精品解析：江苏省常州市北郊高级中学2025-2026学年高二上学期10月调研数学试题

2025～2026学年第一学期十月调研高二数学试卷 （时间：120分钟 满分150分） 命题：顾冬生 审卷：徐斌 2025年10月 注：以下题目的答案请全部填写在答卷纸上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以点为圆心，且经过点的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两点间距离公式计算半径，结合圆的标准方程计算即可. 【详解】因为圆是以点为圆心，且经过点， 所以圆的半径为：， 所以圆的方程为. 故选：D 2. 已知，则直线经过 （ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】将直线化为斜截式，即可求解. 【详解】由于，故直线可变形为， 故，因此直线经过第一、三、四象限， 故选：B 3. 已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程可得,点在圆外可知，求解即可. 【详解】将圆：化为标准方程得：， ，即. 又∵点在圆外， ，解得或. 综上，的取值范围为. 故选：D. 4. 若直线：与直线：相互平行，则、之间的距离为（ ） A. 3 B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行求出参数的值，再利用两平行线之间的距离公式即可得解. 【详解】因为直线与直线平行， ，解得或2， 当时，与重合，不符合题意； 当时，与平行，符合题意； 则与之间的距离. 故选：C. 5. 已知直线经过定点且与直线平行，若点和到直线的距离相等，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线过的点以及平行关系设出直线方程，再由点到直线距离公式计算可得结果. 【详解】若直线经过定点且与直线平行可设直线的方程为； 点和到直线的距离相等可知， 解得或. 故选：C 6. 若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为圆与相交，从而可得，进而可求出实数的取值范围． 【详解】到点的距离为2的点在圆上， 所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上， 即两圆相交，故， 解得或， 所以实数的取值范围为， 故选：A． 7. 已知点在直线上，点在直线上，点的坐标为，且，，三点不共线，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用对称将三角形周长转化为四点共线问题，求出两点之间距离即可. 【详解】依题意，点关于直线的对称点，关于直线的对称点， 则， 的周长， 当且仅当点分别是直线与直线及直线的交点时取等号， 所以周长的最小值为. 故选：C 8. 在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，过l上一点P作圆的两条切线，切点分别为M、N，设线段的中点为Q，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点，，根据圆的切线的性质可得在以为直径的圆上，求得其圆的方程，再由在圆上，可得直线的方程，求得直线恒过定点，从而得在以为直径的圆，得出圆的方程可求得的最大值． 【详解】设点，， 因为是圆的切线，所以， 所以在以为直径的圆上， 其圆的方程为， 又在圆上， 则将两个圆的方程作差得直线的方程：， 即，所以直线恒过定点， 又因为，四点共线，所以， 即在以为直径的圆上， 其圆心为，半径为， 所以， 所以的最大值为. 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 关于直线，则下列结论正确的是（ ） A. 倾斜角为 B. 斜率为 C. 在y轴上的截距为 D. 在x轴上的截距为 【答案】BD 【解析】 【分析】将直线一般式转化为斜截式，即可根据选项逐一求解. 【详解】直线，即， 所以直线的斜率为，倾斜角为，在y轴上的截距为，故A错误，B正确，C错误， 令，得，所以直线在x轴上的截距为，故D正确. 故选：BD. 10. 已知圆，直线．则下列说法中正确的有（ ） A. 若直线l与圆O相切，则 B. 若直线l与圆O交于不同的两点A，B，则k的取值范围是； C. 若直线l与圆O交于不同的两点A，B，且为锐角时，则k的取值范围是； D. 若，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，直线CD是过定点． 【答案】ABD 【解析】 【分析】由直线l与圆O相切，得圆心到直线l的距离等于半径，由此可求得判断A；设A，B的坐标分别为，将直线代入，利用判别式大于0，求得k的取值范围判断B；，可求得k的取值范围判断C；由题意知O，P，C，D四点共圆且在以为直径的圆上，设出P点坐标，求出以为直径的圆的方程，C，D在圆上，两圆方程相减可得CD所在直线即两圆公共弦直线的方程，进而可求得定点坐标判断D． 【详解】对于A.因为圆，直线，直线l与圆O相切， 所以圆心到直线l的距离等于半径，即， 解得，故A正确. 对于B.设A，B的坐标分别为，将直线代入， 整理得，所以， ，所以，解得或， 所以k的取值范围是，故B正确. 对于C.当为锐角时， ， 解得，又，所以或. 故k的取值范围是，故C错误． 对于D.由题意知O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上． 设，以OP为直径的圆上任意一点为，所以， 所以以OP为直径的圆的方程为， 所以.又C，D在圆上， 两圆作差得公共弦CD的方程为，即， 由，得，所以直线CD过定点. 故选：ABD. 11. 设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点为，为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（ ） A. 的取值范围是 B. 四边形面积的最小值为 C. 满足的点有两个 D. 的面积最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据切线长公式、两点间距离公式可判断A，B，C，根据三角形的面积公式可求解D. 【详解】 圆心到直线的距离， 所以，因为圆的半径为， 根据切线长公式可得， 当时取得等号，所以长的取值范围为，故A正确； 因为，所以四边形的面积等于， 四边形的最小值为，故B错误； 因为，所以， 在直角三角形中，，所以， 设，因为， 整理得， 则有△，所以满足条件的点有两个，故C正确； 因为， 所以当，即，面积有最大值为， 此时四边形为正方形，则，满足要求，故D错误． 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若点与点关于直线对称，则直线的一般式方程为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】利用直线的位置关系结合点斜式计算两点中垂线即可. 【详解】易知的中点坐标为，两点连线斜率为， 所以直线的斜率为2，由点斜式可知其方程为：， 整理得. 故答案为： 13. 若直线与曲线有一个交点，则实数的取值范围是 _______． 【答案】 【解析】 【分析】转化为直线与曲线有一个交点，数形结合求解即可. 【详解】由可得，得， 所以曲线表示圆的上半圆， 直线表示过点且斜率为的直线，如下图所示： 当直线与半圆相切且切点位于第二象限时， 则，解得； 当直线过点时，则，解得. 又与圆相切， 由图可知，直线与曲线有一个交点， 则实数的取值范围是 14. 已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意得到直线过定点，再画出图形，结合图形求解即可. 【详解】直线的方程可化为， 由，可得，所以直线过定点， 因为直线的斜率为，倾斜角为， 直线的斜率为，倾斜角为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点，如图所示： 直线的倾斜角为，则， 将代入方程：， 可得：不成立，不在直线上， 所以直线倾斜角不能为， 由图知：或. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知点． （1）过点且与原点距离为2的直线的方程； （2）过点且与原点距离最大的直线的方程，并求此最大距离； （3）过点且在坐标轴上截距相等的直线的方程． 【答案】（1）或． （2），. （3）或． 【解析】 【分析】（1）分直线斜率存在和不存在两种情况，结合点到直线的距离公式即可求； （2）由题可知过点且与原点距离最大的直线与垂直，由此求出，进而得到直线的方程及最大距离； （3）分直线截距为0和截距不为0两种情况讨论即可. 【小问1详解】 ①若直线的斜率不存在， 由于过点，则其方程为， 原点到直线的距离为2，满足题意； ②若直线的斜率存在，设为， 则直线的方程为，即． 由已知，得，解得． 此时的方程为． 综上，可得直线的方程为或． 【小问2详解】 记原点为，过点且与原点距离最大的直线是过点且与垂直的直线， 设直线、直线的斜率分别为，． 由题意知， 由，得，即． 由直线方程的点斜式得直线的方程为，即． 即直线：是过点P且与原点距离最大的直线，且最大距离为． 【小问3详解】 ①若直线的截距为0时，设直线方程为， 因为过点，所以， 所以，故直线的方程为． ②若直线的截距不为0时，设直线的方程为， 因为直线过点，所以， 解得， 故直线的方程为． 综上，可得直线的方程为或． 16. 已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． （1）求直线的方程； （2）求的值； （3）求的外接圆方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）设点，求出线段的中点的坐标，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，可得出点的坐标，再将点的坐标代入直线的方程，即可求出实数的值. （3）分别求得边的垂直平分线方程，求得外接圆圆心坐标，再根据两点之间距离公式求得半径即可求解． 【小问1详解】 解：由条件知边上的高所在的直线的斜率为，所以直线的斜率为， 又因为，所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 因为点在轴上．所以设，则线段的中点为， 点在直线上，所以，得，即， 又点在直线上，所以，解得． 【小问3详解】 因为直线的方程为， 边上的中线所在的直线方程为， 所以联立，解得：，所以， 又因为，， 所以的中点坐标为，， 所以线段的垂直平分线方程为，即， 同理可得线段的垂直平分线方程为， 由得，，所以的外接圆圆心为， 所以的外接圆半径为， 所以的外接圆方程为． 17. 已知实数满足，求以下各式的最小值. （1）； （2） ； （3） ． 【答案】（1） （2） （3）9 【解析】 【分析】（1）根据所求式子，转化为直线斜率问题，利用圆与直线有公共点求解； （2）令，根据直线与圆有公共点，借助圆心到直线的距离求解即可； （3）配方后，转化为两个圆有公共点，利用圆心距离与半径关系求解即可. 【小问1详解】 方程表示以为圆心，的圆，表示点与的连线的斜率， 设过点的直线的斜率为， 则，即， 所以圆心到直线的距离，解得， 所以 的最小值为； 【小问2详解】 令，即， 则圆心到直线的距离，解得，即， 故的最小值为； 【小问3详解】 =，表示圆上的点到的距离的平方，令圆上的点到的距离， 因为，所以，即， 所以， 故 的最小值为9； 18. 已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为． （1）求点的轨迹方程； （2）若，求点的轨迹的方程； （3）过A作两条互相垂直的直线，与点的轨迹分别交于和四点，求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3）7 【解析】 【分析】（1）设点，根据得到方程，化简可得点的轨迹方程； （2）设点，，由（1）得，根据，用含的式子表达出，代入上式求出点的轨迹的方程； （3）设圆心到直线，的距离分别为，则，表达出，利用基本不等式求出最大值. 【小问1详解】 设点，点满足， 所以可得， 化简可得． 【小问2详解】 设点，，由（1）可知点满足方程：， ，， 即 ，， 代入上式消去可得的轨迹方程为． 【小问3详解】 设圆心到直线，的距离分别为，则， ， ， 当且仅当时，等号成立， 因此，四边形面积的最大值为7． 19. 已知点，圆．直线与圆相交于A、B两点，． （1）若直线过点，求直线的方程； （2）若线段AB的中点为，的轨迹为曲线，过点作直线与曲线交于两点M、N，设的斜率分别为，求证：为定值． 【答案】（1）或 （2） 若线段AB的中点为，可得，即， 可知点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 所以点的轨迹方程； 由（1）可知：直线的斜率存在， 设直线的方程为，即，点、， 联立方程，消去y可得， 则，解得， 由韦达定理可得，， 则 . 所有为定值． 【解析】 【分析】（1）先求出圆心到直线的距离，考虑直线的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线的距离公式得到方程，求出答案； （2）先求出曲线的方程，设直线的方程。点、，联立曲线的方程，得到两根之和，两根之积，表达出. 【小问1详解】 由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，即直线，满足题意； 若直线的斜率存在，设直线，即， 则，解得， 所以直线； 综上所述：直线的方程为或. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第一学期十月调研高二数学试卷 （时间：120分钟 满分150分） 命题：顾冬生 审卷：徐斌 2025年10月 注：以下题目的答案请全部填写在答卷纸上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以点为圆心，且经过点的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则直线经过 （ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限 3. 已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若直线：与直线：相互平行，则、之间的距离为（ ） A. 3 B. C. D. 或 5. 已知直线经过定点且与直线平行，若点和到直线的距离相等，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在直线上，点在直线上，点的坐标为，且，，三点不共线，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 8 8. 在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，过l上一点P作圆的两条切线，切点分别为M、N，设线段的中点为Q，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 关于直线，则下列结论正确的是（ ） A. 倾斜角为 B. 斜率为 C. 在y轴上的截距为 D. 在x轴上的截距为 10. 已知圆，直线．则下列说法中正确的有（ ） A. 若直线l与圆O相切，则 B. 若直线l与圆O交于不同的两点A，B，则k的取值范围是； C. 若直线l与圆O交于不同的两点A，B，且为锐角时，则k的取值范围是； D. 若，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，直线CD是过定点． 11. 设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点为，为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（ ） A. 的取值范围是 B. 四边形面积的最小值为 C. 满足的点有两个 D. 的面积最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若点与点关于直线对称，则直线的一般式方程为 _______． 13. 若直线与曲线有一个交点，则实数的取值范围是 _______． 14. 已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为 _______． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知点． （1）过点且与原点距离为2的直线的方程； （2）过点且与原点距离最大的直线的方程，并求此最大距离； （3）过点且在坐标轴上截距相等的直线的方程． 16. 已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． （1）求直线的方程； （2）求的值； （3）求的外接圆方程． 17. 已知实数满足，求以下各式的最小值. （1）； （2） ； （3） ． 18. 已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为． （1）求点的轨迹方程； （2）若，求点的轨迹的方程； （3）过A作两条互相垂直的直线，与点的轨迹分别交于和四点，求四边形面积的最大值． 19. 已知点，圆．直线与圆相交于A、B两点，． （1）若直线过点，求直线的方程； （2）若线段AB的中点为，的轨迹为曲线，过点作直线与曲线交于两点M、N，设的斜率分别为，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $