精品解析：天津市河东区2026-2027高二上学期期中考试数学试卷

2026 年秋季第一学期高二数学 期 中 数学试卷 本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟. 答卷时，考生务必将答案答在答题卡的相应位置.考试结束后，将答题纸交回. 祝各位考生考试顺利! 第 I 卷 注意事项: 1. 请同学们把答案按要求填写在答题卡上规定区域内，超出答题卡区域的答案无效! 2. 本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分. 一. 选择题: 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量 ， ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】选项A： ，故A错误； 选项B： ，故B错误； 选项C：，故C正确； 选项D：若，则存在实数，使得，即对应坐标满足方程组：  ，该方程组无解，因此与不平行，故D错误. 2. 已知直线经过点 和 两点，则直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题可得直线的斜率， 设直线的倾斜角为，故，解得. 3. 过点的面积最小的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析过两点的面积最小的圆为以这两点为直径的圆，利用中点坐标公式求出圆心坐标，两点之间距离公式求出半径，即可得到圆的标准方程. 【详解】过点的面积最小的圆为以为直径的圆， 所以圆心坐标为，即， 且半径为， 所以所求圆的标准方程为. 4. 若 是椭圆 上一点， 、 是该椭圆的两个焦点，且 ，则 （ ） A. 9 B. 5 C. 3 D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】由题可得，因此长半轴长， 根据椭圆的定义：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为定值，即对椭圆上的点，满足， 代入，可得，已知，所以. 5. 如图，已知正方体 , 分别是上底面 和侧面 的中心，若 ，则 的值为（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形将 用基底向量 表示，与条件等式对照系数即可求得结果. 【详解】因为 是上底面 的中心， 则， 又因为 是侧面 的中心， 则 ， 则 又因 ， 是不共面向量， 故可得 ，，， 则 . 6. 若直线与直线平行，则的值可能为（ ） A. 0或6 B. 或0 C. 或2 D. 或4 【答案】A 【解析】 【分析】利用两直线平行的充要条件计算即可. 【详解】根据题意有且， 解之得：或. 7. 若斜率为的直线与轴正半轴交于点，与圆相切于点，则（ ） A. B. 4 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设该直线方程，利用直线与圆的位置关系计算参数可得A点坐标，再利用切线长定理计算即可. 【详解】不妨设，则，根据题意有， 易知圆的圆心为，半径为1， 所以有圆心到的距离，解之得或（舍去）， 所以， 又圆心到轴的距离为1，故轴也是该圆的一条切线， 根据切线长定理知. 8. 已知斜率为2的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，为坐标原点，若的斜率为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点差法求解. 【详解】设，则，两式作差可得， 因为，又， 所以，所以的离心率为. 故选：D 9. 已知点是直线与的交点， 是圆上的两个动点，且，则 的最大值为（ ） A. 10 B. 13 C. 20 D. 26 【答案】D 【解析】 【分析】通过两直线所过定点，和两直线垂直，可以知道点在以为直径的圆上，是圆上的两个动点，且，所以圆心到直线的距离为，所以中点在以为圆心，1为半径的圆上，，所以距离最大值转化为两圆心的距离与两半径之和. 【详解】直线恒过定点； 直线恒过定点，且， 因为点是直线与的交点，所以， 所以点在以为直径的圆上，圆心，半径为2， 是圆上的两个动点， 设到直线的距离为 所以，解得， 所以的中点在以为圆心，1为半径的圆上， , 当最大时为两圆心的距离与两半径之和， 即， 所以. 第II卷 注意事项: 1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上. 2. 本卷共 11 小题， 共 105 分. 二. 填空题:本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 10. 椭圆的焦距为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由题意得出椭圆标准方程为，根据椭圆性质即可直接得解. 【详解】由题意，该椭圆标准方程为，可得其焦距为. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及椭圆焦距的求解，属于基础题. 11. 已知，方程表示圆，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二元二次方程表示圆的充要条件，列式求解即得. 【详解】依题意，解得或2， 当时，方程为，即表示圆，符合题意； 当时，方程为，即， 得，不表示圆，不符合题意， 综上，. 故答案为：. 12. 已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先把换成以为起点的，整理得到关于、、的线性表达式.，然后用空间四点共面的向量判定定理，的线性组合系数和为1，据此列方程求解. 【详解】已知，得， 四点共面时，系数和为1，即 计算得 故答案为： 13. 若圆与圆有且仅有一条公切线，______ . 【答案】 【解析】 【分析】根据两圆的位置关系先确定两圆内切，再由圆心距计算即可. 【详解】由， 显然， 又只有一条公切线，所以相内切， 将点坐标代入圆方程知，即在圆外部， 所以圆内切于圆， 则有， 解之得. 故答案为： 14. 已知过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则直线必过定点________． 【答案】 【解析】 【分析】求出以为直径的圆的方程，将该圆方程与圆的方程作差，可得出直线的方程，将直线的方程变形，可求得直线所过定点的坐标. 【详解】圆的方程可化为，所以圆心． 则以为直径的圆的圆心为， 设以为直径的圆的半径为，则． 所以以为直径的圆的方程为． 过点作圆的切点分别为、， 两圆的交点为、，即两圆的公共弦为． 将两圆的方程相减可得直线的方程为，即， 令得，所以直线必过定点． 故答案为：． 15. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过原点的直线与椭圆交于两点，若四点共圆，且，则椭圆的离心率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆中心对称性与四点共圆条件，推出点在以焦距为直径的圆上，结合三角函数值得到点坐标，代入椭圆方程后将式子转化为关于离心率的方程求解. 【详解】由椭圆的中心对称性，关于原点对称，也关于原点对称，因此四边形是平行四边形， 又四点共圆，圆内接平行四边形必为矩形，故，即点在以为直径的圆上，因此（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）， 是直线与 轴正方向的夹角，已知，结合，可得 点横坐标， 点纵坐标满足，即， 将代入椭圆方程，得， 代入，令离心率，则，，代入后整理得， 令，由，得，解得（舍去）或，因此，故 . 三. 解答题: 本大题共 5 小题， 共 75 分. 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤. 16. 已知的三个顶点 （1）求边所在直线在轴上的截距; （2）求边上的中线所在直线与边上的高所在直线的交点的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出所在直线的斜率，由点斜式方程表示出直线方程，即可求出该直线在轴上的截距； （2）由中点坐标公式求得边的中点，计算直线的斜率，由点斜式得出的方程，再计算出边的斜率，即可得到边上的高所在直线的斜率，由点斜式得到高的方程，联立两直线方程，即可求出结果. 【小问1详解】 由题得，所在直线的斜率， 所以直线方程为，即， 令，解得，故所在直线在轴上的截距为. 【小问2详解】 由题得，边的中点， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，整理为. 又直线的斜率， 故边上的高所在直线的斜率为，且该高过顶点， 所以边上的高所在直线的方程为，整理为. 联立方程，解得， 故交点的坐标为. 17. 已知椭圆的离心率为 分别为椭圆的左、右焦点， 点为椭圆上任意一点，面积的最大值为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过且斜率为的直线与交于两点，求的面积. 【答案】（1） 椭圆的标准方程为； （2） 的面积为。 【解析】 【分析】（1）结合椭圆离心率、焦点三角形面积最大值的已知条件，利用椭圆中的固有关系求解基本参数，得到椭圆标准方程；（2）联立过焦点的直线与椭圆方程，借助韦达定理得到交点纵坐标的差值，结合三角形面积公式计算目标三角形的面积。 【小问1详解】 已知，可得.， 因此当位于椭圆短轴端点时，取得最大值，此时的面积取得最大值：. 又， 因此. 结合，可得， 因此, 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）可得，，. 根据题设，：，即，代入椭圆方程， 整理得：，即：. 设直线与椭圆的交点为，， 根据韦达定理，. 因此：， 由于直线经过点，因此的面积为： . 18. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，，点在线段上，且，M是的中点. （1）求证: 平面 ; （2）求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：取中点N，∵M为中点，∴，且. 又∵，，∴，且， ∴四边形为平行四边形，所以 . ∵平面，平面 ∴平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，根据中位线定理证明，利用平行四边形的性质证明 ，再由线面平行的判定定理证得平面； （2）建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法，求解可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵平面，且，所以两两垂直. 以点A为坐标原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 得，，，，. ∴，，，，，. 因为，. 设平面的法向量为 则，令，则 设直线与平面所成的角为，则 . 19. 如图，在直三棱柱 中， ,，，， . （1）若点 为线段 的中点，求证: 平面 ; （2）线段 上有一点 ，当平面 与平面 的夹角的余弦值为 时，求三棱锥 的体积. 【答案】（1）因为为直三棱柱，且， 则以为原点，分别为的正半轴，建立空间直角坐标系， 且，，， 所以， 由可得， 因为点为线段的中点，则， 所以， 则， 即， 又，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算结合线面垂直的判定定理，即可证明； （2）由空间向量的坐标运算以及面面角的余弦值即可得到点的坐标，再由点到平面的距离公式以及锥体的体积公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 点在线段上，设，， 由（1）知，， ， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以， 由（1） 平面  ，点在线段 上， 故为平面的一个法向量， 又平面 与平面 的夹角的余弦值为 ， 则， 即，即， 展开可得， 化简可得，即，解得， 则，故， 因为平面，平面， 所以，所以的面积， 因为,， 则点到平面的距离为， 20. 已知椭圆的一个顶点为，长轴长为. （1）求椭圆的标准方程； （2），点在椭圆上(异于点)，若点到直线的距离为，求点的坐标； （3）记椭圆的左顶点为，下顶点为，、两点均在直线上，且在第一象限，设直线、分别交椭圆于点、点，若、关于原点对称，求的最小值. 【答案】（1）； （2）或； （3） 【解析】 【分析】（1）利用已知可得，即可得到椭圆的标准方程； （2）直线的方程为，利用点到直线的距离即可求，再联立直线与椭圆的方程即可求点的坐标； （3）设，，联立直线的方程与椭圆的方程可解得点坐标，利用对称得点坐标，代入直线的方程，化简可得，则可用表示，再利用基本不等式即可求最小值. 【小问1详解】 由已知得，所以， 由顶点，得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 点到直线的距离为 ，与已知矛盾，故直线斜率存在， 设直线的方程为，即， 点到该直线的距离为.解得或. 当时，直线的方程为， 联立方程，解得或，则； 当时，直线的方程为， 联立方程，解得或，则. 综上，或. 【小问3详解】 由已知得，，设，. 直线的方程为 联立方程，消去得， 所以，得，则. 所以. 由、关于原点对称，得 因为直线的方程为，所以，即， 因是与椭圆除外的交点，故，则， 所以，即，则. 所以， 当且仅当，即时，等号成立.即，. 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年秋季第一学期高二数学 期 中 数学试卷 本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟. 答卷时，考生务必将答案答在答题卡的相应位置.考试结束后，将答题纸交回. 祝各位考生考试顺利! 第 I 卷 注意事项: 1. 请同学们把答案按要求填写在答题卡上规定区域内，超出答题卡区域的答案无效! 2. 本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分. 一. 选择题: 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量 ， ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线经过点 和 两点，则直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 3. 过点的面积最小的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若 是椭圆 上一点， 、 是该椭圆的两个焦点，且 ，则 （ ） A. 9 B. 5 C. 3 D. 1 5. 如图，已知正方体 , 分别是上底面 和侧面 的中心，若 ，则 的值为（ ） A. B. 0 C. D. 1 6. 若直线与直线平行，则的值可能为（ ） A. 0或6 B. 或0 C. 或2 D. 或4 7. 若斜率为的直线与轴正半轴交于点，与圆相切于点，则（ ） A. B. 4 C. 2 D. 8. 已知斜率为2的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，为坐标原点，若的斜率为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 9. 已知点是直线与的交点， 是圆上的两个动点，且，则 的最大值为（ ） A. 10 B. 13 C. 20 D. 26 第II卷 注意事项: 1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上. 2. 本卷共 11 小题， 共 105 分. 二. 填空题:本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 10. 椭圆的焦距为__________. 11. 已知，方程表示圆，则______． 12. 已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数_____________． 13. 若圆与圆有且仅有一条公切线，______ . 14. 已知过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则直线必过定点________． 15. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过原点的直线与椭圆交于两点，若四点共圆，且，则椭圆的离心率为_____. 三. 解答题: 本大题共 5 小题， 共 75 分. 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤. 16. 已知的三个顶点 （1）求边所在直线在轴上的截距; （2）求边上的中线所在直线与边上的高所在直线的交点的坐标. 17. 已知椭圆的离心率为 分别为椭圆的左、右焦点， 点为椭圆上任意一点，面积的最大值为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过且斜率为的直线与交于两点，求的面积. 18. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，，点在线段上，且，M是的中点. （1）求证: 平面 ; （2）求直线 与平面 所成角的正弦值. 19. 如图，在直三棱柱 中， ,，，， . （1）若点 为线段 的中点，求证: 平面 ; （2）线段 上有一点 ，当平面 与平面 的夹角的余弦值为 时，求三棱锥 的体积. 20. 已知椭圆的一个顶点为，长轴长为. （1）求椭圆的标准方程； （2），点在椭圆上(异于点)，若点到直线的距离为，求点的坐标； （3）记椭圆的左顶点为，下顶点为，、两点均在直线上，且在第一象限，设直线、分别交椭圆于点、点，若、关于原点对称，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $