天津市南开中学2026-2027学年第一学期质量监测（一）高二数学试卷

南开中学2026-2027学年度第一学期质量监测（一) 高二数学试卷 考试时间：120分钟 本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分。考试结束后，请将答题纸交回。 I卷（共60分） 一、选择题（共60分，每题5分） 1.直线2W5x+2y-7=0的倾斜角为() A.150° B.30° C.120° D.60° 2.与y轴相切，且圆心坐标为(1，-2)的圆的方程为() A.(x-1)2+0+2)2=4 B.（x-12+(y+2)2=1 C.(x+1)2+y-2)2=4 D.（x+1)2+y-2)2=1 3.已知直线4：6x+8y+3=0和直线42：a(x+)+4y=0,若4∥12，则4与间的距离 为() A B.1o C. 品 D. 4.已知直线：(a+2)x+2y-1=0和直线2：ar-2y+3=0,则“4⊥”是“a=2”的 ()条件 A.必要不充分 B.充分不必要 C.充要 D.既不充分也不必要 5.设点M(O,-5),N(0,5),△MNP的周长为36，则△MNP的顶点P的轨迹方程为 () A.2 169+25-1(6x*0) B. *2 y2 169144 =1(x*0) C. 169+14=1(6≠0) D. +=10+0) 16925 6.与圆x2+(y+2)2=2相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（） A.2条 B.3条 C.4条 D.6条 第1页（共6页） 7.在平面直角坐标系xOy中，一只蚂蚁从点M(-2,-1)出发，爬到y轴后又爬到圆 C:(x+2)2+(y-2)2=1上，则它爬行的最短路程是（） A.2√13-1 B.4 C.8 D.210-1 。直线-y+2-=0与精圆号+号1相有公共点，则加的束值范是（ U.*) 9 C. D..+) 9.已知圆G:(x-a2+(y+3)2=9与圆C2:(x+b)}2+y+1)2=1相外切，则b的最大 值为() A.2 B.3 C.6 D.4 10.已知点F,F是椭圆x2+3y2=12的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，O 为坐标原点，则PEPE+OP的值为() A.12 B.20 C.8 D.16 已知椭圆c:三+之口@>b>0)的左、右焦点分别为，B,A为椭圆C 点，直线AF与椭圆C交于另一点B,若A瓦=2FB，cos∠RFB=-si血∠AF,则 椭圆C的离心率为() B. 5 C. 5 6 3 第2页（典6页） 2已知椭圆C:专+之10<b<⑤的两个焦点分别为，乃，短轴的两个端点分 别为B,B2,点P在椭圆C上，且满足PB+PB2=P+PF引.当b变化时，给出 下列三个命题： ①点P的轨迹关于y轴对称； ②存在b使得椭圆C上满足条件的点P仅有四个： ③OP的最小值为2. 其中，所有正确命题的序号是() A.①② B.①②③ C.①③ D.②③ Ⅱ卷（共100分） 二、填空题（共40分，每题5分） 13.已知圆M:x2+y2=2x-4y-4的圆心坐标为(a,b),半径为r,则a+b+r=一 14.直线1过点(-2,1)，且斜率为3，则直线1在y轴上的截距为 15.已知直线x-y+6=0与x轴，y轴分别交于A,B两点，与圆 (x+1)2+(y-3)2=r2(>0)交于C,D两点，若|AB上3CD1,则r= 16.若直线y=x+b与曲线y=-√-x2恰有一个公共点，则b的取值范围为 已知点F为椭圆C:+y=1的左焦点，点P为椭圆C上任意一点，点2的坐 为(4,3)，则Pg+PF取最大值时，点P的坐标为 18过祸圆c:学 +京=1(a>b>0)的右焦点F且与长轴垂直的弦的长为3√2，过点 P(2,)且斜率为-1的直线与椭圆C相交于A,B两点，若P恰好是AB的中点，则椭圆 C上一点M到F的距离的最大值为 第3页（共6页） 19.与大家阔别已久的温思黛同学为南开一百二十二周年校庆设计了一枚由数 字“1”，“2”，“2”抽象而成的徽章（如图1)，在图2中，圆0的半径为1， 直线CF,DG分别与圆O切于F,G两点，直线GD,MN,LK,CF依次平行且等间 距，过点D与圆O相切的另一条直线与其切于点H(点H异于点G),且与直 线MN,LK分别交于B,P两点. )若cos∠GDH=名，则PHPl:BDl= (2)若以线段BP为直径的圆与圆o相切，则sin∠GDH= E D 图1 图2 0,已知直线x-2y+1-0与椭圆C:专号 京=1(a>b>0)交于A,B两点，P为点A 关于：装的对装点者60即的面装为且肉- 在椭圆C上，则椭圆C的方 程为 第4页（供6页） 三、解答题（共50分） 21.在长方体ABCD-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱A4=3, 点E,F分别在棱AA和棱DD上，且AE=1,DF=2· (I)求证：BD⊥CE; (②)求直线AC与平面CEF所成角的正弦值， (3)求平面CEF与平面BCF夹角的余弦值. 22.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(3,4),AB边上中线CD所在直 线方程为2x+3y-11=0,AC边上的高BH所在直线方程为x-3y+7=0. (1)求顶点C的坐标； (2)求△ABC外接圆的方程. 23. 已知椭圆E: =1(a>6>0)的离心率为2，且长轴长为4，点R,E分别 32 为椭圆E的左、右焦点. (1)求椭圆E的标准方程； (②)过点F作斜率存在且不为零的直线与椭圆E交于A,B两点. (i)若A耳，AF的斜率分别为k,k2,当k2=5k时，求弦AB的长： (i)记线段AB的中点为N,O为坐标原点，直线ON交直线x=4于点M,直线 MF,与椭圆E交于C,D两点，求四边形ACBD面积的最小值， 笛面世6面 24.已知椭圆E经过点 56 3N2 22 和点 22 (1)求椭圆E的标准方程： (②)已知直线1：y=x+m,若点M(√5,0)关于直线1的对称点N(与M不重合)在椭圆 E上，求实数m的值： (3)已知斜率为k的直线1'与椭圆E有两个不同的交点A,B,点T(-2,0),直线TA与 椭圆E的另一个交点为C,直线TB与椭圆E的另一个交点为D,若点C,D和点 旦（一三点共线，求实数k的值。南开中学2026-2027学年度第一学期质量监测（一）高二数学参考答案 选择题： 题号 1 2 3 8 10 11 12 答案 B B B B B D B D B 二、填空题： 13.0 14.7 15.2 16.（-1,U{-2 17.(0,-1) 18.32+3 19.1:2:2 3 20. +少= 164 三、解答题： 21.(I)以D为原点，分别以DA,DC,DD所在直线为x,y,z轴如图建系， 可得D(0,0,0),B(2,2,0),E(2,0,1),C(0,2,3),A2,0,0),C(0,2,0),F(0,0,2) D 所以BD=(-2,-2,0),CE=(2,-2,-2), A F 所以BD.CE=-(2)×2+(-2)×(-2)+0×(-2)=0, 因此BD⊥CE,即BD⊥CE (2)EF=(-2,0,1),设=(x%,乙)为平面CEF的一个法向量，发 则 m·EF=-2x+名=0 7CE=2x-2%-23=0’令=1，得3=2=-1，即%=0，-12) AC=(-2,2,0),AC=2W2, 设直线AC与平面CEF所成角为O, AC.n |1x(-2)+(-1)×2+05 因此sin0 AC. 2W2×√6 31 即直线4C与平面CEF夹角的正弦值为 3 (3)BC=(-2,0,0),BF=(（-2,-2,2), 第1页（共6页） 设平面BCF的法向量n2=(x2,y2,z2), m2·BC=-2x2=0 可得 6-F=-2x-2%+2,=0’令乃=1，得为=03=1，即%=(0,1）， 设平面CEF和平面BCF的夹角为P, m2 1×0+(-1)×1+2×1 1V5 可得cosp= nn2 V12+(-1)2+22×V02+12+12V6×26’ 因此平面CBF与平面BCF夹角的余弦值为 6 22.(1)AC⊥BH,BH的方程为x-3y+7=0, 不妨设直线AC的方程为3x+y+m=0, 将A(3,4)代入得9+4+m=0,解得m=-13, .直线AC的方程为3x+y-13=0, 3x+y-13=0 联立直线AC,CD的方程，即 2x+3y-11=0'解得点C的坐标为(4,1)： 2)设(w.则） x-3%+7=0 :点B在BH上，点D在CD上， +3+3%+12-11=0'解得B(-,2), 2 设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 9+16+3D+4E+F=0 16+1+4D+F+F=0解得D三717’、 7 1+4-D+2E+F=0 .∴△ABC外接圆的方程为7x2+7y2-22x-26y-5=0. 第2页（共6页） 28,1D因为椭圆的离心率为分，即e=;,即a=20, a 2 又2a=4,所以a=2,所以公2=a2-c2=3,则椭圆的标准方程为 =1 3 (2)(i)由(1)知，F(-1,0),F(1,0), 设点A(0,%0≠0)，则k=,k=% 七)+11 七-11 因为k=5k,则名=5×b x0-1x+11 15 因为%≠0，所以 无一】=十即。子代入椭圆方程少 431, 如解得方习 43 16 设过点F(L,0)的直线为：x=my+1, x=my+1 联立方程组x2,y2 2=1'得3m2+4y2+6my-9=0, 043 6m 9 所以y%+yB= 3m2+43%g=- 3m2+4' 3 又名=m%+1=2则m= ,所以m 1 n42=2= 2y% 2121, 16 所以|ABl=V1+m2以-yal=V1+m2VOo+yaP-4yya =1+m2, 6m一}-4-3m2+4 9 3m2+4 =120+m.120+2 25 121= 3m2+43× +48 4 21 第3页（共6页） (i)由(i)知，线段AB的中点N满足 w=+=- 3m 2 3m2+4xv=mw+1= 3m2+4' 所以直线ON为y=-3mx ,交x=4于点M(4,-3m) 4 因为直线ME,过FL,0)和M4,-3m),且k=4-司 -3m-0 =一m, 所以方程为x=-y+1, m 因为kBk=m×(-)=-l,所以AB⊥ME,即AB⊥CD, m 由①知48=120+m),同理可得1CD= 12(m2+1) 3m2+4 3+4m2 所以四边形ACBD面积为 c(m 72(m2+102 7212 2 令1=m2+1>1,S=8+X4-12+ 11, 2 令u=-∈(0,1)，则分母f()=-2+u+12为开口向下的二次函数，对称轴为u= 2 所以0)的最大值为兮=分+分12-？ 288 所以当t=2即m=±1时，S取最小值为 49 24.(1)设所求椭圆方程为mx2+y2=1(m>0,n>0且m≠n) 3 1 m+-n=1 m= 4 2 解得 3 9 所以椭圆E的方程为女+y -=1 32 m+-n=1 4 n-2 (2)如图所示， 因为M与N关于直线I对称，所以直线MW⊥I,所以kMN=-1, 第4页（共6页） 22-号 代入上式可得x= -7x-12 = 2+2+32-】 4x1+7 {+7即c 所以⅓=k(s+2)=”-7x-12+2 问可得o小又aQ- 所以0c=日 g, 因为C、D、Q三点共线，所以QC∥QD 1 +小g →广 即2-(4x2+7)=片-(4x+7),化简可得2-片=4(2-x), 所以k=占-上=4 X2-x 第6页（共6页） 又M(-V5,0）,所以MN:y=-(x+5)=-x-5, y=x+m x2.y2 =1 联立{3 2 ,得5x2+6V5x+3=0, ly=-x-/3 △=(6W3-4×5×3=48>0, 所以x+5=-65, 5 设P(,%)为MW中点，则6=+五=3 2 5’%=-6-V5=-2 5 即P 352W5 5，- 5 又因为点P在直线1上，所以_23-3 55 +m,解得m=3 (3)设A(x,),B(2,),C(x,),D(x4,y4), 则有写+=三+发， 3 2 32 又720叭.则=2直线=+2) x2.y2 联立 3+21,得+3)2+12x+12x-6=0, y=k(x+2) 所以+为= 12K 2+3’ )2 12 12k x+2 122 所以3= 2+3K2 2一X= 2+3当 2(x+2)2+3y (+2 因为A在椭圆上，所以三+芳=1→=2-名， 3 2 3 第5页（共6页）