精品解析：安徽省萧县中学2026-2027学年高三年级第一学期期中考试数学试题

高三年级第一学期期中考试 数学试题 分值：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 若 ， 且 ， 则 和 的夹角是（ ） A. B. C. D. 4. 设“”，“”，则是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的最小正周期为π，且关于中心对称，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在锐角中，角的对边分别为为的面积，且，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 8. 定理：如果函数及满足：①图像在闭区间上连续不断；②在开区间内可导；③对，，那么在内至少存在一点，满足成立，该定理称为柯西中值定理．请利用该定理解决下面问题： 已知，若存在正数，（），满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则的最大值为 B. 若，则 C. 若，则的最大值为9 D. 若，则的最大值是 10. 对，，定义若函数，则下列四个结论中正确的有（ ） A. 是以为周期的函数 B. 当且仅当时，取得最小值 C. 图象的对称轴为直线 D. 当且仅当时， 11. 已知函数，，点分别在函数的的图象上，O为坐标原点，则下列命题正确的是（ ） A. 若关于x的方程在上无解，则 B. 存在关于直线对称 C. 若存在关于y轴对称，则 D. 若存在满足，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知实数，，满足且，则________． 13. 法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名.对而言，若其内部的点满足，则称为的费马点.如图所示，在中，已知，设为的费马点，且满足，.则的外接圆直径长为______. 14. 三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数（其中，）的图象恰如其形，因而得名三叉戟函数.已知三叉戟函数的图象经过点，且满足.若，都有恒成立，则实数m的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 16. 已知在中，. （1）判断的形状，并说明理由; （2）若点在边上，且.若，求的面积. 17. 已知函数的周期为，且. （1）求的单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求的值域. 18. 如图所示，在中，在线段上，满足是线段的中点． （1）延长交于点（如图1），若，求的值； （2）过点的直线与边，分别交于点，（如图2），设，． （i）求证：为定值； （ii）设的面积为的面积为，求的最小值． 19. 设函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若是增函数，求a的取值范围； （3）当时，设为的极小值点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级第一学期期中考试 数学试题 分值：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图可得阴影部分表示的集合为，利用补集运算求出，由交集运算求出． 【详解】由图知所求阴影部分的集合为， ，， 又， ． 故选：D． 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法法则和共轭复数的概念即可求解. 【详解】, 所以. 故选：B. 3. 若 ， 且 ， 则 和 的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，化简求得正确答案. 【详解】设的夹角为， 由于，所以， 所以，由于，所以. 故选：B 4. 设“”，“”，则是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先化简命题得到的取值范围，再利用集合的关系和充分不必要的定义判断得解. 【详解】，， 所以命题. ， 是成立的充分不必要条件. 故选： A 【点睛】本题主要考查二次不等式的恒成立问题，考查集合的关系，考查充分不必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抽象函数和具体函数定义域的求法，列不等式求解可得. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，解得， 根据解析式有意义可知，即， 综上，. 所以函数的定义域为. 故选：A． 6. 已知函数的最小正周期为π，且关于中心对称，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据周期性和对称性求得函数解析式，再利用函数单调性即可比较函数值大小. 【详解】根据的最小正周期为，故可得，解得. 又其关于中心对称，故可得，又， 故可得.则. 令， 解得. 故在单调递增. 又，且都在区间中， 且，故可得. 故选：. 【点睛】本题考查由三角函数的性质求解析式，以及利用三角函数的单调性比较函数值大小，属综合基础题. 7. 在锐角中，角的对边分别为为的面积，且，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理结合面积公式，再应用同角三角函数关系求出，由正弦定理边角互化，再应用两角和差公式化简，最后应用基本不等式及对勾函数的单调性求解即得. 【详解】中，由余弦定理得， 且的面积为， 由，得，化简得， 又，，所以， 化简得，解得，或（不合题意，舍去） 所以， 所以， 由，且，， 解得， 所以，所以，所以， 设，其中， 所以， 当且仅当时，即时取最小值， 令， 由对勾函数可得函数在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以． 故选：C. 8. 定理：如果函数及满足：①图像在闭区间上连续不断；②在开区间内可导；③对，，那么在内至少存在一点，满足成立，该定理称为柯西中值定理．请利用该定理解决下面问题： 已知，若存在正数，（），满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，由柯西中值定理可知：那么在内至少有一点，满足，令，对求导，求出的值域，即可得出答案. 【详解】由可得：， 令，所以 由柯西中值定理可知：那么在内至少有一点，满足成立， 因为，，所以，， 所以令， ，， 令可得：或， 令可得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，， 当趋于正无穷时，趋近， 所以，所以实数的取值范围为. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则的最大值为 B. 若，则 C. 若，则的最大值为9 D. 若，则的最大值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A选项，由可得，当且仅当，即时，等号成立；即的最大值为；A正确； B选项，由，，可得，即，故B正确； C选项，若，，且，则， 且仅当，即时，等号成立；即的最小值为9，故C错； 当D选项，由得，所以，当且仅当，即时等号成立，故D正确. 故选：ABD 10. 对，，定义若函数，则下列四个结论中正确的有（ ） A. 是以为周期的函数 B. 当且仅当时，取得最小值 C. 图象的对称轴为直线 D. 当且仅当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知得，由正弦，余弦函数的性质可得选项． 【详解】函数的最小正周期为，故A正确； 作出图象如下图所示： 当时，， 当时，， 当或时，取得最小值；故B错误； 所以的对称轴方程为，故C正确； 当且仅当时，，的最大值为， 所以，故D正确. 11. 已知函数，，点分别在函数的的图象上，O为坐标原点，则下列命题正确的是（ ） A. 若关于x的方程在上无解，则 B. 存在关于直线对称 C. 若存在关于y轴对称，则 D. 若存在满足，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，求出方程在上有解时的范围，从而判断A；设出的坐标，由方程有解判断B；设出的坐标，建立函数关系，求出函数的值域，判断C，D即可. 【详解】对于A，当方程，即在上有解时， 易知在上单调递增，则，解得， 因此关于x的方程在上无解，则或，故A错误； 对于B，设，依题意，点关于直线对称点在函数的图象上， 即关于的方程有解，即有解，此时， 令函数，则， 所以在上单调递增，所以， 而函数在上单调递增， 它们的取值集合分别为、， 因此函数的值域为， 又因为，于是在有解， 所以存在关于直线对称，故B正确； 对于C，设点，则点关于轴对称点在函数的图象上， 即， 令，则， 即函数在上单调递减，所以， 又，恒有，因此，故C正确； 对于D，令， 由，可得， 显然，且，， 令，则， 所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减， 因此，即有， 而，当且仅当时取等号， 所以，即，故D错误. 故选：BC． 【点睛】方法点睛：在根据函数在给定区间上恒成立或能成立的情况下，求参数的值，常采用分离常数法，只需求出分离后的常数与函数的最值之间的关系即可解答. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知实数，，满足且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】首先可得且，根据指数与对数的关系得到，，再由换底公式及对数的运算性质计算可得. 【详解】因为且，所以且， 所以，， 则，， 所以，即，解得. 故答案为： 13. 法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名.对而言，若其内部的点满足，则称为的费马点.如图所示，在中，已知，设为的费马点，且满足，.则的外接圆直径长为______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知利用三角形的内角和定理可得，，可得在中，，可得，在中，由正弦定理可得的值，在中，利用余弦定理求出，在中，利用正弦定理即可求出外接圆的直径. 【详解】由已知，所以. 在中，，故. 在中，由正弦定理得， 而，， 故， 在中，利用余弦定理 ，即， 在中，利用正弦定理，故的外接圆直径长为. 故答案为：. 14. 三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数（其中，）的图象恰如其形，因而得名三叉戟函数.已知三叉戟函数的图象经过点，且满足.若，都有恒成立，则实数m的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用待定系数法求出函数解析式.等价变形给定恒成立的不等式，分离参数并构造函数，利用基本不等式及不等式性质求出最小值即可. 【详解】由函数的图象经过点，得， 由，得，解得， 所以函数的解析式为. ，不等式恒成立， 令函数， 而当时，，当且仅当时取等号， 令， 则在单调递增， 当时取得最小值， 所以，当且仅当时取等号，则，解得， 所以实数m的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）恒成立，即，利用导数求出函数的最小值即可. 【小问1详解】 若，则，，故， 所以曲线在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 恒成立，即， 又， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，所以. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 16. 已知在中，. （1）判断的形状，并说明理由; （2）若点在边上，且.若，求的面积. 【答案】（1）三角形为直角三角形， （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，即可由余弦定理求解，继而根据三角恒等变换可得，即可判断三角形的形状， （2）利用余弦定理可求解，即可利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 由可得， 故，进而， 由于,故， 又，故, 化简可得,故， 由于,故， 进而,故三角形为直角三角形， 【小问2详解】 由于，，且为直角三角形， 设，则, 故在三角形中，由余弦定理可得,即，解得， 故 17. 已知函数的周期为，且. （1）求的单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据周期，可得，结合求出，再利用整体法求正弦型函数单调区间即可； （2）由平移变换得到，再利用恒等变形化简求出值域即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ， ， 由得， 的单调递增区间为； 【小问2详解】 由题意得， 的值域为. 18. 如图所示，在中，在线段上，满足是线段的中点． （1）延长交于点（如图1），若，求的值； （2）过点的直线与边，分别交于点，（如图2），设，． （i）求证：为定值； （ii）设的面积为的面积为，求的最小值． 【答案】（1） （2）（i）根据题意, 同理可得：， 由（1）可知，， 所以， 因为三点共线，所以， 化简得， 即为定值，且定值为3； （II） 【解析】 【分析】（1）根据题意，将作为基底表示，由三点共线可知，的系数之和为1，可求出的值，然后利用基底法、平面向量数量积的定义进行求解即可； （2）（i）根据题意，将，作为基底表示，由三点共线可知，，的系数之和为1，即可求出为一定值； （ii）根据题意，，，，由可将化为关于的函数，利用函数性质求的最小值即可. 【小问1详解】 依题意，因为， 所以， 因为是线段的中点，所以， 设，则有， 因为三点共线，所以，解得， 即，所以，所以； ； 【小问2详解】 （i）略 （ii）根据题意，， ， 所以， 由（i）可知，则， 所以， 易知，当时，有最小值，此时. 19. 设函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若是增函数，求a的取值范围； （3）当时，设为的极小值点，证明：． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为． （2） （3）证明：当时，，，设为的零点，则， 因为，所以， 当时，，，故，在单调递增， 当时，，，所以，在单调递减， 当时，，，所以，在单调递增， 所以，且，即， 所以， 设，则，在上单调递增， 所以，且，故得． AI 【解析】 【分析】（1）在时，根据导函数的符号即可求得原函数的单调区间； （2）求出，设，求导推得，根据参数分，和三种情形，讨论函数的单调性和零点情况，即得其取值范围； （3）设为的零点，推得，，分段讨论函数的单调性，推出，即得，即，则，设，求导得出在上的单调性，即可求出其范围，即得证. 【小问1详解】 当时，，， 因当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问2详解】 因， 设，， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故时，取得极小值， （ⅰ）所以当时，，，所以，单调递增，符合题意； （ⅱ）当时，， 因为趋近于时，趋近于，趋近于时，趋近于， 所以存在两个零点， 即存在区间使得，所以不恒成立，不合题意； （ⅲ）当时，若，因为的零点为，且， 则与有唯一相同零点且零点两侧函数值符号相同， 所以，解得， 此时，当时； 当时，则 所以综上a的取值范围为. 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：本题主要考查根据函数的单调性、极值点求参数范围的问题，属于较难题. 对于已知函数的单调性求参问题，一般考虑对函数求导，根据参数分类讨论函数的图象性质进行分析取舍；对于已知极值点问题，一般利用导函数方程的根的情况进行简化所求式，结合函数的值域即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $