广东深圳市罗湖区翠园实验学校2026-2027学年九年级上学期期中考试数学试卷

2026学年初三年级期中数学参考答案 一。 选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 题号 1 2 J 4 6 个 8 选项 A A B D B D B 8.解：BD=3 AD .设BD=3n,AD=2n, 则BC=3n,AB=5n, .AC=√AB2-BC2=V(5m2-(32=4n, x2+ax=64=82, 4n=8, .n=2, .:BC=3×2=6, 6, .a=12, 故选：B. 二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 题号 9 10 11 12 13 答案 10 7 1 (30-10V5) 9.6 V13 11.解：如图， 设主持人站立的位置离A点较近的点为C, 则点C是AB的黄金分割点， :BC-5-1AB=5-1×20=a0N5-100m, 2 2 :.AC=20-10V5-10)=30-10V5)(m, 即主持人站立的位置离A点较近的距离为(30-10√5)m, 故答案为：(30-10v5). A B 12.解：CG的延长线交AB于H,如图， 第1页（共10页） E H D B 易得OF=BH=CD=1.6,CO=DF=1,OH=BF=9m, .EO=EF-OF=2.4-1.6=0.8), .EO//AH, .△COE∽△CHA, EO CO 即08 1 AH CH AH1+9” AH=8, AB=AH+BH=8+1.6=9.6(m), 即旗杆AB的高度是9.6m. 故答案为：9.6. 13.解：如图1，连接AC交BD于点O,连接DN. :四边形ABCD为菱形， ·AB=AD=BC=V5,AC⊥BD,∠ABD=∠CBM, ,'∠NAD=∠ABM, .∠NAD=∠CBM, 又'AN=BM, .△NAD=△MBC(SAS9, .CM=DN, 如图2，作点D关于AN所在直线的对称点E,过点C作BD的平行线交ED的延长线于点F, 连接EN,CE,由对称性知，EN=DN,ED⊥AN, 第2页（共10页） A N M B D 2----F :∠NAD=∠ABM,∠ABD=∠ADB, .∠NAD=∠ADB, .AN//BD, .ED⊥BD, .AC⊥BD, .ED//AC, .ED=20A=20C, .CF //BD, .EF⊥CF, .∠COD=∠ODF=∠F=90°， :四边形OCFD为矩形， :DF=OC,CF=OD=-BD=2, 在t△A0D中，由勾股定理，得OA=AD2-OD2=V(W52-2=1, .ED=20A=2,DF=OC=OA=1, ·.EF=DE+DF=3, 在Rt△EFC中，由勾股定理，得CE=√CF2+EF2=√22+32=√13. CM+CN=DN+CN=EN+CNz CE =13, 当C,N,E三点共线时，取等号，此时EN+CN的值最小， 故CM+CN的最小值为√3. 故答案为：√3. 第3页（共10页） 三.解答题（共7小题，满分61分) 14.(6分) (1)解：2x(x-1)=3(1-x)…1分 (x-1)(2x+3)=0, x-1=0或2x十3=0…2分 解得：x1=1,x2=-1.5 …3分 (其他方法酌情给分) (2)解：(x+4)2=7…1分 x+4=士V7…2分 X1=-4+V7,x2=-4-V73分 (其他方法酌情给分) 15.（7分)解：(1)如图，△OB'C'即为所求： …3分 (2)2m:…5分 (3)(-24,-2b).…7分 16.(8分) (1)证明：整理原方程得，x2-5x+6-m2=0, .△=25-4(6-m2)=1+4m2, …2分 第4页（共10页） :无论m为何实数，总有4m2≥0，从而1+4m2>0, 即△>0. .无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根： …4分 (2)解：由（1)得方程(x-3)(x-2)-2=0整理得x2-5x+6-m2=0, :方程(x-3)(x-2)-m2=0的两个实数根a、B, ,a+B=5,B=6-m2, …6分 .2+B=(a+B)2-2a8=25-2(6-2)=13+2m2=17, 解得m=±√2. 8分 17.(8分) (1)证明：D、E分别是AB、AC的中点， DE1IBC且2DE=BC, 又BE=2DE,EF=BE, .EF=BC,EF//BC, 四边形BCFE是平行四边形，3分 又BE=EF, G 四边形BCFE是菱形；…4分 (2)解：·∠BEF=120°， ..∠EBC=60°， :△EBC是等边三角形， .BE=BC=CE=6,…5分 过点E作EG⊥BC于点G, 8G=6×号=3V3,…7分 S□BcFE=BC·EG=6×3V3=18V3.…8分 第5页（共10页） 18.(8分) 解：(1)设二、三这两个月的月平均增长率为x,根据题意可得： 2560+x)2=400,…2分 解得：名子5=}（不合题意舍去）· 答：二、三这两个月的月平均增长率为25%： …4分 (2)设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得： (40-25-m(400+50=4250,…6分 解得：=5，m,=-70(不合题意舍去). 答：当商品降价5元时，商场获利4250元. …8分 19.(12分) 解：【材料理解】： -2,大，-4： 3分 【类比应用】： 关于x的一元二次方程x2-(k-3)x-2k=0有两个不相等的实数根. 理由如下： △=b2-4ac =[-(k-3)]P-4x1×(-2%)…4分 =k+2k+9 =(k+1)2+8,…5分 .当k=-1时，△有最小值为8，即△>0， .关于x的一元二次方程x2-(k-3)x-2k=0有两个不相等的实数根；…6分 【迁移应用】： ①设PW的长度是x厘米，PQ的长度是y厘米时， :四边形PQMN为矩形， .BC//PN, 第6页（共10页） .△APN∽△ABC, PNAE BC AD =8-y …8分 128 y与x之间的函数关系式为y=8-2x0<K<12, 3 :矩形POMN面积S=y=x(8- 刘=2x2+8x: 2 …9分 3 3 ②S=-2x2+8x 3 -2x2-12x+36-36)7 = 26x-02+24, 故当PN的长度是6厘米时，矩形零件POMN的面积最大，最大面积为24平方厘米， …12分 20.(12分) (1)DE=AF; …2分 （2)证明：甲方案：如图2.1，过点A作AM11EF交BC于点M,过点B作BN1/HG交CD于 点N, E D ⊙ B M F C 图2.1 :四边形ABCD是矩形， .AD//BC,AB/CD,∠ABC=∠BCD=90°，AD=BC, :.四边形AEFM、HGBN均为平行四边形，∠BAM+AMB=90°， .BN=GH,AM=EF, EF⊥GH,BN//HG, .EF⊥BN, 又AM/IEF, 第7页（共10页） .AM⊥BN, .∠NBC+AMB=90°， .∠BAM=NBC, 又∠ABM=∠BCN=90°， ∴.△BAM∽△CBN, AB AM BC=BN' EF AB GHAD …6分 乙方案：如图2.2，过点E作EM⊥BC交BC于点M,过点G作GN⊥CD交CD于点N,EM交GH 于点0， E D H 04 G-1- ----W B M F 图2.2 :四边形ABCD是矩形， .∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，AD=BC,AB/ICD, :.四边形AEMB、GBCN均为矩形， .AB=EM,GN=BC=AD, :EF⊥GH,EM⊥GN, .∠MEF+∠EOH=90°，∠GOM+∠HGN=90°， .'∠EOH=∠GOM, .∠BF=∠HGN, .∠EMF=∠GH=90°， .△EFM∽△GHN, 、EFEM GH GN EF AB GH AD …6分 第8页（共10页） (3)解：由矩形的性质可得AD=BC=4,∠A=90°，AD1/BC, 在Rt△ABD中，AD=4,AB=3,由勾股定理得BD=√AB2+AD=√32+4=5， 由折叠可得EF垂直平分BD, 由(2)可知， EF AB BD AD 即BF3 541 解得Er= 4 9分 (4)解： 照的值为行： …12分 AF 理由如下： 如图4，过点D作MN⊥BC,交BC的延长线于M,过点A作AN⊥MN交N于点N,连接AC, 过点F作FH⊥AN于点H,过点E作EG⊥MN于点G, G B FCM 图4 ∠ABC=90°，AN⊥MN,MN⊥BC, .四边形ABMN是矩形， .∠N=∠M=90°，AN=BM,MN=AB=10, AD=AB,BC=CD,AC=AC, .△ACD=△ACB(SSS), .∠ADC=∠ABC=90°， .∠ADN+∠CDM=90°， :∠ADN+∠NAD=90°， .∠CDM=∠NVAD, .·∠M=∠N=90°， .△DCM∽△ADN, 第9页（共10页） .CD-CM_DMs 1 AD DN AN-102' .AN=2DM,DN=2CM, 在Rt△DMC中，DM=10-DW=10-2CM, 根据勾股定理，DC2=CMP+DM, .52=CMP+10-2CM02, .CM=5,CM=3, 当CM=5时，DM=10-2CM=0（不合题意，舍去)， .CM=3, .BM=AN=BC+CM=5+3=8, 由(2)推导可知：∠AFH=∠DEG, :∠AHF=∠EGD=90°， .△DEG∽△AFH, :DE、BG AF FH EG=AN=8,HF=AB=10, DE 8 4 AF105 第10页（共10页）2026—2027学年第一学期期中质量检测 九年级数学试卷 说明：1.答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色宇迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上。 2.全卷共6页。考试时间90分钟，满分100分。 3.作答选择题1一8，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息，点框涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答聚。作答非选择题9一20，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含 作辅助线)写在答题卡指定区域内。写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。 4.考试结束后，请将答题卡交回。 第一部分选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一 个是正确的) 1.如图所示的钢块零件的主视图为（) B 止 D. 2.下列方程是一元二次方程的是（ 1 A.x2=0 B.x2=x(x+1) C.2x+1+1=0 D.x2+x-1=0 3.下列四组线段中，是成比例线段的是() A.4cm,3cm,4cm,5cm B.10cm,16cm,5cm,8cm C.2cm,4cm,6cm,8cm D.9cm,8cm,15cm,10cm 4.根据下列表格对应值： 2.65 2.70 2.75 2.80 y=ax2+bx+c 0.155 0.02 -0.125 -0.28 判断关于x的方程ax2+bx+c=0(a+0)的一个解x的范围是() A.2.65<x<2.7B.x>2.75,C.2.70<x<2.75 D.2.75<x<2.80 九年级 数学试卷第1页（共6页） 5.如图，一块面积为60cm2的三角形硬纸板（记为△ABC)平行丁投影面时，在点光源o的 照射下形成的投影是△AB,C,若OB:BB=2:3,则△AB,C,的面积是（) A.90cm2 B.135cm2 C.150cm2 D.375cm2 6.下列说法错误的是（) A.平行四边形的对边相等 B.对角线相等的四边形是矩形 C.菱形的对角线互相垂直平分 D.对角线相等的菱形是正方形 7.现将一张照片（长14英寸，宽10英寸)贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸 的宽度相同均为a英寸，如图所示，已知矩形衬纸的面积为照片面积的2倍，则下列所列方 程正确的是() 14 第7题图 第8题图 A.210+a)14+a）=14×10 B.210+2a)14+2a)=14×10 C.(10+a)14+a)=2×14×10 D.(10+2a)014+2a)=2×14×10 8.在欧几里得的《几何原本》中，形如关于x的一元二次方程x+成=b(a>0,b>)的图解 法是：如图，作：△4C,其中∠4C8=90,C-登4C=b,在斜边上发取助-号则D 的长就是所求方程的正根.根据上述图解法作出关于x的一元二次方程x2+ax=64(a>0)的 图解，若碧-则。的值为（) A.10 B.12 C.8 .D.14 九年级数学试卷第2页（共6页) 第二部分非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9.己已知7a=10b,则号的值为 10.若关于x的一元二次方程？+mx-6=0一个根为2，则m的值为 11.电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体.若舞台4B长为20m, 那么主持人站立的位置离A点较近的距离为 m. (结果保留根号) 12.如图，小益利用标杆EF测量旗杆AB的高度，测得小益的身高CD=1.6米，标杆EF=2.4 米，DF=1米，BF=9米，则旗杆AB的高度是 米。 第12题图 第13题图 13.如图，在菱形ABCD中，AB=V5,BD=4,M为对角线BD上一动点，N为菱形ABCD 外一点：且∠NAD=∠ABM:AW=BM:连接CM:CW:则CM+CN的最小值为 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14.(6分)解方程： (1)2x(x-1)=3-3x: (2)x2+8x+9=0. 15.(7分)如图，已知0是坐标原点，点B、C两点的坐标分别为3，-)、2,1). (1)画图：以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到原来的2倍得到△OB℃： (2)填空： ①如果△OBC周长为m,则△OBC的周长为 ②若线段BC上有一点Pa,),请直接写出点P的对应点P的坐标 九年级数学试卷第3页（共6页) 16.(8分)已知关于x的一元二次方程(x-3(x-2)-m2=0. (1)求证：无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根： (2)若方程的两个实数根a,B满足a2+B2=17,求m的值. 17.(8分)如图，在△ABC中，DE分别是AB,AC的中点，BE=2DE,延长DE到点F, 使得EF=BE,连CF. (1)求证：四边形BCFE是菱形： (2)若CE=6,∠BEF=120°，求菱形BCFE的面积. 18.(8分)某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品.当商品售价为40元时， 一另份销售256件.二、三月该商品十分阁销。销售量持续走高.在售价不变的基础上，三 月底的销售量达到400件。设二、三这两个月的月平均增长率不变， (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元， 销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？ 九年级 数学试卷第4页（共6页） 19.·（12分)【阅读材料】 配方法不仅可以解一元二次方程，还可以用来求“最值”问题. 【材料一】：求代数式2m2+4m+5的最值. 解：.因为2m2+4m+5 =(2m2+4m)+5(分离常数项) =2(m2+2m)+5(提二次项系数) =2(m2+2m+1-1)+5 =2(m+1)2-1]+5 (配方) =2(m+1)2+3 所以当m=-1时，代数式2m2+4m+5取得最小值3. 【材料二】：求代数式-2m2+6m的最值. 解：因为-2m2+6m =-2(m2-3m)(提二次项系数) 99 =-2(m-3m+-学（配方） -20m-+号 9 所以当m=弓时，代数式-2m2+6m取得最大值号 3 BQD M 【材料理解】 x=_ 时，代数式-3(x+2)-4的最（“大”或“小”)值为 【类比应用】 试判断关丁x的一元二次方程x2-(化-3)x-2k=0实数根的情况，并说明理由. 【迁移应用】 如图，有一块锐角三角形余料ABC,它的边BC=12厘米，高AD=8厘米.现要用它裁出一 个矩形工件POMW,使矩形的一边在BC上，其余的两个顶点分别在AB、AC上. ①设PW=x,试用含x的代数式表示矩形工件PQMW的面积S; ②运用“配方法”求S的最大值， 九年级数学试卷第5页（共6页） 20.(12分)我校数学拓复学习小组坚荐“刷题不如目头看”.经常会对做过的愿型进行再 归纳总结反尼，优化解法，多题归一，推瑞出新、 【何夏误出】对矩形内两条互相垂直的，段与矩形两部边的数量关系进行探究， (1)【图特获化】知图1，在正方形ABCD中，PLDE,F交DE于点G,则AF与DE 的数量关系是 3 (2)【探究证明】如图2，在范形BCD中，EF⊥GH,F分别交AD、BC于点E、F, G班分别交HB、DC于点G、H,求证：三-品 G丽4D 为了解决这个问题，经过男考，大家给出了以下两个方案： 甲方案：过点A作AMIIEF交BC于点M,过点B作BNIIGH交CD于点N: 乙方案：过点E作EM1BC于点M,过点G作GN⊥CD于点N. 清在甲、乙两个方案中任选一个加以证明. (3)【结论应用】如图3，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，若AB=3, BC=4.求折痕EF的长； (4)【拓展运用】如图4，在四边形4BCP中，∠4BC-0°，4B=4D-10,C=CD-5, 点E、F分别在线段B、BC上，且AF1DE,直接写出=的值， A G C B B.FC B B 图1 图2 图3 图4 九年级数学试卷 第6页（共6页)