3.2 勾股定理的逆定理课件 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

2026-11-08

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# 苏教版八年级上册 3.2 勾股定理的逆定理专项练习 ## 一、知识梳理 1. **勾股定理的逆定理** 如果一个三角形的三边长 $(a,b,c)$ 满足： $$\boldsymbol{a^2+b^2=c^2}$$ 那么这个三角形是**直角三角形**(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)且最长边 $c$ 所对的角是直角。 > > ✅ 勾股定理：直角三角形 $\Rightarrow a^2+b^2=c^2$（性质） > ✅ 逆定理：$a^2+b^2=c^2 \Rightarrow$ 直角三角形（判定） 2. **勾股数** 满足 $a^2+b^2=c^2$ 的**三个正整数**(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)叫做一组勾股数。常见勾股数： $(3,4,5)$；$(5,12,13)$；$(6,8,10)$；$(7,24,25)$；$(8,15,17)$ 特点：勾股数的整数倍仍然是勾股数（如 $(3,4,5)$ 同时乘2得到 $(6,8,10)$） 3. 做题步骤（必考） ① 先找出三边中**最长边**； ② 计算两条短边平方和、最长边的平方； ③ 比较：相等 → 直角三角形；不相等 → 不(\boldsymbol{是直角三角形})。 4. 拓展如果 $a^2+b^2>c^2$(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)锐角三角形；如果 $a^2+b^2<c^2$(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)钝角三角形（了解） ## 二、选择题 1. 下列各组数(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)能构成直角三角形的是（） A. 2(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)3(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)4 B. 3(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)4(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)5 C. 4(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)5(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)6 D. 5(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)6(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)7 2. 下列是勾股数的是（） A. $1,1,\sqrt2$ B. 0.3(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)0.4(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)0.5 C. 6(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)8(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)10 D. 2(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)3(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)5 3. 三角形三边 5(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)12(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)13(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)这个三角形最大角是（） A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 60° 4. 一个三角形三边 $(a=7,b=24,c=25)$(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)说法正确的是（） A. 不(\boldsymbol{是直角三角形}) B. 直角在 $a$ 所对的角 C. 直角在 $b$ 所对的角 D. 直角在 $c$ 所对的角 5. 下列说法正确的是（） A. 勾股定理逆定理用来求边长 B. 只要有两边平方和等于第三边平方就(\boldsymbol{是直角三角形})(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)不用看最长边 C. 勾股数一定是正整数 D. 勾股数可以是小数 6. 三角形三边 9(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)12(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)15(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)它的面积是（） A. 54 B. 90 C. 108 D. 180 ## 三、填空题 7. 若三角形三边满足 $a^2+b^2=c^2$(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)则最长边 $c$ 对角是______。 8. 写出一组勾股数：________。 9. 三边 8(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)15(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)17 ______（填“是”或“(\boldsymbol{不是})”）直角三角形。 10. 三角形三边 6(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)8(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)10(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)最长边上的高是________。 11. 勾股定理是由直角得到边的关系；逆定理是由边的关系判定________。 ## 四、解答题 12. 判断下面各组线段能否组成直角三角形： (1) 7(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)24(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)25 (2) 4(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)5(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)6 (3) $(5,12,13)$ 13. 判断：$a=\sqrt3(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)b=2(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)c=\sqrt7$(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)能否构成直角三角形？ 14. 已知一个三角形三边为 9(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)12(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)15 (1) 判断是不(\boldsymbol{是直角三角形})； (2) 求它的面积。 15. 已知四边形 $ABCD$(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)$\angle B=90^\circ$(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)$AB=3(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)BC=4(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)CD=12(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)AD=13$(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)连接 $AC$(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)求证 $\triangle ACD$ (\boldsymbol{是直角三角形})。 16. 已知三角形三边 $2n(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)n^2-1(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)n^2+1$（$(n>1)$）(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)证明它(\boldsymbol{是直角三角形})。 17. 辨析：0.5(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)1.2(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)1.3 满足 $0.5^2+1.2^2=1.3^2$(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)它是勾股数吗？说明理由。 ## 五、参考答案与解析 1. B 2. C 解析：勾股数必须是正整数 3. B 4. D 5. C 6. A 解析：直角边9、12(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)面积$\dfrac12\times9\times12=54$ 7. 直角 8. 示例：3(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)4(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)5（答案不唯一） 9. 是 10. 4.8 解析：面积$\dfrac12\times6\times8=24$(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)$\dfrac12\times10\times h=24\Rightarrow h=4.8$ 11. 直角三角形 12. (1) $7^2+24^2=49+576=625(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)25^2=625$(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)$\boldsymbol{(\boldsymbol{是直角三角形})}$ (2) $4^2+5^2=16+25=41(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)6^2=36$(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)$41 eq36$(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)$\boldsymbol{(\boldsymbol{不是})}$ (3) $5^2+12^2=169(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)13^2=169$(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)$\boldsymbol{(\boldsymbol{是直角三角形})}$ 13. 解：最长边是 $\sqrt7$ $(\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)(\sqrt7)^2=7$ 相等(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)$\boldsymbol{(\boldsymbol{可以构成直角三角形})}$ 14. (1) $9^2+12^2=81+144=225=15^2$(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)(\boldsymbol{是直角三角形}) (2) $S=\dfrac12\times9\times12=\boldsymbol{54}$ 15. 证明：在$\text{Rt}\triangle ABC$中(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)$AC^2=3^2+4^2=25(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)AC=5$ $AC^2+CD^2=5^2+12^2=25+144=169$ $AD^2=13^2=169$ $\therefore AC^2+CD^2=AD^2$(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)$\triangle ACD$(\boldsymbol{是直角三角形}) 16. 证明：最长边 $n^2+1$ $$ \begin{align*} (2n)^2+(n^2-1)^2 &=4n^2+n^4-2n^2+1 \ &=n^4+2n^2+1 \ &=(n^2+1)^2 \end{align*} $$ 满足逆定理(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)所以(\boldsymbol{是直角三角形})。 17. 答：(\boldsymbol{不是})勾股数。理由：勾股数要求**三个数都是正整数**(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)0.5、1.2、1.3是小数(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)不符合定义。 ## 六、易错提醒 1. 一定要先找**最长边**！很多同学随便拿两边平方对比(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)容易出错； 2. 勾股数：**正整数**是硬性条件(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)小数、分数、带根号的即使满足等式(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)也(\boldsymbol{不是})勾股数； 3. 分清定理和逆定理： - 已知直角(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)求边长 → 勾股定理 - 已知三边(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)判断直角 → 逆定理 4. 大题证明格式：先算平方(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)再比较(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)最后下结论； 5. 常见综合题型：四边形分成两个三角形(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)先用勾股定理求一条边(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)再用逆定理判定直角。下一节：**3.3 勾股定理的简单应用**(7^2+24^2=49+576=625(4^2+5^2=16+25=41(5^2+12^2=169((\sqrt3)^2+2^2=3+4=7(AC^2=3^2+4^2=25，AC=5)(\sqrt7)^2=7)13^2=169)6^2=36)25^2=625)继续整理吗？苏科版（新教材）数学8年级上册 3.2 勾股定理的逆定理授课教师： . 班级： 8年级（）班 . 时间： . 2026/11/8 第3章勾股定理我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。问题新知探究如图，△ABC的三边a，b，c满足a2 + b2 = c2，能否证明△ABC为直角三角形？ A c b a B C 探究新知问题新知探究我们先作一个Rt△A'B'C'，使∠C' = 90°，B'C' = a，A'C' = b，再设法证明△A'B'C'与△ABC全等。根据勾股定理，得A'B'2 = a2 + b2。 ∵AB2 = a2 + b2， ∴A'B' = AB。根据“SSS”，可知△ABC≌△A'B'C'。 ∴∠C = ∠C' = 90°，即△ABC是直角三角形。 A c b a B C A' b a B' C' c 探究新知新知探究勾股定理的逆定理：提分笔记如果三角形的三边长分别为a，b，c，且a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形。探究新知新知探究符合语言：如图， ∵在△ABC中，a2 + b2 = c2， ∴△ABC是直角三角形，∠C = 90°。提分笔记 A c b a B C 探究新知新知探究勾股定理与逆定理的关系： ( 1 ) 勾股定理：用来通过直角三角形求解几何图形的长度问题 ( 求长度 )； ( 2 ) 勾股定理逆定理：用来通过三角形三边长度证明三角形为直角三角形。提分笔记 a b c 勾股定理逆定理 a2 + b2 = c2 探究新知新知探究四千多年前，古埃及人在建造金字塔时就已经知道如何构造一个直角三角形。他们在一根绳子上打上距离相等的结，然后由三人拉成一个三角形，使得每条边被结点分成3段、4段、5段。这样得到的三角形一定是直角三角形。探究新知新知探究勾股数：提分笔记如果三个正整数a，b，c满足关系a2 + b2 = c2，则称a，b，c为勾股数。探究新知新知探究常见的勾股数： 3，4，5 6，8，10 8，15，17 5，12，13 7，24，25 9，40，41 提分笔记探究新知 1. 下列四组数中，是勾股数的是( ) C A.，， B.，， C.3，4，5 D.,, 返回举一反三 10 2. 在中，，，所对的边分别是，，，由下列条件不能判定为直角三角形的是( ) B A. B. C. D.,, 返回举一反三 11 3.若一个三角形的三边长，，满足，则这个三角形是______三角形. 直角返回举一反三 12 辨析新知探究 1.5、2、2.5是勾股数吗？解：∵1.5、2.5不是正整数， ∴1.5、2、2.5不是勾股数。【总结】若a2 + b2 = c2，但a，b，c不都是正整数，则a、b、c不是勾股数。探究新知讨论新知探究写出几组勾股数，说说勾股数有哪些规律。解：( 1 ) ① 3，4，5； ② 6，8，10； ③ 9，12，15； ④ 12，16，20； …… → 3 × 1，4 × 1，5 × 1； → 3 × 2，4 × 2，5 × 2； → 3 × 3，4 × 3，5 × 3； → 3 × 4，4 × 4，5 × 4； …… 【猜想1】若a，b，c为勾股数，则ka，kb，kc ( k 为正整数 ) 构成勾股数。探究新知讨论新知探究写出几组勾股数，说说勾股数有哪些规律。 ( 2 ) ① 3，4，5； ② 5，12，13； ③ 7，24，25； ④ 9，40，41； …… → 3，，； → 5，，； →7，，； → 9，，； …… 【猜想2】若n表示比1大的奇数，则n，，构成勾股数。探究新知讨论新知探究写出几组勾股数，说说勾股数有哪些规律。 ( 3 ) ① 4，3，5； ② 6，8，10； ③ 8，15，17； ④ 10，24，26； …… → 2 × 2，22 - 1，22 + 1； → 3 × 2，32 - 1，32 + 1； → 4 × 2，42 - 1，42 + 1； → 5 × 2，52 - 1，52 + 1； …… 【猜想3】若n表示比1大的整数，则2n，n2 - 1，n2 + 1构成勾股数。探究新知典例分析例1 已知：a，b，c为正整数，且a2 + b2 = c2。求证：ka，kb，kc ( k 为正整数 ) 构成勾股数。证明：∵a2 + b2 = c2， ∴( ka )2 + ( kb )2 = k2a2 + k2b2 = k2( a2 + b2 ) = k2c2 = ( kc )2。 ∵a，b，c，k为正整数， ∴ka，kb，kc为正整数。 ∴ka，kb，kc构成勾股数。探究新知典例分析例1 - 拓展 - 1 若n表示比1大的奇数，求证：n，，构成勾股数。证明：∵n2 + = = = 。 ∵n表示比1大的奇数， ∴n，，为正整数。 ∴n，，构成勾股数。探究新知典例分析例1 - 拓展 - 2 若n表示比1大的整数，求证：2n，n2 - 1，n2 + 1构成勾股数。证明：∵( 2n )2 + ( n2 - 1 )2 = 4n2 + n4 - 2n2 + 1 = n4 + 2n2 + 1 = ( n2 + 1 )2 。 ∵n表示比1大的整数， ∴2n，n2 - 1，n2 + 1为正整数。 ∴2n，n2 - 1，n2 + 1构成勾股数。探究新知新知探究勾股数的规律：提分笔记 ( 1 ) 若a，b，c为勾股数，则ka，kb，kc ( k 为正整数 ) 构成勾股数； ( 2 ) 若n表示比1大的奇数，则n，，构成勾股数； ( 3 ) 若n表示比1大的整数，则2n，n2 - 1，n2 + 1构成勾股数。探究新知辨析新知探究 5a、12a、13a是勾股数吗？解：当a = 0.1时，5a、12a、13a都不是正整数， ∴5a、12a、13a不是勾股数。探究新知典例分析例2 如图，AD是△ABC的中线，AD = 24，AB = 26，BC = 20。求AC的长。解：∵AD是△ABC的中线，BC = 20， ∴BD = BC = 10。 ∵AD = 24，AB = 26， ∴AD2 + BD2 = 242 + 102 = 676，AB2 = 262 = 676。 ∴AD2 + BD2 = AB2。 ∴∠ADB = 90° ( 勾股定理的逆定理 )。 ∴AD垂直平分BC。 ∴AC = AB = 26。 A C D B 探究新知 4.如图，中，，，，是边上的中线.则 ____. 6.5 （第4题）返回举一反三 23 5.如图，已知，，，，则 _____. （第5题）返回举一反三 24 6.如图，在中，，，， . （1）求的长；解：， . 在中，，， . 举一反三 25 （2）求证： . 解：证明：，， . 在中，，， . 是直角三角形，且. . 返回举一反三 26 7.如图，在的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1，四边形的顶点都在格点上. 举一反三 27 （1）是不是直角？请说明理由；解：是直角.理由如下：如图，连接 . ，，， . 是直角. 举一反三 28 （2）求四边形的面积. 解：如图， . 返回举一反三 29 （第8题） 8. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点，，，，均在小正方形网格的格点上，线段，交于点，若，则等于( ) C A. B. C. D. 返回举一反三 30 （第9题） 9.如图，已知在四边形中，，，，，，则这个四边形的面积为( ) A A.96 B.78 C.108 D.120 返回举一反三 31 10. 勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》.现有勾股数，，，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则___（用含的式子表示）. 返回举一反三 32 11.如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，且 . 举一反三 33 （1）求证：；解：证明：如图，连接的垂直平分线分别交,于点 , ， . ， . 是直角三角形，且 . 举一反三 34 （2）若,，求的长. 解：,，且， , . . . 由（1）知， . 返回举一反三 35 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形。勾股数：如果三个正整数a，b，c满足关系a2 + b2 = c2，则称a，b，c为勾股数。勾股数的规律： ( 1 ) 若a，b，c为勾股数，则ka，kb，kc ( k 为正整数 ) 构成勾股数； ( 2 ) 若n表示比1大的奇数，则n，，构成勾股数； ( 3 ) 若n表示比1大的整数，则2n，n2 - 1，n2 + 1构成勾股数。课堂总结课堂小结谢谢观看 THANKS $

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