天津市西青区2026-2027学年高二第一学期学业质量中期监测数学试卷

2026~2027学年度第一学期 学校学业质量中期监测 高二数学试卷 本卷分第卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题时间100分钟，满分120分 第I卷(40分) 一.选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是 符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上， (1)已知a=(（1,5,-1),b=（-3,2,5),则a+b= A.（-4,-3,6) B.（-2,7,4) C.（-2,3,-4) D.(4,3,-6) (2)已知直线l:mx+2y-2=0与直线l2:5x+(m+3)y-5=0,若(，/1l2,则m= (A)-5 (B)2 (C) 2或-5 (D)5 (3)已知点B是点A(2,3,4)在y0z平面上的射影，则OB等于 (A)(0,3,4) (B)5 (C)2√5 (D)13 (4)已知圆G:x2+y2=4,圆C2:x2+y2-4x-4y-1=0,则圆C与圆C2的位置关系为 (A)外离 (B)外切 (C)相交 (D)内切 (5)如图点M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上， 且MW=ON,AP=5AN,则OP= (A)10a+2O+20C 2 (B)104+10B+10C 3 9 9 4 (C)104+108+L0C 6 (D) 204+10B+100 3 8 (6)过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为 (A)x-y+1=0 (B)x+y-3=0 (C)y=2x或x+y-3=0 (D)y=2x或x-y+1=0 (7)若直线1的一个方向向量为a=（1,0,-V3),平面a的一个法向量为万=(0，√2,1)， 则I与所成角的大小为 r (B)π (C) 或 2元 (A) (D) 6 3 6 6 3 (8) 已知椭圆C与椭圆父+二=1有相同的焦点，且椭圆C的长轴长为6，则其短轴长为 6 4 (A)2 (B)4 (c)7 (D)2W7 (9)若圆C:x2+(y-3)2=12上有且仅有两个点到直线：y=-√2x+m的距离为√5，则 实数m的取值范围是 (A)（-6,10) (B)（-6,6)U(10,12) (c)（-6,0)LU(6,12) (D)(6,12) (10)设椭圆+y 若+行=la>b0)的左，右焦点分别为(e0.(e点No号） 在椭圆的外部，点M是椭圆上的动点，满足M+W≤F引恒成立，则椭圆离心率e的 取值范围是 9mew 第Ⅱ卷(80分) 二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.请将正确的答案填写到答题纸上.试题 中包含2个空的，答对1个空的得2分，全部答对的得4分， (11)直线x+2y-√3=0的斜率是 (12)已知x2+y2-2y-m=0表示圆，则m的取值范围为 (13)若直线x+y+m=0(m>0)被圆(x-1)2+(y+1)2=3截得的弦长为m,则m= (14)已知圆C:x2+y2+y-1=0和圆C2:x2+y2-4x=0,则两圆的公共弦所在直线方程 是 (15)在正三棱柱ABC-AB,G中，B为CG的中点，AB=A4=1,则异面直线BE与AC所 成角的余弦值为 点A到直线BE的距离为 (16)给出下列命题： ①已知点M(a,b)与点N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线 x+y=0对称，则点Q的坐标为(b,a): ②直线1的一个法向量为n=(3,2)且过点(1,0)，则直线的一般式方程为3x+2y-3=0; ③若么，d,c构成空间的一个基底，则点-，6-Gc-a不能构成空间的一个基底： ④已知点P在圆(x-2)2+y2=1上运动，0为坐标原点，则线段OP的中点的轨迹方程为 (x-12+y2=4: 回已知椭圆C:+-1的左，右焦点分别是R,乃，且左，右项点分别是4，名，点P是 2520 椭圆上异于4,4的任意一点，则直线PA,与直线PA,的斜率之积为 4 则上述五个命题中正确的是 (把所有正确的命题序号都填上) 三.解答题：本大题共4小题，共56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分11分) 已知△ABC的三个顶点分别是A(-1,0),B(3,1),C(1,3),BC边上中点为M (I)求BC边上的中线AM所在的直线的一般式方程； (I)求△ABC的面积. (18)(本小题满分13分) 已知圆心为C的圆经过点A(4,2)和B(-1,7),且圆心C在直线x+y-1=0上 (I)求圆C的标准方程； (Ⅱ)过点M(4,1)作圆的切线，求切线方程. (19)(本小题满分15分) 在如图所示的几何体中，AE⊥平面ABC,CD/1AE,F是BE的中点，AC=BC=1 ∠ACB=90°，AE=2CD=2. E (I)求证：DF⊥平面ABE; (Ⅱ)求平面ACDE与平面EBD所成夹角的余弦值； (Ⅲ)求四面体A-EBD的体积. B (20)(本小题满分17分) 已知椭圆C:x =1(a>V5). 5 (I)若点T 5 在椭圆C上，求椭圆C的标准方程； (Ⅱ)已知点M(0,m)(m>0),A点是椭圆C的右顶点， (i)若a=4,且椭圆C上存在一点P,满足PA=2M亚，求m的值； (i)若AM中垂线1的斜率为2，且l与椭圆C交于E，F两点，∠EMF为钝角， 求a的取值范围. 高二年级数学参考答案及评分标准 一、 选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分： 题号 2 3 6 8 9 10 答案 B D D D C D 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.请将正确的答案填写到答题纸上.试 题中包含2个空的，答对1个空的得2分，全部答对的得4分. 2 (12) m>-1 (11) (13) 2 √2 V30 (14 4x+y-1=0 (15) 4， 4 16.①23 三、解答题：本大题共4小题，共56分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 说明：说明：1解答给出了一种解法供参考，其他解法可根据试题的主要考查内容比照评分 参考制定相应的评分细侧； 2当考生的解答在某一步出错误时，如果后继部分的解答未改该题的内容与难度，可视影响的 程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数一半；如果后继部分的解答 有较严重的错误或又出现错误，就不再给分 (17)(本小题满分11分) 【答案】)由中点坐标公式，可得中点M(3+,+3,即：M2,2》 2,2 1分 过点A,M两点的直线方程为y-0=x+ 3分 2-02+1 整理得：2x-3y+2=0..… 4分 法二（点斜式） 2-02 直线AM的斜率KAM= 2+13 2分 y-0=2x+) .3分 整理得：2X-3y+2=0..4分 (I)设边AB上的高为h 底边AB的长A6=V3+1)2+(1-0)2=17 6分 y-0x+1 直线AB方程-03+1 8分 :X-4y+=09分 边AB上的高为h=L-3×4+1010N7 .10分 12+4 V17 17 4分1 =5 2 17 11分 (求面积和直线方程有多种解法，可参考相应评分标准相应给分)】 (18)(本小题满分13分) 【答案】设圆的圆心为c(a,b), 由题意圆心C在直线x+y-1=0上则：a+b-1=0 1分 因为A,B为圆上的点则：AC=BC, 2分 即 (a-4)}+(b-22=V(a+1}+(b-7 a-b+3=0 3分 a+b-1=0 解得 a=-1 4分 a-b+3=0 1b=2 即C(-1,2), 半径r=lCA=(-1-4}+(2-2}=5, 6分 所以圆C的标准方程为(x+1)+(y-2=257分 (另：待定系数法和垂直平分线法均可，可参照评分标准相应给分) (2)由题意可得点M(4,1)在圆外 当切线的斜率存在时，设过M(4,)的切线的方程为y-1=k(x-4), 即k-y-4k+1=0,8分 则圆心C(-1,2)到切线的距离d= -k-2-4k+=5 Vk2+(-1)2 解得k=12 10分 此时切线的方程为： 5x-y-4xI 1 2+1=0,即12x-5y-43=0, 11分 当切线的斜率不存在时，则切线方程为x=4, 此时圆心C(-1,2)到直线x=4的距离为5=T,符合条件；12分 综上所述：过M的切线方程为x=4或12x-5y-43=013分 (19)(本小题满分15分) 【答案】 ()方法一：取AB的中点G,连接CG,FG, 由F是BE的中点，得GF/IAE,而CD/IAE,则CD/IGF 又GF=)AE=1=CD,于是四边形CDFG是平行四边形，DF1'g 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1,有CG⊥AB, 又由EA⊥平面ABC,CGc平面ABC,得EA⊥CG, 而AB∩EA=A,AB,EAC平面ABE, 因此CG⊥平面ABE,所以DF⊥平面ABE5分 方法二：由已知CD⊥平面ABC,而AC⊥BC,则直线CA,CB,CD两两垂直 1分（没有这个说明要扣分） 如图，以C为原点，直线CA,CB,CD分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 2分 于是A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),D(0,0,1),E(1,0,2）,3分 F是BE的申点，所以r2DF-20 5分 设m=(x,,乙)是平面ABE的-个法向量， 则 m·AB=x-y=0 故可取m=(1,1,0)），6分 m·AE=2z1=0 因m=2DF,则m/DF,所以DF⊥平面ABE 7分 2)由()方法二建系，则BD=(0,-1,1),DE=(1,0,1),8分 设i=（x,y,z)是平面EBD的一个法向量， n.BD=-y+z=0 则 故可取i=(-1,l,1),9分 nDE=x+z=0 显然平面ACDE的-个法向量为CB=(0,1,0),10分 设平面ACDE与平面EBD的夹角为O, n.CB 因此cos0=cosi,CB= 15 CB3x13’l2分 所以平面ACDE与平面EBD夹角的余弦值是V5 (3)方法一：由2)已知平面EBD的一个法向量为n=（-1,1,1), 且AE=(0,0,2),则点A到平面EBD的距离d= AE7223 √33 =5.BD=5,-6,m6x2r-(= 2 14分 15分 方法由0刘DF为点D通45龄更离，DF-D明-号 做yw=nm-写8mnf-背5x2x号-号 15分 (20)(本小题满分17分) y O 【答案】 5)3 )由题意把点代入可得： 22 3 =1 ,解得a2=9,2分 5 故椭圆C的标准方程为C: 95 =1;3分 【小问2详解】 0由a=4,则椭圆C的标准方程为C:+上-1，则44,0)，…4分 165 设P(x,),则PA=(4-xo,-),MP=(o,-m),由PA=2MP,则 4 4-x=2x0 x0= 3 -=2(-m) 解得 2m ，6分 y%= 3 4)2 2m 则有3 3 7分 16 解得m2=10,又m>0,故m=V10; 8分 由a>5,则A(a0）,又kw-=m-0-m 0-a a AM中垂线1的率为2，则一g=二)，解弱m=口 2’9分 故m0 a 则AM的中点坐标为 aa 2'4 10分 故1的方程为：y=2x 0+9=2x-3 2 4 y=2x-3a 4 联立 消去y可得(4a+5)r-3dx+9a-5a-0, -=1 161 275a+100d2>0, 3a3 9a4 -5a2 设E(,以F(西4)，则x+4+5'=1 9a4-80a2 4a2+564a2+80 13分 故ME(引Mm( 则由∠BM为能角，则ME.AMF=6+气⅓}0,14分 贿+x9）5+0++号 -w+2x92）2头+2x}号 =5+4+)G+)+号号 =56x+)+2g 16 15分 59a-80d）_50x3d+25a 64a2+80 24a2+516 =45a-400a2-120a25a×(4a2+5） 64a2+80 16(4a2+5) =-400a-75a+l00a+125a2 64a2+80 64a2+80 =25a-275a_25d(女-1l<0,16分 64a2+8064a2+80 故a2<11,又a>V5,√5<a<V11.17分