次球结束本局比赛的概率为. 【小问2详解】 情况一：乙赢甲赢甲赢甲赢，则； 情况二：甲赢乙赢甲赢甲赢，则； 故甲队该局比赛胜利的概率. 【小问3详解】 由题意得甲再得分，乙再得分且最后一球乙得分，满足条件的共有四种情况： 情况一：甲赢乙赢甲赢乙赢乙赢乙赢，则； 情况二：甲赢乙赢乙赢甲赢乙赢乙赢，则； 情况三：乙赢甲赢甲赢乙赢乙赢乙赢，则； 情况四：乙赢甲赢乙赢甲赢乙赢乙赢，则； 故该局比赛结束时甲队得分，且乙队赢得整场比赛的概率为. 19. 如图所示，在菱形中，且边长为，为中点，将沿对角线翻折至，其中为动点，． （1）在线段上是否存在一点使平面，若存在，请找出并证明，若不存在，请说明理由； （2）二面角的大小为． ①当时，三棱锥各个顶点都在球的球面上，求球的表面积； ②当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）当为中点时，平面，证明如下： ，为中点，连接， 则在中，， 又平面，平面，平面. （2）①② 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明. （2）①通过建立空间直角坐标系利用坐标先求出外接球的半径的值，再代入公式计算即可；②写出，求出平面的法向量，再代入公式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由题意得，以为坐标原点，分别为轴的正方向，垂直平面向上为轴建立空间直角坐标系， 连接，因为为等边三角形，故，同理， 故为二面角的平面角，故. 又，为正三角形，所以，， 则， 因为为正三角形，其外心坐标为， 故设外接球球心为，且， ， ，解得，故外接球的半径， 故外接球的表面积为. ②当时，， 则， 设平面的法向量为， 则，令，， 故平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 又，故，故在该区间单调递增， 又，所以，故. 故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $