16.3.2 完全平方公式（第1课时）课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十六章 整式的乘法 16.3 乘法公式 16.3.2 完全平方公式 第1课时 学有鸿鹄志 展翅任翱翔 1 上节留问 同值 上节拼图还差一块没弄清。动手做：正方形菜地边长 a 米，四边各向外接出 b 米，接出的部分并成一个大正方形（如图）. 动手拼一拼，整块面积有几种算法？ a b b a 整块看 = 分块看 = ab b2 a2 ab (a + b)2 a2 + 2ab + b2 学有鸿鹄志 展翅任翱翔 2 旧知回看 1．多项式乘多项式分两步：前一式的每项________后一式的________ ，最后把各次的________. 乘 每一项 积相加 2．下面四题先想中间项是几，再写出结果： (1)(c＋1)2＝　 　； (2)(c－1)2＝　 　； (3)(t＋2)2＝　 　； (4)(t－2)2＝　 　. c2＋2c＋1 c2－2c＋1 t2＋4t＋4 t2－4t＋4 （1）(c + 3)2 = (c + 3)(c + 3) = ______________； （2）(t + 4)2 = (_____)(_____) = ___________ ； （3）(c – 3)2 = (_____)(_____) = ____________ ； （4）(t – 4)2 = (_____)(_____) = ____________. c2 + 6c + 9 t + 4 先拆因式再展开. 先 猜 t + 4 t2 + 8t + 16 c – 3 c – 3 c2 – 6c + 9 t – 4 t – 4 t2 – 8t + 16 先猜后证 5 （1）(c + 3)2 = c2 + 6c + 9； （2）(t + 4)2 = t2 + 8t + 16； （3）(c – 3)2 = c2 – 6c + 9； （4）(t – 4)2 = t2 – 8t + 16. c2 + 2·c·3 + 32 t2 + 2·t·4 + 42 c2 – 2·c·3 + 32 t2 – 2·t·4 + 42 这四道小题，底子都是 (a ± b)2 这种形式 看右边：首尾两项，正是括号里两数各自平方；中间那一项，则是两数乘积的2倍 规律摸到了吗？ 先估一估 (a + b)2 =____________ (a – b)2 =____________ a2 + 2ab + b2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)(a – b) = a2 – ab – ab + b2 = a2 – 2ab + b2 7 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 两数先相加（或相减），整体平方，等于两数平方和，再加（或减去）两数相乘的2倍. 完全平方公式： (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 它只是 (a+b)·(p+q) 里取 p = a，q = b 时得到的特例. (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 两头平方，中间放积的2倍 共三项，次数最高二次 两头两项，就是两数各取平方 中间那项，是两数乘积的2倍，符号跟括号走 式中 a、b 换成数、单项式乃至多项式都行 再把两式摆在一起：共同点在哪？ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 对 照 (a±b)2 a b a2 ± 2ab + b2 (1+c)2 (−2+t)2 (3+c)2 (2t−1)2 1 c 2 t 12 + 2c + c2 t2 – 2t·2 + 22 c 3 32 + 6c + c2 2t 1 (2t)2 – 2×(2t)×1 + 12 先补一笔： 1 + 2c + c2 t2 – 4t + 4 9 + 6c + c2 4t2 – 4t + 1 轮到你写 10 两幅拼图拼法不同，结果能不能对上？ a a b b a b b a ab b2 a2 ab ab b2 ab 图 证 整体算：S = 拆开算：S = (a + b)2 a2 + 2ab + b2 S = S = (a – b)2 a2 – 2ab + b2 走一遍 解：（1）原式 = 52 + 2·5·c + c2 （1）(5 + c)2； = c2 + 10c + 25 （2）此式 = (–3c)2 + 2·(–3c)·2 + 22 = 9c2 – 12c + 4 也可写成(2 – 3c)2 （2）(–3c + 2)2 . （2）该式 = 22 – 2×3c×2 + (3c)2 = 9c2 – 12c + 4 通用走法 2.不摆竖式，套公式算两个平方：　 (1) 1042； (2) 972 . 解：(1) 1042 = (100 + 4)2 = 1002 + 2×100×4 + 42 = 10000 + 800 + 16 = 10816 (2) 972 = (100 – 3)2 = 1002 – 2×100×3 + 32 = 10000 – 600 + 9 = 9409 把接近整百的数拆成整百加减零头，套公式比硬算省事. （1）(a + b)2 与 (– a – b)2 的结果能画等号吗？ (–a – b)2 = [–(a + b)]2 = (a + b)2 (–a – b)2 = (–a)2 – 2·(–a)·b + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 或 （2）(a – b)2 与 (b – a)2 哪个大？ (a – b)2 = [–(b – a)]2 = (b – a)2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 = b2 – 2ab + a2 或 = (b – a)2 （3）(a – b)2 与 a2 – b2 之间差在哪一块？ (a – b)2 = (a – b)(a – b) a2 – b2 = (a + b)(a – b) 相等 一致 不等 辨 析 (–4c + 6t)2 . = (6t)2 – 2·6t·4c + (4c)2 = 36t2 – 48ct + 16c2 把两项调换：原式 = (6t – 4c)2 换你落笔 史料一角 杨辉三角 (点开看) 对着图，把 (c + t)6 逐项展开，报第三项系数. c6 + 6c5t + 15c4t2 + 20c3t3 + 15c2t4 + 6ct5 + t6 再走一步 1. 四选一：哪一个式子算得对（ ） A. (3c – 2)2 = 9c2 – 12c + 4 B. (2t + 3)2 = 4t2 + 9 C. (c + t)2 = c2 + t2 D. (c – t)2 = t2 – c2 A 当堂过手 2.这两步变形站得住吗？ 如果有错，你打算怎么补？ （1）(a + b)2 ＝ a2 + b2； （2）(a – b)2 ＝a2 – ab + b2. 正确式 = a2 + 2ab + b2 应为 = a2 – 2ab + b2 3. 先指认 a 与 b，再代公式求： （1）(c + 8)2； （2）(t – 7)2；（3）(–2t + 8)2； 解：(1) (c + 8)2 = c2 + 2·c·8 + 82 (2) (t – 7)2 = t2 – 2·t·7 + 72 = c2 + 16c + 64 = t2 – 14t + 49 (3) (–2t + 8)2 = 82 – 2·2t·8 + (2t)2 = 4t2 – 32t + 64 = (8 – 2t)2 4. 仍用这个公式，先拆再算： （1）962； （2）60.52 . 过程：(1) 962 = (100 – 4)2 = 1002 – 2×100×4 + 42 = 10000 – 800 + 16 = 9216 (2) 60.52 = (60 + 0.5)2 = 602 + 2×60×0.5 + 0.52 = 3600 + 60 + 0.25 = 3660.25 易错三问 问：漏掉中间项错在哪？少了两个数相乘的两倍。问：符号随谁？看括号里的加减。问：字母能换吗？式子也行，中间仍是2ab. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 三问三答 本节配套题，两人互查后交 作业本上 $