2.3.1无理数（课件）--2026-2027学年苏科版数学八年级上册

# 苏教版八年级上册 2.3.1 无理数 专项练习 ## 一\(\sqrt4\(\sqrt6、\pi-0.5\)\sqrt[3]{8}\)知识梳理 1. **有理数**：整数和分数统称有理数。 有理数都可以写成 **有限小数或者无限循环小数** 的形式。 2. **无理数定义**： **无限不循环小数**叫做无理数。 ✅ 关键点：①无限 ②不循环\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)两个条件缺一不可。 3. **无理数常见三类（必考）** ① 开方开不尽的数：$\boldsymbol{\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{7}}$ 等（注意：$\sqrt4\(\sqrt4\(\sqrt6、\pi-0.5\)\sqrt[3]{8}\)\sqrt[3]{8}$ 是有理数） ② 含 $\boldsymbol{\pi}$ 的数：$\pi\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)2\pi\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)\dfrac{\pi}{3}$ 等 ③ 构造的无限不循环小数：$0.1010010001\cdots$（相邻两个1之间依次多一个0） 4. 区分口诀 有限小数\(\sqrt4\(\sqrt6、\pi-0.5\)\sqrt[3]{8}\)无限循环小数 → 有理数 无限不循环小数 → 无理数 > 注意：带根号不一定是无理数！能开得尽方的是有理数。 ## 二\(\sqrt4\(\sqrt6、\pi-0.5\)\sqrt[3]{8}\)选择题 1. 下列数中\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)属于无理数的是（） A. $0$ B. $\sqrt{2}$ C. $-2$ D. $\dfrac13$ 2. 下列说法正确的是（） A. 无限小数都是无理数 B. 无限不循环小数是无理数 C. 带根号的数都是无理数 D. 循环小数是无理数 3. 下面各数是无理数的是（） A. $\sqrt{9}$ B. $\(3.14\)$ C. $\pi$ D. $0.\dot{3}$ 4. 在 $0\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)\sqrt{5}\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)\dfrac{22}{7}\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)\(0.202002\)$ 中\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)无理数是（） A. $0$ B. $\sqrt{5}$ C. $\dfrac{22}{7}$ D. $\(0.202002\)$ 5. 下列不是无理数的是（） A. $\sqrt{7}$ B. $2\pi$ C. $\sqrt[3]{8}$ D. $0.1212212221\cdots$ 6. 实数 $\(3.14\)159\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)\sqrt[3]{64}\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)0.1010010001\cdots\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)\sqrt{2}\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)\dfrac{\pi}{5}$ 中无理数有几个（） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 7. 下列判断正确的是（） A. $\dfrac17$ 是无限不循环小数 B. 无理数一定是无限小数 C. 有理数是有限小数 D. 无理数都是带根号的数 8. 面积为3的正方形\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)它的边长是（） A. 整数 B. 分数 C. 有理数 D. 无理数 ## 三\(\sqrt4\(\sqrt6、\pi-0.5\)\sqrt[3]{8}\)填空题 9. 无限______小数叫做无理数。 10. 在 $\sqrt{3}\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)\sqrt{4}\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)\pi\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)0.333\cdots$ 中\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)无理数有________。 11. 写出一个无理数：________。 12. $\sqrt{10}$ 是______（填“有理数”或“无理数”） 13. 有理数和无理数统称为________。 14. $0.1010010001\cdots$（相邻两个1之间多一个0）是______数。 15. 面积为5的正方形边长为$\sqrt{5}$\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)它是______（有理/无理）数。 ## 四\(\sqrt4\(\sqrt6、\pi-0.5\)\sqrt[3]{8}\)解答题 16. 把下列各数填入对应的集合： $0\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)-\sqrt{6}\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)\(3.14\)\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)\dfrac{2}{5}\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)\sqrt{16}\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)\pi\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)0.1010010001\cdots$ 有理数集合：{ } 无理数集合：{ } 17. 判断对错\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)对的打√\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)错的打× (1) 无限小数一定是无理数（） (2) 无理数一定是无限小数（） (3) 带根号的数一定是无理数（） (4) $\pi$ 是无理数（） 18. 已知正方形面积是7\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)判断边长是有理数还是无理数\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)并说明理由。 19. 从 $\sqrt{2}\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)\sqrt{4}\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)\sqrt[3]{-8}\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)\pi\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)0.\dot{6}$ 找出全部无理数。 20. 写出一个大于2且小于3的无理数。 ## 五\(\sqrt4\(\sqrt6、\pi-0.5\)\sqrt[3]{8}\)参考答案与解析 1. B 2. B 3. C 4. B 5. C 解析：$\sqrt[3]{8}=2$\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)是有理数 6. B 解析：$0.1010010001\cdots\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)\sqrt2\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)\dfrac{\pi}{5}$\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)共3个 7. B 8. D 解析：边长$\sqrt3$\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)开不尽\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)无理数 9. 不循环 10. $\boldsymbol{\sqrt{3},\pi}$ 11. 示例：$\boldsymbol{\sqrt{2}}$（答案不唯一） 12. 无理数 13. 实数 14. 无理 15. 无理 16. 有理数：$\{0\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)\(3.14\)\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)\dfrac{2}{5}\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)\sqrt{16}\}$ 无理数：$\{-\sqrt{6}\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)\pi\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)0.1010010001\cdots\}$ 17. (1) × （无限循环小数是有理数） (2) √ (3) × （如$\sqrt4=2$） (4) √ 18. 解：设边长为$a$\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)$a^2=7$\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)$a=\sqrt7$。 $\sqrt7$是开方开不尽的数\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)属于无限不循环小数\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)所以是无理数。 19. 无理数：$\boldsymbol{\sqrt2\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)\pi}$ $\sqrt4=2\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)\sqrt[3]{-8}=-2\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)0.\dot{6}$都是有理数 20. 示例：$\boldsymbol{\sqrt5}$（$\sqrt5\approx2.236$\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)答案不唯一\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)$\sqrt6\(\sqrt4\(\sqrt6、\pi-0.5\)\sqrt[3]{8}\)\pi-0.5$都可以） ## 六\(\sqrt4\(\sqrt6、\pi-0.5\)\sqrt[3]{8}\)易错提醒 1. 重点坑：**无限小数≠无理数**\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)无限循环小数是有理数； 2. 带根号≠无理数\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)先化简！化简后是整数\(\sqrt4\(\sqrt6、\pi-0.5\)\sqrt[3]{8}\)分数就是有理数； 3. $\boldsymbol{\pi}$是无理数\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)\(3.14\)只是\(\boldsymbol{\pi}\)的近似值\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)\(3.14\)是有理数； 4. 分数全部是有理数\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)哪怕分子分母带根号\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)只要能化成整数分数就是有理； 5. 无理数不能写成分数形式。 下一节：**2.3.2 实数**\(\boldsymbol{\sqrt2，\pi}\)要不要继续整理？ 苏科版（新教材）数学8年级上册 2.3.1无理数 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/8 第2章 实数的初步认识 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 我们知道，有理数包括整数和分数，所有的分数可以写成有限小数或者循环小数的形式。eg： 课 题 导 入 = 2.5， = 0.625， = ， = ， = 探究新知 问题 新知探究 是不是所有的数都可以写成整数、有限小数或者循环小数呢？ 画半径为1cm的圆，计算这个圆的周长、面积。 1cm 解：周长为2π cm， 面积为π cm2。 探究新知 问题 新知探究 事实上，有很多的数都不能用有限小数或者循环小数的形式表示， eg：圆周率π。 π就是一个无限不循环小数。 人类已将π的值算到小数点后62.8万亿位！ 探究新知 新知探究 无理数： 提分笔记 无限不循环小数叫作无理数。 ∵分数都可以转化为有限小数或者循环小数， ∴无理数不能写成分数形式 ( m，n是整数，n ≠ 0 )。 探究新知 新知探究 无理数的分类： 提分笔记 和有理数类似，无理数分为正无理数和负无理数。 无理数 正无理数 负无理数 eg：π eg：- π 探究新知 新知探究 有理数与无理数： 有理数 无理数 定义 整数和分数统称为有理数 无限不循环小数叫作无理数 能写成分数形式 ( m，n是整数，n ≠ 0 ) 不能写成分数形式 ( m，n是整数，n ≠ 0 ) 分类 正有理数 + 0 + 负有理数 正无理数 + 负无理数 提分笔记 探究新知 新知探究 有理数与无理数： 小数 有限小数 无限小数 循环小数 无限不循环小数 分数 无理数 整数 有理数 提分笔记 探究新知 新知探究 由于无理数是无限不循环小数，我们不可能写出一个无理数的小数点后的所有数字，但我们可以用有理数来确定一个无理数的范围，如3.14 < π < 3.15。 事实上，也是无理数，如何估计的范围呢？ 探究新知 新知探究 根据章头的问题，可以判断1 < < 2。由( )2 = 2，进一步可以得到： ∵1.42 = 1.96，1.52 = 2.25，∴1.42 < 2 < 1.52。 ∴1.4 < < 1.5。 ∵1.412 = 1.988 1，1.422 = 2.016 4，∴1.412 < 2 < 1.422。 ∴1.41 < < 1.42。 ∵1.4142 = 1.999 396，1.4152 = 2.002 225，∴1.4142 < 2 < 1.4152。 ∴1.414 < < 1.415。 …… 如此下去，我们可以越来越精确地用有理数估计的范围。 探究新知 典例分析 例1 判断下面哪个无理数大于4，并且小于5： ，，。 解：这三个数中，大于4且小于5。理由如下： ∵( )2 = 15，而15 < 16， ∴ < ，即 < 4； ∵( )2 = 17，而16 < 17 < 25， ∴ < < ，即4 < < 5； ∵( )2 = 26，而26 > 25， ∴ > ，即 > 5。 探究新知 探究 新知探究 π - 3， + 1是否为无理数？为什么？ 解：π - 3， + 1是无理数。理由如下： ( 1 ) 假设π - 3是有理数，则π - 3能够写成分数形式， ∴π = π - 3 + 3 = + 3 = ， 即π也能够写成分数形式， ∴π是有理数，与π是无理数矛盾， ∴假设不成立，π - 3是无理数。 探究新知 探究 新知探究 π - 3， + 1是否为无理数？为什么？ ( 2 ) 假设 + 1是有理数，则 + 1能够写成分数形式， ∴ = + 1 - 1 = - 1 = ， 即也能够写成分数形式， ∴是有理数，与是无理数矛盾， ∴假设不成立， + 1是无理数。 探究新知 新知探究 无理数的常见类型： 提分笔记 1. 特定结构的无限不循环小数，eg：1.010010001… 2. 含有π的绝大部分数，eg：2π，，π + 1； 3. 开不尽的方根，eg：，，，。 探究新知 新知探究 常见方根的近似值： 提分笔记 1. ≈ 1.414；2. ≈ 1.732； 3. ≈ 2.236；4. ≈ 2.449。 探究新知 思考 新知探究 是否为无理数？ 解： = 4，不是无理数。 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果。 探究新知 1.下列实数，，，， 中，无理数有( ) B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 返回 举一反三 17 2. 公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发 现了一个新数——无理数 .他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨 大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”.请估计 的值在 ( ) A A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 返回 举一反三 18 3.已知， ，，则，， 的大小关系是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 19 4.下列结论中正确的是( ) B A.无限小数是无理数 B.无限不循环小数是无理数 C.有理数就是有限小数 D.无理数就是开方开不尽的数 返回 举一反三 20 5.请你写出一个无理数，使得，则 为_ _________________. （答案不唯一） 返回 举一反三 21 6.（1） 是________; （2）有理数有理数 ________； （3）有理数无理数 ________.（填“无理数”或“有理数”） 无理数 有理数 无理数 返回 举一反三 22 7.已知为整数，且，则 等于___. 5 返回 举一反三 23 8.比较大小：（填“ ”“ ”或“ ”） （1）___ ； （2） ___3； （3）1___ ； （4）___ . 返回 举一反三 24 9.若的平方根是，的立方根为，是 的整数部分，求 的值. 解：的平方根是 ， ，解得 . 的立方根为，， . ， ， 的整数部分 . . 返回 举一反三 25 10.满足的整数 的值可能是( ) A A.3 B.2 C.1 D.0 返回 举一反三 26 11.正整数，分别满足，，则 ( ) A A.16 B.9 C.8 D.4 返回 举一反三 27 12. 若为正整数，且满足，则 ___. 5 返回 举一反三 28 13. 因为，即，所以 的整数部分 为1，小数部分为，类比以上推理， 的小数部分为_________. 返回 举一反三 29 14. 我们用表示不大于的最大整数，如： ， ， . （1） ___； （2）若，则 的取值范围是__________. 1 返回 举一反三 30 15.仿照课本中“证明是无理数”的方法求证： 是无理数. 证明：假设是有理数，那么它可以表示成与 是互质的两个正整 数.于是 ， 所以.于是是3的倍数，所以 也是3的倍数， 从而可设，所以，即，于是可得 也是3 的倍数. 这与“与是互质的两个正整数”相矛盾.从而可知“ 是有理数”的假设 不成立，所以 是无理数. 返回 举一反三 31 有理数与无理数： 课 堂 总 结 课堂小结 无理数的常见类型： 1. 特定结构的无限不循环小数，eg：1.010010001… 2. 含有π的绝大部分数，eg：2π，，π + 1； 3. 开不尽的方根，eg：，，，。 常见方根的近似值： 1. ≈ 1.414；2. ≈ 1.732；3. ≈ 2.236；4. ≈ 2.449。 课 堂 总 结 课堂小结 谢谢观看 THANKS $