精品解析：湖南湘潭市岳塘区湘钢二中2026-2027学年上学期九年级数学学科试题卷

2026年下学期期中九年级数学学科试题卷 时量：120分钟 满分：120分 一、单选题 30分 1. 已知，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，一定相似的是（ ） A. 一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形 B. 有一个内角为的两个等腰三角形 C. 两个长方形 D. 两个等边三角形 3. 在中，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为12米，斜面坡度，则水坝高度的长（ ） A. 2米 B. 6米 C. 米 D. 24米 5. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 黄金分割在生活中处处可见，即使是一片银杏叶，也蕴含着“黄金分割”．成都人民公园的银杏大道上，一片飘落的银杏叶主脉可看作线段．是的黄金分割点．若这片银杏叶主脉的长度为，则的长为（ ）． A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，已知，，．以坐标原点O为位似中心把缩小，得到，则点C的对应点的坐标为（ ）． A. B. 或 C. D. 或 8. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，意思是把两条边呈直角的曲尺仰立放，可测量物体的高度．如图，点A、B、Q在同一水平线上，，与相交于点D，测得，，，则树高为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点、点、点都在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点P是边AD上的一点，E，F分别是BP，CP的中点，已知面积为24，那么的面积为（ ） A. 12 B. 3 C. 6 D. 4 二、填空题 18分 11. 已知，则________________________． 12. 若四条线段，，，成比例，则______． 13. 如图，这两个四边形相似，则的度数是______． 14. 如图，，，则图中相似的三角形有________对． 15. 如图所示，已知，，，，则图中边长__________ 16. 阅读下面材料，，则，则，已知为锐角且，则___________． 三、应用题 72分 17. 计算：． 18. 如图，在中，，，．求的长和的值． 19. 如图，，直线，分别交直线，，于点，，和点，，． （1）若，，，求的长； （2）若，，求的长． 20. 如图，在等边三角形中，是边上任意一点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的位似图形，使与的位似比为且点A、B、C的对应点分别是，，； （2）写出各顶点的坐标（______）；（______）；（______） （3）直接写出的值为______． （4）在边上有一点，在位似变换后对应点的坐标（______）． 22. 汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座时，视线被车体结构遮挡而无法直接观察到的区域．如图为汽车盲区截面示意图，驾驶员眼睛位于点处，、为两侧临界视线，、为两侧盲区截面．已知：，，，，，垂足分别为、，． （1）求盲区线段的长； （2）点在线段上，，在处有一高度为的障碍物，判断驾驶员能否看到障碍物，并说明理由．参考数据：，，，，，． 23. 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用．例如：如图，在中，，，设（），延长至点D，使得，连接．易知，，所以… 任务： （1）根据上面的步骤，可知____； （2）请类比这种方法，画出图形，并计算的值； （3）在中，，，，请直接写出的值． 24. 教材呈现：华东师大版九年级数学上册课本页有这样一道练习题： 如图，在中，，，垂足为．找出图中所有的相似三角形，并说明理由． （1）数学兴趣小组的同学对本题进行深入研究得出，理由如下： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴① ∵ ∴(依据② ) ∴③ ∴ 请完成填空：①______；②依据是______；③______； （2）数学兴趣小组的同学又对本题提出猜想：．请判断猜想是否正确，如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由． （3）结论运用：如教材上图，若以所在直线为轴，所在直线为轴，点为坐标原点，当，时，则点坐标为______； （4）拓展提升：如图，在中，，，垂足为为线段上一点，连接并延长至点，连接．若，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下学期期中九年级数学学科试题卷 时量：120分钟 满分：120分 一、单选题 30分 1. 已知，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据内项之积等于外项之积对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：因为 A、由得3a=2b，故本选项不符合题意； B、由得3a=2b，故本选项不符合题意； C、由得2a=3b，故本选项符合题意； D、由得ab=6，故本选不符合题意． 故选：C 【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，比较简单． 2. 下列图形中，一定相似的是（ ） A. 一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形 B. 有一个内角为的两个等腰三角形 C. 两个长方形 D. 两个等边三角形 【答案】D 【解析】 【详解】解：相似图形需满足对应角相等、对应边成比例，逐一判断如下： A、未说明直线平行于三角形第三边，截得的三角形与原三角形不一定相似，不符合题意； B、内角为的等腰三角形，可为顶角或底角，两个三角形对应角不一定相等，不一定相似，不符合题意； C、两个长方形对应边不一定成比例，不一定相似，不符合题意； D、等边三角形内角均为，各边相等，满足对应角相等、对应边成比例，一定相似，符合题意． 3. 在中，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵在中，， ∴为锐角， 又∵， ∴． 4. 如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为12米，斜面坡度，则水坝高度的长（ ） A. 2米 B. 6米 C. 米 D. 24米 【答案】B 【解析】 【分析】坡面的铅垂高度（）和水平长度（）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作，即． 【详解】解：由题意可知，米， 斜面坡度， ， （米）． 5. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．阴影三角形的外角为，根据三角形外角定理，阴影三角形的一个内角等于．角与原三角形的相等，且阴影三角形与原三角形共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似． B．阴影三角形的外角为，其内角为，与原三角形的相等，且共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似． C．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的和上的．原三角形夹的两边比为，阴影三角形夹的两边比为．两组边的比例相同，但所夹的角不相等，不满足两边对应成比例且夹角相等的相似判定．图中无额外等角信息，无法用两角对应相等判定相似．所以，阴影三角形与不相似． D．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的（，截取了）和上的（，截取后剩余）得阴影三角形两边比：（或逆序）．原三角形两边比：；若按对应阴影边、对应阴影边，比例为，满足两边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似，所以，阴影三角形与相似． 6. 黄金分割在生活中处处可见，即使是一片银杏叶，也蕴含着“黄金分割”．成都人民公园的银杏大道上，一片飘落的银杏叶主脉可看作线段．是的黄金分割点．若这片银杏叶主脉的长度为，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵是的黄金分割点， ∴，即， ∴． 7. 在平面直角坐标系中，已知，，．以坐标原点O为位似中心把缩小，得到，则点C的对应点的坐标为（ ）． A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查位似的性质．根据位似比的性质可知，用点C的坐标分别乘以即可求解． 【详解】解：∵以坐标原点O为位似中心把缩小得到，其位似比为， ∴点的对应点的坐标为或， 故选：B． 8. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，意思是把两条边呈直角的曲尺仰立放，可测量物体的高度．如图，点A、B、Q在同一水平线上，，与相交于点D，测得，，，则树高为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得出，再根据对应边成比例求解即可． 【详解】解：，， ， ， ，，， ， ． 9. 如图，点、点、点都在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理可得，，，进而可证，代入数值到即可求解． 【详解】解：由勾股定理可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，点P是边AD上的一点，E，F分别是BP，CP的中点，已知面积为24，那么的面积为（ ） A. 12 B. 3 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得,根据三角形中位线的性质可得，进而可得根据相似三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解： E，F分别是BP，CP的中点， 故选B 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，求得是解题的关键． 二、填空题 18分 11. 已知，则________________________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 若四条线段，，，成比例，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据成比例线段的定义，按题干给出的四条线段的排列顺序建立比例等式，求解a的值． 【详解】解：四条线段，，，成比例， 对应线段的比相等，即， 根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，可得， 解得． 13. 如图，这两个四边形相似，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的性质，多边形内角和．根据相似图形的性质可知左图第四个角的度数，根据多边形内角和求出四边形内角和，进而可求的度数． 【详解】解：∵两个四边形相似， ∴， 故答案为：． 14. 如图，，，则图中相似的三角形有________对． 【答案】6 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定，可判定共6对三角形相似． 【详解】解：如图，①∵，， ∴, 又∵， ∴； ②∵，， ∴， 又∵， ∴； ③∵，， ∴， ∵， ∴； ④∵，， ∴， ∵， ∴， ⑤∵，， ∴； ⑥∵，， ∴． 综上所述，图中相似三角形有6对． 15. 如图所示，已知，，，，则图中边长__________ 【答案】3 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边成比例是解题的关键． 16. 阅读下面材料，，则，则，已知为锐角且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题干给出的例子归纳得到，代入已知的值，结合即可求出结果． 【详解】解：由题干给出的例子可归纳得：任意锐角满足 ∵， ∴． 三、应用题 72分 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据零指数幂，负指数幂，特殊角度的三角函数值以及算术平方根运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及到了零指数幂，负指数幂，特殊角度的三角函数值以及算术平方根运算法则，熟练掌握这些法则是解题关键． 18. 如图，在中，，，．求的长和的值． 【答案】， 【解析】 【分析】先利用，可得，再由勾股定理，可得 ，再根据正弦的定义，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数，勾股定理是解题的关键． 19. 如图，，直线，分别交直线，，于点，，和点，，． （1）若，，，求的长； （2）若，，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得，求出，然后通过进行解答即可； 根据平行线分线段成比例定理得，求出，然后通过进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即的长为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即的长为． 20. 如图，在等边三角形中，是边上任意一点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）的长为． 【解析】 【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质，等边三角形的性质． （1）根据两个角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据，，得出，证明，可得，即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等边三角形，，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴． ∴的长为． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的位似图形，使与的位似比为且点A、B、C的对应点分别是，，； （2）写出各顶点的坐标（______）；（______）；（______） （3）直接写出的值为______． （4）在边上有一点，在位似变换后对应点的坐标（______）． 【答案】（1） （2）；；； （3）； （4）． 【解析】 【分析】（1）根据位似的定义确定对应点，然后顺次连接即可； （2）直接根据（1）的作图写出坐标即可； （3）过点作延长线于点，然后根据正切的定义求解即可； （4）如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为，那么与原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作延长线于点，则，， ； 【小问4详解】 略． 22. 汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座时，视线被车体结构遮挡而无法直接观察到的区域．如图为汽车盲区截面示意图，驾驶员眼睛位于点处，、为两侧临界视线，、为两侧盲区截面．已知：，，，，，垂足分别为、，． （1）求盲区线段的长； （2）点在线段上，，在处有一高度为的障碍物，判断驾驶员能否看到障碍物，并说明理由．参考数据：，，，，，． 【答案】（1）． （2）不能看到障碍物． ∵， ∴四边形是矩形． ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴． 过点作，交于点(如图)． 在中，， ∴． ∵， ∴障碍物顶端在临界视线的下方，处于盲区内． ∴驾驶员不能看到障碍物． 【解析】 【分析】（1）在直角三角形中，用把已知的对边与所求的邻边联系起来； （2）先由平行与垂直判定矩形求出，再用求与，作垂线得到处临界视线的高度，与障碍物的高度比较． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∵点在上，点在上， ∴． 在中，． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查解直角三角形在实际情境中的应用；关键是把盲区边界看作临界视线，由判定矩形，把高转移到，再过作的垂线，把同一点处视线的高度与障碍物的高度作比较；易错点是误用代替计算视线高度． 23. 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用．例如：如图，在中，，，设（），延长至点D，使得，连接．易知，，所以… 任务： （1）根据上面的步骤，可知____； （2）请类比这种方法，画出图形，并计算的值； （3）在中，，，，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） 如图所示， 在中，，延长到点D，使得，连接， 则， ，设，则， 故， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和题目的数据，可以计算出的值； （2）根据题意，延长到点D，使得，连接画出图形，然后即可计算出的值； （3）根据题意，取上的点D，使得，连接，画出图形，设，则，根据勾股定理求出，即可计算出结果． 【小问1详解】 解：由题意得：，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图所示， 在中，，取上的点D，使得，连接， ， ， 设，则， ∵， ∴ 解之得 ∴ ． 24. 教材呈现：华东师大版九年级数学上册课本页有这样一道练习题： 如图，在中，，，垂足为．找出图中所有的相似三角形，并说明理由． （1）数学兴趣小组的同学对本题进行深入研究得出，理由如下： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴① ∵ ∴(依据② ) ∴③ ∴ 请完成填空：①______；②依据是______；③______； （2）数学兴趣小组的同学又对本题提出猜想：．请判断猜想是否正确，如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由． （3）结论运用：如教材上图，若以所在直线为轴，所在直线为轴，点为坐标原点，当，时，则点坐标为______； （4）拓展提升：如图，在中，，，垂足为为线段上一点，连接并延长至点，连接．若，，，求的长． 【答案】（1）；两角对应相等的两个三角形相似；． （2）正确． ∵，垂足为， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∴． ∴． ∴． （3）． （4）． 【解析】 【分析】（1）按题面给出的推导骨架，用同角的余角相等补全角，再由两角分别相等判定相似并写出对应边的比； （2）在直角三角形中用同角的余角相等找出另一组相等角，判定两个小三角形相似，由对应边成比例得到乘积式； （3）由题设坐标读出两条线段的长，利用（2）的乘积式求出，再按点所在的位置写出坐标； （4）由已知等角与公共角先证一组三角形相似得到，再结合（1）的结论转移比例，证出为直角后用勾股定理求． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴(依据：两角对应相等的两个三角形相似)． ∴． ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，点为坐标原点， ∴． 由（2）知， ∴． ∵点在轴正半轴上， ∴． 【小问4详解】 解：∵， ∴． ∴． ∴． 由（1）知， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，点在上， ∴． ∴． 在中，， ∴（负值舍去）． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及勾股定理；关键是由与公共角证得，再用把乘积式换成，从而把两组边配成，得到． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $