精品解析：甘肃兰州市第五十七中学2026～2027学年高一上学期期中数学试卷

兰州市第五十七中学 2026-2027 学年度第一学期期中考试 高一年级　数学 注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，作答时，一律将答案用黑色中性笔填写在答题卡上，选择题需用 2B 铅笔填涂，在本试卷上作答无效． 一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】A.0是自然数，所以，故A正确； B.是分数不是整数，所以，故B错误； C.是有理数，所以，故C错误； D.不是正整数，所以，故D错误. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集运算得到答案. 【详解】集合与的公共元素为2，3，所以. 3. 已知命题 ：，，则 是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】已知命题 ：，， 则 ：，. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分式不等式的解法求解即可. 【详解】因为，所以， 则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 5. “是钝角三角形”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若是钝角三角形，可得角中有一个是钝角，不能推出， 所以“是钝角三角形”是“”的不充分条件； 若，则是钝角三角形， 所以“是钝角三角形”是“”的必要条件； 所以“是钝角三角形”是“”的必要不充分条件. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的解析式由内到外逐层计算可得的值. 【详解】因为，所以， 故. 故选：A. 7. 函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，按是否为0分类，利用二次函数单调性列式求解. 【详解】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 8. 对于集合，，定义，且，，设，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先求解集合、的值域，再根据新定义运算分别计算和，最终求两者的并集得到结果. 【详解】对于集合，根据二次根式的非负性，，因此 ，即. 对于集合，由可得，因此，即 因为，且，所以，. 又因为，所以. 二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分） 9. 已知集合，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 中有5个元素 D. 集合有个子集 【答案】AD 【解析】 【分析】先解不等式求出集合，再利用集合的表示方法、元素与集合的关系、集合间的关系及集合中元素的个数，逐一分析判断各选项． 【详解】， 选项A：，，故A正确； 选项B：，，故B错误； 选项C：，集合中有4个元素，故C错误； 选项D：中有4个元素，有个子集，故D正确． 故选：． 10. 下列命题为真命题的是（　　） A. 若 ，则 B. 若 ，，则 C. 若 ，则 D. 若 ，，则 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，取，，满足，但是，故A错误； 对于B，由不等式的性质可得若，则，故B正确； 对于C，因为，所以，即，又，所以，故C正确； 对于D，由，，则，所以，故D错误. 11. 已知集合，，则（ ） A. {或} B. {或} C. D. {或} 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，，或，故A正确； 对于B，，或，故B正确； 对于C，或，或，故C错误； 对于D，或，或或，故D错误. 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 已知函数是定义在区间上的奇函数，则实数的值为________ 【答案】 【解析】 【详解】因为函数为定义在上的奇函数，因此其定义域关于原点对称， 故，则. 13. 集合，，若，则的值为__________． 【答案】0 【解析】 【分析】由集合的包含关系求解即可. 【详解】由题意可得或， 当时，,与集合中已有元素1重合，不满足元素的互异性，故舍去； 当时，解得（舍）或， 当时，，，满足题意. 综上，. 14. 已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为 ______． 【答案】## 【解析】 【详解】因为正实数满足， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 四、解答题（共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 回答下列问题： （1）已知实数，满足，，求的取值范围； （2）已知，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用不等式性质线性运算可得； （2）用已知式子表示所求式子结合不等式性质线性运算即可. 【小问1详解】 因为，，所以； 所以，即的取值范围为； 【小问2详解】 设； 则，，解得，，即； 因为，所以； 因为，所以； 所以，即的取值范围为． 16. 设集合，． （1）当 时，求，； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）；. （2）. 【解析】 【分析】（1）先解一元一次不等式求出集合，将代入求出集合，利用数轴求交集与并集； （2）根据 的要求，分和两种情况讨论，分别列出关于的不等式（组）求解，最后取并集. 【小问1详解】 由得，所以, 当 时，； 所以，. 【小问2详解】 由，当 时，，即，符合题意； 当 时，，由 得，即； 此时； 综上，的取值范围为 17. 已知函数 （），且 ． （1）求函数 的解析式； （2）用定义证明 在区间 上单调递减； （3）求函数 在区间 上的值域（直接写出结果）． 【答案】（1）（） （2）证明：任取 ，则 ； 因为 ，，所以 ； 即 ，故 在 上单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）将及对应的函数值代入解析式，即可解出参数的值； （2）根据函数单调性的定义进行运算证明即可； （3）根据奇函数的单调性进行求解即可. 【小问1详解】 由得，所以（）； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为奇函数； 在上单调递减，且函数为奇函数， 所以在上递减，则函数在上递减， 而，， 故在区间上的值域为. 18. 已知关于的不等式的解集为． （1）求实数，的值； （2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式的解集得到对应方程的两根，利用韦达定理列方程求出解； （2）变换主元，把不等式看成关于k的一次函数，只需区间端点处函数值同时大于0，联立求解x范围． 【小问1详解】 由解集为知，且和是方程的两根； 由韦达定理得：，解得； 又，即，解得． 【小问2详解】 由（1）得，原不等式为， 即对任意 恒成立； 令，则只需且； 由得，即； 由 得 或 ； 综上，，即的取值范围为． 19. 已知二次函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，求实数a的取值范围； （3）若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）不等式的解集为或 （2）实数的取值范围为或 （3）实数a的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）将代入，再由一元二次不等式即可求解； （2）根据一元二次不等式的解法结合题意分类讨论即可求解； （3）由题意参变分离可得对恒成立，换元令，可得，利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 当时，二次函数，当时，解得或， 所以当时，不等式的解集为或. 【小问2详解】 因为关于x的不等式的解集中恰有3个整数，， 当时，，此时不等式的解集为， 要使解集中恰有个整数，则，解得， 当时，，此时不等式的解集为，不符合题意； 当时，，此时不等式的解集为， 要使解集中恰有个整数，则，解得， 综上，实数的取值范围为或. 【小问3详解】 当时，不等式恒成立， 整理可得对恒成立， 又因为，可得对恒成立， 令，，则，可得， 因为，当且仅当，即时等号成立，因为， 所以，可得，所以实数a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市第五十七中学 2026-2027 学年度第一学期期中考试 高一年级　数学 注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，作答时，一律将答案用黑色中性笔填写在答题卡上，选择题需用 2B 铅笔填涂，在本试卷上作答无效． 一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题 ：，，则 是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. “是钝角三角形”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 对于集合，，定义，且，，设，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分） 9. 已知集合，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 中有5个元素 D. 集合有个子集 10. 下列命题为真命题的是（　　） A. 若 ，则 B. 若 ，，则 C. 若 ，则 D. 若 ，，则 11. 已知集合，，则（ ） A. {或} B. {或} C. D. {或} 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 已知函数是定义在区间上的奇函数，则实数的值为________ 13. 集合，，若，则的值为__________． 14. 已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为 ______． 四、解答题（共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 回答下列问题： （1）已知实数，满足，，求的取值范围； （2）已知，，求的取值范围． 16. 设集合，． （1）当 时，求，； （2）若，求的取值范围． 17. 已知函数 （），且 ． （1）求函数 的解析式； （2）用定义证明 在区间 上单调递减； （3）求函数 在区间 上的值域（直接写出结果）． 18. 已知关于的不等式的解集为． （1）求实数，的值； （2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知二次函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，求实数a的取值范围； （3）若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $