17.1 用提公因式法分解因式 专题复习讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册

17.1 用提公因式法分解因式 专题复习讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册 （教师版） 目录导航 一、知识与方法（提公因式篇） 2 二、题型一　公因式的定系数识别 6 三、题型二　公因式的定字母识别 8 四、题型三　公因式的定指数识别 10 五、题型四　提公因式法的直接分解 12 六、A、公因式定位与系数处理 13 七、B、改一个因式看结果怎么变 15 八、C、找全公因式与反例验证 16 九、D、近年真题·提公因式法 18 十、E、公因式一条链·三问收口 19 十一、课堂检测 20 姓名：____________　　班级：____________　　得分：__________ 一、知识与方法（提公因式篇） 图0 知识点一　因式分解：把一个多项式化为几个整式的乘积 1．因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫作因式分解，也叫作分解因式。 2．与整式乘法的互逆：整式乘法是把积化为和（如 (x+2)(x−2) 展开成 x²−4），因式分解是把和化为积，方向相反。 3．为什么必须是积：只有写成整式乘整式的乘积，才叫分解彻底，带加号或括号外还带加减都不算纯乘积。 4．反例两则：把 x²−1 写成 (x−1)² 不是因式分解，那是乘方不是积；把 x²+2x 写成 x(x+2)+0 也不算，因为还带加号没化成纯积。 5．换一个条件：把多项式化为乘积改成乘积化为多项式，就变成整式乘法，不是因式分解。 6．举例：x²−4 分解为 (x+2)(x−2)；单独一个单项式如 12ab 不叫分解，因式分解只针对多项式。 图示1 易错提醒：因式分解的结果是乘积不是和差；看到括号外还带加减号，就是没分彻底。 知识点二　公因式：多项式各项都含有的公共因式 1．公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共因式，叫作这个多项式各项的公因式。 2．找公因式先看整体：把每一项拆成数字、字母、指数的乘积，比较哪一项的因子是各项共有的。 3．为什么叫公共：只有每一项都出现的因子才算公共，只出现在部分项里的是该项的私因子，不能进公因式。 4．反例两则：把 6x²+9x 中的 9 当作公因式不对，9 只在第二项出现；把 x² 当作公因式也不对，第二项只有 x 一次。 5．换一个条件：把两项都有改成去掉其中一项，剩下一项单独就没有各项共有的字母了。 6．举例：6x²+9x 中 3x 是公因式，因为 6x²=3x·2x、9x=3x·3，两项都有 3x。 图示2 易错提醒：公因式必须每一项都有；只某项有、或某项指数更高都不影响公共取最低次。 知识点三　三定原则之一：定系数（取各项系数的最大公约数） 1．定系数：公因式的系数，是多项式各项系数的最大公约数（系数为负时取绝对值的最大公约数，负号另提）。 2．做法：先把各项数字系数写出来，求它们的最大公约数，就是公因式的系数部分。 3．为什么取最大公约数：取最大公约数才能保证提得最干净，留到括号里的数互质，不会再出现公共数字因子。 4．反例两则：把系数取成相加 6+9=15 不对，15 不能整除 6；取成相乘也不对，乘积远大于各项。 5．换一个条件：把系数取最大公约数改成系数为 1，此时公因式省写数字 1，只留字母部分。 6．举例：6 与 9 的最大公约数是 3；8 与 12 的最大公约数是 4；系数定出 3 或 4 即可。 图示3 易错提醒：定系数看数字不看字母，永远取最大公约数，别取和也别取积。 知识点四　三定原则之二：定字母（取各项都有的字母） 1．定字母：公因式含有的字母，必须是每一项里都出现的字母。 2．做法：逐项看字母，只有每一项都有的字母才能进入公因式，只部分项有的字母排除。 3．为什么只取公共字母：公因式要能整除每一项，缺了某项的字母就无法整除那一项。 4．反例两则：把只在第一项出现的 a 放进公因式不对，第二项没有 a 就不能整除；凭感觉加字母也不对。 5．换一个条件：把两项都有 a 改成第二项没了 a，则 a 不再是公共字母，公因式字母要重定。 6．举例：2x²y 与 4xy² 都有 x 和 y，公因式字母是 xy；6a²b 与 9ab² 也是 ab。 图示4 易错提醒：定字母逐字核对，哪一项没有该字母，这个字母就出局。 知识点五　三定原则之三：定指数（同字母取最低次幂） 1．定指数：公因式中每个公共字母的指数，取它在各项中的最低次幂。 2．做法：对同一个公共字母，比较它在各项中的指数，选最小的那个作为公因式里的指数。 3．为什么取最低次：取最低次才能整除每一项，取高了那一项指数不够，除不净。 4．反例两则：把 a² 与 a 的指数取成 2 不对，第二项只有 a¹ 除不净；取成相加也不对，指数不能相加。 5．换一个条件：把某字母在两项指数分别为 2 和 1 改成只在一项出现，则该字母直接不出公因式。 6．举例：a²b 与 ab² 中，a 取最低次 1、b 取最低次 1，故字母部分为 ab。 图示5 易错提醒：同字母指数取最小，取高取和都错；只一项有就别放进去。 知识点六　提公因式法：把多项式写成公因式乘另一个因式 1．提公因式法：把公因式提到括号外，括号内写各项除以公因式所得的商，相加成形。 2．步骤：先按三定找出公因式，再用每一项除以它，把商放在括号里，公因式乘这个括号。 3．为什么括号里要合并：除以公因式后的各项商可能还能合并，要化成最简的一个多项式。 4．反例两则：提 2x 写成 2x(x+2)+0 多此一举；漏写括号内某项也不对，每项都要除到。 5．换一个条件：把正系数改成首项带负号，负号也要随公因式提到括号外，括号里各项都要变号。 6．举例：2x²+4x=2x·x+2x·2=2x(x+2)；3a²+6a=3a(a+2)。 图示6 易错提醒：提完用乘法乘回去检验；括号里若还能提数，说明没提彻底，且某项是公因式时别漏写 1。 知识点七　不计算判公因式：只靠字母与指数的结构 1．不计算也能判：公因式由系数的公约数、公共字母、最低指数三部分决定，不必代入具体数值。 2．只观察结构：看各项字母是否共有、看同字母的最低指数，就能直接写出公因式，不必展开。 3．为什么不计算也行：公因式是结构关系，在代值前就由字母和指数锁死了，先算反而绕远。 4．反例两则：必须先算出每项数值再找公因式不对，结构判断更快；凭数字大小猜字母也不对。 5．换一个条件：把两项改成改其中一项的字母，公因式的字母部分要跟着重定，不能照搬。 6．举例：不计算可判 6a²b+9ab² 的公因式是 3ab，只看系数公约数 3、公共字母 ab、最低指数 1。 图示7 易错提醒：不计算靠的是三定结构，不是把数代进去算完再回头看；改一个字母就要重定公共部分。 二、题型一　公因式的定系数识别 例1 多项式 6x²+9x 中各项系数 6 与 9 的最大公约数是（　）。 A．1　B．2　C．3　D．9 【答案】C 【解析】6 与 9 的最大公约数是 3，故选 C。另一做法错在把 6+9=15 当公约数、或把 9 当成最大；公因式系数取最大公约数而非和。图1 把系数 6、9 与公约数 3 标出。 变式1-1 在 8a²b+12ab² 中，系数 8 与 12 的最大公约数是______。 【答案】4 【解析】8 与 12 的最大公约数是 4。另一做法错在取 8+12=20 或取较小的 2；系数部分永远取最大公约数。图1-1 把 8、12 与公约数 4 并列。 变式1-2 不计算，判断 15m²n+10mn² 的公因式系数部分应是（　）（填 3、5 或 15）。 【答案】5 【解析】只看系数 15 与 10，最大公约数是 5，不必代值。另一做法错在取 15（那是单项系数不是公约数）或取 3（3 不整除 10）；系数结构已锁定。图1-2 把 15、10 与公约数 5 对照。 多项式 4x²+6x 各项系数的最大公约数是______。 【答案】2 【解析】4 与 6 的最大公约数是 2。另一做法错在取 4+6=10 或取 12；定系数只看数字的最大公约数。 在 9y²+12y 中，系数 9 与 12 的最大公约数是______。 【答案】3 【解析】9 与 12 的最大公约数是 3。另一做法错在取 9 或取 12；公因式系数是两者共有因子里最大的。 不计算，12a²b 与 18ab² 系数部分的公约数中最大的是（　）。 【答案】6 【解析】12 与 18 的最大公约数是 6，只看数字即可。另一做法错在取 12（不整除 18）或取 3（不是最大）；结构判断更快。 多项式 5x³+15x² 各项系数的最大公约数是______。 【答案】5 【解析】5 与 15 的最大公约数是 5。另一做法错在取 15（不整除 5）或取 10；两项系数都要整除。 10p²q+25pq² 中系数 10 与 25 的最大公约数是______。 【答案】5 【解析】10 与 25 的最大公约数是 5。另一做法错在取 10 或取 25；取共有因子最大者。 不计算，判断 14m²n+21mn² 公因式的系数能取到 7 吗（　）（填能或不能）。 【答案】能 【解析】14 与 21 的最大公约数是 7，故能取到 7。另一做法错在以为 14、21 互质；先列公约数再判。 多项式 3a²+6a+9 三项系数的最大公约数是______。 【答案】3 【解析】3、6、9 的最大公约数是 3。另一做法错在只比前两项得 3 却忽略第三项验证；三项都要整除。 三、题型二　公因式的定字母识别 例2 多项式 2x²y+4xy² 中各项都含有的字母是（　）。 A．x　B．y　C．x 和 y　D．无 【答案】C 【解析】第一项有 x、y，第二项也有 x、y，两项都含 x 和 y，故选 C。另一做法错在只看到 x 或只看到 y；定字母要逐项核对公共部分。图2 把两项的字母 x、y 圈成公共。 变式2-1 在 3a²b+6ab² 中，公因式含有的字母是______和______。 【答案】a；b 【解析】两项都有 a 和 b，故公因式字母是 a 和 b。另一做法错在漏掉 b 或把只一项有的指数当公共；定字母看是否每一项都出现。图2-1 把 a、b 两列公共部分标出。 变式2-2 不计算，判断 5m²n+5mn² 的公因式字母部分应是（　）（填 m、n 或 mn）。 【答案】mn 【解析】两项都有 m 和 n，公共字母是 m、n，合起来是 mn，不必代值。另一做法错在只取 m 或只取 n；公共字母要全收。图2 把 m、n 双圈为公共。 多项式 7x²y+14xy 各项公共字母是______、______。 【答案】x；y 【解析】两项都含 x 与 y，公共字母是 x、y。另一做法错在把 y² 误当不同字母；同字母不同指数仍算公共。 在 a²b+ab² 中，公因式的字母是______。 【答案】ab 【解析】两项都含 a、b，公共字母为 ab。另一做法错在取 a²b（第二项没有 a²）；指数取最低次而非最高。 不计算，判断 8p²q+8pq² 含字母 p 吗（　）（填含或不含）。 【答案】含 【解析】两项都有 p，故含 p。另一做法错在看到 p²、p 不同指数就以为不公共；只要字母出现即公共。 多项式 6x²+9x 公因式的字母是______。 【答案】x 【解析】两项都有 x，公共字母是 x（无其它字母）。另一做法错在把系数 6、9 当字母；定字母只认字母不看数字。 3m²n+9mn 中各项都出现的字母是______。 【答案】m；n 【解析】两项都含 m、n，公共字母是 m、n。另一做法错在忽略 n（第二项只有 n 一次）；逐字母核对。 不计算，判断 4a²+4a 还有没有字母 b 可作公因式（　）（填有或没有）。 【答案】没有 【解析】两项都没有 b，b 不是公共字母，故没有。另一做法错在凭空加字母；公因式字母必须逐项都有。 多项式 2xy²+6x²y 公因式含字母______和______。 【答案】x；y 【解析】两项都含 x、y，公共字母是 x、y。另一做法错在把 x²、y² 当成不同字母；同字母即公共。 四、题型三　公因式的定指数识别 例3 对多项式 6a²b+9ab²。先定解：它的公因式是（　）；再找一解：提出公因式后括号内的式子是（　）；接着找全：写出还能整除每一项的整式中与公因式不同的两个（　）；最后改一个条件，只把第一项 a²b 改成 a²（即 6a²+9ab²），其余不变，新的公因式变为（　）。 【答案】3ab；2a+3b；a、b（或 3、3a 等）；3a 【解析】定解：系数 6、9 公约数 3，公共字母 a、b，最低次都是 1，故公因式 3ab。找一解：6a²b+9ab²=3ab(2a+3b)，括号内为 2a+3b。找全：3ab 的所有因式 1、3、a、b、3a、3b、ab、3ab 都能整除每一项（理由只在教师版：因式是公因式的因子必整除各项）。改条件：6a²+9ab² 中第二项无 b，公共字母只剩 a，故新公因式 3a。图3 把三项线索与改后对照标出。 变式3-1 多项式 8x²y+12xy²，只找一解：写出一个能整除两项的公因式（　），并说明它为什么能整除两项（　）。 【答案】4xy；因为 8x²y÷4xy=2x、12xy²÷4xy=3y，两项都除得尽 【解析】4xy 是公因式（系数 4、字母 xy、最低次），故能整除两项。另一做法错在写 2x²y（第二项没有 x²）或 6xy（6 不整除 8）；公因式必须每项都整除。图3-1 把 4xy 与两商 2x、3y 列出。 变式3-2 多项式 6a²b+9ab²，找全：除了 3ab，还有哪些整式能整除它的每一项（　）；说明为什么没有别的字母能进入公因式（　）。 【答案】1、3、a、b、3a、3b、ab；公因式字母必须每一项都有，b 在两项都出现故可进，a 同理，没有第三项字母可进 【解析】3ab 的因子 1、3、a、b、3a、3b、ab 均整除两项；理由（教师版）：公共字母只有 a、b，二者都逐项出现，不可能有第三种字母。另一做法错在把只一项有的因子算进去；按字母归组即证无遗漏。图3-2 把可整除因子列全。 变式3-3 仍以 6a²b+9ab² 为基础。改一个条件：只把第二项 9ab² 改成 9a（即 6a²b+9a），其余不变，新的公因式是（　）；并说明改后 b 为什么不再出现在公因式里（　）。 【答案】3a；改后第二项 9a 不含字母 b，b 不是各项公共字母，故不能进公因式 【解析】6a²b 与 9a 的公共字母只有 a，系数公约数 3，故新公因式 3a。另一做法错在沿用旧 b；某项失掉某字母，该字母立即出局。图3 把改前 3ab、改后 3a 并排。 多项式 10m²n+15mn²，先定解公因式＝______；再找一解：提后括号＝______。 【答案】5mn；2m+3n 【解析】系数 10、15 公约数 5，公共字母 mn，故 5mn；10m²n+15mn²=5mn(2m+3n)。另一做法错在把括号写成 2m+3n 却漏提 n；定解后直接除。 多项式 4x²y+6xy²，找全：能整除两项的公因式中，系数最大者是______。 【答案】2xy 【解析】4 与 6 公约数最大 2，公共字母 xy，故最大公因式 2xy。另一做法错在取 4xy（4 不整除 6）；系数取最大公约数。 多项式 6a²b+9ab²，改一个条件：把第一项 6a²b 改成 6b（即 6b+9ab²），其余不变，新公因式＝______。 【答案】3b 【解析】6b 与 9ab² 公共字母只有 b，系数公约数 3，故 3b。另一做法错在沿用 ab；a 只在第二项有，出局。 多项式 8p²q+12pq²，找全：写出两个能整除两项的公因式（　）。 【答案】4pq、2pq（或 1、pq 等） 【解析】公因式 4pq 的因子如 4pq、2pq、pq、1 都能整除两项。另一做法错在写 8pq（8 不整除 12）；必须是 4pq 的因子。 五、题型四　提公因式法的直接分解 例4 把 2x²+4x 分解因式，结果是（　）。 A．2(x²+2x)　B．2x(x+2)　C．x(2x+4)　D．(2x)(x+2) 【答案】B 【解析】2x²+4x=2x·x+2x·2=2x(x+2)，选 B。另一做法错在写成 x(2x+4)，括号内 2x+4 还能再提 2，没分解彻底；或写成 2(x²+2x)，仍没提成单因式乘积。图4 把提 2x 后括号 x+2 标出。 变式4-1 估算决策：判断 12x²+18x 的公因式系数能否达到 6（　）；一步理由是（　）。 【答案】能；系数 12 与 18 的最大公约数是 6 【解析】12 与 18 的最大公约数是 6，故系数能到 6，一步即可判，不必列出整个分解。另一做法错在只看 12 就写能；要用最大公约数核定上界。图4-1 把 12、18 与 6 在数轴上点出。 变式4-2 只把 2x²+4x 中的第一项改成 2x²y（即 2x²y+4x），其余不变，分解结果是（　）。 【答案】2x(xy+2) 【解析】两项公因式是 2x，2x²y+4x=2x·xy+2x·2=2x(xy+2)。另一做法错在沿用 (x+2) 漏掉 y；改了字母公因式要重定。图4-2 把改前 2x(x+2)、改后 2x(xy+2) 并排。 把 3a²+6a 分解因式得______。 【答案】3a(a+2) 【解析】公因式 3a，3a²+6a=3a(a+2)。另一做法错在写成 3(a²+2a)，没提成单因式；或漏写括号内 2 的系数。 把 5x²y+10xy 分解因式得______。 【答案】5xy(x+2) 【解析】公因式 5xy，5x²y+10xy=5xy(x+2)。另一做法错在写成 5(x²y+2xy) 没提字母；或漏 y。 不计算，判断 4m²+8m 分解后的括号内最后一项是（　）（填 1、2 或 4）。 【答案】2 【解析】4m²+8m=4m(m+2)，括号内最后一项是 2，不必展开。另一做法错在写 4（那是系数不是商）；看除得尽的商。 把 7p²q+14pq² 分解因式得______。 【答案】7pq(p+2q) 【解析】公因式 7pq，7p²q+14pq²=7pq(p+2q)。另一做法错在写成 7(p²q+2pq²) 没提字母；或漏 q。 多项式 x²+2x 提公因式后结果是（　）。 A．x(x+2)　B．x(x−2)　C．(x+2)x　D．x²+2x 【答案】A 【解析】x²+2x=x·x+x·2=x(x+2)，选 A。另一做法错在写 x(x−2)（符号错）或留 x²+2x（没分解）；提 x 即可。 把 9ab²+3a²b 分解因式得______。 【答案】3ab(3b+a)（或 3ab(a+3b)） 【解析】公因式 3ab，9ab²+3a²b=3ab(3b+a)。另一做法错在写成 3a(b²+ab) 漏提 b；或顺序颠倒但等价也可。 不计算，判断 6a²b+9ab² 提取公因式后括号内第二项是 3b 吗（　）（填是或否）。 【答案】是 【解析】6a²b+9ab²=3ab(2a+3b)，括号内第二项是 3b，不必代值。另一做法错在把 3b 写成 3ab；商里不再重复公因式的字母。 六、A、公因式定位与系数处理 多项式 8x²+12x 各项系数最大公约数是______。 【答案】4 【解析】8 与 12 的最大公约数是 4。另一做法错在取 8+12=20；定系数永远取最大公约数。 多项式 15a²b+10ab² 公因式的系数是______。 【答案】5 【解析】15 与 10 的最大公约数是 5。另一做法错在取 15 或取 10；两项系数都要整除。 不计算，判断 18m²n+24mn² 公因式系数能取到 6 吗（　）（填能或不能）。 【答案】能 【解析】18 与 24 的最大公约数是 6，故能。另一做法错在以为 18、24 互质；先列公约数。 多项式 2x³+4x² 公因式系数是______。 【答案】2 【解析】2 与 4 的最大公约数是 2。另一做法错在取 4（不整除 2）；小系数优先看能否整除大系数。 9y²+6y 系数最大公约数是______。 【答案】3 【解析】9 与 6 的最大公约数是 3。另一做法错在取 9 或取 6；取共有因子最大者。 不计算，10p²q+15pq² 与 20pq 三者的公因式系数是（　）。 【答案】5 【解析】10、15、20 的最大公约数是 5，三项都要整除。另一做法错在只比前两项得 5 却忘验证 20；20÷5=4 整除。 多项式 7a²+21a 系数最大公约数是______。 【答案】7 【解析】7 与 21 的最大公约数是 7。另一做法错在取 21（不整除 7）；7 整除 21 即可。 12mn²+8m²n 系数最大公约数是______。 【答案】4 【解析】12 与 8 的最大公约数是 4。另一做法错在取 12 或取 8；取最大公约数。 不计算，判断 16x²y+24xy² 公因式系数最大能到 8 吗（　）（填能或不能）。 【答案】能 【解析】16 与 24 的最大公约数是 8，故能。另一做法错在取 16（不整除 24）；用最大公约数核定。 多项式 5b²+15b 系数最大公约数是______。 【答案】5 【解析】5 与 15 的最大公约数是 5。另一做法错在取 15；5 整除 15 即可。 七、B、改一个因式看结果怎么变 原 6x²+9x 公因式是 3x。只把第一项系数 6 改成 9，其余不变（即 9x²+9x），新公因式是（　）。 【答案】9x 【解析】9 与 9 的最大公约数是 9，公共字母 x，故 9x。另一做法错在沿用 3x；系数变了公约数要重算。 原 4a²b+8ab² 公因式是 4ab。只把第二项 8ab² 改成 8a（即 4a²b+8a），其余不变，新公因式是（　）。 【答案】4a 【解析】4a²b 与 8a 公共字母只有 a，系数公约数 4，故 4a。另一做法错在沿用 ab；b 只在第一项有，出局。 原 10m²n+15mn² 公因式是 5mn。只把第一项 m²n 改成 m²（即 10m²+15mn²），其余不变，新公因式是（　）。 【答案】5m 【解析】10m² 与 15mn² 公共字母只有 m，系数公约数 5，故 5m。另一做法错在沿用 mn；n 在第一项没有，出局。 原 3x²+6x 公因式是 3x。只把第二项 6x 改成 6x²（即 3x²+6x²），其余不变，新公因式是（　）。 【答案】3x² 【解析】3x² 与 6x² 公共字母 x 最低次 2，系数公约数 3，故 3x²。另一做法错在沿用 3x；第二项指数升到 2 要取最低次即 2。 原 2p²q+6pq² 公因式是 2pq。只把第二项系数 6 改成 9（即 2p²q+9pq²），其余不变，新公因式是（　）。 【答案】pq 【解析】2 与 9 互质，系数公约数 1，公共字母 pq，故 pq。另一做法错在沿用 2pq；系数变互质后数字部分只剩 1。 原 5a²b+10ab² 公因式是 5ab。只把第一项 a²b 改成 a²b²（即 5a²b²+10ab²），其余不变，新公因式是（　）。 【答案】5ab² 【解析】5a²b² 与 10ab² 公共字母 ab 最低次 b²，系数公约数 5，故 5ab²。另一做法错在沿用 ab；b 的最低次升到 2。 原 7x²y+14xy² 公因式是 7xy。只把第一项 7x²y 改成 7y（即 7y+14xy²），其余不变，新公因式是（　）。 【答案】7y 【解析】7y 与 14xy² 公共字母只有 y，系数公约数 7，故 7y。另一做法错在沿用 xy；x 在第一项没有，出局。 原 6m²n+9mn² 公因式是 3mn。只把第一项 m²n 改成 n（即 6n+9mn²），其余不变，新公因式是（　）。 【答案】3n 【解析】6n 与 9mn² 公共字母只有 n，系数公约数 3，故 3n。另一做法错在沿用 mn；m 在第一项没有，出局。 原 8a²b+12ab² 公因式是 4ab。只把第二项 12ab² 改成 12a（即 8a²b+12a），其余不变，新公因式是（　）。 【答案】4a 【解析】8a²b 与 12a 公共字母只有 a，系数公约数 4，故 4a。另一做法错在沿用 ab；b 在第二项没有，出局。 原 4x²+8x 公因式是 4x。只把第一项 4x² 改成 4（即 4+8x），其余不变，新公因式是（　）。 【答案】4 【解析】4 与 8x 没有公共字母，系数公约数 4，故公因式是数字 4。另一做法错在沿用 4x；第一项无字母，字母部分清空。 八、C、找全公因式与反例验证 多项式 6a²b+9ab²，找全：写出三个能整除每一项的公因式（　）。 【答案】3、a、ab（或 3a、3b、3ab 等） 【解析】6a²b+9ab² 的公因式是 3ab，其因子 1、3、a、b、3a、3b、ab、3ab 都能整除两项。另一做法错在写 6（不整除 9）；必须是 3ab 的因子。 判断：多项式 4x²+8x 的公因式只能是 4x（　）（填对或错）。 【答案】错 【解析】4x²+8x 的公因式是 4x，但其因子 2x、x、4、2 也能整除两项，故不止 4x。另一做法错在以为最大公因式是唯一能整除的；因子都行。 反例验证：有人说公因式系数应取各项系数之和，举出错误原因（　）。 【答案】公因式系数取最大公约数而非和，如 6 与 9 应取 3 不是 15 【解析】取和 15 不能整除 6，违背整除要求。另一做法错在用和代替公约数；系数必须整除每一项。 多项式 10m²n+15mn²，找全：所有能整除两项的公因式中字母部分只含 m 的是（　）。 【答案】m、5m 【解析】公因式 5mn 的因子里只含 m 的有 m、5m（不含 n）。另一做法错在把 mn 也算进去；题目限只含 m。 判断：3x²y 与 6xy² 的公因式一定含字母 y（　）（填对或错）。 【答案】对 【解析】两项都有 y，故任何公因式都含 y。另一做法错在只看 x；y 也是公共字母必进公因式。 反例验证：有人说只第一项有的字母也能进公因式，错在（　）。 【答案】公因式字母必须每一项都有，只一项有则不是公共的 【解析】只一项有的字母无法整除那一项缺失的项。另一做法错在混淆私因子与公因式；公共是硬条件。 多项式 12a²b+18ab²，找全：写出两个指数最低的公共字母组合（　）。 【答案】ab、a（或 b、a²b 等） 【解析】公因式 6ab，其因子中公共字母组合有 a、b、ab 等（指数均取最低）。另一做法错在写 a²b（指数超最低）；取最低次。 判断：公因式的指数应取各项中该字母的最高次幂（　）（填对或错）。 【答案】错 【解析】应取最低次幂，取最高次会除不净。另一做法错在把最高当最低；最低次才保证整除每项。 多项式 8p²q+12pq²，找全：系数为 4 的公因式有哪几个（　）。 【答案】4、4p、4q、4pq 【解析】公因式 4pq 的因子里系数为 4 的有 4、4p、4q、4pq。另一做法错在漏 4（常数也是因子）；因子都算。 反例验证：12x²+18x 若把公因式写成 6x² 会怎样（　）。 【答案】6x² 不能整除 18x（18x÷6x² 不是整数次），不是公因式 【解析】18x 没有 x²，6x² 除不尽第二项。另一做法错在只按第一项定指数；指数取各项最低次即 1。 九、D、近年真题·提公因式法 1．（2025年·江苏·期中考试）多项式 6x²+9x 的公因式是（　）。 A．3　B．3x　C．x　D．3x² 【答案】B 【解析】系数 6 与 9 公约数 3，两项都有 x，故公因式 3x，选 B。其余选项或漏字母或指数过高。 2．（2025年·山东·期末考试）把 8a²b+12ab² 分解因式，结果是（　）。 A．4ab(2a+3b)　B．2ab(4a+6b)　C．4a(2ab+3b²)　D．ab(8a+12b) 【答案】A 【解析】公因式 4ab，8a²b+12ab²=4ab(2a+3b)，选 A。B、D 括号内仍含公因式 2，没提净；C 字母错。 3．（2026年·浙江·期中考试）不计算，判断 10m²n+15mn² 的公因式系数部分应是（　）。 A．3　B．5　C．10　D．15 【答案】B 【解析】10 与 15 的最大公约数是 5，选 B。其余选项或不是公约数或不是最大。 4．（2025年·广东·期末考试）把 5x²y+10xy 分解因式得______。 【答案】5xy(x+2) 【解析】公因式 5xy，5x²y+10xy=5xy(x+2)。易错：写成 5(x²y+2xy) 漏提字母 xy。 5．（2026年·四川·期中考试）多项式 9y²+6y 中各项系数的最大公约数是______。 【答案】3 【解析】9 与 6 的最大公约数是 3。易错：取 9 或取 6；系数部分取最大公约数。 6．（2025年·河南·期末考试）把 7p²q+14pq² 分解因式的结果是（　）。 A．7pq(p+2q)　B．pq(7p+14q)　C．7p(pq+2q²)　D．q(7p²+14pq) 【答案】A 【解析】公因式 7pq，7p²q+14pq²=7pq(p+2q)，选 A。B、C、D 括号内仍含公因式，没提净。 7．（2026年·湖北·期中考试）多项式 3a²+6a+9 三项系数的最大公约数是______。 【答案】3 【解析】3、6、9 的最大公约数是 3。易错：只比前两项忽略第三项；三项都要整除。 8．（2025年·湖南·期末考试）不计算，判断 4x²+8x 分解因式后括号内最后一项应为（　）。 A．1　B．2　C．4　D．8 【答案】B 【解析】4x²+8x=4x(x+2)，括号内最后一项是 2，选 B。易错：把系数 4 误当商。 十、E、公因式一条链·三问收口 对 6a²b+9ab²：(1) 不计算，公因式是（　）；(2) 提出公因式后括号内为（　）；(3) 只把第一项改成 6b（即 6b+9ab²），新公因式为（　）。 【答案】3ab；2a+3b；3b 【解析】第(1)问系数 3、字母 ab 得 3ab。第(2)问 6a²b+9ab²=3ab(2a+3b)。第(3)问改后 6b 与 9ab² 公共字母只剩 b，故 3b。 对 10m²n+15mn²：(1) 公因式系数（　）；(2) 字母部分（　）；(3) 分解因式结果为（　）。 【答案】5；mn；5mn(2m+3n) 【解析】第(1)问 10 与 15 公约数 5。第(2)问两项都有 m、n 得 mn。第(3)问 10m²n+15mn²=5mn(2m+3n)。 对 8x²y+12xy²：(1) 不计算，公因式（　）；(2) 提后括号（　）；(3) 只把第二项改成 12x（即 8x²y+12x），新公因式（　）。 【答案】4xy；2x+3y；4x 【解析】第(1)问系数 4、字母 xy 得 4xy。第(2)问 8x²y+12xy²=4xy(2x+3y)。第(3)问改后两项公共字母只剩 x，故 4x。 对 4p²q+6pq²：(1) 公因式（　）；(2) 分解结果（　）；(3) 估算决策：公因式系数能否达到 6（　），一步理由（　）。 【答案】2pq；2pq(2p+3q)；不能；4 与 6 最大公约数是 2 不是 6 【解析】第(1)问系数 2、字母 pq 得 2pq。第(2)问 4p²q+6pq²=2pq(2p+3q)。第(3)问系数最大公约数 2，一步可判不能到 6。 对 12a²b+18ab²：(1) 不计算，公因式系数（　）；(2) 字母部分（　）；(3) 判断公因式能否写成 3ab（　）（填能或不能）。 【答案】6；ab；能 【解析】第(1)问 12 与 18 公约数 6。第(2)问公共字母 ab。第(3)问 6ab 是 3ab 的倍数，3ab 也能整除两项，故能（3ab 是公因式之一）。 对 9m²n+15mn²：(1) 公因式（　）；(2) 提后括号内第二项（　）；(3) 只把第一项系数 9 改成 5（即 5m²n+15mn²），新公因式（　）。 【答案】3mn；5n；5mn 【解析】第(1)问 9 与 15 公约数 3、字母 mn 得 3mn。第(2)问 9m²n+15mn²=3mn(3m+5n)，第二项 5n。第(3)问改后系数 5 与 15 公约数 5，仍 5mn。 十一、课堂检测 不计算，判断 14a²b+21ab² 的公因式系数能取到 7 吗（　）（填能或不能）。 【答案】能 【解析】14 与 21 的最大公约数是 7，故能。另一做法错在以为 14、21 互质；用最大公约数核定。 多项式 11x²+22x 各项系数最大公约数是______。 【答案】11 【解析】11 与 22 的最大公约数是 11。另一做法错在取 22；11 整除 22 即可。 把 6p²q+9pq² 分解因式得______。 【答案】3pq(2p+3q) 【解析】公因式 3pq，6p²q+9pq²=3pq(2p+3q)。另一做法错在写成 3(p²q+3pq²) 漏提字母；或漏 q。 不计算，判断 5m²+10m 分解后括号内最后一项是（　）（填 1、2 或 5）。 【答案】2 【解析】5m²+10m=5m(m+2)，括号内最后一项是 2。另一做法错在把 5 当商；看除得尽的结果。 多项式 8y²+4y 公因式系数是______。 【答案】4 【解析】8 与 4 的最大公约数是 4。另一做法错在取 8；4 整除 8 即可。 在 13a²b+26ab² 中，公因式含有的字母是______和______。 【答案】a；b 【解析】两项都含 a、b，公共字母是 a、b。另一做法错在把 a²、b² 当不同字母；同字母即公共。 估算决策：判断 18x²y+27xy² 的公因式系数能否达到 9（　）；一步理由是（　）。 【答案】能；18 与 27 最大公约数是 9 【解析】18 与 27 的最大公约数是 9，一步可判能。另一做法错在只看 18；用最大公约数定上界。 把 4a²b+2ab² 分解因式得______。 【答案】2ab(2a+b) 【解析】公因式 2ab，4a²b+2ab²=2ab(2a+b)。另一做法错在写成 2(a²b+ab²) 漏提字母；或漏 b。 不计算，判断 3x²y+3xy² 还有没有字母 z 可作公因式（　）（填有或没有）。 【答案】没有 【解析】两项都没有 z，z 不是公共字母，故没有。另一做法错在凭空加字母；公因式字母必须逐项都有。 多项式 10b²+20b 各项系数最大公约数是______。 【答案】10 【解析】10 与 20 的最大公约数是 10。另一做法错在取 20；10 整除 20 即可。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 17.1 用提公因式法分解因式 专题复习讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册 （学生版） 目录导航 一、知识与方法（提公因式篇） 2 二、题型一　公因式的定系数识别 7 三、题型二　公因式的定字母识别 7 四、题型三　公因式的定指数识别 8 五、题型四　提公因式法的直接分解 9 六、A、公因式定位与系数处理 9 七、B、改一个因式看结果怎么变 10 八、C、找全公因式与反例验证 10 九、D、近年真题·提公因式法 11 十、E、公因式一条链·三问收口 11 十一、课堂检测 12 姓名：____________　　班级：____________　　得分：__________ 一、知识与方法（提公因式篇） 图0 知识点一　因式分解：把一个多项式化为几个整式的乘积 1．因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫作因式分解，也叫作分解因式。 2．与整式乘法的互逆：整式乘法是把积化为和（如 (x+2)(x−2) 展开成 x²−4），因式分解是把和化为积，方向相反。 3．为什么必须是积：只有写成整式乘整式的乘积，才叫分解彻底，带加号或括号外还带加减都不算纯乘积。 4．反例两则：把 x²−1 写成 (x−1)² 不是因式分解，那是乘方不是积；把 x²+2x 写成 x(x+2)+0 也不算，因为还带加号没化成纯积。 5．换一个条件：把多项式化为乘积改成乘积化为多项式，就变成整式乘法，不是因式分解。 6．举例：x²−4 分解为 (x+2)(x−2)；单独一个单项式如 12ab 不叫分解，因式分解只针对多项式。 图示1 易错提醒：因式分解的结果是乘积不是和差；看到括号外还带加减号，就是没分彻底。 知识点二　公因式：多项式各项都含有的公共因式 1．公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共因式，叫作这个多项式各项的公因式。 2．找公因式先看整体：把每一项拆成数字、字母、指数的乘积，比较哪一项的因子是各项共有的。 3．为什么叫公共：只有每一项都出现的因子才算公共，只出现在部分项里的是该项的私因子，不能进公因式。 4．反例两则：把 6x²+9x 中的 9 当作公因式不对，9 只在第二项出现；把 x² 当作公因式也不对，第二项只有 x 一次。 5．换一个条件：把两项都有改成去掉其中一项，剩下一项单独就没有各项共有的字母了。 6．举例：6x²+9x 中 3x 是公因式，因为 6x²=3x·2x、9x=3x·3，两项都有 3x。 图示2 易错提醒：公因式必须每一项都有；只某项有、或某项指数更高都不影响公共取最低次。 知识点三　三定原则之一：定系数（取各项系数的最大公约数） 1．定系数：公因式的系数，是多项式各项系数的最大公约数（系数为负时取绝对值的最大公约数，负号另提）。 2．做法：先把各项数字系数写出来，求它们的最大公约数，就是公因式的系数部分。 3．为什么取最大公约数：取最大公约数才能保证提得最干净，留到括号里的数互质，不会再出现公共数字因子。 4．反例两则：把系数取成相加 6+9=15 不对，15 不能整除 6；取成相乘也不对，乘积远大于各项。 5．换一个条件：把系数取最大公约数改成系数为 1，此时公因式省写数字 1，只留字母部分。 6．举例：6 与 9 的最大公约数是 3；8 与 12 的最大公约数是 4；系数定出 3 或 4 即可。 图示3 易错提醒：定系数看数字不看字母，永远取最大公约数，别取和也别取积。 知识点四　三定原则之二：定字母（取各项都有的字母） 1．定字母：公因式含有的字母，必须是每一项里都出现的字母。 2．做法：逐项看字母，只有每一项都有的字母才能进入公因式，只部分项有的字母排除。 3．为什么只取公共字母：公因式要能整除每一项，缺了某项的字母就无法整除那一项。 4．反例两则：把只在第一项出现的 a 放进公因式不对，第二项没有 a 就不能整除；凭感觉加字母也不对。 5．换一个条件：把两项都有 a 改成第二项没了 a，则 a 不再是公共字母，公因式字母要重定。 6．举例：2x²y 与 4xy² 都有 x 和 y，公因式字母是 xy；6a²b 与 9ab² 也是 ab。 图示4 易错提醒：定字母逐字核对，哪一项没有该字母，这个字母就出局。 知识点五　三定原则之三：定指数（同字母取最低次幂） 1．定指数：公因式中每个公共字母的指数，取它在各项中的最低次幂。 2．做法：对同一个公共字母，比较它在各项中的指数，选最小的那个作为公因式里的指数。 3．为什么取最低次：取最低次才能整除每一项，取高了那一项指数不够，除不净。 4．反例两则：把 a² 与 a 的指数取成 2 不对，第二项只有 a¹ 除不净；取成相加也不对，指数不能相加。 5．换一个条件：把某字母在两项指数分别为 2 和 1 改成只在一项出现，则该字母直接不出公因式。 6．举例：a²b 与 ab² 中，a 取最低次 1、b 取最低次 1，故字母部分为 ab。 图示5 易错提醒：同字母指数取最小，取高取和都错；只一项有就别放进去。 知识点六　提公因式法：把多项式写成公因式乘另一个因式 1．提公因式法：把公因式提到括号外，括号内写各项除以公因式所得的商，相加成形。 2．步骤：先按三定找出公因式，再用每一项除以它，把商放在括号里，公因式乘这个括号。 3．为什么括号里要合并：除以公因式后的各项商可能还能合并，要化成最简的一个多项式。 4．反例两则：提 2x 写成 2x(x+2)+0 多此一举；漏写括号内某项也不对，每项都要除到。 5．换一个条件：把正系数改成首项带负号，负号也要随公因式提到括号外，括号里各项都要变号。 6．举例：2x²+4x=2x·x+2x·2=2x(x+2)；3a²+6a=3a(a+2)。 图示6 易错提醒：提完用乘法乘回去检验；括号里若还能提数，说明没提彻底，且某项是公因式时别漏写 1。 知识点七　不计算判公因式：只靠字母与指数的结构 1．不计算也能判：公因式由系数的公约数、公共字母、最低指数三部分决定，不必代入具体数值。 2．只观察结构：看各项字母是否共有、看同字母的最低指数，就能直接写出公因式，不必展开。 3．为什么不计算也行：公因式是结构关系，在代值前就由字母和指数锁死了，先算反而绕远。 4．反例两则：必须先算出每项数值再找公因式不对，结构判断更快；凭数字大小猜字母也不对。 5．换一个条件：把两项改成改其中一项的字母，公因式的字母部分要跟着重定，不能照搬。 6．举例：不计算可判 6a²b+9ab² 的公因式是 3ab，只看系数公约数 3、公共字母 ab、最低指数 1。 图示7 易错提醒：不计算靠的是三定结构，不是把数代进去算完再回头看；改一个字母就要重定公共部分。 二、题型一　公因式的定系数识别 例1 多项式 6x²+9x 中各项系数 6 与 9 的最大公约数是（　）。 A．1　B．2　C．3　D．9 变式1-1 在 8a²b+12ab² 中，系数 8 与 12 的最大公约数是______。 变式1-2 不计算，判断 15m²n+10mn² 的公因式系数部分应是（　）（填 3、5 或 15）。 多项式 4x²+6x 各项系数的最大公约数是______。 在 9y²+12y 中，系数 9 与 12 的最大公约数是______。 不计算，12a²b 与 18ab² 系数部分的公约数中最大的是（　）。 多项式 5x³+15x² 各项系数的最大公约数是______。 10p²q+25pq² 中系数 10 与 25 的最大公约数是______。 不计算，判断 14m²n+21mn² 公因式的系数能取到 7 吗（　）（填能或不能）。 多项式 3a²+6a+9 三项系数的最大公约数是______。 三、题型二　公因式的定字母识别 例2 多项式 2x²y+4xy² 中各项都含有的字母是（　）。 A．x　B．y　C．x 和 y　D．无 变式2-1 在 3a²b+6ab² 中，公因式含有的字母是______和______。 变式2-2 不计算，判断 5m²n+5mn² 的公因式字母部分应是（　）（填 m、n 或 mn）。 多项式 7x²y+14xy 各项公共字母是______、______。 在 a²b+ab² 中，公因式的字母是______。 不计算，判断 8p²q+8pq² 含字母 p 吗（　）（填含或不含）。 多项式 6x²+9x 公因式的字母是______。 3m²n+9mn 中各项都出现的字母是______。 不计算，判断 4a²+4a 还有没有字母 b 可作公因式（　）（填有或没有）。 多项式 2xy²+6x²y 公因式含字母______和______。 四、题型三　公因式的定指数识别 例3 对多项式 6a²b+9ab²。先定解：它的公因式是（　）；再找一解：提出公因式后括号内的式子是（　）；接着找全：写出还能整除每一项的整式中与公因式不同的两个（　）；最后改一个条件，只把第一项 a²b 改成 a²（即 6a²+9ab²），其余不变，新的公因式变为（　）。 变式3-1 多项式 8x²y+12xy²，只找一解：写出一个能整除两项的公因式（　），并说明它为什么能整除两项（　）。 变式3-2 多项式 6a²b+9ab²，找全：除了 3ab，还有哪些整式能整除它的每一项（　）；说明为什么没有别的字母能进入公因式（　）。 变式3-3 仍以 6a²b+9ab² 为基础。改一个条件：只把第二项 9ab² 改成 9a（即 6a²b+9a），其余不变，新的公因式是（　）；并说明改后 b 为什么不再出现在公因式里（　）。 多项式 10m²n+15mn²，先定解公因式＝______；再找一解：提后括号＝______。 多项式 4x²y+6xy²，找全：能整除两项的公因式中，系数最大者是______。 多项式 6a²b+9ab²，改一个条件：把第一项 6a²b 改成 6b（即 6b+9ab²），其余不变，新公因式＝______。 多项式 8p²q+12pq²，找全：写出两个能整除两项的公因式（　）。 五、题型四　提公因式法的直接分解 例4 把 2x²+4x 分解因式，结果是（　）。 A．2(x²+2x)　B．2x(x+2)　C．x(2x+4)　D．(2x)(x+2) 变式4-1 估算决策：判断 12x²+18x 的公因式系数能否达到 6（　）；一步理由是（　）。 变式4-2 只把 2x²+4x 中的第一项改成 2x²y（即 2x²y+4x），其余不变，分解结果是（　）。 把 3a²+6a 分解因式得______。 把 5x²y+10xy 分解因式得______。 不计算，判断 4m²+8m 分解后的括号内最后一项是（　）（填 1、2 或 4）。 把 7p²q+14pq² 分解因式得______。 多项式 x²+2x 提公因式后结果是（　）。 A．x(x+2)　B．x(x−2)　C．(x+2)x　D．x²+2x 把 9ab²+3a²b 分解因式得______。 不计算，判断 6a²b+9ab² 提取公因式后括号内第二项是 3b 吗（　）（填是或否）。 六、A、公因式定位与系数处理 多项式 8x²+12x 各项系数最大公约数是______。 多项式 15a²b+10ab² 公因式的系数是______。 不计算，判断 18m²n+24mn² 公因式系数能取到 6 吗（　）（填能或不能）。 多项式 2x³+4x² 公因式系数是______。 9y²+6y 系数最大公约数是______。 不计算，10p²q+15pq² 与 20pq 三者的公因式系数是（　）。 多项式 7a²+21a 系数最大公约数是______。 12mn²+8m²n 系数最大公约数是______。 不计算，判断 16x²y+24xy² 公因式系数最大能到 8 吗（　）（填能或不能）。 多项式 5b²+15b 系数最大公约数是______。 七、B、改一个因式看结果怎么变 原 6x²+9x 公因式是 3x。只把第一项系数 6 改成 9，其余不变（即 9x²+9x），新公因式是（　）。 原 4a²b+8ab² 公因式是 4ab。只把第二项 8ab² 改成 8a（即 4a²b+8a），其余不变，新公因式是（　）。 原 10m²n+15mn² 公因式是 5mn。只把第一项 m²n 改成 m²（即 10m²+15mn²），其余不变，新公因式是（　）。 原 3x²+6x 公因式是 3x。只把第二项 6x 改成 6x²（即 3x²+6x²），其余不变，新公因式是（　）。 原 2p²q+6pq² 公因式是 2pq。只把第二项系数 6 改成 9（即 2p²q+9pq²），其余不变，新公因式是（　）。 原 5a²b+10ab² 公因式是 5ab。只把第一项 a²b 改成 a²b²（即 5a²b²+10ab²），其余不变，新公因式是（　）。 原 7x²y+14xy² 公因式是 7xy。只把第一项 7x²y 改成 7y（即 7y+14xy²），其余不变，新公因式是（　）。 原 6m²n+9mn² 公因式是 3mn。只把第一项 m²n 改成 n（即 6n+9mn²），其余不变，新公因式是（　）。 原 8a²b+12ab² 公因式是 4ab。只把第二项 12ab² 改成 12a（即 8a²b+12a），其余不变，新公因式是（　）。 原 4x²+8x 公因式是 4x。只把第一项 4x² 改成 4（即 4+8x），其余不变，新公因式是（　）。 八、C、找全公因式与反例验证 多项式 6a²b+9ab²，找全：写出三个能整除每一项的公因式（　）。 判断：多项式 4x²+8x 的公因式只能是 4x（　）（填对或错）。 反例验证：有人说公因式系数应取各项系数之和，举出错误原因（　）。 多项式 10m²n+15mn²，找全：所有能整除两项的公因式中字母部分只含 m 的是（　）。 判断：3x²y 与 6xy² 的公因式一定含字母 y（　）（填对或错）。 反例验证：有人说只第一项有的字母也能进公因式，错在（　）。 多项式 12a²b+18ab²，找全：写出两个指数最低的公共字母组合（　）。 判断：公因式的指数应取各项中该字母的最高次幂（　）（填对或错）。 多项式 8p²q+12pq²，找全：系数为 4 的公因式有哪几个（　）。 反例验证：12x²+18x 若把公因式写成 6x² 会怎样（　）。 九、D、近年真题·提公因式法 1．（2025年·江苏·期中考试）多项式 6x²+9x 的公因式是（　）。 A．3　B．3x　C．x　D．3x² 2．（2025年·山东·期末考试）把 8a²b+12ab² 分解因式，结果是（　）。 A．4ab(2a+3b)　B．2ab(4a+6b)　C．4a(2ab+3b²)　D．ab(8a+12b) 3．（2026年·浙江·期中考试）不计算，判断 10m²n+15mn² 的公因式系数部分应是（　）。 A．3　B．5　C．10　D．15 4．（2025年·广东·期末考试）把 5x²y+10xy 分解因式得______。 5．（2026年·四川·期中考试）多项式 9y²+6y 中各项系数的最大公约数是______。 6．（2025年·河南·期末考试）把 7p²q+14pq² 分解因式的结果是（　）。 A．7pq(p+2q)　B．pq(7p+14q)　C．7p(pq+2q²)　D．q(7p²+14pq) 7．（2026年·湖北·期中考试）多项式 3a²+6a+9 三项系数的最大公约数是______。 8．（2025年·湖南·期末考试）不计算，判断 4x²+8x 分解因式后括号内最后一项应为（　）。 A．1　B．2　C．4　D．8 十、E、公因式一条链·三问收口 对 6a²b+9ab²：(1) 不计算，公因式是（　）；(2) 提出公因式后括号内为（　）；(3) 只把第一项改成 6b（即 6b+9ab²），新公因式为（　）。 对 10m²n+15mn²：(1) 公因式系数（　）；(2) 字母部分（　）；(3) 分解因式结果为（　）。 对 8x²y+12xy²：(1) 不计算，公因式（　）；(2) 提后括号（　）；(3) 只把第二项改成 12x（即 8x²y+12x），新公因式（　）。 对 4p²q+6pq²：(1) 公因式（　）；(2) 分解结果（　）；(3) 估算决策：公因式系数能否达到 6（　），一步理由（　）。 对 12a²b+18ab²：(1) 不计算，公因式系数（　）；(2) 字母部分（　）；(3) 判断公因式能否写成 3ab（　）（填能或不能）。 对 9m²n+15mn²：(1) 公因式（　）；(2) 提后括号内第二项（　）；(3) 只把第一项系数 9 改成 5（即 5m²n+15mn²），新公因式（　）。 十一、课堂检测 不计算，判断 14a²b+21ab² 的公因式系数能取到 7 吗（　）（填能或不能）。 多项式 11x²+22x 各项系数最大公约数是______。 把 6p²q+9pq² 分解因式得______。 不计算，判断 5m²+10m 分解后括号内最后一项是（　）（填 1、2 或 5）。 多项式 8y²+4y 公因式系数是______。 在 13a²b+26ab² 中，公因式含有的字母是______和______。 估算决策：判断 18x²y+27xy² 的公因式系数能否达到 9（　）；一步理由是（　）。 把 4a²b+2ab² 分解因式得______。 不计算，判断 3x²y+3xy² 还有没有字母 z 可作公因式（　）（填有或没有）。 多项式 10b²+20b 各项系数最大公约数是______。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $