天津市红桥区2026-2027学年高三上学期期中考试数学试卷

高三数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知全集，集合，，则 A． B． C． D． （2）已知，则是的（     ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非必要非充分 （3）已知，则 A． B． C． D． （4）已知等比数列的公比，前3项和，则其首项的值为 A． B． C． D． （5）已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，以下结论正确的是 A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 （6）函数在区间上的值域为 A． B． C． D． （7）已知函数，为了得到函数的图象，需将的图象 A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 （8）已知双曲线的离心率，且双曲线的两条渐近线与抛物线的准线围成的三角形的面积为3，则的值为 A． B． C． D． （9）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需移动的最少次数，满足，且则解下5个圆环需移动的最少次数为 A．7 B．21 C．14 D．16 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． （10）是虚数单位，则复数                        ． （11）已知等差数列的前项和为，若，，则                        ． （12）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则周长的最小值为                        ． （13）已知直线与圆交于，两点，且．过点，分别作直线的垂线与轴交于，两点，则                        ． （14）在数列中，，，则数列的通项公式                        ． （15）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的有                        ．（填写序号） ①存在点，使得； ②存在点，使得平面； ③三棱锥的体积是定值； ④不存在点，使得与所成的角为． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （16）（本小题满分8分） 已知函数． （I）求函数的最小正周期； （II）求函数的单调增区间； （III）求函数在区间上的值域． （17）（本小题满分15分） 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，． （I）求的值； （II）求的值； （III）求的值． （18）（本小题满分15分） 如图，在长方体中，，，点在上，且． （I）求证：平面 （II）求直线与平面所成角的正弦值 （III）求点到平面的距离． （19）（本小题满分10分） 已知椭圆，左顶点为，右顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于另一点． （I）若点横坐标为1，求的值； （II）若直线斜率为，求证：为定值． （20）（本小题满分11分） 已知数列的首项，且满足． （I）设，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （II）设，求数列的前n项和． （21）（本小题满分16分） 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点是． （I）求椭圆的方程； （II）如图所示，直线与椭圆相交于、两点，、是椭圆上位于直线两侧的动点． （i）若直线的斜率为，求四边形面积的最大值； （ii）当、运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？若是，请求出定值，若不是，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $高三年级数学学科参考答案 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分 2 3 4 5 6 7 8 A B D 3 D B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 10.音+日 11.912.11 13.4 14.2·3m-1-115.②④ 三、解答题：本大题共6小题，共75分 16.(本题满分8分) 解：()函数f()的最小正周期为T=公= .2 ()令-+2m≤2x-号s+2km,得-豆+km≤x≤晋+kkEZ 所以函数f)的单调递增区间为[是+k晋+k如，k∈z ()因为xe[o,引所以2x-e【劉 所以当2x-号=-时，即x=0,f)取得最小值- 当2x-号=时，即x=受f(x)取得最大值1 所以fx,)在区间0，上的值域为[-，1， 8 17.(本题满分15分) ()因为a=3,5 asinC=3 csinB,由正弦定理b sinB sine.2 可知，5ac=3bc,5a=3b,b=5. 3 由c2=a2+b2-2abc0sC=9+25-2×3×5×cosC=28,所以c=2V76 (川)因为cosC=专，Ce(0,m),所以sinC=V1-cos2C=25 .7 由正弦定理品=品得n8==-罗 7 8 (I)因为b<c,所以B<C,则B为锐角，cosB=V1-sin2B= 9 高三年级数学学科参考答案 第1页共4页 sin2B 2sinBcosB=25,cos2B 2cos2B-1= 所以sn(2B+)=sn2Bcos号+cos2Bsin5=×25+9×(-3)=255 14 15 18.(本题满分15分) (I)证明：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为原点， D 直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系1 B A 则A(2,0,0),A1(2,0,2),E(2,1,0), B(2,3,0),C(0,3,0),C1(0,3,2),D1(0,0,2),B1(2,3,2) 所以BC1=(-2,0,2),AD=(-2,0,2),得BC1=AD1, 则BC/IAD,而B不在直线AD1上 因此BC1//AD1,又AD1C平面AA1D1D,BC1平面AA1D1D 所以BC1/平面AA1D1D.5 (II)由(1)得A1E=(0,1,-2),BC1=(-2,0,2),EC=(-2,2,0) 设平面A1EC的法向量为元=(x,y,z) 208=8=y=2=2刘 因为BC=(-2,0,2),元=(2,2,1)，所以BC=2V2,=V22+22+1=3 因此los8C列=品=上2=号 22x3 6 10 所以直线BC,与平面A1EC所成角的正弦值 11 (I川)由(1)得EB1=(0,2,2),由(I1)平面A1EC的法向量元=(2,2,1) 所以B1到平面A1EC的距离为=-D+2x2+2x1=9=2, 3 3 .15 19.(本题满分10分) 0因为椭圆c:苦+y2=1 则a=2,b=12 B+ 所以左顶点A的坐标为(-2,0) 高三年级数学学科参考答案 第2页共4页 因为点P横坐标为1，代入椭圆方程中得号+y2=1 解得y=土复… .4 所以点P的坐标为(1，)或(1，- 所以斜率k=兰·=或k=】 1+2 6 1+2 66 (1)证明：由题意得B(2,0) 设点P(x),点P在椭圆上，则满足号+y2=1 即y2=1- 4 斜率k=本斜率k1=点 所k=去一兰-一所为定值 10 (20)(本小题满分11分) (I)由题可知b1=1 因为a1=7所以品=4+之即名=4 an+1 an+1 an :.bn+1-bn =4 所以数列{bn}是以1为首项，4为公差的等差数列，·bn=4n-3 1 0元=4n-3…5 (II)因为bn=4n-3,cn=(4n-3)·2m 所以Sn=2+5×22+9×23+…+(4n-3)·2m 2Sm=22+5×23+9×24+…+(4n-3)·2n+1...7 -Sn=2+4×(22+23+…+2)-(4n-3)-2n+1 22.(1-2n-1) =2+4× -(4n-3)-2m+1 1-2 =2+2n+3-16-(4n-3)-2n+1=-14-(4n-7)-2n+1 故Sn=(4n-7)2+1+14...11 (21)(本小题满分16分) (①设椭圆C的方程为后+长=1(a>b>0) 高三年级数学学科参考答案 第3页共4页 因为顶点为(0,2V3),所以b=2√3 又由=2及a2=c2+b2,得a=4 所以椭圆C的方程为后+益=14 (1)(1)由题意知：P(2,3),Q(2,-3) 设直线AB的方程为y=x+t 联立 (y=ix+t 层+=1 ,得x2+tx+t2-12=0 由△>0，解得-4<t<4 设A(x1y1),B(x2,y2),则x1+X2=-t,名1x2=t2-129 所以四边形APBQ的面积为 1 S=SAPQA+SAPQB=2PQx-x2l=2×6×k1-x2l=3V48-32≤12V3 当t=0时，四边形APBQ取得最大面积，即Smx=12V312 (ii)当LAPQ=∠BPQ,则PA、PB的斜率之和为0 设直线PA的斜率为k,则PB的斜率为-k 直线PA的方程为y-3=k(x-2) 元+号=1，得6+42)2+8k3-20x+43-2k2-48=0 y-3=k(x-2) 8k(2k-3) X1+2= 3+4k2 同理直线PB的方程为y-3=-k(x-2) 可得x2+2=-8k(-2k-3》=8k2k+3) 3+4k2 3+4k2 所以x1+名2=162-2， 3442x1—x2三3+4 k4B=-业-k1-2)+3+k2-2)-3_k1+2-4k X1-X2 X1-X2 X1-x2 2 所以4B的斜率为定值候16 高三年级数学学科参考答案 第4页，、·八