精品解析：安徽省淮北市第一中学2027届高三上学期期中考试数学试卷

淮北市第一中学2027届高三上学期期中考试 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题（40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先解绝对值不等式得到集合B，再根据交集的定义即可求解. 【详解】由得或，解得或， 所以或， 所以或. 2. 若，则在复平面内，所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【详解】， 故在复平面内，其对应的点为位于第三象限． 3. 已知均为单位向量，且满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意知，解得， 于是． 4. 若随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项分布的性质求出，再根据方差的性质即可得结果. 【详解】因为，所以，则， ， . 5. 已知正项数列为等比数列，，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】正项数列为等比数列，，； . 6. 已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ，， 【答案】C 【解析】 【详解】对于选项A：当，时，，所以本选项不符合题意； 对于选项B：当，时，平面，可以平行，所以本选项不符合题意； 对于选项C：当，时，由面面垂直的判定定理可得，所以本选项符合题意； 对于选项D：当，，时，根据线面垂直的判定定理，由不一定能推出，所以本选项不符合题意. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，，则. 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为为上异于实轴端点的动点，若，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理和三角恒等变换化简整理出离心率，再结合三角函数范围求解即可. 【详解】 设，，在中，结合双曲线定义，， 由正弦定理得，​ 化简分子：  ​， 分母​， 代入得 ， 已知​，代入整理得， 是三角形内角，故，结合双曲线离心率， 由，， 由，， 因此离心率. 二、多选题（18分） 9. 已知函数的图象如图所示，则（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递增 【答案】AD 【解析】 【分析】利用数形结合思想即可判断. 【详解】由图可知函数在区间和上单调递增， 在区间和上单调递减．故AD选项正确． 10. 已知随机事件，均包含于必然事件，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据条件概率公式，变形求解，可判断A、D的正误；根据概率加法公式，可判断B的正误，根据概率的范围，结合二次函数的性质，可判断C的正误； 【详解】选项A：由条件概率公式得，故A错误； 选项B：由概率加法公式得， 因为，所以， 则，故B正确； 选项C：， 所以，则， 令，， 则， 因为，， 所以， 当且仅当时取等号，故C正确； 选项D：， 当或时，才有， 但，， 无法确定是否为0及是否等于，故D错误. 11. 在正方体中，，空间任意一点满足，则（ ） A. 点的轨迹在正方体内的部分的面积为 B. 直线与所成角的最大值为 C. 的最小值为3 D. 面积的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，得到相应空间向量的坐标，由两点间的距离公式及数量积可解决最值问题，要注意了解柯西不等式的使用. 【详解】对于A，点的轨迹在正方体内的部分是以为球心，1为半径的球面的，如图， 则其面积为球的表面积的，即，故A错误. 对于B，如图，建立空间直角坐标系，则， 设，由两点间的距离公式可得， 所以， 所以， 令，则， 所以的最值可转化为的最值， 由基本不等式知，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，所以直线与所成角的最大值为，故B正确. 对于C，由知由柯西不等式知，当且仅当，即时等号成立， 所以，即的最小值为3，故C正确. 对于D，由正方体的结构可知，，即球心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最小值为， 所以面积的最小值为，故D正确. 三、填空题（15分） 12. 的展开式中的系数为________．（结果用数字表示） 【答案】240 【解析】 【分析】结合二项式展开式通项公式，即可求出对应的展开项以及系数 【详解】由二项式展开项通项公式可得，， 所以，故所求系数为240. 13. __________. 【答案】 【解析】 【详解】 所以分子. 又， 故原式. 14. 已知函数和的图象上存在点关于直线对称，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为与有交点，分离参数构造函数，结合导数研究函数的单调性以及最值即可求解. 【详解】关于的对称函数为， 则函数和的图象上存在点关于直线对称时，与有交点， 则有解，即有解， 令，则时有，时，，单调递增， 时，，单调递减， 则，且，，，， 所以，则． 四、解答题（77分） 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，. （1）求； （2）求的面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式化简可得，再结合，即可得出答案； （2）由余弦定理和基本不等式可得，再由三角形的面积公式即可得出的面积的最大值. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理可得， 即， 由于，因此， 又因为，所以，则 因为，所以， 则，故 【小问2详解】 由余弦定理可得， 所以， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，则， 则的面积， 故的面积的最大值为. 16. 已知函数. （1）若，求在处的切线方程； （2）若，证明不等式在上恒成立. 【答案】（1） （2）当时，，要证对任意的恒成立， 即证，即证，即证对任意的恒成立， 构造函数，其中， ，其中，令，则， 对任意的，恒成立，故函数在上单调递增， 当时，，故函数在上单调递增， 当时，，故原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）当时，要证不等式成立，即证对任意的恒成立，构造函数，其中，利用导数分析该函数在上的单调性，结合即可证得结论成立. 【小问1详解】 当时，，则，，则， 此时函数在处的切线方程为. 【小问2详解】 略 17. 已知分别为椭圆的左､右顶点，且，的离心率为. （1）求的方程； （2）若过且斜率不为0的直线与交于两点，与直线交于点，设直线的斜率分别为，且，比较与的大小，并说明理由. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出a的值，再结合离心率的值可求b； （2）设直线l的方程为，将其与椭圆方程联立，得到关于y的一元二次方程，利用韦达定理得到M、N两点纵坐标的和与积；分别写出直线的斜率表达式，结合​的条件，建立关于的等式，求出t的值；与转化为用纵坐标表示的形式，结合韦达定理和已求的t值，比较两者大小. 【小问1详解】 因为为左右顶点，，故，即. 离心率，代入得. 由，得. 因此，椭圆的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为（），，. ，，则， 由，得① 将代入椭圆方程，整理得 由韦达定理得， ② 将，代入①式：， 整理得， 将②式代入得， 整理得，因为为常数， 则不恒成立，则，即 此时直线方程为，，， 因为 ， 所以. 18. 如图，在直角梯形中，，为的中点，连接，将沿折起到的位置，得到四棱锥. （1）求证：. （2）设二面角的平面角为，且 （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）求四面体体积的最大值. 【答案】（1） 如图，设的中点为，连接. 因为，且，所以四边形是菱形. 在中，有，在中，有， 又，平面，故有平面， 又 平面，则. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由折叠前后、底面，利用线面垂直判定定理证平面，得证； （2）（i）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角公式计算正弦值； （ii）应用四面体体积计算公式得到，要求的最大值，只需求的最大值. 通过差角公式与均值不等式求得的最大值，从而得到体积的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由（1）知，平面，作平面，又， 所以分别以直线为轴建立空间直角坐标系， 则. 由（1）得，故即为二面角的平面角， 则有，当时，，此时， 故. 设平面的法向量为， 则，即，取， 设直线与平面所成的角为， 则. （ii）由（1）知平面，所以平面， 记， 则四面体的体积. 由题意，可知，则与在上均单调递增， 要求的最大值，只需求的最大值. ， 令，则，且， 当时，单调递增，当时，单调递减， 当，即时，，当，即时，， 所以当或3时，取得最大值，此时取得最大值， 所以四面体的体积的最大值. 19. 某校的数学兴趣小组开展概率问题研究活动.同学们在电脑上体验一款名为“复制银币的小黑盒”的游戏,该游戏的规则如下：游戏开始时只有1个银币,每次游戏将手中所有的银币投进小黑盒中,每个投入小黑盒的银币等可能地产生出1,2,3枚银币,且投入的银币消失,每次游戏产生出银币的过程相互独立,记（）次游戏后共有（）个银币的概率为. （1）求和； （2）求； （3）若X和Y均为离散型随机变量,则,记次游戏后银 币的个数为,求. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）：直接计算．：第一次游戏后银币数只能是1或2（否则第二次后银币个数大于2），分别计算概率并相加． （2）先求．再对建立递推：，代入，根据等比数列求和得．然后对建立递推：．代入前两项表达式，通过等比数列求和可得． （3）先计算每个银币单次游戏产出期望为．由条件期望，，取期望得．初始，然后求出． 【小问1详解】 代表一次游戏后有2个银币，， 代表2次游戏后共有2个银币，有两种可能情况，第一次游戏产生2个银币， 第二次游戏各产生1个银币；第一次游戏产生1个银币，第二次游戏产生2个银币． ． 【小问2详解】 时，． 时，代表n次游戏后共有3个银币，有三种可能： 1.次游戏后有1个银币，次游戏产生3个银币； 2.次游戏后有2个银币，次游戏一个银币产生2个银币， 另一个银币产生1个银币，一共产生3个银币； 3.次游戏后有3个银币，次游戏各产生1个银币，一共产生3个银币． 易有；时，． 记，，，． ， 即，时，也满足． 【小问3详解】 每个银币在一次游戏中产生的银币数期望为． 设已知，则第n次游戏时，将个银币各自独立产生新银币， 由期望的线性性质，， 故由全期望公式． 又，递推得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淮北市第一中学2027届高三上学期期中考试 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题（40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则在复平面内，所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知均为单位向量，且满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 若随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知正项数列为等比数列，，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 6. 已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ，， 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为为上异于实轴端点的动点，若，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（18分） 9. 已知函数的图象如图所示，则（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递增 10. 已知随机事件，均包含于必然事件，若，，则（ ） A. B. C. D. 11. 在正方体中，，空间任意一点满足，则（ ） A. 点的轨迹在正方体内的部分的面积为 B. 直线与所成角的最大值为 C. 的最小值为3 D. 面积的最小值为 三、填空题（15分） 12. 的展开式中的系数为________．（结果用数字表示） 13. __________. 14. 已知函数和的图象上存在点关于直线对称，则实数a的取值范围为________． 四、解答题（77分） 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，. （1）求； （2）求的面积的最大值. 16. 已知函数. （1）若，求在处的切线方程； （2）若，证明不等式在上恒成立. 17. 已知分别为椭圆的左､右顶点，且，的离心率为. （1）求的方程； （2）若过且斜率不为0的直线与交于两点，与直线交于点，设直线的斜率分别为，且，比较与的大小，并说明理由. 18. 如图，在直角梯形中，，为的中点，连接，将沿折起到的位置，得到四棱锥. （1）求证：. （2）设二面角的平面角为，且 （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）求四面体体积的最大值. 19. 某校的数学兴趣小组开展概率问题研究活动.同学们在电脑上体验一款名为“复制银币的小黑盒”的游戏,该游戏的规则如下：游戏开始时只有1个银币,每次游戏将手中所有的银币投进小黑盒中,每个投入小黑盒的银币等可能地产生出1,2,3枚银币,且投入的银币消失,每次游戏产生出银币的过程相互独立,记（）次游戏后共有（）个银币的概率为. （1）求和； （2）求； （3）若X和Y均为离散型随机变量,则,记次游戏后银 币的个数为,求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $