精品解析：江苏徐州市2026-2027学年高三上学期11月期中抽测数学试题

2026~2027学年度第一学期高三年级期中抽测 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的概念解答即可. 【详解】已知集合，，则. 2. 一组数据2，5，6，7，8，9，9，10，16的40百分位数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【详解】由题可得这组数据共有个数，，不是整数，所以取， 又这组数据的第个数为，所以这组数据的百分位数是. 3. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以，所以. 4. 已知数列满足，且，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 50 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知，数列是公差为的等差数列，则. 5. 已知双曲线的离心率为，则C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为双曲线的离心率为，所以， 又双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为：. 6. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先代入验证充分性，再利用向量平行的坐标交叉相乘相等的条件解方程，得到平行的全部参数解，进而判断必要性不成立． 【详解】充分性：若，则，， 满足，即成立，所以“”可推出“”，即充分性成立， 必要性：由，得，解得或， 所以“”无法推出“”，即必要性不成立， 综上“”是“”的充分不必要条件 7. 一个圆台的上、下底面半径之比为1∶4，半径为2的球与该圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据球与圆台内切的性质，得到母线与半径之间的关系，以及圆台高的大小，通过联立解得圆台上下底面半径大小，通过圆台体积公式即可求解. 【详解】如图，为上底面圆半径，为下底面半径，且为圆台一条母线，，分别为上下底面圆圆心， 因为半径为2的球与圆台的上、下底面相切，因此，即圆台高， 又因为球与圆台侧面相切，圆台的轴截面是等腰梯形，球的轴截面是梯形的内切圆， 故根据等腰梯形内切圆条件有， 又且，所以，解得，， 又，因此圆台的体积为. 8. 对于非空集合，记，集合A中整数的个数为s，则（ ） A. 当l确定时，s唯一确定 B. s和l具有函数关系 C. s和l具有函数关系 D. s和l不具有函数关系 【答案】D 【解析】 【分析】结合函数的定义，通过构造反例验证同一l对应不同s、同一s对应不同l，判断两者是否存在函数关系. 【详解】选项A：取，构造两个符合条件的闭区间：区间， 区间内整数为0、1，故； 区间，区间内整数为1，故， 可见确定时，的取值不唯一，因此A错误； 分析选项B：由上述例子，同一对应和两个不同值， 不满足“任意对应唯一”的函数要求， 因此与不构成的函数关系，B错误； 分析选项C：取，构造两个符合条件的闭区间：区间， 区间内整数为0、1，故，此时； 区间，区间内整数为1、2，故，此时， 可见确定时，的取值不唯一，不满足“任意对应唯一”的函数要求， 因此与不构成的函数关系，C错误； 综上，与之间无论以哪一个为自变量，均不满足函数的定义， 因此两者不具有函数关系，D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 在区间单调递增 B. 的图象关于点中心对称 C. 在区间上的值域为 D. 当是偶函数时，的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】结合余弦函数的图像与基本公式，逐一验证每个选项的正误即可． 【详解】对于A，当时，， 又函数在上单调递增， 故在上单调递增，A正确； 对于B，，故不是对称中心，B错误； 对于C，当时，令，则， 又函数在上的值域为， 故在上的值域为，C正确； 对于D，因为为偶函数， 则对任意，，即， 故，解得， 又，故当时，取最小值，D错误． 10. 已知过原点的直线与函数的图象交于两点，分别过点作y轴的平行线与函数的图象交于两点，则（ ） A. B. 直线过点 C. 当点的横坐标为2时， D. 当时，点的横坐标为 【答案】BCD 【解析】 【分析】作出图象，设 ，求出直线、的斜率即可判断A；根据对数的运算性质及斜率公式可得，即可判断B；由，求出的坐标，再求出的值，即可判断C；由题意可得，从而得，，由，求得，即可判断D. 【详解】由题意画出图象，如下图所示： 对于A，设 ， 则 则， ， 所以不成立，故A错误； 对于B，因为，， 因为直线过原点， 所以，， 由，可得， 即，所以直线过点，故B正确； 对于C，当时，，，， 所以，即， 所以，得或， 当时，与重合，不满足题意，故舍去； 当时，，所以，故C正确； 对于D，因为轴，其斜率不存在， 当时，则， 所以，即， 所以，，所以 由，得， 从而得，解得， 即点的横坐标为，故D正确. 11. 已知正四面体的棱长为，平面内的点满足．设点到侧棱，，的距离分别为，，．则（ ） A. 平面 B. 该正四面体外接球的表面积为 C. 满足的点有且仅有个 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】设为的中心.以为原点，方向为轴正方向，在平面内建立轴，方向为轴正方向，设，则.对于A，利用线面垂直的性质即可；对于B，设外接球球心，利用解得，从而可得外接球半径，即可求表面积；对于C，利用向量法求出，结合可得，联立即可求点坐标；对于D，利用向量法求出，再对进行转换即可. 【详解】设为的中心.由正四面体的性质，平面. ，. 以为原点，方向为轴正方向，在平面内建立轴，方向为轴正方向， 则，，，. 设，则，即. 对于A，，而平面，故不垂直于平面.故A错误； 对于B，由对称性，外接球球心在直线上.设， 则，，所以，解得. 所以，则该正四面体外接球的表面积为，故B正确； 对于C，由，，， 则，. 由得，则. 又，所以. 所以，联立，得或，故C正确； 对于D，， 因为， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的二项展开式中的常数项为________． 【答案】 【解析】 【分析】先写出二项展开式的通项公式，化简的指数，令指数为解出的值，再代入通项计算系数得到常数项． 【详解】的二项展开式通项为， 令，得， 所以． 13. 若圆在点处的切线也是曲线的切线，则___________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】先求出圆在指定点处的切线方程，再根据曲线的导数与切线斜率的关系确定切点坐标，代入切线方程即可求得参数的值. 【详解】将点代入圆的方程， 左边，与右边相等，故该点为圆上的切点， 圆的圆心为，连接圆心与切点的半径斜率为， 由于圆的切线与过切点的半径垂直，故切线斜率满足， 代入得，解得， 由直线的点斜式，过点、斜率为2的切线方程为，整理得， 对曲线求导，得（）， 设切线与曲线的切点为，其中， 由于切线斜率为2，故曲线在切点处的导数值等于切线斜率，即，解得， 将代入曲线方程，得切点纵坐标为，即切点为， 由于切点在切线上，将其代入切线方程，得. 14. 已知正八面体的棱长为1．设点到的各顶点的距离相等，直线经过的一个顶点及点．将绕着旋转得到几何体，则与重合部分的体积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】把旋转轴设为轴、中心设为原点建立空间直角坐标系，将两个几何体分别写成不等式；固定高度，体积问题化为同一高度上两个正方形截面的公共面积问题；公共面积随高度按平方规律缩小，重合体恰为上下两个四棱锥，直接用棱锥体积公式. 【详解】设正八面体的中心为原点，旋转轴为轴， 设中心到顶点的距离为，相邻两顶点如与之间的距离就是棱长1，故， 六个顶点为、、，于是， 对满足的任意高度，记， 则在该高度上的截面为，是一个对角线落在坐标轴上的正方形，对角线长为. 把截面内的点绕轴旋转，得、，令其满足，即， 利用恒等式，化简得，这是一个边平行于坐标轴的正方形，边长为. 两个截面正方形的中心重合，半对角线都等于（旋转后正方形的半对角线为），即二者同外接圆、边长相等、相对旋转45°. 截面 不等式 形状 关键尺寸 的截面 对角线在坐标轴上的正方形 对角线，半对角线 Ω ′ 的截面 边平行于坐标轴的正方形 边长，半对角线 公共部分为正八边形，利用四个象限对称，只算第一象限再乘4，第一象限内的约束为， 即从边长为的正方形中截去一个等腰直角三角形， 小正方形面积为，截去三角形的直角边长为，截去三角形面积：， 于是第一象限的公共面积为，整个截面上的公共面积为， 关于是二次函数，且在处取最大值，这说明公共几何体是由处截面作底面、顶点在的上下两个四棱锥拼成， 底面面积（时），， 每个棱锥的高，故. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角，，的对边分别为，，．已知，，． （1）求，； （2）求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理求解即可； （2）结合（1）利用余弦定理求得，从而得，再求出的值，根据两角差的余弦公式展开即可. 【小问1详解】 因为，所以， 由余弦定理可得， 即， 又因为，所以， 所以； 【小问2详解】 由（1）和已知，， 所以， 所以， 所以，， 又因为， 所以 . 16. 一个不透明的盒子中装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．先从盒中一次随机摸出2个球（不放回），若这2个球的颜色相同，则再从盒中随机摸出1个球，摸球结束；若这2个球的颜色不同，则不再摸球，摸球结束．用随机变量表示摸出的红球数． （1）求先摸出的2个球的颜色不同的概率； （2）求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2） 0 1 2 【解析】 【分析】（1）利用古典概型概率公式计算即可； （2）的所有可能取值为0，1，2，分别分析所有可能，计算出相应概率，即可得到分布列，从而计算出数学期望． 【小问1详解】 记事件为先摸出的两个球颜色不同，则． 【小问2详解】 的所有可能取值为0，1，2， 时，前两个均为白球，第三个仍为白球，故， 时，前两个颜色不同，或前两个均为白球，第三个为红球，两种情况互斥， 故， 时，前两个均为红球，第三个只能为白球，故， 因此的分布列为 0 1 2 ． 17. 设抛物线的焦点为F，过点作C的两条切线，切点分别为A，B． （1）求直线截C所得的弦长； （2）证明：． 【答案】（1）40 （2）切线过点，故设切线方程为， 将切线与联立得，即， 由得：，即，解得， 所以将代入，得，解得，即B的纵坐标为，计算得B的坐标为，所以，结合， 可得： ， 同理，将代入，得，解得，即A，所以AF的倾斜角为， 所以， 所以，又因为，所以. 【解析】 【分析】（1）由弦长公式求解； （2）先求切点坐标，再求切线斜率，再根据正切的诱导公式及两角差公式证明. 【小问1详解】 抛物线的焦点为F，，所以焦点F坐标为， 设直线与抛物线交于两点，设两点坐标分别为， 计算直线的斜率：，所以直线的方程为， 即，联立，得：，化简得：， 由韦达定理得：，，所以， 再根据弦长公式：. 【小问2详解】 略 18. 已知数列的各项均为正整数，，，，，．记数列的前n项和为． （1）若，直接写出数列的前4项的所有可能情况； （2）若，求； （3）若，证明：． 【答案】（1）或或或 （2） （3）若，则，， 因为，所以为奇数时，；为偶数时，； 若为奇数，则为偶数，则，得， 则； 若为偶数，则为奇数，则，得， 则； 则为偶数时， ， 则为奇数时，， 则为偶数时，，为递增数列，故； 为奇数时，， 令，则，其对称轴为，故， 故. 【解析】 【分析】（1）利用以及可写出； （2）令，根据计算； （3）根据为奇数时，；为偶数时，得出的通项公式，利用分组求和求出，再结合增减性求出范围. 【小问1详解】 因为，，，所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 因为数列的各项均为正整数，所以或， 故数列的前4项的所有可能情况有或或或； 【小问2详解】 因为，所以， 令，则，则， 若，则，则； 【小问3详解】 略 19. 已知函数的定义域为．若存在区间和，使得在区间单调递增，在区间单调递减，则称为函数，为点，为的一个区间． （1）判断是否为函数？若是，写出它的一个点；若不是，说明理由； （2）若是函数，且是它的一个区间，求t的取值范围； （3）设是函数，是它的一个区间，且存在最大值，记该最大值为． （ⅰ）当时，求的点及； （ⅱ）当时，若在区间内的点为1，求． 【答案】（1）是函数，（不唯一，符合均可）是它的一个点. 理由：存在区间和，使得在区间单调递增，在区间上单调递减. （2） （3）（i）的点是． （ii） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数性质并结合函数和点的定义即可得到答案； （2）求导后列表得到其单调区间和极值，从而得到是它的一个点，则得到不等式组，解出即可； （3）（i）根据分段函数和二次函数的性质知的单调性，从而得到其点以及的值； （ii）当时，得到分段函数表达式，再设新函数，求导后，再对分和分类讨论即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ，令 ，可得 ，列表如下： 0 极大值 所以是它的一个点，则，解得，故的取值范围为． 【小问3详解】 （i）当时，当或时，， 当时，， 则根据二次函数和分段函数性质知在区间和单调递减，在区间和单调递增， 所以的点是． （ii）当时，， 设， 则． 由在区间内的点为1可知，在区间单调递增，在区间单调递减. ①当时，在区间单调递增，且， 所以在区间单调递减，在区间单调递增， 因此； 若，则对恒成立，所以在区间单调递增，不符合题意， 因此，则在区间单调递增，且， 所以在区间单调递减，在区间单调递增， 所以． ②当时，若，则对恒成立， 所以在区间单调递减，无最大值，不符合题意， 因此，则在区间单调递增， 且， 所以在区间单调递减，在区间单调递增， 所以， 在区间单调递增，且， 所以在区间单调递减，在区间单调递增，因此． 综上可得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度第一学期高三年级期中抽测 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 一组数据2，5，6，7，8，9，9，10，16的40百分位数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 3. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足，且，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 50 5. 已知双曲线的离心率为，则C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 7. 一个圆台的上、下底面半径之比为1∶4，半径为2的球与该圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 8. 对于非空集合，记，集合A中整数的个数为s，则（ ） A. 当l确定时，s唯一确定 B. s和l具有函数关系 C. s和l具有函数关系 D. s和l不具有函数关系 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 在区间单调递增 B. 的图象关于点中心对称 C. 在区间上的值域为 D. 当是偶函数时，的最小值为 10. 已知过原点的直线与函数的图象交于两点，分别过点作y轴的平行线与函数的图象交于两点，则（ ） A. B. 直线过点 C. 当点的横坐标为2时， D. 当时，点的横坐标为 11. 已知正四面体的棱长为，平面内的点满足．设点到侧棱，，的距离分别为，，．则（ ） A. 平面 B. 该正四面体外接球的表面积为 C. 满足的点有且仅有个 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的二项展开式中的常数项为________． 13. 若圆在点处的切线也是曲线的切线，则___________． 14. 已知正八面体的棱长为1．设点到的各顶点的距离相等，直线经过的一个顶点及点．将绕着旋转得到几何体，则与重合部分的体积为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角，，的对边分别为，，．已知，，． （1）求，； （2）求． 16. 一个不透明的盒子中装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．先从盒中一次随机摸出2个球（不放回），若这2个球的颜色相同，则再从盒中随机摸出1个球，摸球结束；若这2个球的颜色不同，则不再摸球，摸球结束．用随机变量表示摸出的红球数． （1）求先摸出的2个球的颜色不同的概率； （2）求的分布列及数学期望． 17. 设抛物线的焦点为F，过点作C的两条切线，切点分别为A，B． （1）求直线截C所得的弦长； （2）证明：． 18. 已知数列的各项均为正整数，，，，，．记数列的前n项和为． （1）若，直接写出数列的前4项的所有可能情况； （2）若，求； （3）若，证明：． 19. 已知函数的定义域为．若存在区间和，使得在区间单调递增，在区间单调递减，则称为函数，为点，为的一个区间． （1）判断是否为函数？若是，写出它的一个点；若不是，说明理由； （2）若是函数，且是它的一个区间，求t的取值范围； （3）设是函数，是它的一个区间，且存在最大值，记该最大值为． （ⅰ）当时，求的点及； （ⅱ）当时，若在区间内的点为1，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $