精品解析：河北省保定市爱和城高级中学2026-2027学年高一上学期二调考试数学试题

爱和城高中2026-2027学年第一学期高一年级二调考试 数学学科 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共45分. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 3. 设，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 4. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 5. 命题：“”是命题：“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 已知一元二次不等式的解集为或，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 7. 函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 已知是上的增函数，那么实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 9. 设函数，若是的最小值，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，且，则 B. 和表示同一个函数 C. 函数在上单调递增，在上单调递增，则在上是增函数 D. 若满足，则不是单调递增函数 11. 有下列几个命题，其中正确的是（ ） A. 函数y＝2x2＋x＋1在(0，＋∞)上是增函数 B. 函数y＝在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是减函数 C. 函数y＝的单调区间是[－2，＋∞) D. 已知函数g(x)＝是奇函数，则f(x)＝2x＋3 12. 下列说法正确的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 关于的不等式的解集为，且.若，则 D. 已知，函数的值域为 13. 下列正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，则最小值为4 C. 若，则 D. 若且，则的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共20分. 14. 已知集合，则它的真子集有___________个. 15. 已知函数的定义域为，求实数k的取值范围______． 16. 已知函数在上的值域为，则的取值范围是________. 17. 用表示，两个数中的最大值，设函数，若恒成立，则的最大值是______． 四、解答题：本题共4小题，共61分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 设全集，，. （1）求，； （2）设集合，且，求实数的取值范围. 19. 已知命题：“关于的方程有一正根一负根”为真命题． （1）求实数的取值范围； （2）命题：，是否存在实数使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围：若不存在，说明理由． 20. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求的值； （2）判断的单调性，并用单调性定义给出证明； （3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 21. 已知关于的二次函数 （1）若关于的不等式的解集为，求实数、的值； （2）若实数，满足，求关于的不等式的解集．（答案用含有字母a的形式表示） （3）已知 有两个正实数根，，，且满足 ，求的最大值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 爱和城高中2026-2027学年第一学期高一年级二调考试 数学学科 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共45分. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 又，. 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定为全称量词命题进行求解. 【详解】已知命题， 则：. 故选：D 3. 设，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法解出的结果，然后与0进行比较，即可得到答案 【详解】解：因为，， 所以， ∴， 故选：A 4. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，解得或，则， 由，解得，则， 所以. 5. 命题：“”是命题：“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，则，解得； 由，则，解得， 则是的充分不必要条件. 6. 已知一元二次不等式的解集为或，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式的解集求参，再结合基本不等式求最值即可. 【详解】一元二次不等式的解集为或， 故，为方程的两根，且， 从而有，解得， 所以(当且仅当，即时等号成立). 故选：C 7. 函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域与单调性将原不等式化为，从而可得答案. 【详解】因为函数是定义在上的增函数， 由，得， 解得，即， 故选：B 8. 已知是上的增函数，那么实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分段函数在上单调递增，需满足在每一段上单调递增，且分段处左端点函数值小于等于右端点函数值,从而得到不等式组，求出. 【详解】要在上单调递增，需满足， 解得，故实数的值可以为. 9. 设函数，若是的最小值，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质结合基本不等式求解即可. 【详解】，当时，， 当且仅当即时，等号成立； 当时，，要使是的最小值， 只需在上递减，且， 即，解得. 故选：B 二、多选题：本题共4小题，共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，且，则 B. 和表示同一个函数 C. 函数在上单调递增，在上单调递增，则在上是增函数 D. 若满足，则不是单调递增函数 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A选项，若，，则，故，故A正确； 对于B选项，和的定义域均为，对应法则也一样， 所以表示同一个函数，故B正确； 对于C选项，若函数的图象如下，满足在上单调递增，在上单调递增， 但是在上不是单调递增函数，故C错误；    对于D选项，若满足，则不是单调递增函数，故D正确． 11. 有下列几个命题，其中正确的是（ ） A. 函数y＝2x2＋x＋1在(0，＋∞)上是增函数 B. 函数y＝在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是减函数 C. 函数y＝的单调区间是[－2，＋∞) D. 已知函数g(x)＝是奇函数，则f(x)＝2x＋3 【答案】AD 【解析】 【分析】根据简单函数的单调性，复合函数的单调性，以及由函数奇偶性求函数解析式，即可容易判断和选择. 【详解】由y＝2x2＋x＋1＝2在上递增知， 函数y＝2x2＋x＋1在(0，＋∞)上是增函数，故A正确； y＝在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上均是减函数， 但在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上不是减函数， 如－2<0，但故B错误； y＝在上无意义， 从而在[－2，＋∞)上不是单调函数，故C错误； 设x<0，则－x>0，g(－x)＝－2x－3， 因为g(x)为奇函数，所以f(x)＝g(x)＝－g(－x)＝2x＋3，故D正确． 故选：. 【点睛】本题考查函数单调区间的求解，复合函数的单调性判断以及利用函数奇偶性求函数解析式，属中档题. 12. 下列说法正确的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 关于的不等式的解集为，且.若，则 D. 已知，函数的值域为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据两函数定义域不同判断A；根据复合函数定义域的判断B；分三种情况讨论求不等式解集，进一步判断C；对于D，先换元令，将转化为，再利用对勾函数的单调性求的值域即为的值域，进一步判断D. 【详解】对于A，定义域为，定义域为，所以两函数不是同一个函数，所以A错误； 对于B，函数的定义域为，则，所以，则函数中，所以， 因此函数的定义域为，B正确； 对于C，当时，不等式即，此时解集，满足； 当时，不等式解集，不满足； 当时，不等式解集，满足； 综上，若，则，C错误； 对于D，设，则，当时，. 则即可化为； 由对勾函数性质得在单调递减，在单调递增，所以. 又，因此的最大值为，最小值为， 故的值域为，D正确. 13. 下列正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，则最小值为4 C. 若，则 D. 若且，则的最小值为2 【答案】CD 【解析】 【详解】对于A，当时，满足，但，所以A选项错误； 对于B，，当且仅当即时取等. 因为，所以等号无法取到，所以B选项错误； 对于C，因为，所以， 当且仅当即时取等，所以C选项正确； 对于D，令，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，即的最小值是，所以D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共20分. 14. 已知集合，则它的真子集有___________个. 【答案】7 【解析】 【详解】由题可得， 则其真子集有个. 15. 已知函数的定义域为，求实数k的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的值域的概念以及一元二次不等式恒成立问题求解. 【详解】由题可得，对恒成立， 当时，不满足题意； 当时，要使对恒成立， 则有，解得， 所以实数k的取值范围是. 故答案为: . 16. 已知函数在上的值域为，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【详解】二次函数图象的对称轴为直线， 在上的值域为， 又因为，由图可知． 17. 用表示，两个数中的最大值，设函数，若恒成立，则的最大值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据定义，得到分段函数，再求的最小值即可求解. 【详解】因为，由，得或， 则， 当时，当时，单调递减，则， 综上，时，， 则恒成立，即，解得， 则的最大值是3. 故答案为：3 四、解答题：本题共4小题，共61分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 设全集，，. （1）求，； （2）设集合，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）实数的取值范围是 【解析】 【分析】（1）先解不等式得到集合、，再利用集合的运算求解； （2）利用给定运算结果，结合元素与集合的关系求解． 【小问1详解】 由，解得，则， 由得或，解得或， 则， 所以，， . 【小问2详解】 由（1）知， 因为，，所以且， 所以或， 所以实数的取值范围是． 19. 已知命题：“关于的方程有一正根一负根”为真命题． （1）求实数的取值范围； （2）命题：，是否存在实数使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围：若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【小问1详解】 因为命题为真命题，所以，解得 所以实数的取值范围是． 【小问2详解】 令，， 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，解得， 综上所述，存在符合条件的实数，且实数的取值范围是． 20. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求的值； （2）判断的单调性，并用单调性定义给出证明； （3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）函数在上的单调递减，证明如下： 任意，且， 则 ， 由，得， 则，即，因此 所以函数在上的单调递减. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用与求出的值并验证即可. （2）判断函数单调性，再利用定义法证明函数的单调性. （3）求出函数在指定区间上的最大值，再结合已知列出不等式，求出实数k的范围. 【小问1详解】 由函数是定义在上的奇函数，得， 则，又，于是，解得， ，，即是奇函数， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由对任意的，总存在，使得成立， 得在上的最大值不大于在上的最大值， 由函数在上的单调递减，得， 当时，，恒成立，因此； 当时，在上单调递增，， 则，解得，因此； 当时，在上单调递减，， 则，解得，因此， 所以实数k的取值范围是. 21. 已知关于的二次函数 （1）若关于的不等式的解集为，求实数、的值； （2）若实数，满足，求关于的不等式的解集．（答案用含有字母a的形式表示） （3）已知 有两个正实数根，，，且满足 ，求的最大值 【答案】（1），； （2）当，解集为或；当，解集为；当，解集为；当，解集为； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理列方程求解； （2）将代入，因式分解，对a的正负以及根1和的大小作分类讨论，写出不等式解集； （3）先由韦达定理与得到的关系式，结合正根、不等根条件求出a的取值范围，再将目标式化为单变量a的函数，换元后用基本不等式求最大值. 【小问1详解】 不等式的解集为，得，方程两根为，所以，得，； 【小问2详解】 由，得，即， 因为，所以， 当，不等式化为， 若即，解集为； 若即，，无解； 若即，解集为； 当，不等式化为，此时，故解集为或； 综上所述，当，解集为或；当，解集为；当，解集为；当，解集为； 【小问3详解】 由得，两根，由韦达定理得， 因为，所以，所以， 由，得判别式，即，得，故或， 由得，所以， 由，得， 令，由得，所以， 因为，所以，故，当且仅当，即，即时取等号， 所以，故， 所以当时，最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $