专题16 一元一次方程压轴题满分训练（重难点培优讲义）2026-2027学年人教版数学七年级上册

专题16 一元一次方程压轴题满分训练 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 根据等式的性质解方程 题型02 一元一次方程的含参问题 题型03 一元一次方程的规律问题 题型04 一元一次方程的新定义问题 题型05 一元一次方程解的计算压轴题 题型06 一元一次方程解的拓展问题 题型07 一元一次方程的综合应用 题型08 一元一次方程与数轴有关问题 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一 等式基本性质 性质 文字叙述 字母表示 性质1 等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式． 如果，那么 性质2 等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式． 如果，那么；如果且，那么 记忆口诀：同加减、同乘除，除数不能是0． 【针对训练】 1. 已知方程，用含的代数式表示，则_________． 【答案】/ 【详解】解：， 两边同减去，得． 2. 若，则的值为______． 【答案】 【分析】根据等式的基本性质，对已知等式变形即可求出的值． 【详解】解：∵，且， ∴， 即． 3. 把方程改写成用含的式子表示的形式______． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，先移项，再系数化为1即可． 【详解】解：， ． 知识点二 解一元一次方程的一般步骤 步骤 具体做法 注意事项 去分母 方程两边同乘各分母的最小公倍数． 不要漏乘不含分母的项；分子是多项式时要加括号． 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号． 注意括号前是负号时，括号内各项都要变号． 移项 含未知数的项移到左边，常数项移到右边． 移项必须变号． 合并同类项 把方程化为的形式． 系数相加，字母及指数不变． 系数化为1 方程两边同除以未知数的系数，得． 不要把分子、分母写颠倒． 原则：五个步骤不一定每次都全部用到，也不一定按固定顺序．有些方程可直接合并同类项 【针对训练】 4．已知是关于的一元一次方程，则的值为（     ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的定义，未知数的次数为且一次项系数不为，列出条件求解即可得到的值． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得， ∴的值为4． 5．已知某运算中，，若，则N等于(    ) A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】首先根据自定义运算规则，，先计算括号里面的，得出结果，再将其代入即可求解． 【详解】解： ， 即， ， ， ， ， ， 即等于． 6．若代数式与代数式的和为，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据题意列出关于x的一元一次方程，按照解一元一次方程的步骤计算即可得到结果． 【详解】根据题意列方程得， 去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， ∴的值为． 知识点三 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 步骤 操作要点 易错提醒 审 读懂题意，分清已知量、未知量，划出关键语句，找出等量关系 不要读完题直接套数，等量关系是解题核心 设 设未知数，可以直接设（求什么设什么），也可以间接设；带上单位 设未知数时写清单位；代数式单位要统一 列 用含未知数的代数式表示相关量，依据等量关系列出一元一次方程 方程两边量要同类，单位保持一致 解 解一元一次方程，求出未知数的值 计算细心，注意去分母、去括号符号问题 验 双重检验：①代入方程检验是否为方程的解；②检验解是否符合生活实际，不符合则舍去 人数、物品件数不能为负数、小数 答 写出完整答句，带上单位 答要和问题保持对应，不要漏写单位 关键：找等量关系．抓关键词（共、比…多、比…少、等于）；借助公式；画线段图； 【针对训练】 7．某水果店主营两款应季荔枝：妃子笑和糯米糍．已知妃子笑荔枝进价每千克25元，糯米糍荔枝每千克进价30元，老板首次采购共花费5300元，采购妃子笑荔枝的千克数比糯米糍荔枝的千克数的2倍还多20千克． (1)求首次购进妃子笑荔枝和糯米糍荔枝各多少千克？ (2)若妃子笑荔枝每千克售价40元，糯米糍荔枝每千克售价50元，当首次荔枝货品全部售完后，共获利多少元？ (3)由于糯米糍荔枝畅销，第二次采购时，妃子笑荔枝数量保持不变，糯米糍荔枝采购数量是第一次的4倍．根据（2）中的条件，妃子笑荔枝售价不变，糯米糍荔枝售价在此基础上计划打折出售，第二次总利润比首次总利润多1800元，求糯米糍荔枝是打几折销售？ 【答案】(1)首次购进妃子笑荔枝140千克，糯米糍荔枝60千克. (2)共获利3300元. (3)糯米糍荔枝是按原价打八五折销售 【分析】（1）设首次购进糯米糍荔枝x千克，则购进妃子笑荔枝千克，根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案； （2）首先计算妃子笑和糯米糍每千克利润，然后进一步求解即可； （3）设糯米糍荔枝按原价打y折销售，结合题意可知第二次妃子笑数量为140千克，糯米糍数量为千克，且第二次总利润为元，然后根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：设首次购进糯米糍荔枝x千克，则购进妃子笑荔枝千克， 根据题意列方程得：， 整理得：，解得（千克）， ∴（千克）， 答：首次购进妃子笑荔枝140千克，糯米糍荔枝60千克； （2）妃子笑每千克利润为（元），糯米糍每千克利润为（元）， 则总利润为：（元）， 答：共获利3300元； （3）设糯米糍荔枝按原价打y折销售， 第二次妃子笑数量为140千克，糯米糍数量为（千克）， 第二次总利润为（元）， 根据题意列方程得：， 解得， 答：糯米糍荔枝是打八五折销售． 8．某电器商场计划用万元从生产厂家购进台电视机已知该厂家生产种不同型号的电视机，出厂价分别为种每台元，种每台元，种每台元． (1)若该商场只选购、两种电视机，各购买多少台？ (2)若商场销售一台种电视机可获利元，销售一台种电视机可获利元，销售一台种电视机可获利元，除了（1）的方案，该商场还有一种方案，购进种电视机台，种电视机台在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，应选择哪种方案？ 【答案】(1)购进、两种电视机各台 (2)应选择购进种电视机台，种电视机台 【分析】（1）设购进A种电视机台，则B种为台，列方程求解即可； （2）求出两种方案的利润，再比较即可． 【详解】（1）解：设购进种电视机 台，则购进种电视机台， 由题意得，， 解得， 所以， 答：购进、两种电视机各台； （2）解：若购进、两种电视机各台，可获利（元） 若购进种电视机台，种电视机台，可获利（元） 因为， 所以为了获利最多，应选择方购进种电视机台，种电视机台． 9．某商店有A、B两种型号的节能灯，店主统计了3天的产品销售情况，如表： 统计日期 售出A型节能灯个数 售出B型节能灯个数 总售价 6月15日 0 1 50 6月16日 1 2 200 6月17日 5 5 750 (1)根据上表数据可得B型节能灯的单价 ． (2)根据上表数据，求A型节能灯的单价． (3)若商家A、B两种型号的节能灯共售出15个，总售价为1300元．那么售出的两种型号的节能灯各多少个？ 【答案】(1)50元/个 (2)A型节能灯的单价为100元/个 (3)售出的A型号的节能灯有11件，B型号的节能灯有4件 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，观察表格数据先推出B型节能灯单价，设A型节能灯的单价，根据6月16销售情况列关于的方程，解出即可求出A型节能灯单价；设A和B型节能灯的件数和，根据题意，列关于的方程，即可求出两种型号节能灯各自的件数． 【详解】（1）解：6月15日的销售情况可知，售出0个A型节能灯，1个B型节能灯，总售价为50元， B型节能灯的单价为50元/个． （2）解：设A型节能灯的单价为元/个，根据6月16日的销售情况，售出1个A型节能灯，2个B型节能灯，总售价为200元， 可列方程得， 解得， A型节能灯的单价为100元/个． （3）解：设售出A型节能灯个，则售出B型节能灯个，根据题意，可列方程得 ， 解得， ． 售出的A型号的节能灯有11个，B型号的节能灯有4个． 重难点典例精析 题型一 根据等式的性质解方程 1. 依据下列解方程 的过程，请在前面的括号内填写变形步骤．在后面的括号内填写变形依据． 解：原方程可变形为 去分母，得（                 ） 去括号，得（                 ） （                 ），得 （                 ） 合并同类项，得． （                 ），得 ，（                 ） 【答案】答案见详解 【分析】本题考查解一元一次方程的基本步骤，熟练掌握一元一次方程的步骤是解题的关键； 【详解】解：原方程可变形为 去分母，得（等式的性质） 去括号，得（乘法分配律） （移项），得 （等式的性质） 合并同类项，得． （系数化为），得 ，（等式的性质） 2. 小明学习了“等式的基本性质”后对小亮说：“我发现4可以等于3，你看这里有一个方程，等式的两边同时加上2，得，然后等式的两边再同时除以x，得.” （1）请你想一想，小明的说法对吗？为什么？ （2）你能用等式的性质求出方程的解吗？ 【答案】（1）不对，理由见解析；（2）x=0 【分析】（1）等式两边除以的未知数也有可能是0，所以不能把等式两边都除以未知数； （2）根据等式的性质1即可求解. 【详解】（1）不对． 理由：∵4x-2=3x-2的解为x=0，当4x=3x两边除以x时，即两边除以0， ∴不对． （2）， 等式的两边同时加上2，得， 等式的两边同时减3x，得， 故的解为x=0. 【点睛】用到的知识点为：等式两边除以的数，应保证不为0的情况下结果才依然是等式． 题型二 一元一次方程的含参问题 3. 定义：关于的方程与（、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”． 例如：方程与互为“反对方程”；方程，通过转化可得，所以与互为“反对方程”． (1)若关于的方程与（为不等于0的常数）互为“反对方程”，则______； (2)若关于的方程（为不等于0的常数）的解为，求的值及它的“反对方程”的解； (3)若关于的方程（为不等于0的常数）的解为，请直接写出的解． 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【分析】此题考查的是新定义，解一元一次方程，能够正确理解新定义是解决此题的关键． （1）根据“反对方程”的定义直接可得答案； （2）将代入求出，然后得到方程为，然后根据“反对方程”的概念求解即可； （3）首先得到互为“反对方程”的两个方程的解互为倒数，然后判断出方程和方程互为“反对方程”，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题可知，与、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”， 与方程互为“反对方程”， ； （2）解：∵关于的方程（为不等于0的常数）的解为， ∴ ∴； ∴， ∴ ∴关于的方程的“反对方程”为 ∴； （3）解：∵关于的方程的解为，关于的方程的解为，且关于的方程与（、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”， ∴互为“反对方程”的两个方程的解互为倒数， ∵方程 ∴ ∴ ∵方程 ∴ ∴方程和方程互为“反对方程” ∵关于的方程（为不等于0的常数）的解为， ∴的解为． 4. 定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“星光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“星光方程”． (1)若关于的一元一次方程与是“星光方程”，则______； (2)已知两个一元一次方程互为“星光方程”，且这两个“星光方程”的解的差为．若其中一个方程的解为，求的值： (3)已知关于的一元一次方程的解是，请写出解是的关于的一元－次方程：（只需要在括号内填充含有的代数式）； (4)若关于的一元一次方程和互为“星光方程”，则关于的一元一次方程的解为______． 【答案】(1) (2)或 (3)①；② (4) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答，理解并熟练应用新定义是解题的关键． （1）分别求得两个方程的解，利用“星光方程”的定义列出关于的方程解答即可； （2）设另外一个方程的解为，根据题意可得：，，即可求解； （3）由题意可知，关于的一元一次方程的解是，结合，则，即可求解； （4）求得方程的解为，利用“星光方程”的定义得到方程的解，再将关于的方程变形得，利用同解方程的定义即可得到，从而求得方程的解． 【详解】（1）解：解方程得， 关于的一元一次方程与是“星光方程”， 关于的一元一次方程的解是， ， ， 故答案为：； （2）设另外一个方程的解为， 根据题意可得：，， 解得：或； （3）关于的一元一次方程的解是， 的解是， 关于的一元－次方程：的解是， ， 则， 故答案为：①；②； （4）的解是， 关于的一元一次方程和互为“星光方程”， 关于的一元一次方程的解是， 关于的一元一次方程整理可得： ， ， ． 故答案为：2026 题型三 一元一次方程的规律问题 5. 探究规律，完成相关题目． 定义“△”运算： ；； ；； ；；． (1)归纳△运算的法则： 两数进行△运算时，______；（文字语言或符号语言均可） 特别地，0和任何数进行△运算，或任何数和0进行△运算，______． (2)计算：_______． (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)若，则；若，则；都等于这个数的平方 (2) (3)存在，理由见解析 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，新定义下的实数运算，解一元一次方程（一）——合并同类项与移项，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据题意给出的算式，归纳总结即可； （2）根据法则，列出算式进行计算即可； （3）根据法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：两数a，b进行△运算时， 若，则； 若，则； 特别地，0和任何数进行△运算，或任何数和0进行△运算，都等于这个数的平方； 故答案为：若，则；若，则；都等于这个数的平方； （2）， ， 故答案为：； （3）存在， 理由：∵， ∴当，，即，时， ． 6. 数学小组活动中，某同学发现了数正方形的规律，如图，每个小正方形的边长为1， 的正方形 的正方形 的长方形 边长为1的正方形数量：4 边长为2的正方形数量：1 正方形总数：5 边长为1的正方形数量：① 边长为2的正方形数量：4 边长为3的正方形数量：1 正方形总数：② 边长为1的正方形数量：12 边长为2的正方形数量：③ 边长为3的正方形数量：2 正方形总数：④ (1)数一数，填写以上空白处的数量：①________，②________，③________，④________； (2)已知长方形网格中的正方形总数为44，写出一组符合条件的，的值________，________（其中，）． 【答案】(1)①9；②14；③6；④20 (2)3；8（或2；15答案不唯一） 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意数出对应图形中对应边长的正方形个数即可得到答案； （2）在长方形网格中的，边长为1的正方形个数为，边长为2的正方形个数为，边长为3的正方形个数为……，则不妨设，然后讨论m的值，再建立关于n的方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，在的正方形中，边长为1的正方形有9个， ∴在的正方形中正方形总数为个； 在的长方形中，边长为2的正方形有6个， ∴在的长方形中正方形总数为个； （2）解：在长方形网格中的，边长为1的正方形个数为，边长为2的正方形个数为，边长为3的正方形个数为……， 不妨设， 当时，正方形总数为，则，解得； 当时，正方形总数为，则，解得； 当时，正方形总数为，则，解得，不符合题意； 当时，正方形总数为，不符合题意； 随着m的最大，正方形的总数增大， ∴当时，正方形总数一定比44多， 综上所述，，或，． 题型四 一元一次方程的新定义问题 7. （1）解方程 （2）在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和两种情况讨论： 当时，原方程可化为．解得．符合． 当时，原方程可化为．解得．符合． 所以原方程的解为或． 请你类比此法解方程：． （3）新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，且，满足，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，满足，所以关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，求a的值． 【答案】（1）或；（2）或；（3）或 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）先推出，进而得到或，进而解方程即可； （2）仿照题意进行求解即可； （3）先解方程得到或，，再根据新定义得到或，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴或， 解得或； （2） 当时，原方程可化为．解得．符合． 当时，原方程可化为．解得．符合． 所以原方程的解为或； （3）∵， ∴， ∴或， ∴或； ∵， ∴， ∴， 解得， ∵关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”， ∴或， 解得或． 8. 小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“十全十美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“十全十美方程”． (1)判断下列关于y的方程是否是一元一次方程的“十全十美方程”，在后面的横线上写“是”或“否”： ① ______，②  ______； (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请求出a的值； (3)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请直接写出的值． 【答案】(1)①否；②是 (2)3或9 (3)或 【分析】本题考查了新定义方程，解方程，熟练掌握定义，正确解方程是解题的关键． （1）根据新定义的要求，解方程验证即可． （2）先求出的解，再根据新定义的内容求出的根，再代入这个根求出a即可． （3）先求出的解，再根据新定义的内容求出的根，再代入这个根求出，继而得解． 【详解】（1）解：（1）①否；②是，理由如下： 的解为； ①方程的解是，，故不是“十全十美方程”； ②方程的解是或，当时，，是“十全十美方程”． 故答案为：①否；②是； （2）方程的解是或， 一元一次方程的解是，即， 若，，则，解得：； 若，，则，解得：； ∴a的值为3或9． （3）的值为或．理由如下： 由， 解得：， ∵， ∴， 即的解是：， ∴， 整理得：， ∵分母m不能为0， ∴， ∴， ①当时，， ∴，； ②当时，， ∴，； ∴的值为或． 题型五 一元一次方程解的计算压轴题 9. 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值： (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程是“美好方程”，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能根据等式的性质求出方程的解是解此题的关键． （1）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是“美好方程”得出关于m的方程，再求出m即可； （2）设另一个方程的解为x，列出方程组求出n值即可； （3）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是“美好方程”得出结论即可． 【详解】（1）解：解方程，得， 解方程，得， ∵关于的方程与方程是“美好方程”， ∴ 解得：． （2）解：设另一个方程的解为x，根据题意可得： ， ∴或． ∴或． （3）解：将方程整理为， 由题意得：方程的解与的值无关， ∴， 解得， 此时方程的解为：； 解方程得：， 又无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程是“美好方程”， 所以，， 解得，， 所以，． 10. 对于方程，小华同学的解法如下： 解：将原方程化为．…第一步 ，得．…第二步 去括号，得．…第三步 移项、合并同类项，得．…第四步 系数化为1，得．…第五步 (1)第二步进行的是 ，这一步的依据是 ；以上求解步骤中，从第 步开始出现错误． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)去分母，等式的性质，一 (2)，过程见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解题的关键； （1）根据等式的性质得出错误的步骤及原因． （2）先整理方程，再根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1解方程即可． 【详解】（1）解：第二步进行的是去分母，这一步的依据是等式的性质；以上求解步骤中，从第一步开始出现错误； 答案为：去分母，等式的性质，一； （2）解： 整理方程得：1， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：． 题型六 一元一次方程解的拓展问题 11. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．利用图中信息解决下列问题：（整个接水过程不计热量损失） 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积×开水降低的温度＝温水的体积×温水升高的温度”．例：的开水与温水混合至50度，热传递关系为： (1)王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，且水杯中的水温为．①王老师的水杯容量为______；②开水放出的热量为______（结果用含t的代数式表示） (2)小李同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯体积为，温度为的水，求小李同学接温水和开水的时间分别为多少秒？ 【答案】(1)①② (2)小李同学接温水和开水的时间分别为秒和秒 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，由热传递关系进行求解即可． （1）①王老师的水杯容量为，即可求解；②由热传递关系得，即可求解； （2）设小李同学接开水的时间分别为秒，由热传递关系得，即可求解． 【详解】（1）解：①王老师的水杯容量为 （）， 故答案为：； ②由题意得 ， 故答案为：； （2）解：设小李同学接开水的时间分别为秒， ， 解得：， （秒）， 答：小李同学接温水和开水的时间分别为秒和秒． 12. 【观察思考】 如图，春节期间在某广场上摆放多盆红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点），组成“中国结”系列图案 【发现规律】 根据上述图案的摆放规律填空： （1）第5个图案中黄梅花的盆数为________； （2）第1个图案中红梅花的盆数可表示为，第2个图案中红梅花的盆数可表示为，第3个图案中红梅花的盆数可表示为，第4个图案中红梅花的盆数可表示为，…，第个图案中红梅花的盆数可表示为_________； 【解决问题】 （3）若按照上述规律摆放的第个“中国结”图案中，红梅花的盆数比黄梅花的盆数的倍少5盆，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了图形类规律，解一元一次方程； （1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解． （3）根据题意，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）第1个图案中黄梅花的盆数可表示为， 第2个图案中黄梅花的盆数可表示为， 第3个图案中黄梅花的盆数可表示为， 第4个图案中黄梅花的盆数可表示为， …； 第n个图案中黄梅花的盆数可表示为； 第5个图案中黄梅花的盆数可表示为， 故答案为：； （2）第1个图案中红梅花的盆数可表示为， 第2个图案中红梅花的盆数可表示为， 第3个图案中红梅花的盆数可表示为， 第4个图案中红梅花的盆数可表示为， …； 第n个图案中红梅花的盆数可表示为； 故答案为：； （3）根据题意得， 整理得， 解得． 题型七 一元一次方程的综合应用 13. 如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，并且a，b满足． (1)求点A，B之间的距离； (2)点C在点A的右侧，点D在点B的左侧，为15个单位长度，为8个单位长度，求点C，D之间的距离； (3)动点P以3个单位长度秒的速度从点A出发沿数轴正方向运动，同时点Q以2个单位长度秒的速度从点B出发沿数轴负方向运动，求当（表示线段的长度）时点P表示的数是多少？ 【答案】(1)点A，B之间的距离为18 (2)点C，D之间的距离为5 (3)点P表示的数是或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，数形结合是解答本题的关键． （1）先根据非负数的性质求出a和b的值，再根据两点间的距离求解即可； （2）先根据两点间的距离求出点C和点D表示的数，进而可求出点C和点D之间的距离； （3）根据题意设点P表示的数为，点Q表示的数为，再根据分类讨论设方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴点A表示数，点B表示数5， ∴点A，B之间的距离为， （2）解：∵点C在点A的右侧，为15个单位长度， ∴点C表示的数是：， ∵点D在点B的左侧，为8个单位长度， ∴点D表示的数是：， ∴点C，D之间的距离为：． （3）解：根据题意设点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵， ∴当点Q在点P右边时， ∴ ， ∴， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为， 当点P在点Q右边时， ∴ ， ∴， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为． 14. 某校组织学生参加2024年冬奥知识问答，问答活动共设有20道选择题，每题必答，每答对一道题加分，答错一道题减分，下表中记录了三名学生的得分情况： 参赛学生 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 86 C 15 5 65 请结合表中所给数据，回答下列问题： (1)本次知识问答中，每答对一题加______分，每答错一题减______分； (2)若小明同学答对16题，请计算小明的得分； (3)若小刚同学参加了本次知识问答，下列四个选项中，哪一个可能是小刚的得分_____（填写选项）； A．75；B．63；C．56；D．44 并请你计算他答对了几道题，写出解答过程，（列一元一次方程解决问题） 【答案】(1)5，2 (2) (3)D，答对了12道题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）根据A的得分可求出每答对一题的加分，根据B或C的得分可求出每打错一题的减分； （2）按照（1）中的答题得分计算即可； （3）设小刚答对x道题，则答错道题，列方程对每个选项分析即可； 【详解】（1）解：答对一题加：分， 答错一题减：分， 故答案为：5，2； （2）小明的得分：分， （3）D，答对了12道题． 设他答对道题，则答错道题． A．若，解得，故不符合题意； B．若，解得，故不符合题意； C．若，解得，故不符合题意； D．若，解得，符合题意； 答：小刚同学答对了12道题． 题型八 一元一次方程与数轴有关问题 15. 数轴上两个点所对应的数为，，、两点各自以一定的速度同时运动，且点的运动速度为个单位/秒． (1)若两点相向而行，在原点处相遇，求点运动的速度； (2)若两点从开始位置上同时按照（）中的速度向数轴正方向运动，多少秒钟后， 与原点距离相等？ (3)两点以（）中的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，点从原点出发也向数轴负方向运动，点分别运动到、、，且点总在、两点之间，并在运动过程中始终有（表示点到点的距离），设运动秒钟后，下列两个结论：①的值不变；②的值不变，请选择正确的结论，并求其值． 【答案】(1)个单位/秒 (2)秒或秒 (3)正确的结论是②，其值为 【分析】（）设点的运动速度为个单位/秒，根据路程速度时间列出方程即可求解； （）设经过秒钟，与原点等距离，分分别在原点的两侧和在原点的同侧两种情况，分别列出方程解答即可求解； （）设点的速度为个单位/秒，由题意可得，即得，由可判断①；由可判断②，进而即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设点的运动速度为个单位/秒， 由题意得，， 解得， ∴点的运动速度为个单位/秒； （2）解：设经过秒钟，与原点等距离，有两种情况： ① 当分别在原点的两侧时， 由题意得， ， 解得； ②当在原点的同侧时， 由题意得，， 解得； 综上，经过秒或秒，与原点等距离； （3）解：设点的速度为个单位/秒， ∵始终有， ∴， 解得， ①∵， ∴的值会随着的改变而改变； ②∵ ∴的值不变，其值为； 综上，正确的结论是②，其值为． 16. “幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸福点”，若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸福中心” (1)如图1，点A表示的数为，则A的幸福点C所表示的数应该是 ； (2)如图2，点M表示的数是，点N表示的数为4，点C就是M、N的幸福中心，则C所表示的数可以是 （填一个即可）； (3)如图3，点A所表示的数为，点B所表示的数为4，点P所表示的数为8，点Q从点P出发，以2个单位/s的速度向左运动，当经过多少时间点Q是点A和B的“幸福中心”？ 【答案】(1)2或 (2)2（答案不唯一） (3)或 【分析】本题考查一元一次方程的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题． （1）根据“幸福点”的定义即可得到答案； （2）根据“幸福中心”的定义即可求解； （3）设运动t秒，则P运动后所表示的数是，分两种情况列方程可解得答案． 【详解】（1）解：，， ∴A的幸福点C所表示的数应该是2或， 故答案为：2或； （2）解：∵， ∴M，N之间的所有数都是M，N的幸福中心． 故C所表示的数可以是（答案不唯一）， 故答案为：2（答案不唯一）； （3）解：设运动，则点Q运动后所表示的数是， ∵点A所表示的数为，点B所表示的数为4， ∴，P不可能在线段上， 当Q在B右侧时，， 解得， 当Q在A左侧时，， 解得， ∴当经过或时，点Q是点A和B的“幸福中心”． 1．在，，，，中，方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了方程的定义，含有未知数的等式是方程，据此可得答案． 【详解】解：根据方程的定义可知，、是方程， 故选：B 2．某小组计划做一批中国结，如果每人做6个，那么比计划多做了9个，如果每人做4个，那么比计划少做了7个．设计划做x个“中国结”，可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是从实际问题中抽象出一元一次方程．设计划做x个“中国结”，根据人数不变列出方程即可． 【详解】解：设计划做x个“中国结”， 由题意得，， 故选：A． 3．下列等式变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式两边仍然成立，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立，据此逐一判断即可得． 【详解】解：A：∵如果，则恒成立，但与不一定相等，∴ A错误． B：∵如果，则，但，除非，∴ B错误． C：∵，两边同除以（），∴ ，正确． D：∵，两边同时减去b，减去6，得，∴ 与不一定相等，D错误． 故选：C． 4．对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示a，b两数中较小的数，如．按照这个规定，方程的解为（   ）． A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】分和两种情况，分别根据的定义，化简方程并求解即可． 【详解】解：①当，即时， ∴原方程可化为，解得，符合题意； 情况2：当，即时，， ∴原方程可化为，解得，不符合题意舍弃． 综上，方程的解为． 【点睛】需要灵活使用分类讨论思想． 5．湘绣是中国优秀的民族传统工艺之一，湖南某文创街区上分布了很多湘绣手工店．某湘绣手工店接了一个订单，预计甲店员单独做天可完成，乙店员单独做天可完成．现甲先做天后，顾客临时加急，店长安排乙加入合作，则完成这个订单共需要（   ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设完成这个订单共需天，则乙用了天，此订单总工作量为，根据甲完成的部分乙完成的部分整个工作量（单位），即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】 解：根据题意设完成这个订单共需天，此订单总工作量为， 则可列方程为 ， 解得， 答：完成这个订单共需要天． 故选：D． 6．下列变形：①如果，那么；②如果，那么；③如果那么；④如果，那么．其中正确的是________．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：①如果，那么当时，，故①不正确； ②如果，那么，故②正确； ③如果那么，故③正确； ④如果，那么，故④正确． 故答案为：②③④． 7．定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”．若关于x，y的两个方程与方程，若对于任何数，都使得它们不是“2差解方程”，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，新定义，绝对值方程，理解新定义，掌握解一元一次方程的方法，绝对值方程的方法是关键． 根据解一元一次方程的方法得到，，再根据“差解方程”的定义得，根据m的系数为0时符合题意，求解即可． 【详解】解：关于的方程， 解得，， 关于的方程， 解得，， ∵两方程不是“2差解方程”， ∴， 整理得，， 当，即时，对于任意数m，都使得 ∴当时，对于任意数m，都使得方程与方程不是“2差解方程”， 故答案为：． 8．定义一种运算：．例如：．若，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，理解新定义的计算，掌握绝对值的性质，解一元一次方程的方法是解题的关键． 根据新定义的计算方法得到绝对值方程，再根据绝对值性质，解一元一次方程的方法计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式得，， 当时，， 整理得，， 解得，； 当时，， 整理得，， 解得，； 综上所述，的值为或， 故答案为：或 ． 9．已知是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若方程的解与关于x的一元一次方程的解互为相反数，求n的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，方程的解和解一元一次方程，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据是关于x的一元一次方程，得到，，求得m的值即可； （2）分两种情况，先求得的解，根据一元一次方程的解与的解互为相反数，求得解，代入求得n的值即可． 【详解】（1）解：∵是关于x的一元一次方程， ∴，， 解得或且， ∴或； （2）解：当时， ∴变形为， 解得， ∵一元一次方程的解与的解互为相反数， ∴的解为， ∴， 解得； 当时， ∴变形为， 解得， ∵一元一次方程的解与的解互为相反数， ∴的解为， ∴， 解得； 综上所述，或． 10．王伟在解方程去括号时，等号右边括号里的没有变号，因而求得方程的解是，请你正确解出原方程． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键．先按小明的解法等号右边括号里的没有变号，再代入即可求出的值，再按正确的解法求解即可． 【详解】解：根据题意把代入， 得， 解得， 故原方程为， 解得． 故答案为： 11．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“相反方程”．例如：方程的解为，的解为，其中2和互为相反数，我们就称方程和为“相反方程”． (1)请说明方程和是“相反方程”； (2)若关于x的方程和是“相反方程”，求m的值； (3)若关于y的方程的“相反方程”的解，也是关于y的方程的解，求n的值． 【答案】(1) 解：解方程，得， 解方程，得， ∵3与是相反数， ∴方程与是“相反方程”． (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的求解及对“相反方程”定义的理解． （1）分别求解两个方程，再判断它们的解是否互为相反数； （2）先求出第一个方程的解，根据“相反方程”的定义得到第二个方程的解，再将其代入第二个方程求出m的值； （3）先求出第一个方程的解，进而得到其“相反方程”的解，再将该解代入第二个方程求出n的值． 【详解】（1）略 （2）解：解方程，得． ∵关于x的方程和是“相反方程”， ∴是方程的解， 将代入，得， 解得． （3）解：解方程：，得， ∴的“相反方程”的解是， 将代入方程，得， 解得． 12．一工坊用塑料板制作尺子，每张塑料板可制作直尺20把或制作三角尺30把，1把直尺与2把三角尺配成1组套尺．现有35张塑料板，用来制作直尺和三角尺，刚好可以配成的套尺有（   ） A．15组 B．20组 C．300组 D．600组 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的配套问题，熟练掌握方程解题思路是解题的关键； 先设制作直尺的塑料板数量为未知数，根据直尺和三角尺的配套关系列出方程，求解得出塑料板数量后，计算可配成的套尺数． 【详解】解：设制作直尺的塑料板有张，则制作三角尺的塑料板有张. 根据题意得： 则可配成的套尺组数为：（个） 故选：C ． 13．有14个队参加的足球循环赛中（每两队之间比一场），胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，某队所胜场数比所负场数多2场，共积分20分，则该队负（    ）场 A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用等知识，设负场数为x，根据总积分20分列出方程，解方程即可求解﹒ 【详解】解：设负场数为x， 由题意得， 解得﹒ 答：该队负3场﹒ 故选：A 14．幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．如图，将9个数字分别填入的正方形空格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上数的和都相等，图中填写了部分数字，其中a的值为（   ） 3 12 1 a A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了幻方及一元一次方程的应用，准确计算，找到相等关系是正确解答此题的关键． 根据每一横行、每一竖行以及每条对角线上的和都相等列方程求解即可． 【详解】解：设最中间的数为， ∴右下角的数为：， ∴， 得到， 故选：C． 15．A、B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以的速度从地匀速驶往地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距的次数是（    ）次 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设两车相距时，行驶的时间为t小时，相距要从相遇前和相遇后；追及前和追及后，快车已到终点几个方面考虑，共计5种情况，经计算检验数据是否符合题意． 【详解】解：设两车相距时，行驶的时间为t小时，依题意得： 当快车从A地开往B地，慢车从B地开往A地，两车相距时，则有： 解得； ②当快车继续开往B地，慢车继续开往A地，相遇后背离而行，两车相距时， ， 解得； ③快车从A地到B地全程需要小时，此时慢车从B地到A地行驶， ∵ ∴快车又从B地返回A地是追慢车，则有： ， 解得； ④快车追上慢车后并超过慢车相距时，则有， 解得； ⑤快车返回A地终点所需时间是10小时，此刻慢车行驶了，距终点还需 行驶，则有： 解得． 综上所述，两车恰好相距的次数为5次． 故选：A． 16．如图是2025年10月的月历，任意移动图中“”形框可遮盖七个数，这七个数的和不可能是（    ） A．63 B．77 C．105 D．175 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设中间的数为，则另外六个数分别为，，，，，，将七个数相加，可得出这七个数的和是，代入各选项中的数，可求出x的值，取不符合题意的选项即可． 【详解】解：设中间的数为，则另外六个数分别为，，，，，， ∴这七个数的和是， A、根据题意得：，解得：， ∴这七个数的和可能是63，选项A不符合题意； B、根据题意得：，解得：， ∴这七个数的和可能是77，选项B不符合题意； C、根据题意得：，解得：， ∴这七个数的和可能是105，选项C不符合题意； D、根据题意得：，解得：， ∴，舍去， ∴这七个数的和不可能是175，选项D符合题意． 故选：D． 17．已知七（1）班有48名学生，其中参加数学小组的有36人，参加英语小组的人数比参加数学小组的人数少10人，并且这两个小组都不参加的人数比这两个小组都参加的人数的多1人，则同时参加这两个小组的人数是（     ） A．20 B．16 C．12 D．8 【答案】A 【分析】设同时参加两个小组的人数为人，根据总人数等于参加数学小组的人数与参加英语小组的人数之和，减去同时参加两个小组的人数，再加上两个小组都不参加的人数，列一元一次方程即可求解. 【详解】解：设同时参加这两个小组的人数为人， 则两个小组都不参加的人数为人， 参加英语小组的人数为人， ∵总人数 = 参加数学小组的人数+参加英语小组的人数-同时参加两个小组的人数+ 两个小组都不参加的人数， ∴列方程得： 整理得： 移项得： 解得：. 18．有一个三位数，由高到低各位上的数字之比为，若将百位上的数字与个位上的数字交换位置，所得新三位数比原三位数大198，则这个三位数是________． 【答案】426 【分析】本题考查一元一次方程的应用．设百位、十位、个位数字分别为，表示原三位数和新三位数，根据新数比原数大198列方程求解k． 【详解】解：设百位、十位、个位数字分别为， 则原三位数的值为， 新三位数的值为， 由题意得， 解得， 故原数为426． 故答案为：426． 19．长方形纸片上有一数轴，剪下16个单位长度（从到12）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是_____ 【答案】2或4或6 【分析】本题考查了数轴、线段的和差、一元一次方程的应用，运用分类讨论思想是解题的关键．设三条线段的长分别是，，，根据题意列出方程，求出，得到三条线段的长分别是4，4，8，再分3种情况讨论：①；②；③，画出示意图，利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵这三条线段的长度之比为， ∴设三条线段的长分别是，，， 由题意得，， 解得， ∴三条线段的长分别是4，4，8， ①当时， 则折痕处对应的点所表示的数是； ②当时， 则折痕处对应的点所表示的数是； ③当时， 则折痕处对应的点所表示的数是； ∴综上所述，折痕处对应的点所表示的数可能是2或4或6． 故答案为：2或4或6． 20．如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度，若点从点处向点方向跳动，当点在之间且点到点的距离等于点到点的距离2倍时，点所表示的数是______． 【答案】0 【分析】本题考查了数轴，一元一次方程的应用．先求出，从而可得每一个刻度对应数轴上的单位长度，再列出运算式子，计算有理数的乘除法可得的长，然后根据数轴的性质即可得点所对应的数；设点所表示的数为，根据到点的距离是到的距离的2倍建立方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意得：， 数字0对齐数轴上的点，点对齐刻度，点对齐刻度， ， ， 解得， 设点所表示的数为， 由题意得：， 解得， 所以点所表示的数为0． 故答案为：0． 21．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”请你帮忙算出共有______人出钱买鸡． 【答案】9 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设共有x人出钱买鸡，根据鸡的价格不变，列出方程求解． 【详解】解：设共有x人． 由题意，得． 移项，得， 即， 解得． 故答案为：9． 22．如图1是某年7月的日历，用一平行四边形框在表中任意框住4个数． (1)若框住4个数的和为74，求出框住4个数中最大数； (2)能否用平行四边形框在该日历中框出这样的4个数，它们的和等于94？若能，则求框出的最小数，若不能，说明理由． (3)如图2，用平行四边形框在该日历中框出这样的4个数为a、b、c、d，平行四边形在不同的位置时，代数式的值是否发生变化，若变化说明变化规律，若不变化求出该值． 【答案】(1)框住4个数中最大数为 (2)不能，理由： 假设框出的4个数中最小的数为x，则另外三个数分别为， ， 解得：， ∵数20已经在该行的最左边， 则它的左下角不存在数， 故不能框出这样的4个数，它们的和等于94； (3)代数式的值不发生变化，始终为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及整式加减的应用； （1）观察图形，根据各数之间的关系，设框出的4个数中最小的数为x，用含x的代数式表示出另外三个数，得出方程，进而解方程即可； （2）设框出的4个数中最小的数为x，用含的代数式表示出另外三个数，得出方程，进而解方程即可； （3）先求出，代入代数式求出结果，即可得出结论． 【详解】（1）解：设框出的4个数中最小的数为x，则另外三个数分别为， ， 解得：， 则框住4个数中最大数为． （2）略 （3）解：代数式的值不发生变化，始终为，理由如下： 如图2，用平行四边形框在该日历中框出这样的4个数为a、b、c、d， 则， ， 则代数式的值不发生变化，始终为． 23．下列运用等式的性质变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】本题考查了等式的基本性质2，解题关键是掌握等式的基本性质2． 根据等式性质2，逐一分析各选项，再作出判断． 【分析】解：∵， ∴， ∴两边同乘得，故A正确； ∵， ∴， ∴，解得或，故B错误。 ， ∵， ∴两边同除以，得， 故C正确； ， 两边同乘以，得， 故D正确， 故选：B． 24．若有理数，，互不相等，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题等式的性质、整式的加减等知识，解题的关键是正确的变形合并同类项．根据得到，，，代入，即可判断A，B，C，D． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ，故B不正确，不符合题意， ∴，， ∵有理数，，互不相等， ∴，故A不正确，不符合题意， ∵ ∴，故C不正确，不符合题意， ，故D正确，符合题意， 故选：D． 25．若、、是整数，是正整数，且，，，则的最大值是______． 【答案】 【分析】将三个式子相加可得，从而得出，，表示出，结合是正整数，即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴将三个式子相加可得：， 整理可得， ∴， 将代入可得：，即， 将代入可得：，即， ， 为正整数， ∴当时，原式取得最大值． 26．若，则______． 【答案】或 【分析】本题考查的是等式性质的应用，通过设比值为，并利用等式性质，分和 两种情况讨论即可． 【详解】解：设，则 （1） （2） （3） 将（1）、（2）、（3） 相加得： ， 左边合并同类项：， 右边：， 所以， 若，则， 若，则从（1）式得，代入 ， 同理其他分式也等于，故， 因此，比值为或， 故答案为：或． 27．已知，满足，若，则的值为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的方法．首先根据题意，可得；然后移项、合并同类项、系数化为1，求出x的值即可． 【详解】解：若，则． 移项，可得：， 合并同类项，可得：， 系数化为1，可得：． 故选：A． 28．我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，．若x是大于3且小于4的有理数，且，则x的值为（    ） A．3.75 B．3.25 C．3.5 D．3.2 【答案】B 【分析】本题考查新定义计算，一元一次方程，理解新定义，能将所求问题转化为一元一次方程是解题的关键．由题意可知，x 在3和4之间，因此整数部分，将代入给定方程，并利用的关系，将方程转化为关于 x 的一元一次方程求解． 【详解】解：∵ x是大于3且小于4的有理数， ∴， 又 ∵， ∴， 即， 由，得， 代入方程：， 解得． 故x的值为3.25， 故选：B． 29．阅读材料：一个四位自然数的千位为，百位为，十位为，个位为，若关于的一元一次方程的解为，则称这个四位自然数为方程的“顺承数”．如：方程的解是所以2317就是方程的“顺承数”．判断5138______（填“是”或“否”）为某个方程的“顺承数”；方程的解是（且为整数），若是该方程的“顺承数”，交换的百位和个位数字得到新数，且能被3整除，则满足条件的的最大值与最小值之和为______． 【答案】 是 4146 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，正确理解题目中给出的新概念是解题的关键．根据题目中给出的新定义即可求出答案；根据的值可能是4，3，2，1，0，判断出四位数，再根据能被3整除，可得结论． 【详解】解：是方程， 是“顺承数”； 方程的解是，，且，，为整数），若是该方程的“顺承数”， 四位数是：2204，2124，2044，2033，2011，2113，2022，2102，2000， 四位数是：2402，2421，2440，2330，2110，2311，2220，2201，2000， 是4606，4545，4484，4363，4121，4424，4242，4303，4000， 能被3整除， 有4545，4242两个数能被3整除， 满足条件的的值为2124和2022， 最大值与最小值之和为 故答案为：是；4146 30．定义：在数轴上，若已知点和点，则符号“”表示、两点间的距离． 如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，点，为数轴上的两个动点，动点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度运动到终点后停止运动，同时动点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度运动到终点后停止运动．设点的运动时间为秒． 回答下列问题： (1) ； (2)当点与点重合时，求的值； (3)在，两点运动的过程中，当时，求的值； (4)当，两点间的距离为时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）利用数轴上两点之间的距离公式即可直接得出答案； （2）当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，由“点与点重合”可得，解方程即可求出的值； （3）当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，进而可得，由“点表示的数是，点表示的数是”可得，由可得，解方程即可求出的值； （4）当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，进而可得，由“，两点间的距离为”可得，解得或；由“点表示的数是，点表示的数是”可得，由于，而当时，点已抵达终点并停止运动，由此可知不符合题意，故舍去，当时，，由“，两点间的距离为”可得，解得；综上，即可得出当，两点间的距离为时的值． 【详解】（1）解：点表示的数是，点表示的数是， ， 故答案为：； （2）解：当运动时间为秒时， 点表示的数为：， 点表示的数为：， 点与点重合， ， 解得：； （3）解：当运动时间为秒时， 点表示的数为：， 点表示的数为：， ， 点表示的数是，点表示的数是， ， ， ， ， 解得：或； （4）解：当运动时间为秒时， 点表示的数为：， 点表示的数为：， ， ，两点间的距离为， ， ， 解得：或， 点表示的数是，点表示的数是， ， ， 而当时，点已抵达终点并停止运动， 不符合题意，故舍去， 当时，， ，两点间的距离为， ， 解得：， 综上，当，两点间的距离为时，或． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用（几何问题），用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，列代数式等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出代数式或方程是解题的关键． 31．如图1，已知点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是a、b、c、24，其中a、b满足，． (1)填空：________，________，________； (2)如图1，点A与点D之间的距离表示为，若点A、B分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，假设经过t秒后，A点可表示为________，B点可表示为________，且A、B之间的距离为2，则________； (3)如图2，将数轴在原点O、点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向变速运动至点D，同时，动点Q从点D出发以每秒4个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，它们在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为t秒．请问P、Q两点有没有可能在上坡或下坡时相遇，若可能，请求出相遇点所表示的数． 【答案】(1)，8，16 (2)；；或 (3)可能，相遇点所表示的数为 【分析】（1）利用绝对值及偶次方的非负性，可求出a、b的值，结合且点C在点B的右侧，可求出c的值； （2）当运动时间为t秒时，点A表示的数为，点B表示的数为，根据A、B之间的距离为2，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）利用时间路程速度，求出点P，Q两点到达各点所需时间，对照后可得出P，Q两点在段相遇，当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据P，Q两点相遇时两点表示的数相同，可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵，且点C在点B的右侧， ∴； （2）解：当运动时间为t秒时，点A表示的数为，点B表示的数为， ∵A、B之间的距离为2， ∴， 即或， 解得：或； （3）解：（秒），（秒），（秒），（秒）， （秒），（秒），（秒），（秒）， ∴P，Q两点在段相遇， 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴P、Q两点在上坡或下坡时相遇，相遇点所表示的数为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 一元一次方程压轴题满分训练 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 根据等式的性质解方程 题型02 一元一次方程的含参问题 题型03 一元一次方程的规律问题 题型04 一元一次方程的新定义问题 题型05 一元一次方程解的计算压轴题 题型06 一元一次方程解的拓展问题 题型07 一元一次方程的综合应用 题型08 一元一次方程与数轴有关问题 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一 等式基本性质 性质 文字叙述 字母表示 性质1 等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式． 如果，那么 性质2 等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式． 如果，那么；如果且，那么 记忆口诀：同加减、同乘除，除数不能是0． 【针对训练】 1. 已知方程，用含的代数式表示，则_________ 2. 若，则的值为______． 3. 把方程改写成用含的式子表示的形式______． 知识点二 解一元一次方程的一般步骤 步骤 具体做法 注意事项 去分母 方程两边同乘各分母的最小公倍数． 不要漏乘不含分母的项；分子是多项式时要加括号． 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号． 注意括号前是负号时，括号内各项都要变号． 移项 含未知数的项移到左边，常数项移到右边． 移项必须变号． 合并同类项 把方程化为的形式． 系数相加，字母及指数不变． 系数化为1 方程两边同除以未知数的系数，得． 不要把分子、分母写颠倒． 原则：五个步骤不一定每次都全部用到，也不一定按固定顺序．有些方程可直接合并同类项 【针对训练】 4．已知是关于的一元一次方程，则的值为（     ） A． B． C． D．或 5．已知某运算中，，若，则N等于(    ) A．6 B．5 C．4 D．3 6．若代数式与代数式的和为，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．6 知识点三 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 步骤 操作要点 易错提醒 审 读懂题意，分清已知量、未知量，划出关键语句，找出等量关系 不要读完题直接套数，等量关系是解题核心 设 设未知数，可以直接设（求什么设什么），也可以间接设；带上单位 设未知数时写清单位；代数式单位要统一 列 用含未知数的代数式表示相关量，依据等量关系列出一元一次方程 方程两边量要同类，单位保持一致 解 解一元一次方程，求出未知数的值 计算细心，注意去分母、去括号符号问题 验 双重检验：①代入方程检验是否为方程的解；②检验解是否符合生活实际，不符合则舍去 人数、物品件数不能为负数、小数 答 写出完整答句，带上单位 答要和问题保持对应，不要漏写单位 关键：找等量关系．抓关键词（共、比…多、比…少、等于）；借助公式；画线段图； 【针对训练】 6．某水果店主营两款应季荔枝：妃子笑和糯米糍．已知妃子笑荔枝进价每千克25元，糯米糍荔枝每千克进价30元，老板首次采购共花费5300元，采购妃子笑荔枝的千克数比糯米糍荔枝的千克数的2倍还多20千克． (1)求首次购进妃子笑荔枝和糯米糍荔枝各多少千克？ (2)若妃子笑荔枝每千克售价40元，糯米糍荔枝每千克售价50元，当首次荔枝货品全部售完后，共获利多少元？ (3)由于糯米糍荔枝畅销，第二次采购时，妃子笑荔枝数量保持不变，糯米糍荔枝采购数量是第一次的4倍．根据（2）中的条件，妃子笑荔枝售价不变，糯米糍荔枝售价在此基础上计划打折出售，第二次总利润比首次总利润多1800元，求糯米糍荔枝是打几折销售？ 7．某电器商场计划用万元从生产厂家购进台电视机已知该厂家生产种不同型号的电视机，出厂价分别为种每台元，种每台元，种每台元． (1)若该商场只选购、两种电视机，各购买多少台？ (2)若商场销售一台种电视机可获利元，销售一台种电视机可获利元，销售一台种电视机可获利元，除了（1）的方案，该商场还有一种方案，购进种电视机台，种电视机台在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，应选择哪种方案？ 8．某商店有A、B两种型号的节能灯，店主统计了3天的产品销售情况，如表： 统计日期 售出A型节能灯个数 售出B型节能灯个数 总售价 6月15日 0 1 50 6月16日 1 2 200 6月17日 5 5 750 (1)根据上表数据可得B型节能灯的单价 ． (2)根据上表数据，求A型节能灯的单价． (3)若商家A、B两种型号的节能灯共售出15个，总售价为1300元．那么售出的两种型号的节能灯各多少个？ 重难点典例精析 题型一 根据等式的性质解方程 1. 依据下列解方程 的过程，请在前面的括号内填写变形步骤．在后面的括号内填写变形依据． 解：原方程可变形为 去分母，得（                 ） 去括号，得（                 ） （                 ），得 （                 ） 合并同类项，得． （                 ），得 ，（                 ） 2. 小明学习了“等式的基本性质”后对小亮说：“我发现4可以等于3，你看这里有一个方程，等式的两边同时加上2，得，然后等式的两边再同时除以x，得.” （1）请你想一想，小明的说法对吗？为什么？ （2）你能用等式的性质求出方程的解吗？ 题型二 一元一次方程的含参问题 3. 定义：关于的方程与（、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”． 例如：方程与互为“反对方程”；方程，通过转化可得，所以与互为“反对方程”． (1)若关于的方程与（为不等于0的常数）互为“反对方程”，则______； (2)若关于的方程（为不等于0的常数）的解为，求的值及它的“反对方程”的解； (3)若关于的方程（为不等于0的常数）的解为，请直接写出的解． 4. 定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“星光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“星光方程”． (1)若关于的一元一次方程与是“星光方程”，则______； (2)已知两个一元一次方程互为“星光方程”，且这两个“星光方程”的解的差为．若其中一个方程的解为，求的值： (3)已知关于的一元一次方程的解是，请写出解是的关于的一元－次方程：（只需要在括号内填充含有的代数式）； (4)若关于的一元一次方程和互为“星光方程”，则关于的一元一次方程的解为______． 题型三 一元一次方程的规律问题 5. 探究规律，完成相关题目． 定义“△”运算： ；； ；； ；；． (1)归纳△运算的法则： 两数进行△运算时，______；（文字语言或符号语言均可） 特别地，0和任何数进行△运算，或任何数和0进行△运算，______． (2)计算：_______． (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 6. 数学小组活动中，某同学发现了数正方形的规律，如图，每个小正方形的边长为1， 的正方形 的正方形 的长方形 边长为1的正方形数量：4 边长为2的正方形数量：1 正方形总数：5 边长为1的正方形数量：① 边长为2的正方形数量：4 边长为3的正方形数量：1 正方形总数：② 边长为1的正方形数量：12 边长为2的正方形数量：③ 边长为3的正方形数量：2 正方形总数：④ (1)数一数，填写以上空白处的数量：①________，②________，③________，④________； (2)已知长方形网格中的正方形总数为44，写出一组符合条件的，的值________，________（其中，）． 题型四 一元一次方程的新定义问题 7. （1）解方程 （2）在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和两种情况讨论： 当时，原方程可化为．解得．符合． 当时，原方程可化为．解得．符合． 所以原方程的解为或． 请你类比此法解方程：． （3）新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，且，满足，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，满足，所以关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，求a的值． 8. 小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“十全十美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“十全十美方程”． (1)判断下列关于y的方程是否是一元一次方程的“十全十美方程”，在后面的横线上写“是”或“否”： ① ______，②  ______； (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请求出a的值； (3)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请直接写出的值． 题型五 一元一次方程解的计算压轴题 9. 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值： (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程是“美好方程”，求的值． 10. 对于方程，小华同学的解法如下： 解：将原方程化为．…第一步 ，得．…第二步 去括号，得．…第三步 移项、合并同类项，得．…第四步 系数化为1，得．…第五步 (1)第二步进行的是 ，这一步的依据是 ；以上求解步骤中，从第 步开始出现错误． (2)请写出正确的解答过程． 题型六 一元一次方程解的拓展问题 11. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．利用图中信息解决下列问题：（整个接水过程不计热量损失） 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积×开水降低的温度＝温水的体积×温水升高的温度”．例：的开水与温水混合至50度，热传递关系为： (1)王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，且水杯中的水温为．①王老师的水杯容量为______；②开水放出的热量为______（结果用含t的代数式表示） (2)小李同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯体积为，温度为的水，求小李同学接温水和开水的时间分别为多少秒？ 12. 【观察思考】 如图，春节期间在某广场上摆放多盆红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点），组成“中国结”系列图案 【发现规律】 根据上述图案的摆放规律填空： （1）第5个图案中黄梅花的盆数为________； （2）第1个图案中红梅花的盆数可表示为，第2个图案中红梅花的盆数可表示为，第3个图案中红梅花的盆数可表示为，第4个图案中红梅花的盆数可表示为，…，第个图案中红梅花的盆数可表示为_________； 【解决问题】 （3）若按照上述规律摆放的第个“中国结”图案中，红梅花的盆数比黄梅花的盆数的倍少5盆，求的值． 题型七 一元一次方程的综合应用 13. 如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，并且a，b满足． (1)求点A，B之间的距离； (2)点C在点A的右侧，点D在点B的左侧，为15个单位长度，为8个单位长度，求点C，D之间的距离； (3)动点P以3个单位长度秒的速度从点A出发沿数轴正方向运动，同时点Q以2个单位长度秒的速度从点B出发沿数轴负方向运动，求当（表示线段的长度）时点P表示的数是多少？ 14. 某校组织学生参加2024年冬奥知识问答，问答活动共设有20道选择题，每题必答，每答对一道题加分，答错一道题减分，下表中记录了三名学生的得分情况： 参赛学生 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 86 C 15 5 65 请结合表中所给数据，回答下列问题： (1)本次知识问答中，每答对一题加______分，每答错一题减______分； (2)若小明同学答对16题，请计算小明的得分； (3)若小刚同学参加了本次知识问答，下列四个选项中，哪一个可能是小刚的得分_____（填写选项）； A．75；B．63；C．56；D．44 并请你计算他答对了几道题，写出解答过程，（列一元一次方程解决问题） 题型八 一元一次方程与数轴有关问题 15. 数轴上两个点所对应的数为，，、两点各自以一定的速度同时运动，且点的运动速度为个单位/秒． (1)若两点相向而行，在原点处相遇，求点运动的速度； (2)若两点从开始位置上同时按照（）中的速度向数轴正方向运动，多少秒钟后， 与原点距离相等？ (3)两点以（）中的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，点从原点出发也向数轴负方向运动，点分别运动到、、，且点总在、两点之间，并在运动过程中始终有（表示点到点的距离），设运动秒钟后，下列两个结论：①的值不变；②的值不变，请选择正确的结论，并求其值． 16. “幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸福点”，若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸福中心” (1)如图1，点A表示的数为，则A的幸福点C所表示的数应该是 ； (2)如图2，点M表示的数是，点N表示的数为4，点C就是M、N的幸福中心，则C所表示的数可以是 （填一个即可）； (3)如图3，点A所表示的数为，点B所表示的数为4，点P所表示的数为8，点Q从点P出发，以2个单位/s的速度向左运动，当经过多少时间点Q是点A和B的“幸福中心”？ 1．在，，，，中，方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．某小组计划做一批中国结，如果每人做6个，那么比计划多做了9个，如果每人做4个，那么比计划少做了7个．设计划做x个“中国结”，可列方程（   ） A． B． C． D． 3．下列等式变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 4．对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示a，b两数中较小的数，如．按照这个规定，方程的解为（   ）． A． B． C．或 D． 5．湘绣是中国优秀的民族传统工艺之一，湖南某文创街区上分布了很多湘绣手工店．某湘绣手工店接了一个订单，预计甲店员单独做天可完成，乙店员单独做天可完成．现甲先做天后，顾客临时加急，店长安排乙加入合作，则完成这个订单共需要（   ） A．天 B．天 C．天 D．天 6．下列变形：①如果，那么；②如果，那么；③如果那么；④如果，那么．其中正确的是________．（填序号） 7．定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”．若关于x，y的两个方程与方程，若对于任何数，都使得它们不是“2差解方程”，则的值是______． 8．定义一种运算：．例如：．若，则的值为______． 9．已知是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若方程的解与关于x的一元一次方程的解互为相反数，求n的值． 10．王伟在解方程去括号时，等号右边括号里的没有变号，因而求得方程的解是，请你正确解出原方程． 11．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“相反方程”．例如：方程的解为，的解为，其中2和互为相反数，我们就称方程和为“相反方程”． (1)请说明方程和是“相反方程”； (2)若关于x的方程和是“相反方程”，求m的值； (3)若关于y的方程的“相反方程”的解，也是关于y的方程的解，求n的值． 12．一工坊用塑料板制作尺子，每张塑料板可制作直尺20把或制作三角尺30把，1把直尺与2把三角尺配成1组套尺．现有35张塑料板，用来制作直尺和三角尺，刚好可以配成的套尺有（   ） A．15组 B．20组 C．300组 D．600组 13．有14个队参加的足球循环赛中（每两队之间比一场），胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，某队所胜场数比所负场数多2场，共积分20分，则该队负（    ）场 A．3 B．5 C．6 D．7 14．幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．如图，将9个数字分别填入的正方形空格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上数的和都相等，图中填写了部分数字，其中a的值为（   ） 3 12 1 a A．1 B．3 C．5 D．7 15．A、B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以的速度从地匀速驶往地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距的次数是（    ）次 A．5 B．4 C．3 D．2 16．如图是2025年10月的月历，任意移动图中“”形框可遮盖七个数，这七个数的和不可能是（    ） A．63 B．77 C．105 D．175 17．已知七（1）班有48名学生，其中参加数学小组的有36人，参加英语小组的人数比参加数学小组的人数少10人，并且这两个小组都不参加的人数比这两个小组都参加的人数的多1人，则同时参加这两个小组的人数是（     ） A．20 B．16 C．12 D．8 18．有一个三位数，由高到低各位上的数字之比为，若将百位上的数字与个位上的数字交换位置，所得新三位数比原三位数大198，则这个三位数是________． 19．长方形纸片上有一数轴，剪下16个单位长度（从到12）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是_____ 20．如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度，若点从点处向点方向跳动，当点在之间且点到点的距离等于点到点的距离2倍时，点所表示的数是______． 21．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”请你帮忙算出共有______人出钱买鸡． 22．如图1是某年7月的日历，用一平行四边形框在表中任意框住4个数． (1)若框住4个数的和为74，求出框住4个数中最大数； (2)能否用平行四边形框在该日历中框出这样的4个数，它们的和等于94？若能，则求框出的最小数，若不能，说明理由． (3)如图2，用平行四边形框在该日历中框出这样的4个数为a、b、c、d，平行四边形在不同的位置时，代数式的值是否发生变化，若变化说明变化规律，若不变化求出该值． 23．下列运用等式的性质变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 24．若有理数，，互不相等，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 25．若、、是整数，是正整数，且，，，则的最大值是______． 26．若，则______． 27．已知，满足，若，则的值为（   ） A． B． C．5 D． 28．我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，．若x是大于3且小于4的有理数，且，则x的值为（    ） A．3.75 B．3.25 C．3.5 D．3.2 29．阅读材料：一个四位自然数的千位为，百位为，十位为，个位为，若关于的一元一次方程的解为，则称这个四位自然数为方程的“顺承数”．如：方程的解是所以2317就是方程的“顺承数”．判断5138______（填“是”或“否”）为某个方程的“顺承数”；方程的解是（且为整数），若是该方程的“顺承数”，交换的百位和个位数字得到新数，且能被3整除，则满足条件的的最大值与最小值之和为______． 30．定义：在数轴上，若已知点和点，则符号“”表示、两点间的距离． 如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，点，为数轴上的两个动点，动点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度运动到终点后停止运动，同时动点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度运动到终点后停止运动．设点的运动时间为秒． 回答下列问题： (1) ； (2)当点与点重合时，求的值； (3)在，两点运动的过程中，当时，求的值； (4)当，两点间的距离为时，直接写出的值． 31．如图1，已知点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是a、b、c、24，其中a、b满足，． (1)填空：________，________，________； (2)如图1，点A与点D之间的距离表示为，若点A、B分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，假设经过t秒后，A点可表示为________，B点可表示为________，且A、B之间的距离为2，则________； (3)如图2，将数轴在原点O、点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向变速运动至点D，同时，动点Q从点D出发以每秒4个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，它们在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为t秒．请问P、Q两点有没有可能在上坡或下坡时相遇，若可能，请求出相遇点所表示的数． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $