精品解析：上海师范大学附属虹口中学2026-2027学年第一学期高二期中考试数学试题

上海师范大学附属虹口中学2026学年第一学期 高二数学期中考试卷 （考试时间90分钟 满分100分） 一、填空题（1～7题每题3分，8～10每题4分，共33分） 1. “平面经过直线”用集合符号语言可表示为_______． 2. 若直线平面，直线在平面内，则直线与的位置关系是______. 3. 已知平面向量，，且与垂直，则x等于__________． 4. 满足数列前项分别为 ，，，，…的一个通项公式可以为__________． 5. 等差数列中，，，则__________． 6. 在等比数列中，各项均为正数，且，，则数列的通项公式__________． 7. 在平行六面体中，E，F分别是棱，的中点，记，，，则等于__________（用，，表示）． 8. 已知某圆锥的底面半径为2，侧面积为，则该圆锥的体积为 ___________（结果保留） 9. 表面积为的球，其内接圆柱的侧面积的最大值为__________． 10. 某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中，均与水平面垂直，在已测得可直接到达的两点间距离，，且，用测角仪测得，的情况下，四名同学用测角仪各自测得下面一个角：①；②；③；④，其中一定能唯一确定之间的距离有________.（写出所有正确的序号） 二、选择题（11～13每题3分，14～15每题4分，共17分） 11. 给出下面四个命题： ①三个不同的点确定一个平面； ②一条直线和一个点确定一个平面； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面； ④两条平行直线确定一个平面． 其中正确的命题是（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 12. 在等比数列中，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 13. 设，，，则数列，，（ ） A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列 D. 既是等差数列也是等比数列 14. 如图，点为正方形的中心，△为正三角形，平面⊥平面，是线段的中点，则以下命题中正确的是（ ）． A. B. C. A、、三点共线 D. 直线与相交 15. 如图，已知点在体积为的球的球面上，且，平面，点为中点，当二面角的大小为时，则有（ ）． A. 异面直线和所成角的大小为 B. 直线与平面所成角的大小为 C. D. 的面积为 三、解答题（每题10分，共50分） 16. 已知空间中的三点，，，，． （1）求与的夹角（用反三角表示）； （2）求的面积． 17. 如图，在长方体中，为上一动点，已知，. （1）求直线与平面所成角的大小；（用反三角表示） （2）求三棱锥的体积. 18. 数列中，已知，（n为正整数）． （1）求数列的通项公式； （2）设，若，求正整数m的值． 19. 已知数列的前n项和为，，且． （1）证明：是等比数列； （2）求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数n． 20. 设四边形为矩形，点P为平面外一点，且平面，若，． （1）在边上是否存在一点G，使得点D到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （2）若点E是的中点，在内确定一点H，使的值最小，并求此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海师范大学附属虹口中学2026学年第一学期 高二数学期中考试卷 （考试时间90分钟 满分100分） 一、填空题（1～7题每题3分，8～10每题4分，共33分） 1. “平面经过直线”用集合符号语言可表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线与平面的关系直接得到结果. 【详解】由题意可知：直线在平面内， 所以符号语言为：， 故答案为：. 2. 若直线平面，直线在平面内，则直线与的位置关系是______. 【答案】平行或异面 【解析】 【分析】由直线与直线没有公共点可得结论. 【详解】由直线平面得直线与平面没有公共点， 由直线在平面内可知直线与直线没有公共点，故直线与直线的位置关系为平行或异面. 故答案为：平行或异面. 3. 已知平面向量，，且与垂直，则x等于__________． 【答案】#2.2 【解析】 【分析】利用垂直向量数量积为0，由数量积的坐标运算求出x即可. 【详解】，，由得， 即，解得. 4. 满足数列前项分别为 ，，，，…的一个通项公式可以为__________． 【答案】（） 【解析】 【详解】通过观察发现，，，，， 所以数列的通项公式可以为（）. 5. 等差数列中，，，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】设等差数列的公差为，由题知， 所以，， 所以. 6. 在等比数列中，各项均为正数，且，，则数列的通项公式__________． 【答案】 【解析】 【详解】设等比数列的公比为，依题意， 由得， 又，代入化简得，解得或(舍去）； 则数列的通项公式为. 7. 在平行六面体中，E，F分别是棱，的中点，记，，，则等于__________（用，，表示）． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用空间向量的线性运算求解. 【详解】连接，， 故答案为： 8. 已知某圆锥的底面半径为2，侧面积为，则该圆锥的体积为 ___________（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥体积公式、侧面积公式，结合圆锥的性质进行求解即可. 【详解】设圆锥的母线为，因为圆锥侧面积为， 所以， 所以该圆锥的高为， 因此该圆锥的体积为， 故答案为： 9. 表面积为的球，其内接圆柱的侧面积的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先由球表面积求出球半径，设圆柱底面半径和高，利用球内接圆柱的几何关系建立等量关系，写出侧面积表达式，再借助基本不等式求最值. 【详解】设球的半径为，圆柱底面半径，高，由球表面积，得， 则， 当且仅当，即时取等号，所以圆柱的侧面积的最大值为. 10. 某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中，均与水平面垂直，在已测得可直接到达的两点间距离，，且，用测角仪测得，的情况下，四名同学用测角仪各自测得下面一个角：①；②；③；④，其中一定能唯一确定之间的距离有________.（写出所有正确的序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】结合题目给出条件以及直角三角形的边角关系，可知均已确定，对于①②③，可先根据余弦定理判断是否确定，再根据勾股定理判断是否确定；对于④，可直接根据余弦定理进行判断. 【详解】设， 在中，， 同理可得， 由于均为已知量，故均为定值. 对于①：在中，由余弦定理可得，且均为定值，故该方程为关于的一元二次方程，可能有两解. 例如，若， 则可得，即，解得或， 由勾股定理可得，由于为定值，而有两解，故也有两解，故①错误； 对于②：在中，由余弦定理可得，且均为定值，故也为定值， 又因为，其中均为定值，故为定值，故②正确； 对于③：在中，由余弦定理可得，整理得且均为定值， 故该方程为关于的一元二次方程.又， 故，即有两解，设两解分别为， 由韦达定理可知，，即异号，因此该方程仅有1个正数解，即有唯一确定解， 又因为，其中均为定值，故为定值，故③正确； 对于④：在中，由余弦定理可知，，因为均为定值，故也为定值，故④正确， 故答案为：②③④. 二、选择题（11～13每题3分，14～15每题4分，共17分） 11. 给出下面四个命题： ①三个不同的点确定一个平面； ②一条直线和一个点确定一个平面； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面； ④两条平行直线确定一个平面． 其中正确的命题是（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面的概念与性质，以及线面关系对各个选项进行逐个判断即可. 【详解】对于①, 三个不共线的点确定一个平面, 故①错; 对于②, 一条直线和直线外一个点确定一个平面, 故②错; 对于③), 空间两两相交的三条直线, 且不能交 于同一点, 确定一个平面, 故③错; 对于④, 两条平行直线确定一个平面, 故④正确. 故选：D. 12. 在等比数列中，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质计算． 【详解】是等比数列，则． 故选：B． 13. 设，，，则数列，，（ ） A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列 D. 既是等差数列也是等比数列 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合等差、等比数列的中项公式进行验证，即可求解. 【详解】由，，，可得， 因为，即，所以成等差数列； 又因为， ， 所以，所以不能构成等比数列. 故选：A. 14. 如图，点为正方形的中心，△为正三角形，平面⊥平面，是线段的中点，则以下命题中正确的是（ ）． A. B. C. A、、三点共线 D. 直线与相交 【答案】D 【解析】 【分析】分别求得的长度判断选项A；利用反证法否定选项B和选项C；求得直线与的位置关系判断选项D. 【详解】取中点F，连接,取中点H，连接. 又△为正三角形，则，， 又平面⊥平面，平面平面， 则平面，平面， 又平面，平面， 则，， 设，则, 则， 则.故选项A判断错误； 假设， 又，，平面， 则平面，又平面，则， 这与矛盾，故假设不成立，不互相垂直. 故选项B判断错误； 由平面，可得直线平面， 假设A、、三点共线，则，则平面， 这与平面矛盾，故假设不成立. 故选项C判断错误； 由，可得，， 则四边形为梯形，则直线与相交. 故选项D判断正确. 故选：D 15. 如图，已知点在体积为的球的球面上，且，平面，点为中点，当二面角的大小为时，则有（ ）． A. 异面直线和所成角的大小为 B. 直线与平面所成角的大小为 C. D. 的面积为 【答案】D 【解析】 【分析】设球的半径为，求得，证得平面，得到，得到，进而得到，把异面直线和所成角转化为直线和所成角，可判定A错误；作，证得平面，得到即为直线与平面所成角，可判定B不正确；在直角中，求得，结合二倍角公式，可判定C错误；结合面积公式，可判定D正确. 【详解】设球的半径为，因为球的体积为，可得，可得， 因为为中点，为的中点，所以，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，所以， 在直角中，可得， 对于A，由，可得异面直线和所成角，即为直线和所成角， 因为，所以异面直线和所成角的大小为，故A错误； 对于B，过点作，垂足为， 因为平面，平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 所以即为直线与平面所成角， 在直角中，，可得，则， 所以，所以B不正确； 对于C，在直角中，，可得， 所以，则， 所以，所以C错误； 对于D，由的面积为，所以D正确. 三、解答题（每题10分，共50分） 16. 已知空间中的三点，，，，． （1）求与的夹角（用反三角表示）； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件写出向量与的坐标表示，求出向量与夹角的余弦值，再利用反三角函数表示角度. （2）根据三角形的面积公式求解. 【小问1详解】 由，，，得，，则，，，， 因为，所以向量与的夹角为. 【小问2详解】 因为， 所以. 17. 如图，在长方体中，为上一动点，已知，. （1）求直线与平面所成角的大小；（用反三角表示） （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先找出即为直线与平面所成角，再求的大小即可； （2）根据，再利用三棱锥的体积公式即可求解. 【小问1详解】 连接，由题意得平面， 则即为直线与平面所成角， 又， 在直角中，，， ，则， 所以直线与平面所成角的大小为. 【小问2详解】 由题意得，平面， 则. 所以三棱锥的体积为. 18. 数列中，已知，（n为正整数）． （1）求数列的通项公式； （2）设，若，求正整数m的值． 【答案】（1） 数列的通项公式为； （2） 正整数的值为11. 【解析】 【小问1详解】 由题设条件得，且对任意正整数满足，因此，， 即数列是首项为1、公比为2的等比数列，根据等比数列通项公式， 可得，. 【小问2详解】 将代入，可得，， 因此数列是公差为1的等差数列. 观察求和式，共包含10项， 其中首项为，末项为， 根据等差数列求和公式得到和为， 由题设该和为145，得到，解得. 19. 已知数列的前n项和为，，且． （1）证明：是等比数列； （2）求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数n． 【答案】（1）由得，又， 所以， 因此是首项为，公比为的等比数列. （2）； 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义证明； （2）先利用等比数列的通项公式求，再利用分组求和求； 将转化为，列不等式求满足条件的最小正整数. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，所以， . 若，则，所以； 当时，；当时，； 所以使得成立的最小正整数. 20. 设四边形为矩形，点P为平面外一点，且平面，若，． （1）在边上是否存在一点G，使得点D到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （2）若点E是的中点，在内确定一点H，使的值最小，并求此时的值． 【答案】（1）存在， （2） 【解析】 【分析】（1）假设边上存在一点满足题设条件，作，可证明平面，从而得到，由此求解； （2）延长到，使得，连结，过作于，利用三点共线，两线段和最小，得到，过作于，连结，在直角中，求解即可． 【小问1详解】 假设边上存在一点满足题设条件，作， 因为平面，且平面，所以， 因为，平面， 则平面，故， 其中底面如图所示： 因为，且， 在直角中， ，所以， 所以， 在直角中，，所以，因为， 故边上存在点G，当时，点到平面的距离为； 【小问2详解】 延长到，使得，连结，过作于， 因为平面，平面，所以， 又因为底面是矩形，所以， 又平面. 所以平面，所以. 则， 当且仅当三点共线时等号成立， 故， 过作于，连结， 易得 所以，. 在直角中， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $