16.3.2 第1课时 完全平方公式 (教学课件） 2026--2027学年人教版八年级数学上册

第十六章 整式的乘法 人教版八年级上册 16.3.2 第1课时 完全平方公式 完全平方 公式 理解完全平方公式，了解完全平方公式的几何背景，能利用完全平方公式进行简单的计算和推理. 理解完全平方公式的结构特征，灵活应用完全平方公式 经历探索完全平方公式的过程，感受从特殊到一般和数形结合的思想，发展符号意识和几何直观观念. 结构特征 符号意识 几何直观 学习目标 答 符号语言 (a+b)(a−b)=a2−b2. 文字语言 两个数(式子)的和与这两个数(式子)的差的积，等于这 两个数(式子)的平方差． 复习引入 问题1 平方差公式的内容 复习引入 问题2 应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： 1.左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项 ，另一项 ； 2.右边是 的平方减去 的平方； 3.公式中的a和b可以是 ，也可以是 或 ． 相同 相反 相同项 相反项 数字 单项式 多项式 合作探究 探究　计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1） （p+1)2 = (p+1)(p+1) = . （2） （m+2)2 = (m+2)(m+2)= . （3） （p−1)2 = (p−1)(p−1) = . （4） （m−2)2 = (m−2)(m−2)= . 答 都是形如(a±b)2的多项式相乘. p2+2p+1 m2+4m+4 p2-2p+1 追问1　四个等式的左侧有什么共同特征？ 追问2　四个等式的右侧有什么共同特征？ 答 都是两项的平方和(a2+b2)加上(或减去)两项乘积的二倍(2ab). m2-4m+4 合作探究 探究　计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1） （p+1)2 = (p+1)(p+1) = . （2） （m+2)2 = (m+2)(m+2)= . （3） （p−1)2 = (p−1)(p−1) = . （4） （m−2)2 = (m−2)(m−2)= . （a+b)2= . （a-b)2= . p2+2p+1 m2+4m+4 p2-2p+1 追问3　根据上面的规律，你能直接写出下面式子的答案吗？ (a±b)2=a2±2ab+b2. m2-4m+4 a2+2ab+b2 a2-2ab+b2 合作探究 证明 (a+b)2=(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2 . 问题3 你能证明(a±b)2=a2±2ab+b2吗？ 文字语言 两个数(式子)的和 (或差)的平方，等于它们的平方和，加上 (或减去)它们的积的2倍． 证明 (a−b)2=(a−b)(a−b) =a2−ab−ab+b2 =a2−2ab+b2 . 你能用文字语言描述这个规律吗？ 合作探究 （乘法的）完 全 平 方 公 式 文字语言 两个数(式子)的和 (或差)的平方，等于它 们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. (a+b)2=a2+2ab+b2. (a−b)2=a2−2ab+b2. 合作探究 （乘法的）完 全 平 方 公 式 (a+b)2=a2+2ab+b2. (a−b)2=a2−2ab+b2. 公式特征： 4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式. 1.积为二次三项式； 2.积中两项为两数的平方和； 3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同. 口诀： “首平方，尾平方，乘积二倍放中央” 合作探究 思考 你能根据图中图形的面积说明完全平方公式吗？ (a+b)2 a2+2ab+b2 = 合作探究 思考 你能根据图中图形的面积说明完全平方公式吗？ (a−b)2 a2−2ab+b2 = 想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ （1）(x+y)2=x2 +y2 (2)(x -y)2 =x2 -y2 (3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 × × × × (x +y)2 =x2+2xy +y2 (x -y)2 =x2 -2xy +y2 (-x +y)2 =x2 -2xy +y2 (2x +y)2 =4x2+4xy +y2 小试牛刀 典例分析 例3 运用完全平方公式计算： (1) (4m+n)2 ； (2)（y− )2. ( 4m + n )2=( )2+( )+( )2. ( a + b )2= a 2 + 2ab + b 2 . 8mn n 4m 解 (1)原式=(4m)2+2·(4m)·n+n2 =16m2+8mn+n2； 典例分析 例3 运用完全平方公式计算： (1) (4m+n)2 ； (2)（y− )2. ( y − )2=( )2−( )+( )2. ( a − b )2= a 2 − 2ab + b 2 . y y 解 (2)原式=(y)2−2·(y)·+()2 =y2−y+ . 典例分析 解 (1)原式=(100+2)2 =(100)2+2×100×2+22 =10 000+400+4 =10 404 ； 例4 运用完全平方公式计算： (1) 1022； (2) 992. 两数之和的平方 典例分析 解 (2)原式=(100−1)2 =(100)2−2×100×1+12 =10 000−200+1 =9 801 . 例4 运用完全平方公式计算： (1) 1022； (2) 992. 两数之差的平方 典例分析 方法总结 应用完全平方公式计算时，应注意以下几个问题： （1）积为二次三项式； （2）积中两项为两数(式子)的平方和； （3）另一项是两数(式子)积的2倍，且与乘式中间的符号相同； （4）公式中的a和b可以是数字，也可以是单项式或多项式. 典例分析 思考 (a+b)2与(−a−b)2相等吗? (a−b)2与(b−a)2相等吗? (a−b)2与 a2−b2相等吗? 答 相等，因为(−a−b)2=(−a)2+2·(−a)·(−b)+(−b)2=a2+2ab+b2=(a+b)2. 答 相等，因为(b−a)2=b2−2ba+a2=a2−2ab+b2=(a−b)2. 答 不相等，因为(a−b)2=a2−2ab+b2≠a2−b2. 巩固练习 1. 下面的计算是否正确?如果不正确，应当怎样改正? (1) (a+b)2=a2+b2； (2) (a−b)2=a2−ab+b2； (3) (−x +y)2 =x2+2xy +y2； (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2. 不正确 不正确 原式=a2+2ab+b2 原式=a2−2ab+b2 不正确 不正确 原式=x2−2xy +y2 原式=4x2 +4xy +y2 2. 运用完全平方公式计算： (1) (x+6)2 ； (2) (y−5)2 ； (3) (−2x+5)2 ； (4) (x − y)2 . 巩固练习 解 （1）原式=x2+2×6x+62=x2+12x+36. （2）原式=y2−2×5y+52=y2−10y+25. （3）原式=(−2x)2+2×5·(−2x)+52=4x2−20x+25. （4）原式=(x)2−2·(x)·(y)+(y)2= x2−xy+ y2. 解 (1)原式=(100−2)2 =(100)2−2×100×2+22 =10 000−400+4 =9 604 ； 3. 运用完全平方公式计算： (1) 982 ； (2) 70.52 . 巩固练习 (2)原式=(70+0.5)2 =(70)2+2×70×0.5+0.52 =4 900+70+0.25 =4 970.25 . 4. 下列计算结果为2ab−a2−b2的是( ) A．(a−b)2 B．(−a−b)2 C．−(a＋b)2 D．−(a−b)2 巩固练习 D 5. 若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2. 巩固练习 解 a2+b2=（a+b)2-2ab =52-2×(-6) =37； a2-ab+b2=a2+b2-ab =37-(-6) =43. 解题时常用结论： a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 6. 已知x+y=8,x-y=4,求xy. 巩固练习 解 ∵x+y=8, ∴(x+y)2=64, 即x2+y2+2xy=64①; ∵x-y=4, ∴(x-y)2=16, 即x2+y2-2xy=16②; 由①-②得4xy=48 ∴xy=12. 解题时常用结论： 4ab=(a+b)2-(a-b)2. 7.若关于x的二次三项式是一个完全平方式，求m的值 解：∵， 解得5或， 巩固练习 巩固练习 8.多项式加上一个单项式后是完全平方式，请求出加上的单项式． 解：当和是首项和尾项，则缺少中间项即2倍之积， 则; 当和是首项和中间项时，则缺少尾项， 则; 当和是中间项和首项时，则缺少尾项， 则; 综上所述：这个单项式为或或 9. （1）求当为何值时，代数式有最小值，最小值是多少； 解(1)： ∵， ∴当，即时，代数式取得最小值； 最小值为． 巩固练习 9. （2）若，当_____时，有最_____值（填“大”或“小”），这个值是_____； 解(2)： == ∵， ∴，； ∴当，即时，有最大值， 最大值 大 巩固练习 9. （3）若，直接写出的最小值． 解(3)：由，得； 则 , ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为． 巩固练习 归纳总结 整式的乘法公式——完全平方公式 符号语言 (a±b)2= . 文字语言 两个数(式子)的和 (或差)的 ，等于它们的 ，加上(或减去)它们的 ． 注意事项 常用结论 a2±2ab+b2 平方 平方和 积的2倍 1.项数、符号、字母及其指数 2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行 3.从公式结构特点及结果两方面弄清完全平方公式和平方差公式不同 a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2. 感受中考 1.(2026·河南)下列式子中，运算结果为x2−4的是（   ） A．（x−2）2 B．（x+2）（2−x） C．（x+2）（x−2） D．x（x−4） C 感受中考 2.(2026·江苏)已知a+b=3，a2+b2=5，则ab的值为 ． 2 感受中考 3.(2026·内蒙古)矩形是常见的几何图形，数学中经常利用矩形组成的图形中的面积关系来说明代数恒等式，给出以下3组图形和3个代数恒等式，其中，各组图形的面积关系能正确说明其下方代数恒等式的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 A 感受中考 4.(2026·吉林)先化简，再求值：（2a+1）2+（a−5）（a+1），其中a=−1. 解： 原式=4a2+4a+1+a2−4a−5， =5a2−4， 当a=−1时， 原式=5×−12−4=1． 感受中考 5.(2026·福建)阅读下列材料，回答问题 主题：探究形如+b)2的数的整数部分与小数部分的特征 提出问题：学过“二次根式”，我们知道许多二次根式为无理数，且均可表示为整数部分与小数部分的和，即=m+n，其中m为整数，0<n<1．如=1+（−1），1−=−2+（3−）．那么形如+b)2的数，其整数部分m与小数部分n各有什么特征呢？ 感受中考 探究发现：小华对此展开研究，其探究过程如下： 据此，小华提出并证明了以下命题． 命题：若整数a，b满足0<b<1，且+b）2的整数部分为m，小数部分为n，则m必为奇数，且b）2=1−n． 5 感受中考 命题证明： 4a2+2b2−1 感受中考 拓展延伸：问题1若整数a，b满足0<b<1，那么+b）2的整数部分m是否仍为奇数？证明你的结论； 问题2若整数a，b满足<b<，其中k为整数，且k≥2，试探究：+b）2的整数部分m是奇数还是偶数？直接写出结论，不必证明． (1)补全①②③④所缺的内容； (2)解决问题1； (3)解决问题2． 解： (2)m不是奇数，证明如下: 感受中考 解： (3)当k为偶数，且k≥2时，m为奇数； 当k为奇数，且k≥2时，m为偶数． 感受中考 $