精品解析：甘肃武威市部分学校2026-2027学年高一上学期11月期中考试数学试题

2026～2027学年度第一学期期中考试高一数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：湘教版必修第一册第一章～第三章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 下列图形能表示函数图像的是（ ） A. B. C. D. 3. “成立”是“成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列各组函数相等的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为奇函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 7. 小张、小胡两位同学解关于的方程，小张同学写错了常数，得到的根为或，小胡同学写错了常数，得到的根为或，则的值为（ ） A. 17 B. 7 C. D. 8. 若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列既是存在量词命题又是真命题的是（ ） A. ， B. 至少有个，使能同时被和整除 C. ， D. 每个平行四边形都是中心对称图形 10. 对于定义在R上的函数，下列判断正确的是（ ）． A. 若是偶函数，则 B. 若，则不是偶函数 C. 若，则函数是R上的增函数 D. 若，则函数在R上不是减函数 11. 已知，，则（ ） A. B. C. “且”的充要条件是“且” D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，则的真子集的个数是_________. 13. 比较大小：______．（填“”“”或“”） 14. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知集合. （1）若，求和； （2）若，求的取值范围. 16. 已知函数 （1）画出函数的图象； （2）当时，求实数的取值范围. 17. 解下列不等式： （1）； （2）； （3）. 18. 某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06. （1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； （2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值. 19. 函数是偶函数，且. （1）确定函数的解析式； （2）用定义证明函数在上单调递增，并求函数的单调区间； （3）求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度第一学期期中考试高一数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：湘教版必修第一册第一章～第三章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定定义写出. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 其否定为：，. 2. 下列图形能表示函数图像的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的概念进行判断. 【详解】解：根据函数的定义：任意垂直于x轴的直线与函数图像至多有一个交点， 只有C正确． 故选：C． 3. “成立”是“成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分析每个条件的等价条件，再根据充要条件的定义即可得解. 【详解】由得或 由，得且， 所以“成立”是“成立”的必要不充分条件， 故选：B． 4. 下列各组函数相等的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】分别求每个选项中两个函数的定义域和对应关系，即可判断是否为相同函数，进而可得正确选项. 【详解】对于A中，函数的定义域为R，的定义域为， 所以定义域不同，不是相同的函数，故A错误； 对于B中，函数的定义域为R，的定义域为， 所以定义域不同，不是相同的函数，故B错误； 对于C中，函数的定义域为R，与的定义域为， 所以定义域不同，所以不是相同的函数,故C错误； 对于D中，函数与的定义域均为R， 可知两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数, 故D正确； 故选：D. 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分式和根式的意义列出关于x的不等式组即可计算求解. 【详解】要使函数有意义，则， 所以函数定义域为. 故选：C. 6. 已知为奇函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数的性质建立方程，求解参数，再求值即可. 【详解】∵为奇函数， ∴， ∴，即，解得， 经检验符合题意，所以. 故选：A. 7. 小张、小胡两位同学解关于的方程，小张同学写错了常数，得到的根为或，小胡同学写错了常数，得到的根为或，则的值为（ ） A. 17 B. 7 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据韦达定理可求的值，问题可解. 【详解】由题意：；. 所以. 故选：D 8. 若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性，判断函数值的正负情况，由结合函数的性质列出不等式组，可求得答案. 【详解】因为定义域为的偶函数在内单调递减，且， 所以在上单调递增，且， 所以当时，，当时，， 所以由可得或或或， 所以得或或， 所以满足的的取值范围是． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列既是存在量词命题又是真命题的是（ ） A. ， B. 至少有个，使能同时被和整除 C. ， D. 每个平行四边形都是中心对称图形 【答案】AB 【解析】 【分析】AB选项，可举出实例； C选项，根据所有实数的平方非负，得到C为假命题； D选项为全称量词命题，不合要求. 【详解】中，当时，满足，所以A是真命题 B中，能同时被和整除，所以B是真命题 C中，因为所有实数的平方非负，即，所以C是假命题 D是全称量词命题，所以不符合题意. 故选：AB． 10. 对于定义在R上的函数，下列判断正确的是（ ）． A. 若是偶函数，则 B. 若，则不是偶函数 C. 若，则函数是R上的增函数 D. 若，则函数在R上不是减函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用偶函数定义判断选项AB，举反例否定选项C；利用减函数定义判断选项D. 【详解】选项A：若是定义在R上的偶函数，则恒成立， 则有成立，判断正确； 选项B：定义在R上的函数，若，则不恒成立， 则不是偶函数，判断正确； 选项C：定义在R上的函数，满足， 但函数不是R上的增函数.判断错误； 选项D：定义在R上的函数，若， 则对任意时，不恒成立， 则函数在R上不是减函数. 判断正确. 故选：ABD 11. 已知，，则（ ） A. B. C. “且”的充要条件是“且” D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由基本不等式求解判断A，由作差法比较大小判断B，举反例判断C，先放缩，再用基本不等式即可判断D. 【详解】A选项：由基本不等式得，又因为，， 所以取等条件不满足，所以； B选项：，因为，， 所以，所以； C选项：可取，，则满足，，但并没有满足， 所以“且”不是“，”的必要条件； D选项：因为，，所以，， 所以，所以. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，则的真子集的个数是_________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据给定条件，利用列举法表示集合，再求出其真子集个数. 【详解】依题意，，所以的真子集的个数是. 故答案为：3 13. 比较大小：______．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】对两个无理式有理化变形，转化为分子同为 1 的分式，分母大的分数值更小，据此比较大小. 【详解】，，，因此． 14. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】分析各段函数的单调性，还需在左侧的函数图象不高于右侧的函数图象，即可得到不等式组. 【详解】二次函数的对称轴为， 又由函数的减区间为，增区间为， 若函数在上单调递增，有，解得， 故实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知集合. （1）若，求和； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）把代入，利用并集的定义及补集交集的定义求解即得. （2）利用交集的结果，分和两种情况结合集合的包含关系，列式求解即得. 【小问1详解】 当时，，而， 所以，或 . 【小问2详解】 由，得， 当时，，即； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 16. 已知函数 （1）画出函数的图象； （2）当时，求实数的取值范围. 【答案】（1）图象： （2）. 【解析】 【分析】（1）由题得，直接作出函数的图象； （2）解不等式组或即得解. 【小问1详解】 解：由题得如图所示： 【小问2详解】 解：由题可得或 解得或， 所以实数的取值范围为. 17. 解下列不等式： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）或 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）先配方为完全平方式，结合平方的非负性直接求解； （2）将分式大于 0 转化为分子分母同号的两类不等式组，分别求解后取并集； （3）去掉绝对值号，解一元一次不等式即可. 【小问1详解】 由得，即，解得， 所以不等式的解集为或； 【小问2详解】 因为，所以或， 解得或， 所以不等式的解集为或； 【小问3详解】 ，解得， 所以不等式的解集为. 18. 某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06. （1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； （2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值. 【答案】（1）， （2）当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，为. 【解析】 【分析】（1）由题意，把，代入，可求的值. （2）利用基本不等式“1”的妙用，可求的最小值及对应的的值. 【小问1详解】 由题意，， 因为时，，所以， 所以，. 【小问2详解】 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取“”， 所以当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和最小，为. 19. 函数是偶函数，且. （1）确定函数的解析式； （2）用定义证明函数在上单调递增，并求函数的单调区间； （3）求的值. 【答案】（1） （2） 任取，， 则有， 若，则有，则，，，， 所以，即，所以函数在上单调递增； 若，则有，则，，，， 所以，即，所以函数在上单调递增； 又因为函数是偶函数，所以函数在对称区间单调性相反，所以函数在和上均单调递减. 故函数的单调递减区间为：，；单调递增区间为：，. （3）0 【解析】 【分析】（1）根据函数为偶函数，，可得的值，再根据，可求的值，即可明确函数的解析式. （2）利用单调性的定义证明函数在区间和上的单调性，再结合函数的奇偶性，判断函数在，上的单调性. （3）先研究函数性质，得到，再结合函数奇偶性得到，进而可求所给式子的值. 【小问1详解】 因为函数是偶函数， 所以，即，所以，即， 又因为，所以， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，则，即， 又因为函数是偶函数，即，所以， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $