江苏省南京师范大学附属中学2026-2027学年第一学期期中考试高三数学试题

南京师大附中2026一2027学年第一学期期中考试 高三年级数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.设集合A={x|1≤x<6},B={4,5,6,7},则A∩B=() A.{x|1≤x≤6}U{7} B.{x|1≤x<6} C.{4,5,6} D.{4,5} 2.已知向量a=（-1,2),b=(m,1),若向量a+b与a平行，则m= ( A.-司 B. C.7 D.- 3.己知样本数据4,1,2,6，x的中位数为4，第80%分位数为5， 则x=( A.3 B.4 C.5 D.6 4.记等比数列{an}的前n项和为Sn,己知S3=a2+5a1,a5=4,则a1= A. B.-1 C. D.- 5.已知正四棱台的上、下底面边长分别为2、4，侧棱长为√，则该棱台的体 积为() D D A.1 B. C.9 D.28 6. 己知tana=3tan(a-),则sin(2a-)=( A.-9 B. 2 C.- D. 7.在平面四边形ABCD中，己知AB=2,AC=2√3，AC⊥AB, ∠ADC=警，则AD.AB的最小值为( ) A.-V3 B.-2V3 C.-4 D.-2 8.函数f(x)= 2x+2,x<0 对于正实数a,定义集合 e, x≥0 Ma={x|0≤f(x)-f(x+a)<1},若满足Ma≠g,则a的取值范围为 A.(2,ln2 B.(0,引 C.(0,ln2) D.(0,1) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知复数z满足(1+)z=2i,则( A.|z=2 B.复平面内表示复数x的点位于第一 象限 C.复数z的共轭复数为z=1+1 D.复数z是方程x2+2x+2=0的一 个根 10.已知点A(1,0),以x轴非负半轴为始边作角a,B,其中0<B<α<π，它 们的终边分别与单位圆相交于点P,Q,则下列说法正确的是() A.扇形OPQ的面积为a-B B.△OAQ的面积为号sinB C.当B=时，四边形OAQP面积的D.当a= 琴时，四边形OAQP面积的 最大值为 最大值为号 1.若数列{a}满足：a=1,对任意m,n∈N,都有=去+亡成立， a 则( A.a2026=2026 B.anan+2>an+l C.存在n∈N*,使得a号+a号+…+D.对任意n∈N*,都有a1+a2+ a品+1>是 …+an>ln(n+1)+2可 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 2 12. (x-2)5的展开式中含x2项的系数为 13. 己知双曲线x2- 兰=1的左、右焦点分别为R,,过F作斜率为2的弦 AB,则△FAB的周长为 14.若存在o∈R,p∈[-元，π]，使得sinx之cos(@x+p)对任意x∈R恒成立， 则o的取值集合为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 15.(本小题满分13分)已知在梯形ABCD中，AB‖CD,AB=4, CD=2,AD=3,∠DAB=3 T H (1)求AC的长： (2)求sin∠ABC的值. 16.(本小题满分15分)已知直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A、B两点， OD⊥AB,交AB于点D(2,1). B (1)求直线AB的方程； (2)若OA⊥OB,求△OAB的面积. 17.(本小题满分15分)南京市是首批国家历史文化名城，中华文明的重要发 祥地，每年都有大量游客来南京参观旅游.为了合理配置旅游资源，文旅 部门对到南京钟山风景区的游客进行了问卷调查.据统计，其中二的人选 择只游览中山陵，另外3的人选择既游览中山陵又游览明孝陵。每位游客 若只游览中山陵，可集得1枚印章：若既游览中山陵又游览明孝陵，可集得 2枚印章.假设游客之间的选择意愿相互独立，视频率为概率 (1)从游客中随机抽取2人，记这2人集章的总数为X,求X的分布列和数学 期望； (2)从游客中随机抽取n个人(n∈N*),记这n个人集章的总数恰为m+1 的概率为pn,求∑p:. =1 18.(本小题满分17分)如图，四边形ABEF是边长为2的正方形，四边形 ABCD是梯形，AD∥BC,AB⊥AD,M是BC上的点，且AD=BM=2, 平面ABEF⊥平面ABCD. M (1)证明：E,F,D,M四点共面： (2)设BC=6,且点A,B,M,F均在球O的球面上. ()求点O到平面CDF的距离： (i)记P为球面上到点C距离最小的点，求直线AP与平面CDF所成角的正弦 值 19.(本小题满分17分)已知函数f(x)=n工，其中m>0. m (1)过点A(0,-1)作曲线y=f(x)的切线，切点记为B,记O为坐标原点，求 AO.AB的值： (2)若f(x)+√2-x2≤0，求m的最小值： (3)若曲线y=f(x)经过点C(V2cosa,√2sina),D(√2cosB,√2sin), 其中a,B∈(-2,0)，求证：CD的斜率大于1.