精品解析：河北保定市多校2026-2027学年九年级上学期期中数学试题

九年级数学练习题 一、单选题（36分，每题3分） 1. 某校为了解同学们课外阅读名著的情况，在某年级随机抽查了20名同学每学期的课外阅读名著的情况，调查结果如表所示： 课外名著阅读量(本) 0 1 2 3 4 5 学生数 1 4 5 4 4 2 关于这20名同学课外阅读名著的情况，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是2.5，众数是4 B. 众数是2，平均数是2.5 C. 中位数是3.5，众数是2 D. 中位数是2.5，平均数是2.6 2. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. ，且 D. ，且 5. 如图，正方形是由3个全等的正方形和3个全等的矩形拼接而成，且矩形的对角线与长边的夹角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 7. 公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德发现了杠杆平衡，如图1，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“动力动力臂阻力阻力臂”．如图2，若某科学实验小组成员设计了一套杠杆，其阻力和阻力臂不变，分别为1000N和0.5m，则下列说法错误的是（ ） A. 动力和动力臂之间的大致图象可以用图3表示 B. 当动力臂为2m时，撬动石头需要的力量为250N C. 若想使动力不超过题中所用阻力的一半，则动力臂要比阻力臂长至少1m D. 利用此杠杆时，动力臂越长越省力 8. 在统计学中经常用一组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况．如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），中间箱体的底端是下四分位数，箱体中部的“×”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（ ） A. 一班成绩比二班成绩集中 B. 一班成绩的上四分位数是80 C. 一班有同学的成绩超过140分 D. 一班的平均分高于二班的平均分 9. 我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图．大正方形的面积是．同时它又等于四个长方形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，所以．则在下面四个构图中，能正确说明方程：的解法的构图是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，是反比例函数的图象上的三个点，且，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 11. 如图是三角形玻璃损坏后剩余的部分，依据图中数据，则的长为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，小明利用手机软件画图，在平面直角坐标系中，对正方形画布进行以O为中心的位似变换，缩放为原来的，然后平移，得到正方形画布．已知，，，，若正方形画布内部的一点F经过上述操作后得到的对应点与点F重合，则点F的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（12分，每题3分） 13. 在中，若，则__________． 14. 如图，已知，，，________． 15. 如图的顶点，，，若反比例函数的图象与的边（含顶点）有公共点，则的整数值共有__________个． 16. 汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面之间的距离为1.4，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点A，F分别在上，点C，D在上，则汽车盲区的长度为________． 三、解答题（72分） 17. 解一元二次方程时，嘉嘉同学采用因式分解法，解法如图所示． （1）解题步骤从第________步开始出错（写序号）； （2）请你用另一种方法解方程：． 18. 【项目背景】 数学文化有利于激发学生数学兴趣，数学不仅是工具学科，更承载着人类文明发展史． 从《九章算术》的智慧到笛卡尔坐标系的诞生，数学文化中蕴含的逻辑之美、创新精神与人文价值亟待被挖掘． 【数据搜集与整理】 某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97． 八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 87 b 八年级 86 a 90 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； 【数据分析与运用】 （2）请计算扇形统计图中“B组”所在扇形的圆心角的度数； （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （4）该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人． 估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？ 19. 为了提高学生对“非遗文化”的了解，某地区甲、乙两个学校举行了“非遗文化”知识竞赛，决赛阶段，甲、乙两个学校各选出了名同学参加，他们的测试成绩如下： 甲校：，，，，，，，，，． 乙校：，，，，，，，，，． （1）求甲校测试成绩的四分位数； （2）根据四分位数可绘制出箱线图，如图，结合图中乙校的箱线图，请在该图中绘制出甲校的箱线图； （3）根据箱线图和对四分位数的理解，选择一个角度谈谈对甲乙两个学校测试成绩的看法． 20. 如图，在中，点是的边上的一点． （1）请判断三人的说法的对错，小星_______，小红_______，小亮_______．（填“对”或“错”） （2）选择一种正确的方法，求证：； （3）在（）的条件下，，若，，直接写出的长． 21. 已知一个一次函数的图象与一个反比例函数的图象交于点，． （1）分别求出这两个函数的表达式； （2）在同一个平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，根据图象回答：当取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ （3）设直线与轴交于点，若为轴上一点，当的面积为时，求点的坐标． 22. 根据下表素材，解决实际问题． 背景 邢窑白瓷是邢台标志性非遗文化产品，那富文创茶具走红市场，某平台商家抓住热度开展系列销售活动，希望通过科学的数据分析与策略制定，实现销量与利润的双重提升． 素材1 该网络平台商家3月4日首批上架销售那富文创茶具共200套，凭借非遗IP热度，5日，6日销售量持续增长，6日销量达到338套． 素材2 经成本核算，文创茶具每套生产成本为30元，前期市场调研显示，当售价为每套60元时，销量稳定可达100套． 素材3 为推广邢台邢窑文化，商家计划推出降价优惠活动，并且认为小范围试点发现每降价1元，当日销量可相应增加10套． 基于上述材料，完成以下任务 （1）任务一：计算3月5日、6日这两天文创茶具销售量的日平均增长率． （2）任务二：当每套文创茶具降价多少元时，当日销售总利润可达到3640元？ 23. 在古代寓言中有匡衡“凿壁偷光”勤奋学习的故事．现在墙壁上设计一个小洞，如图所示，最低点C距离地面1米，洞口直径厘米．当光照进屋内，有一条长0.35米的光斑．． （1）求的大小及的值； （2）在实际操作时，为使透光面增大一些，将小洞最高点B向上移了10厘米到达F处（即厘米），隔壁灯光光线与墙壁所在直线的夹角（锐角）的正切值为，求透光长度比原来增大多少？ 24. 如图，在矩形中，，，点从点出发在折线上以每秒的速度移动，过点作于点，并交或于点，以为边在的右侧作正方形．设点的运动时间为秒，正方形的边长为． （1）当点与点重合时，求的值； （2）当为何值时，点落在上； （3）求在什么范围内，的值不随的变化而变化，并求此时的值； （4）直接写出射线将正方形分成面积比为两部分图形时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学练习题 一、单选题（36分，每题3分） 1. 某校为了解同学们课外阅读名著的情况，在某年级随机抽查了20名同学每学期的课外阅读名著的情况，调查结果如表所示： 课外名著阅读量(本) 0 1 2 3 4 5 学生数 1 4 5 4 4 2 关于这20名同学课外阅读名著的情况，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是2.5，众数是4 B. 众数是2，平均数是2.5 C. 中位数是3.5，众数是2 D. 中位数是2.5，平均数是2.6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、平均数，先把本数按从小到大的顺序排列，位于中间位置的数分别是，求出中位数，结合平均数的公式进行列式计算，得出平均数，再根据课外名著阅读量为本的人数最多，且为5个人，即可作答． 【详解】解：把这20名同学课外阅读名著的本数按从小到大的顺序排列，位于中间位置的数分别是， 则中位数是 平均数是； 则课外名著阅读量为本的人数最多，且为5个人， ∴众数是2； 故选D． 2. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据比例的性质，将各选项变形即可得到正确结论． 【详解】解：A．由可得，2y=3x，不合题意； B．由可得，2y=3x，不合题意； C．由可得，3y=2x，符合题意； D．由可得，3x=2y，不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，解决问题的关键是掌握：内项之积等于外项之积． 3. 若，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， ， ， 故选：． 4. 下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. ，且 D. ，且 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定规则逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：∵选项A中，符合两角分别相等的判定规则，∴A可以判定 ； ∵选项B中，符合三边成比例的判定规则，∴B可以判定； ∵选项C中，且相等角是两组比例边的夹角，符合两边成比例且夹角相等的判定规则，∴C可以判定； ∵选项D中，相等的角不是这两组成比例的边的夹角，不满足相似三角形的判定规则，∴D不能判定． 5. 如图，正方形是由3个全等的正方形和3个全等的矩形拼接而成，且矩形的对角线与长边的夹角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理、矩形的性质、求正弦等知识．设矩形的长为，宽为，则正方形的边长为，根据正方形的边长求出,用勾股定理求出矩形的对角线长，根据正弦的定义进行求解即可． 【详解】解：设矩形的长为，宽为，则正方形的边长为， 由题意可知，, ∴, ∴矩形的对角线长为， ∴， 故选：A 6. 在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为，且代入后得， ∴，解得， ，解得， 对比根号内的项，得 ， 将代入，得， ∴原方程为． 7. 公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德发现了杠杆平衡，如图1，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“动力动力臂阻力阻力臂”．如图2，若某科学实验小组成员设计了一套杠杆，其阻力和阻力臂不变，分别为1000N和0.5m，则下列说法错误的是（ ） A. 动力和动力臂之间的大致图象可以用图3表示 B. 当动力臂为2m时，撬动石头需要的力量为250N C. 若想使动力不超过题中所用阻力的一半，则动力臂要比阻力臂长至少1m D. 利用此杠杆时，动力臂越长越省力 【答案】C 【解析】 【分析】根据杠杆原理公式，代入已知的阻力和阻力臂的数值，推导得到关于​的函数表达式，明确函数类型与自变量取值范围． A选项，将推导得到的函数特征和图3的图象特征对比，验证是否一致．B选项，把给定的动力臂数值代入函数表达式，计算对应的动力​．C选项，先确定阻力一半的数值，将其作为​的上限代入函数，求解对应的动力臂最小值，再计算动力臂与阻力臂的差值．D选项，根据反比例函数的增减性，判断动力随动力臂变化的趋势． 【详解】对于A，∵，阻力和阻力臂不变， ∴， 即动力与动力臂成反比例函数关系， 此说法正确，不符合题意； 对于B，由图象知，反比例函数的解析式为， 当动力臂时， 撬动石头需要的力量． 此说法正确，不符合题意； 对于C，当时，，， ∴若动力不超过阻力1000N的一半，则动力臂要比阻力臂长至少0.5． 此说法错误，符合题意； 对于D，设动力与动力臂的函数关系式为． 根据反比例函数的性质可知，动力随动力臂的增大而减小， ∴动力臂越长越省力， 此说法正确，不符合题意． 综上，故选C． 8. 在统计学中经常用一组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况．如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），中间箱体的底端是下四分位数，箱体中部的“×”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（ ） A. 一班成绩比二班成绩集中 B. 一班成绩的上四分位数是80 C. 一班有同学的成绩超过140分 D. 一班的平均分高于二班的平均分 【答案】C 【解析】 【分析】对比两班箱线图的箱体长度和整体数据跨度，可判断成绩集中程度，再根据箱线图的相关定义依次判断即可． 【详解】解：选项A：由图2可知，一班成绩的极差（最大值减最小值）更大，成绩分布更分散，二班成绩更集中， 因此A错误； 选项B：一班箱体顶端在100分上方，80分是一班箱体底端（第一四分位数）， 因此B错误； 选项C：一班存在一个异常值点在140分刻度上方，说明一班有同学成绩超过140分， 因此C正确； 选项D：由图可知，一班平均值低于100分，二班平均值高于100分，一班平均分低于二班， 因此D错误． 9. 我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图．大正方形的面积是．同时它又等于四个长方形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，所以．则在下面四个构图中，能正确说明方程：的解法的构图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】仿照题中所给一元二次方程的几何解法构造图形，通过方程变形确定大正方形的面积表达式，进而求解方程的正根，以此判断正确的构图． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小长方形的面积为，中间的小正方形的面积为， ∴大正方形的面积又可以表示为， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴正确的构图是B选项中的图形． 10. 已知，，是反比例函数的图象上的三个点，且，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】反比例函数 中 ，即 ，函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内 y 随 x 的增大而减小，根据 ，可知点位于不同象限，因此 ，而 ，，且由 可得 ，从而比较大小． 本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ 函数 在第一、三象限内 y 随 x 增大而减小； ∵ ， ∴ ； ∵ ，，且 ， ∴ ，，且 ； 又 ∵ ，， ∴ ． 故选：D． 11. 如图是三角形玻璃损坏后剩余的部分，依据图中数据，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，构造直角三角形，准确理解相关概念是解题的关键．延长三角形玻璃破损的两条边，交于点C，过点A作于点D，先在中，求出的长度，再在中，求出的长度． 【详解】解：如图，延长三角形玻璃破损的两条边，交于点C，过点A作于点D， ∵， ∴， 在中， ∵，，， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，，， ∴． 故选：C． 12. 如图，小明利用手机软件画图，在平面直角坐标系中，对正方形画布进行以O为中心的位似变换，缩放为原来的，然后平移，得到正方形画布．已知，，，，若正方形画布内部的一点F经过上述操作后得到的对应点与点F重合，则点F的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设先向右平移m个单位，再向上平移n个单位，首先根据点A到，B到的点的坐标可得方程组，，即可求出 、的值， 设点的坐标为， 点与点重合可列出方程组，再解可得点坐标． 【详解】解：设先向右平移m个单位，再向上平移n个单位， 由点A到可得方程组， 由B到可得方程组， 解得， 设点的坐标为， 点与点重合得到方程组， 解得 ， 即． 二、填空题（12分，每题3分） 13. 在中，若，则__________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】根据非负性和特殊角的三角函数值，求出的值，三角形的内角和求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 14. 如图，已知，，，________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：4． 15. 如图的顶点，，，若反比例函数的图象与的边（含顶点）有公共点，则的整数值共有__________个． 【答案】9 【解析】 【分析】分别计算出当反比例函数经过点A，B，C时相应的k值，进而通过勾股定理逆定理证明是直角三角形，即可得到反比例函数经过点C时k的值最大，经过点B时k的值最小，进而即可求解． 【详解】解：当反比例函数经过点A时， 解得； 当反比例函数经过点B时， 解得； 当反比例函数经过点C时， 解得； 由题意得，，，， ∴, ∴是直角三角形， ∴反比例函数经过点C时k的值最大，经过点B时k的值最小， ∴， ∴的整数值为，共9个． 16. 汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面之间的距离为1.4，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点A，F分别在上，点C，D在上，则汽车盲区的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点P作于点N，交AF于点，根据求解即可． 本题考查了相似三角形的实际应用，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用相似三角形的性质解决问题． 【详解】解：如图，过点P作于点N，交于点， ，， ， ∵矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ∴， ， ， 答：汽车盲区的长度为， 故答案为：． 三、解答题（72分） 17. 解一元二次方程时，嘉嘉同学采用因式分解法，解法如图所示． （1）解题步骤从第________步开始出错（写序号）； （2）请你用另一种方法解方程：． 【答案】（1）③ （2） 【解析】 【分析】（1）对每一步进行判断，即可判断出错误发生在第三步； （2）将原方程整理为一元二次方程的一般形式，然后利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 即， 解得， 故错误在第③步； 【小问2详解】 解：原方程可化为， ， ∴， 即． 18. 【项目背景】 数学文化有利于激发学生数学兴趣，数学不仅是工具学科，更承载着人类文明发展史． 从《九章算术》的智慧到笛卡尔坐标系的诞生，数学文化中蕴含的逻辑之美、创新精神与人文价值亟待被挖掘． 【数据搜集与整理】 某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97． 八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 87 b 八年级 86 a 90 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； 【数据分析与运用】 （2）请计算扇形统计图中“B组”所在扇形的圆心角的度数； （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （4）该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人． 估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？ 【答案】（1），， （2） （3） 八年级学生数学文化知识较好， 理由：因为八年级学生成绩的中位数和众数比七年级的高，所以八年级学生数学文化知识较好； （4）人 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、求扇形圆心角度数、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据中位数和众数的定义计算即可得解； （2）用乘以“B组”所占的比例计算即可得解； （3）根据中位数和众数分析即可得解； （4）由样本估计总体的计算方法列式计算即可得解． 【小问1详解】 解：八年级组的人数为人，而八年级组有人，则把八年级名学生的成绩按照从低到高排列，处在第5名和第6名的成绩分别为分，分， ∴八年级学生成绩的中位数， ∵七年级10名学生成绩中，得分为分的人数最多， ∴七年级的众数， 由题意可得：， ∴； 故答案为：，， 【小问2详解】 解：扇形统计图中“B组”所在扇形的圆心角的度数为； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有640人． 19. 为了提高学生对“非遗文化”的了解，某地区甲、乙两个学校举行了“非遗文化”知识竞赛，决赛阶段，甲、乙两个学校各选出了名同学参加，他们的测试成绩如下： 甲校：，，，，，，，，，． 乙校：，，，，，，，，，． （1）求甲校测试成绩的四分位数； （2）根据四分位数可绘制出箱线图，如图，结合图中乙校的箱线图，请在该图中绘制出甲校的箱线图； （3）根据箱线图和对四分位数的理解，选择一个角度谈谈对甲乙两个学校测试成绩的看法． 【答案】（1），， （2）如图所示即为所作， （3）根据箱线图和四分位数可知，甲组成绩和乙组成绩的中位数相等，说明两组的中间水平相当，都有一半成员成绩不低于分；甲组箱体明显比乙组的长，说明甲组成绩比较分散，波动大，乙组的成绩比较集中，波动小． 【解析】 【分析】（1）先对甲校测试成绩数据从小到大排序，再根据四分位数的计算规则进行求解； （2）先求得甲校测试成绩中最大值和最小值，再结合（1）中四分位数画图即可； （3）根据箱线图的特点和四分位数的意义解答即可． 【小问1详解】 解法一： 甲校成绩从小到大排列为，，，，，，，，，， 第一四分位数为前个数据的中位数， 第一四分位数为． 第二四分位数为个数据的中位数， 第二四分位数为． 第三四分位数为后个数据的中位数， 第三四分位数为． 解法二： 甲校成绩从小到大排列为，，，，，，，，，， ， 第一四分位数为第个数，即． ， 第二四分位数为第个数与第个数的平均数，即． ， 第三四分位数为第个数，即． 【小问2详解】 解：由甲校数据知，最小值为60，最在值为100，结合（1）的数据即可画图； 【小问3详解】 略． 20. 如图，在中，点是的边上的一点． （1）请判断三人的说法的对错，小星_______，小红_______，小亮_______．（填“对”或“错”） （2）选择一种正确的方法，求证：； （3）在（）的条件下，，若，，直接写出的长． 【答案】（1）对，对，错 （2） 证明：选小星说法， ∵，， ∴； 选小红说法， ∵，， ∴； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （）根据相似三角形的判定方法即可求证； （）利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星说法对；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的说法对；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的说法错； 故答案为：对，对，错； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 已知一个一次函数的图象与一个反比例函数的图象交于点，． （1）分别求出这两个函数的表达式； （2）在同一个平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，根据图象回答：当取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ （3）设直线与轴交于点，若为轴上一点，当的面积为时，求点的坐标． 【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为； （2） 画图如图， 根据图象可知：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值； （3）或． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）先根据画函数图象的方法画出图象，然后由图象即可求出的取值范围； （）由一次函数的表达式为得，当时，，则，设，所以，然后通过，求出的值即可． 【小问1详解】 解：设一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴， 解得：，， ∴反比例函数的表达式为，， ∵一次函数的图象过点，， ∴，解得：， ∴一次函数的表达式为， 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：由一次函数的表达式为得，当时，， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：或， ∴或． 22. 根据下表素材，解决实际问题． 背景 邢窑白瓷是邢台标志性非遗文化产品，那富文创茶具走红市场，某平台商家抓住热度开展系列销售活动，希望通过科学的数据分析与策略制定，实现销量与利润的双重提升． 素材1 该网络平台商家3月4日首批上架销售那富文创茶具共200套，凭借非遗IP热度，5日，6日销售量持续增长，6日销量达到338套． 素材2 经成本核算，文创茶具每套生产成本为30元，前期市场调研显示，当售价为每套60元时，销量稳定可达100套． 素材3 为推广邢台邢窑文化，商家计划推出降价优惠活动，并且认为小范围试点发现每降价1元，当日销量可相应增加10套． 基于上述材料，完成以下任务 （1）任务一：计算3月5日、6日这两天文创茶具销售量的日平均增长率． （2）任务二：当每套文创茶具降价多少元时，当日销售总利润可达到3640元？ 【答案】（1）3月5日、6日这两天文创茶具销售量的日平均增长率为． （2）当每套文创茶具降价4元或16元时，当日销售总利润可达到3640元． 【解析】 【分析】（1）设日平均增长率为未知数，根据初始销量与两天后销量的等量关系列方程求解． （2）设降价金额为未知数，用含未知数的式子表示单件利润与日销量，根据总利润的等量关系列方程求解． 【小问1详解】 解：设这两天文创茶具销售量的日平均增长率为． ∵3月4日销量为200套，经过2天增长后6日销量为338套． ∴．整理得． 解得，(不符合题意，舍去)． 答：3月5日、6日这两天销售量的日平均增长率为． 【小问2详解】 解：设每套文创茶具降价元时，当日销售总利润达到3640元． ∵每套成本30元，原售价60元，每降价1元日销量增加10套，原日销量100套． ∴单件利润为元，日销量为套． 由总利润=单件利润×日销量，得． 整理得． 解得，． 经检验，两个解均符合实际意义． 答：当每套文创茶具降价4元或16元时，当日销售总利润可达到3640元． 23. 在古代寓言中有匡衡“凿壁偷光”勤奋学习的故事．现在墙壁上设计一个小洞，如图所示，最低点C距离地面1米，洞口直径厘米．当光照进屋内，有一条长0.35米的光斑．． （1）求的大小及的值； （2）在实际操作时，为使透光面增大一些，将小洞最高点B向上移了10厘米到达F处（即厘米），隔壁灯光光线与墙壁所在直线的夹角（锐角）的正切值为，求透光长度比原来增大多少？ 【答案】（1），米 （2）透光长度比原来增大了0.7米 【解析】 【分析】（1）根据即可求出的值，进而可得，即可得的大小； （2）连接并延长交的延长线于点G，根据求出的值，再根据即可得解． 【小问1详解】 解：∵，米， ∴， ∴米， ∴米， ∵厘米米， ∴米， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接并延长交的延长线于点G， ∵厘米米， ∴米， 根据题意，得， ∴（米）， ∴（米）， 即透光长度比原来增大了0.7米． 【点睛】解题的关键是掌握三角函数的定义及理解题意． 24. 如图，在矩形中，，，点从点出发在折线上以每秒的速度移动，过点作于点，并交或于点，以为边在的右侧作正方形．设点的运动时间为秒，正方形的边长为． （1）当点与点重合时，求的值； （2）当为何值时，点落在上； （3）求在什么范围内，的值不随的变化而变化，并求此时的值； （4）直接写出射线将正方形分成面积比为两部分图形时的值． 【答案】（1） （2）当时，点落在上 （3）当时，y不随x的变化而变化，此时 （4）或 【解析】 【分析】（1）证明得到，求得，再利用勾股定理求解即可； （2）证明，得到，，再证明得到，即，进而求得即可求解； （3）分M在上和M在上两种情况，利用相似三角形和勾股定理，结合一次函数的性质求解即可； （4）当M在上时，由题意，当射线将正方形分成面积比为两部分时，或，再分两种情况，利用勾股定理和平行线分线段成比例求解即可；可以证明当M在上时的情况不存在． 【小问1详解】 解：当点与点重合时，， 由题意，， ∴，又， ∴ ∴，即，则， ∴， 即； 【小问2详解】 解：当点Q在上时，如图， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴，， ∵ ∴，又 ∴ ∴，即， ∴，即， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：分两种情况： 当M在上时，如图，此时， ∵， ∴，又， ∴ ∴，即，则， ∵，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大； 当M在上时，如图，此时，过M作于E，则，， ∵， ∴， ∴ ∴，即，则， ∴， ∴， ∴当时，y不随x的变化而变化， 综上，当时，y不随x的变化而变化，此时； 【小问4详解】 解：如图，当M在上时，由题意，当射线将正方形分成面积比为两部分时，或， ∵， ∴， 当时，， ∵， ∴， 由（3）知，，则， ， 由得； 当时，， ∴，， ， 由得； 同理，当M在上时，如图， ∵， ∴当射线将正方形分成面积比为两部分时，， 由（3）中知，则， ∵， ∴， ∴，即，则方程不成立， 综上，满足条件的x值为或． 【点睛】本题是特殊四边形和相似三角形的动点问题的综合题型，涉及正方形和矩形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、勾股定理、全等三角形的判定与性质、一次函数的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，尤其是相似三角形的判定与性质是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $