黑龙江哈尔滨德强高级中学2026-2027学年上学期期中考试高三数学试题

哈尔滨德强高级中学2026-2027学年度上学期期中考试 高三年级 数学试题（Ⅰ卷）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B A D A B A ACD ACD 题号 11 答案 BD 12．5 13． 14． 15．【详解】（1）由题图得， 因为，∴. 由，得， 所以，解得. 又因为，∴当时，. 又由，得. 故. ------------------------------------------------------------------------------------6分 （2）将 的图像向右平移个单位， 得到的图像， 再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得到的图像. 由，，得， 当时，；当时，， 因为，所以函数在区间上的单调递增区间为， -------------13分 16．【详解】（1）由得，可知， 两式相减得， 即， ， ∵当时，， 则是首项为1，公差的等差数列， 的通项公式为； -------------------------------------------------------------------7分 （2）， ， . --------------------------------------------------------------------15分 17．【详解】（1）证明：取棱的中点O，连接， ，则，， 因为是等边三角形，且O是的中点，所以. 因为，所以，所以，则. 因为平面，平面，且， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. ------------------------------------------------------------6分 （2）取棱CD的中点F，连接OF，则两两垂直， 以O为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，则，， 设，,则， 又，所以. 设平面的法向量为， 则令，得. 设直线与平面所成的角为， 则， 解得或， 故当或时，直线与平面所成角的正弦值为. -----------------------------------15分 18【详解】（1）设第场分享会的学生嘉宾中恰有1名男生为事件，恰有2名男生为事件，恰有3名男生为事件， 则表示从0号宣讲分享小组的2男2女嘉宾中选出1男1女， 故，即第一场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率为.-------------------------3分 （2）由全概率公式知 ， 即第二场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率为. ----------------------------------------------------9分 （3）当时，由全概率公式可知 ， ， ， 由得， 所以， 由（1）知，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以， 根据对称性（3男1女和3女1男）的概率一样，所以， 又，所以， 令可得的分布列为 1 2 3 所以的数学期望为 ．---------------------------------------------------------------------17分 19．【详解】（1）由题意，当时，，定义域为， 则， 令，解得， 所以当时，恒成立，所以在单调递减， 当时，恒成立，所以在单调递增， 所以当时，函数取得极小值，为，无极大值.-------4分 （2）由题意，，定义域为， 则， 因为，，所以， 当时，恒成立，所以恒成立， 所以函数在上单调递增； 当时，令，解得（舍去），， 令，解得，令，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增.---------10分 （3）证明：令数列的前项和为，且，数列满足， 当时，， 当时，， 则原不等式，等价于， 当时，，，成立， 当时，，即，即， 令，则， 又，所以， 则不等式，等价于，即证， 由（2）得，当时，函数在上单调递增， 又，所以，即， 所以得证， 所以当时，成立，所以， 又当时，， 综上所述，成立，不等式得证.---------------------------------17分 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨德强高级中学2026-2027学年度上学期期中考试 高三年级 数学试题（Ⅰ卷） 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 3．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 5．已知向量满足，则（ ） A． B． C． D． 6．已知，，，则（     ） A． B． C． D． 7．已知数列的前n项和为，且满足，，则使得不等式成立的实数k的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 8．已知函数，若存在满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．数列的前n项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则数列的前5项和最大 B．若等比数列是递减数列，则公比q满足 C．已知等差数列的前n项和为，若，则 D．已知为等差数列，则数列也是等差数列 10．在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（   ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为 C．三棱锥的体积为定值 D．球面经过，，，四点的球的半径最小值为 11．三次函数，定义：是的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，拐点处的切线方程为 B．对任意实数，直线与曲线有唯一公共点 C．若经过点可以向曲线作三条切线，则的取值范围是 D．存在等差数列，使 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则______. 13．已知等比数列的各项为正数，前项和为，若，则公比______． 14．在三棱锥中，，且，则二面角的余弦值的最小值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分） 已知函数的部分图像，如图所示. (1)求函数的解析式； (2)将函数的图像向右平移个单位，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的单调递增区间. 16．（本小题满分15分） 设正项数列的前n项和，满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 17．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是直角梯形，，，，. (1)证明：平面平面. (2)线段上是否存在点E，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 18．（本小题满分17分） 我校素有由每届考入各大名校的优秀学生代表返校作为嘉宾与下一届学生进行学习经验分享的传统．若由2025届毕业的返校嘉宾组成编号为的个宣讲分享小组，其中0号宣讲分享小组的嘉宾为2名男生和2名女生，其余各组的嘉宾均为1名男生和1名女生．第一场分享会的4名学生嘉宾是由从0号宣讲分享小组的嘉宾中选出的2名和1号宣讲分享小组的2名嘉宾共同组成，第二场分享会的4名学生嘉宾由从上一场的4名嘉宾中选出2名和2号宣讲分享小组的2名嘉宾共同组成，，按照这样的方式，依次进行到第场分享会． (1)求第一场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率； (2)求第二场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率； (3)记第场分享会的学生嘉宾中男生人数为，求的分布列和数学期望． 19．（本小题满分17分） 已知函数． (1)当时，求的极值； (2)讨论在区间上的单调性； (3)设，证明：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $