第二十五章 一元二次方程 单元测试卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十五章一元二次方程单元测试卷 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．若关于x的方程的一个根为，则a的值为（    ） A． B． C．1 D．2 2．用配方法解方程时，配方后所得的方程是（     ） A． B． C． D． 3．将方程化为一元二次方程的一般式，正确的是（     ） A． B． C． D． 4．下列方程一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 5．若一元二次方程的两个实数根分别为，，则式子的值为（    ） A． B． C． D． 6．定义为关于x的一元二次方程的特征数，则特征数为的一元二次方程的两个实数根的平方和为（     ） A． B． C． D． 7．年清明档（月日—月日），动画电影《哪吒之魔童闹海》的总票房为亿元，月日的单日票房达到亿元 ，假设平均每天的票房增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 8．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有64人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论不正确的是（     ） A．第一轮后有个人患了流感 B．第二轮后又增加个人患流感 C．依题意可列方程 D．按照这样的传染速度，经过三轮传染后将超过500人患流感 9．定义：是一元二次方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的有（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 10．一个小球以的速度开始向前滚动，均匀减速，后小球停止滚动．（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．）下列说法正确的是（     ） A．小球速度平均每秒减少 B．小球滚动的总路程为 C．小球滚动最后走过的路程为 D．小球滚动时，用的时间是 二、填空题（本大题6题，每小题3分，共计18分） 11．已知关于的方程是一元二次方程，那么的取值范围是___________． 12．已知为一元二次方程的一个根，则代数式的值为________ 13．若方程的两个根分别为和，则的值为___________． 14．已知a，b是方程的两个实数根，则的值为______． 15．如图，李大爷想用长的铁丝网围成一个一边靠墙的面积为的矩形鸭舍，要求不能大于墙长，已知墙长为，那么鸭舍垂直于墙的边长是______m． 16．已知关于x的两个一元二次方程和有且只有一个公共根，则m的值为________． 三、解答题（本大题8题，每小题9分，共计72分） 17．已知是方程的一个根，求代数式的值． 18．解方程： (1) (2) (3) (4) 19．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，方程总有实数根； (2)若方程的两个实数根是，，且满足，求的值． 20．如图，广中初三年级开展主题为“寻知田埂添活力启智农耕蕴美好”的学农活动．学校计划在“励学楼”南侧开辟一块矩形菜地，它的一面靠墙（墙的最大可用长度为26米），其余边用长为49米的篱笆围成，菜地与墙平行的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆）． (1)设边的长为x米，则________米（用含x的代数式表示）； (2)当x为何值时，围成的矩形菜地的面积为200平方米？ 21．我们称关于的方程与关于的方程互为伴随方程，其中、、为已知数，且．例如，方程的伴随方程是． (1)如果是方程的伴随方程的解，那么的值是___________； (2)如果关于的方程的两个实数根分别为、，关于的方程的两个实数根分别为、，请你猜想、、、之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)已知关于的方程的两个实数根是，，解关于的方程． 22．定义：方程与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”； (2)求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 23．在建设全国文明典范城市的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司投资20万元购得某项节能产品的生产技术后，再投资85万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调查发现，该产品的销售单价定为元，在时才合理，并且该产品的年销售量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系式为．（年获利年销售收入生产成本投资成本） (1)当销售单价定为28元时，该产品年销售量为多少万件？ (2)求该公司第一年的年获利（万元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损了？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？ (3)第二年，该公司决定给希望工程捐款万元，该项捐款由两部分组成：一部分是10万元的固定捐款；另一部分则是每销售一件产品，就抽出一元作为捐款．若除去第一年的最大获利（或是最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年底，两年的总盈利不低于73万元，请你确定此时销售单价的范围． 24．如图，一架长2.5米的梯子斜靠在一面墙上， (1)已知梯子底端距离墙为0.7米，若梯子顶端下滑0.4米，求梯子的底端在水平方向滑到的距离． (2)已知梯子底端距离墙为1.5米，梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？ (3)已知梯子顶端与地面距离为米，如果梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离能相等，请直接写出的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章一元二次方程单元测试卷 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．若关于x的方程的一个根为，则a的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】解：把代入， 得， 解得． 2．用配方法解方程时，配方后所得的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】移项后给方程两边加一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 3．将方程化为一元二次方程的一般式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的一般形式为，先去括号，然后移项，合并同类项，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ． 4．下列方程一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A选项：移项得，是一元二次方程． B选项：含两个未知数，不是一元二次方程． C选项：分母含未知数，不是整式方程，不是一元二次方程． D选项：未说明，当时不是一元二次方程． 5．若一元二次方程的两个实数根分别为，，则式子的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将待求分式通分，结合根与系数的关系代入计算． 【详解】解：由根与系数的关系，得，． ． 6．定义为关于x的一元二次方程的特征数，则特征数为的一元二次方程的两个实数根的平方和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将两根平方和变形为含两根和与两根积的形式，结合根与系数的关系计算． 【详解】解：由特征数定义得该一元二次方程为， 设方程的两个实数根为，，则，， ． 7．年清明档（月日—月日），动画电影《哪吒之魔童闹海》的总票房为亿元，月日的单日票房达到亿元 ，假设平均每天的票房增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】总票房为三天单日票房之和，需依次表示每日票房后列方程． 【详解】解：4月4日票房为亿元，日平均增长率为，4月5日票房为亿元，4月6日票房为亿元， ∵ 三天总票房为亿元， ∴ ． 8．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有64人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论不正确的是（     ） A．第一轮后有个人患了流感 B．第二轮后又增加个人患流感 C．依题意可列方程 D．按照这样的传染速度，经过三轮传染后将超过500人患流感 【答案】C 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人．∵初始有1人患流感，∴第一轮后共有人患流感， 故A正确． ∵第二轮传染源为第一轮全部患者，∴第二轮新增人， 故B正确． ∵两轮后总患病人数为第一轮人数加第二轮新增人数，∴可列方程，整理得，与C选项的不符， 故C错误． 解方程，∵，∴， 解得．∵三轮后总患病人数为，且，∴D正确． 9．定义：是一元二次方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的有（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】先根据倒方程的定义写出对应方程，再结合方程的解、根的判别式及一元二次方程的二次项系数不为的条件逐一判断． 【详解】解：①的倒方程为， 将代入得，解得，故①正确； ②∵， ∴，，两个方程均为一元二次方程，两者的判别式均为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴两个方程都有两个不相等的实数根，故②正确； ③∵一元二次方程无解， ∴， ∴， ∴，其倒方程为一元二次方程， 倒方程的判别式， ∴倒方程也无解，故③正确； ④∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，， 当时，倒方程为，是一元一次方程，只有个实数根， ∴倒方程不一定有两个不相等的实数根，故④错误； 综上，正确的是①②③． 10．一个小球以的速度开始向前滚动，均匀减速，后小球停止滚动．（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．）下列说法正确的是（     ） A．小球速度平均每秒减少 B．小球滚动的总路程为 C．小球滚动最后走过的路程为 D．小球滚动时，用的时间是 【答案】D 【分析】先求小球每秒的速度减少量，再结合平均速度与路程的公式逐一判断各选项正误． 【详解】解：由题意得初速度为，均匀减速，后速度为， ∴每秒速度减少量为，故A错误； 滚动全程的平均速度， ∴总路程为，故B错误； 滚动时的速度为， ∴前的平均速度， ∴前的路程为， ∴最后的路程为，故C错误； 设滚动用时为，此时速度为，则这段时间的平均速度， ∵， ∴， 整理得，解得，， ∵小球后停止， ∴不符合题意，舍去，即用时，故D正确． 二、填空题（本大题6题，每小题3分，共计18分） 11．已知关于的方程是一元二次方程，那么的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程二次项系数不为0的要求确定的取值范围． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项合并同类项可得， ∵该方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数不为0， 即， ∴． 12．已知为一元二次方程的一个根，则代数式的值为________ 【答案】2027 【分析】根据一元二次方程根的定义推导等量关系，得到，然后对所求代数式提取公因式变形，整体代入计算． 【详解】解：将代入方程，可得： 观察代数式，提取公因数2可得： 将整体代入上式计算： ． 13．若方程的两个根分别为和，则的值为___________． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系得到方程两根之和与两根之积，将所求代数式提取公因式变形为含两根和、积的形式，通过整体代入完成计算． 【详解】解：∵方程的两个根分别为和， ∴ ，， ∴ ． 14．已知a，b是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】2026 【分析】将所求代数式提取公因式转化为含两根和、两根积的形式，结合一元二次方程根与系数的关系代入求值． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 15．如图，李大爷想用长的铁丝网围成一个一边靠墙的面积为的矩形鸭舍，要求不能大于墙长，已知墙长为，那么鸭舍垂直于墙的边长是______m． 【答案】6 【分析】设垂直于墙的边 长为，则平行于墙的边长为，根据矩形面积公式列出一元二次方程，求解后根据墙长限制进行取舍． 【详解】解：设鸭舍垂直于墙的边长为， 四边形是矩形，且一边靠墙， ，． 铁丝网总长为， ， 根据题意得：， 整理得：，即：， 解得：，， 当时，， 墙长为，， 不符合题意，舍去． 当时，， 符合题意， 答：鸭舍垂直于墙的边长是． 16．已知关于x的两个一元二次方程和有且只有一个公共根，则m的值为________． 【答案】或 【分析】设公共根代入两个方程，消去的相关项求出公共根，回代求，再验证条件即可． 【详解】解：设两个方程的公共根为，∵同时满足两个一元二次方程， ∴， 由②①得， 解得：或． 当时，代入得，解得． 验证：当时，变为， 解得：方程根为和， 变成， 解得：方程根为两个相等的，两方程只有一个公共根，符合条件． 当时，代入得， 整理得，解得． 验证：当时，变为， 解得：方程根为和， 变成， 解得：方程根为和，两方程只有一个公共根，符合条件． ∴的值为或． 三、解答题（本大题8题，每小题9分，共计72分） 17．已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 10 【详解】解：是方程的一个根． ． 原式． ． ． 18．解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：， 方程两边同除以3得：， 开平方得：， 解得：，； （2）解：， ，，， ， ∴， 即，； （3）解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； （4）解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 19．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，方程总有实数根； (2)若方程的两个实数根是，，且满足，求的值． 【答案】(1) 证明： ， ∴， 不论为何值，方程总有实数根； (2)， 【分析】（1）证明即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再进一步求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意，得，， ， 即， 解得，． 20．如图，广中初三年级开展主题为“寻知田埂添活力启智农耕蕴美好”的学农活动．学校计划在“励学楼”南侧开辟一块矩形菜地，它的一面靠墙（墙的最大可用长度为26米），其余边用长为49米的篱笆围成，菜地与墙平行的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆）． (1)设边的长为x米，则________米（用含x的代数式表示）； (2)当x为何值时，围成的矩形菜地的面积为200平方米？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据篱笆的长为49米，菜地与墙平行的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆），设菜地的宽为米，进行列式化简，即可作答； （2）根据围成的矩形菜地的面积为200平方米，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设菜地的宽为米， 米； （2）解：由题意，得 ， 整理得，， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，符合题意， 当时，围成的矩形菜地的面积为200平方米． 21．我们称关于的方程与关于的方程互为伴随方程，其中、、为已知数，且．例如，方程的伴随方程是． (1)如果是方程的伴随方程的解，那么的值是___________； (2)如果关于的方程的两个实数根分别为、，关于的方程的两个实数根分别为、，请你猜想、、、之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)已知关于的方程的两个实数根是，，解关于的方程． 【答案】(1) (2)猜想：，． 证明：∵是方程的实数根 ∴ ∵ ∴，，， ∴方程两边同时除以 ， ， ∴是方程的实数根， ∴是方程的两个实数根， 又∵， ∴，； (3)，． 【分析】（1）先写出方程的伴随方程，再把代入伴随方程求出； （2）猜想原方程的根的倒数是伴随方程的根，设原方程的根，在等式两边同除以变形，证明满足伴随方程； （3）先整理关于的方程，换元，利用伴随方程根的关系求解． 【详解】（1）解：∵方程的伴随方程是， ∵是伴随方程的解 ∴， ， ； （2）略 （3）解：， ， ∵方程的两根为，， ∴它的伴随方程的两根为， ， ∴或， ，． 22．定义：方程与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”； (2)求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 【答案】(1) (2)证明：当时，对于方程①及其“换位方程”均有， ∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)， 【分析】（1）根据“换位方程”的定义即可求得； （2）直接判断一元二次方程根的判别式是否大于即可得到证明； （3）把公共根代入两个方程，作差，可得到公共根与的等式，根据此等式可得公共根及的值． 【详解】（1）解：在方程中，，， ∴方程①的“换位方程”为； （2）详解见答案 （3）方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根， ，， ， ， 当时，方程①与其“换位方程”相同，有两个公共根，不符合题意， ，解得或（舍去）， 当时，代入方程①得，，解得， ，． 23．在建设全国文明典范城市的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司投资20万元购得某项节能产品的生产技术后，再投资85万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调查发现，该产品的销售单价定为元，在时才合理，并且该产品的年销售量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系式为．（年获利年销售收入生产成本投资成本） (1)当销售单价定为28元时，该产品年销售量为多少万件？ (2)求该公司第一年的年获利（万元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损了？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？ (3)第二年，该公司决定给希望工程捐款万元，该项捐款由两部分组成：一部分是10万元的固定捐款；另一部分则是每销售一件产品，就抽出一元作为捐款．若除去第一年的最大获利（或是最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年底，两年的总盈利不低于73万元，请你确定此时销售单价的范围． 【答案】(1)12万件 (2)，投资的第一年，该公司亏损了，最少亏损是5万元 (3) 【分析】本题考查了一次函数与二次函数在实际问题（利润计算）中的应用；解题的关键是准确理解题目中“年获利”、“投资成本”等概念，并根据不同的条件正确列出对应的函数关系式． （1）直接将销售单价代入销售量与单价的函数关系式中计算即可； （2）根据“年获利年销售收入生产成本投资成本”的公式，用和表示各项，并将 代入，得到关于的二次函数解析式，结合给定区间判断其最值，确定公司盈亏情况； （3）首先根据新的条件（增加捐款）列出第二年获利的函数关系式，然后根据“两年的总盈利不低于73万元”列出不等式，结合第一年的最小亏损（即最大亏损）进行计算，最后，结合销售单价的合理范围确定最终答案． 【详解】（1）当（元）时，（万件） 答：当销售单价定为28元时，该产品年销售量为12万件． （2）年销售收入为：万元 生产成本为：万元 投资成本为：万元 年获利 化简得： 配方得： ∵， ∴ 当时，取得最大值 答：在的范围内，公司处于亏损状态，最小亏损是5万元． （3）设第二年获利为万元． 第二年每件产品成本变为元（增加1元捐款）， 固定捐款为10万元， 投资成本在第一年已计算，故第二年不再重复扣除， ∴ 第二年获利 由题意，第一年最小亏损为5万元（即亏损5万） 要达到“两年总盈利不低于73万元”，即： ∴ 即 整理得： 不等式两边同乘以，改变不等号方向： ∴ 不等式的解为 又因为销售单价的合理范围为， ∴ 满足条件的范围为 答：此时销售单价的范围． 24．如图，一架长2.5米的梯子斜靠在一面墙上， (1)已知梯子底端距离墙为0.7米，若梯子顶端下滑0.4米，求梯子的底端在水平方向滑到的距离． (2)已知梯子底端距离墙为1.5米，梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？ (3)已知梯子顶端与地面距离为米，如果梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离能相等，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)梯子的底端在水平方向滑到的距离为米 (2)梯子顶端下滑米时，梯子底端滑动的距离和它相等 (3) 【分析】（1）在中，由勾股定理可得米，求出米，再在中，由勾股定理可得米，从而即可得出结果； （2）在中，由勾股定理可得米，设梯子顶端下滑米，则底端滑动距离也为米，此时米，米，再在中，利用勾股定理计算即可得出结果； （3）由题意可得米，在中，由勾股定理可得米，设梯子顶端下滑米，则底端滑动距离也为米，此时米，米，在中，由勾股定理可得，整理可得，结合题意求出，从而可得，进而得出，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：在中，米，米， 由勾股定理可得（米）， ∵梯子顶端下滑0.4米， ∴（米）， 在中，米， 由勾股定理可得（米）， ∴（米）， ∴梯子的底端在水平方向滑到的距离为米； （2）解：在中，米，米， 由勾股定理可得（米）， 设梯子顶端下滑米，则底端滑动距离也为米，此时米，米， 在中，米， 由勾股定理可得， ∴， 整理可得， 解得（不符合题意，舍去），， ∴梯子顶端下滑米时，梯子底端滑动的距离和它相等； （3）解：由题意可得米， 在中，米，米， 由勾股定理可得（米）， 设梯子顶端下滑米，则底端滑动距离也为米，此时米，米， 在中，米， 由勾股定理可得， ∴， 整理可得， ∴， ∵梯子发生了滑动， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵初始顶端高度不可能超过梯子长度米， ∴， 综上所述，的取值范围为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $