2026-2027学年高二上学期数学期中考试预测卷

2026-2027学年高二数学上学期期中考试预测卷（人教A版适用 ） 范围：高中数学人教A版选择性必修一前两章+椭圆 考试注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．“直线：与：互相垂直”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据直线一般式方程垂直关系的条件求得 或 ，再结合充分条件与必要条件判断即可. 【详解】因为直线，垂直等价于, 所以，有，即，解得 或 ， 当时，：与：，满足垂直，必要性成立； 当时，：与：，也满足垂直关系. 所以，两直线垂直不能得到（还可取 ），充分性不成立； 故“直线 与 互相垂直”是“”的必要不充分条件. 2．在四面体中，是的重心.记，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由空间向量的运算，用表示，即可得到结果. 【详解】连接并延长交于，则为的中点， 所以，， 所以， 所以，，所以. 故选：B. 3．若方程表示圆，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二元二次方程表示圆的条件求解即可. 【详解】由题意，得， 解得. 故选：D. 4．方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的椭圆方程及焦点位置列不等式求解. 【详解】由方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，得，解得， 所以k 的取值范围为. 故选：C 5．如图，在三棱锥中，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加减法及数乘运算计算求解. 【详解】因为为的中点，所以， 因为， 所以． 6．已知点，，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出草图可知，点M、点N在直线l同侧，运用对称性即可求得结果. 【详解】如图所示， 设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以． 故选：C. 7．法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆的方程为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由蒙日圆的定义得到，即可求解. 【详解】直线，都与椭圆相切，两直线的交点为， 所以， 所以， 故椭圆的离心率. 故选：A 8．已知底面边长为，高为的正三棱柱的顶点均在球的表面上，则球心到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求. 【详解】设外接圆圆心为，外接圆圆心为，则正三棱柱的外接球球心为中点， 由题意，以为原点，建立如图空间直角坐标系， 因为边长为，高为， 所以，故， 故， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以，平面的法向量为， 所以到平面的距离. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于空间向量，下列选项正确的是（   ） A．空间向量及其模都可以比大小 B．若，且，则 C．若空间向量，且，则实数 D．已知空间向量和，则在上的投影向量是 【答案】BCD 【分析】根据空间向量及模的概念可判断A；利用空间向量垂直的坐标表示可判断B；利用空间向量共线的坐标表示可判断C；利用投影向量的定义可判断D. 【详解】对于A：空间向量既有大小又有方向，不能比较大小；空间向量的模是一个非负实数，可以比较大小，故A错误； 对于B：若且，则，故B正确； 对于C：若空间向量，且，则，解得，故C正确； 对于D：空间向量和，则在上的投影向量是；故D正确， 故选：BCD. 10．已知圆与圆，则（    ） A．圆心距 B．两圆的公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公共弦长为 D．直线是两圆的一条公切线 【答案】ABD 【分析】根据圆的方程确定圆心坐标后计算圆心距，可得A;两圆方程相减得出公共弦所在直线方程，再在其中一个圆中计算公共弦弦长可判断B,C;计算两个圆到给定直线的距离是否分别等于各自半径，可判断D. 【详解】根据两圆方程，可知圆的圆心坐标,半径,圆的圆心坐标,半径. 对于A：,故A正确； 对于B：由A可知，,因此两圆相交.两圆的公共弦所在直线方程可由两圆方程相减得到，即将减去, 得到,整理化简得,故B正确； 对于C：两圆相交，存在公共弦，在其中一个圆中计算该弦长即可.圆心到公共弦的距离,故弦长,故C错误； 对于D：圆心到直线的距离,圆心到直线的距离,故直线是两圆的一条公切线，故D正确. 故选：ABD. 11．已知椭圆C：的左右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（   ） A．离心率的取值范围为 B．当离心率为时，的最大值为 C．不存在点Q，使得 D．的最小值为 【答案】CD 【分析】由题设，可得，， 对于A,由离心率公式可判断； 对于B，由即可判断； 对于C，由，即，即可判断； 对于D，由椭圆的定义有，然后利用基本不等式求解即可判断. 【详解】由题设，，则，又在椭圆内部，则，即， 对A：，故选项A错误； 对B：当时，有，则，故选项B错误； 对C：由，即，所以以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点， 所以椭圆上不存在点Q使得，故选项C正确； 对D：由椭圆的定义有， 所以 ，当且仅当时等号成立， 当时，,由于，则能取到，满足条件； 当时，,由于，则不能取到，此时, 综上选项D正确. 故选：CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在空间直角坐标系中，点为整数，则的最小值为__________. 【答案】4 【分析】结合题意利用两点之间的距离公式求解. 【详解】， 因为为整数，所以的最小值为4. 故答案为：4 13．圆与圆相交所得公共弦长为__________． 【答案】 【分析】两圆方程作差得公共弦所在直线方程，利用点到直线的距离公式可得到直线的距离，最后由即可得解. 【详解】记圆，圆， 两个方程作差可得，， 所以两圆公共弦所在直线方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 故答案为：. 14．某理发店的镜子如图1所示，它的平面图是一个离心率为的椭圆被一条横线截去一小部分后剩下的图形，如图2所示.已知该镜子的宽度为，底部的宽度为，则该镜子的高度为__________. 【答案】9 【分析】建立平面直角坐标系，根据已知条件求得椭圆方程，进而计算出镜子的高度. 【详解】如图，以椭圆的中心为原点，建立直角坐标系， 设椭圆的方程为，焦距为. 由，得， 所以椭圆的方程为. 当时，，得. 由图可知，镜子的高度为（）. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在中，. (1)求边上的高的方程； (2)若直线经过点，且到直线的距离相等，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求直线的斜率，进而得，再根据点斜式方程求解即可； （2）分直线的斜率不存在与存在两种情况分别讨论求解即可; 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴边上的高的斜率为， ∴边上的高的方程为，即 （2）解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时两点到直线的距离相等，且等于，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， ∵到直线的距离相等， ∴，即，解得， ∴直线的方程为， 综上，直线的方程为或 16．（15分）如图，在平行六面体 中，，，，，，．设 ，，． (1)用 ，，表示； (2)求 ； (3)求与夹角的余弦值． 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）由空间向量加法的多边形法则， ； （2）由（1）知，， 故， 其中，故， 同理，， 故，故； （3）设两向量夹角为，由向量夹角公式， ， 其中，故. 17．（15分）在平面直角坐标系xOy中，点，设圆C的半径为1，圆心C在直线上． (1)若圆心C也在直线上，过点P作圆C的切线，求切线方程； (2)若圆C上存在点M，使，求圆心C的横坐标的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）联立两条直线的方程求解圆心坐标，得到圆的标准方程；分切线斜率存在与不存在两种情况讨论，斜率存在时设切线的斜截式方程，利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解斜率，斜率不存在时直接验证直线是否满足相切条件，最终得到全部切线方程. （2）设点的坐标，根据距离等式平方化简，得到点的轨迹为定圆；将“圆上存在满足条件的点”转化为两圆有公共点，依据两圆相交、相切时的圆心距范围列不等式，求解得到圆心横坐标的取值范围. 【详解】（1）圆心在直线上，在直线上， 所以联立，解得，所以圆心坐标为， 所以圆的标准方程为：， 若切线斜率存在，设过点P的切线方程为， 由于切线与圆相切，圆心到切线的距离等于半径， 即：，化简得， 两边平方得： ， 因此，切线方程为：，即． 若切线斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离为：，符合； 因此，切线方程为：或． （2）设点，则， 两边平方得：，即， 所以点M在圆上， 因为点M也在圆C上，所以圆C与圆有交点， 圆C的圆心为，半径为1， 所以，化简得， 平方得：，所以， 所以圆心C的横坐标的取值范围为：． 18．（17分）如图，在四棱锥 中，四边形 为菱形，，， 为 中点. (1)求证： 平面 ； (2)若平面 平面 ，求 到平面 的距离； (3)若三棱锥 外接球半径为 4，求直线 和平面 所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：设，连接， 因为四边形为菱形，所以为的中点， 因为在中，为的中点，所以为的中位线， 所以，又因为平面，不在平面上，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）要证明线面平行，则需要通过证明线线平行即可证明线面平行，即证明. （2）先建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，然后求出平面的法向量坐标，进而利用向量数量积求出 到平面 的距离. （3）先根据勾股定理求出点的坐标，然后求出平面的法向量坐标，进而利用向量夹角余弦值公式求出直线 和平面 所成角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）以为原点，以所在直线为轴，在平面内过作与垂直的直线为轴， 过作与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 在平面内过作，交的延长线于，连接， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，所以轴. 因为，所以， 因为，所以，所以. 即，所以轴. 在中，，所以. 所以. 因为为的中点，所以，所以. 设平面的法向量为，所以. 令，则，则. 设点到平面的距离为，所以. 由（1）知平面，所以到平面的距离即为点到平面的距离. 所以到平面的距离为. （3）根据（2）中的坐标系，设，则. 因为，所以. 由，可得， 解得，故. 在正中，外接圆圆心为，外接圆半径为. 设三棱锥外接球的半径为，球心为. 由球的性质，可得，解得，即. 所以.因为点在外接球上，所以. 所以，即. 所以，所以. 所以. 设平面的法向量为，所以. 即，令，则. 所以.设直线和平面所成角为， 所以. 因为，所以. 所以直线 和平面 所成角的余弦值为. 19．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆C于A，B两点， ① 若，求直线的方程； ② 求面积的最大值. 【答案】(1) (2)①或 ② 【分析】（1）根据的边上中线为得，再联立即可求解； （2）①设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程得，再由，即，最后代入即可求解； ②利用点到直线的距离，弦长公式表示出三角形面积，换元后求最值即可得解. 【详解】（1）由题意，因为，为直角三角形，所以. 又，所以，所以椭圆的标准方程为. （2）①由（1）知，,显然直线的斜率存在， 设直线的方程为，， 联立消去得，， 所以，即. 且， 因为，所以， 所以，即， 所以， 整理得， 即， 化简得，即满足条件， 所以直线的方程为或， 即直线的方程为或. ②由①可知直线方程为， 则到直线的距离， 由①可知，， 所以三角形的面积， 令，由知，则， 当，即时等号成立，故. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高二数学上学期期中考试预测卷（人教A版适用) ▣绿▣互薄 范围：高中数学人教A版选择性必修一前两章+椭圆 讲诊 动弱 甘恩断 考试注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位 置 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.“直线1，：a2-3a+2x+2y+3=0与，：x-y+0-1=0互相垂直”是“a=3”的(） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.在四面体ABCD中，G是△ACD的重心.记AB=a,AC=b,AD=c,若BG=xa+yb+2c,则 x+y+Z=() B.-3 c 3.若方程x+y-3x+y+t=0表示圆，则实数t的取值范围是() .e B.-0,- C ,+0 D 5 00, +业 方程K十3水+41表泰焦点在猫正的椭圆，则k的取值范围为() A.k>-3 B.k>-2 C.k>-1 D.k>0 试卷第1页（共3页） 5.如图，在三棱锥C-OAB中，G为AB的中点，AM=号AC,则MG=() 3 M A-30i+号o8+00 B.oA+o成-od c.oi+o成-o心 6 3 D. A+10B-10C 6 6 6.已知点M(1,-2),N(4,4),H是直线：2x-y+1=0上的动点，则HM+NH的最小值为() A.V13 B.3V5 c.V65 D.6V2 7.法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互 相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆若椭圆 音+长=1a>b>0的蒙日圆的方程为父+y=2g2则稀圆C的离心率为() 4 2 3 B.2 C.2 D.4 8.已知底面边长为a,高为3a的正三棱柱ABC-A1B,C1的顶点均在球O的表面上，则球心O到平面 AB,C,的距离为() 2 15 A.3a B.3d c.30a w晋 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.关于空间向量，下列选项正确的是() A.空间向量及其模都可以比大小 试卷第2页（共3页） B.若a1i且a=x1,y1,Z,i=x,y2,22则xx+yy+z12=0 C.若空间向=3,13引-小1，A,-1.月成，则实数=青 D.已知空间向叠后和5，则6在5上的投影向量是a:6方 10.已知圆C1(x-1P+y=1与圆c,:x-2P+(y-2P=4则（） A.圆心距C,C2=5 B.两圆的公共弦所在直线的方程为x+2y-2=0 C.两圆的公共弦长为白 D.直线3x-4y-8=0是两圆的一条公切线 1.已知椭圆C:+=1(a>b>0的左右焦点分别为F,、F,长轴长为4，点pR2,1在椭圆内部， a b2 点Q在椭圆上，则以下说法正确的是() 04围取班阳。 B.当离心率为2时，QF的最大值为3+2 2 C.不存在点0，使得Q市QF2=0 D.4 1的最小值为9 QF QF2 4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在空间直角坐标系O-yz中，点A-1,0,2,B2,1,m,AB为整数，则AB的最小值为 13.圆x2+y+x-2y-20=0与圆x2+y=25相交所得公共弦长为 14.某理发店的镜了如图1所示，它的平面图是一个离心率为亏的椭圆被一条横线截去一小部分后剩下的 试卷第3页（共3页） 图形，如图2所示.已知该镜子的宽度为6dm,底部的宽度为3.6dm,则该镜子的高度为 dm. 6dm- 3.6dm 图1 图2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)在△ABC中，A(1,2),B(3,4),C(2,0). (1)求AB边上的高CD的方程： (2)若直线经过点C,且A,B到直线l的距离相等，求直线的方程， 16.(15分)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,AA1=2, ∠BAD=60,∠BAA,=60,∠DAA,=90·设AB=aAD=6AA,=E ()用a6表示AC: (2)求|AC 3)求AC,与：夹角的余弦值. 17.(15分)在平面直角坐标系xOy中，点P0,3,设圆C的半径为1，圆心C在直线l:y=2x-4上. (①)若圆心C也在直线y=X-3上，过点P作圆C的切线，求切线方程； (2)若圆C上存在点M,使MP=2MO,求圆心C的横坐标的取值范围. 18.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，PA=AB=AD=4, ∠PAB=∠DAB=120,M为PB中点 试卷第4页（共3页） D M (1)求证：PD/平面ACM: (2)若平面DAB⊥平面PAB,求PD到平面ACM的距离： (3)若三棱锥P-ABC外接球半径为4，求直线PD和平面PAC所成角的余弦值. 言+长=1(a>b>0的左、有焦点分别为R,F离心率。2，点 19.(17分)已知椭圆c:X+上 e= 2 P,Q分别是椭圆的右顶点和上顶点，△POQ的边PQ上的中线长为2 (1)求椭圆的标准方程： (2)过点H-2,0的直线交椭圆C于A,B两点， ①若AF1⊥BF1,求直线AB的方程： ②求△ABF1面积的最大值 试卷第5页（共3页）