16.3.2 完全平方公式（讲义）数学新教材人教版八年级上册

第十六章 整式的乘法 16.3.2 完全平方公式 课标要点 1．能推导完全平方公式，了解公式的几何背景。 2．掌握完全平方公式的结构特征，会运用公式进行简单的整式乘法与简便运算。 3．体会从特殊到一般、数形结合、整体代换的数学思想，发展符号意识与推理能力。 学习重难点 重点： 1．理解完全平方公式的结构特征，熟记完全平方公式。 2．能够直接运用公式进行整式计算和简便运算。 3．理解完全平方公式的几何背景。 难点： 1．认清公式里的符号、系数，把代数式看成整体套用公式。 2．区分完全平方公式与平方差公式，能灵活变形构造完全平方形式进行运算。 知识点一 完全平方公式 1.完全平方公式： 即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍， 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放” 2.完全平方公式的特征： ①左边是两个数的和的平方； ②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号 与左边的运算符号相同 3.应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的，可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式 4.完全平方公式：对于一个具有若干个简单变元的整式，如果存在另一个实系数整式，使，则称是完全平方式 完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方，另一种是完全平方差公式， 就是两个整式的差括号外的平方，算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随 中央，（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中 间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用，完全平方差公式就用，后边 的符号都用）” 特别提醒  1）、可以是单项式，也可以是多项式，做题时常需要整体思想，把一个式子当成或。  2）两个公式可以统一写成：，中间项的符号和括号里的符号一致。  3）几何意义：大正方形分割验证，数形结合理解。 易错提醒  1）致命错误：，漏掉中间的。  2）系数忘记平方，首尾都要整体平方。  3）混淆平方差和完全平方。  4）中间项系数是2倍，不要写成1倍。 即学即练 1．若对于两个多项式的乘积：（m+n）（p+q），能用完全平方公式进行简捷运算，则满足的条件可以是（　　） A．m＝﹣p，n＝q B．m＝p，n＝﹣q C．m＝p，n＝q D．m＝p，n＝2q 【分析】根据完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2逐项判断即可． 【解答】解：若m＝﹣p，n＝q， 则（m+n）（p+q）＝（﹣p+q）（p+q），无法用完全平方公式计算，则A不符合题意； 若m＝p，n＝﹣q， 则（m+n）（p+q）＝（p﹣q）（p+q），无法用完全平方公式计算，则B不符合题意； 若m＝p，n＝q， 则（m+n）（p+q）＝（p+q）（p+q）＝（p+q）2，它能用完全平方公式计算，则C符合题意； 若m＝p，n＝2q， 则（m+n）（p+q）＝（p+2q）（p+q），无法用完全平方公式计算，则D不符合题意； 故选：C． 2．（2025秋•北京校级期中）计算：（a﹣2）（a+3）﹣（a﹣1）2． 【分析】先根据多项式乘以多项式的法则和完全平方公式计算，再去括号、合并同类项即可． 【解答】解：（a﹣2）（a+3）﹣（a﹣1）2 ＝a2+3a﹣2a﹣6﹣（a2﹣2a+1） ＝a2+a﹣6﹣a2+2a﹣1 ＝3a﹣7． 3．阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： （2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如1+2i的共轭复数为1﹣2i． （1）填空：①（2+i）（2﹣i）＝　　 ；②（2+i）2＝　 ； （2）若a+bi是（1+2i）2的共轭复数，求（b﹣a）2的值； （3）已知（a+i）（b+i）＝1﹣3i，求（a2+b2）（i+i2+i3+i4+…+i2025）的值． 【分析】（1）按照定义及积的乘方计算即可； （2）先按照完全平方式及定义展开运算，求出a和b的值，再代入要求得式子求解即可； （3）按照定义计算ab及a+b的值，再利用配方法得出（a2+b2）的值；由于i2+i3+i4+i5＝﹣1﹣i+1+i＝0，4个一组，从而可得答案． 【解答】解：（1）①原式＝4﹣i2＝4+1＝5， ②原式＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i． 故答案为：①5；②3+4i； （2）∵（1+2i）2＝1+4i+4i2＝1+4i﹣4＝﹣3+4i，a+bi是（1+2i）2的共轭复数， ∴a＝﹣3，b＝﹣4， ∴（b﹣a）2＝（﹣4+3）2＝（﹣1）2＝1； （3）由条件可知：ab+（a+b）i﹣1＝1﹣3i，即ab﹣1+（a+b）i＝1﹣3i， ∴ab﹣1＝1，a+b＝﹣3， 解得：ab＝2，a+b＝﹣3， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝9﹣2×2＝5， ∵i2+i3+i4+i5＝﹣1﹣i+1+i＝0， i2+i3+i4+…+i2025有2024个加数，2024÷4＝506， ∴i2+i3+i4+…+i2025＝0，则i+i2+i3+i4+…+i2025＝i， ∴（a2+b2）（i+i2+i3+i4+…+i2025）＝5×i＝5i． 知识点二 完全平方公式的几何意义 如图，大正方形的面积可以表示为S=，也可以表示为其几何意义：以为边长的正方形的面积等于边长分别为，的小正方形及2个长、宽分别是，的小长方形的面积之和，从而验证了完全平方公式 特别提醒 1） 几何模型：边长为的大正方形，分割成1个边长的正方形、1个边长的正方形、2个长宽的长方形；总面积=三块面积相加。 2） 几何模型：边长为的大正方形，去掉两个长宽的长方形，角落多减了1个边长的小正方形，所以要加回；最后剩下边长的小正方形。 3）数形结合目的：用来解释为什么会有中间项，从图形上理解不能漏掉交叉乘积项。 4）图形只是直观验证，不是严格证明；才适合画图，负数不适合用这个几何图解释。 5）同一个式子可以对应不同分割方法，只要面积等式成立即可。 易错提醒 1）形上明显少了两块长方形，漏掉。 2）认为、可以是负数：几何面积模型里边长必须是正数，负数不能用该图解释。 3）看图列式时，边长看错：把长方形边长写反、分不清哪一段是。 4）认为几何推导可以代替代数推导：图形只能辅助理解，不能作为通用证明。 即学即练 1．（26-27八年级上·河南周口·期中）利用完全平方公式解决问题． 如图，在四边形中，对角线于点O，，．若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】12 【分析】由，可得，由，可得，可得，再由，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，于点O， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（26-27八年级上·吉林长春·期中）【知识生成】 (1)写出图①中所表示的数学等式：______； 【知识应用】 (2)已知，，求的值； 【灵活运用】 (3)已知m满足，则的值为______； 【知识迁移】 (4)如图②，C是线段上一点（不与点A、B重合），分别以为腰在线段异侧作等腰直角三角形和，连接．已知，和的面积和为20．直接写出和的面积和． 【答案】(1) (2)50 (3)2 (4)12 【分析】（1）等积法列出等式即可； （2）根据（1）得到的等式，进行求解即可； （3）利用完全平方公式的变形进行求解即可； （4）设，易得，，进而求出的值即可得出结果. 【详解】（1）解：由图可知，； （2）解：∵，，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴； （4）解：∵等腰直角三角形和， ∴和的面积和为，和的面积和为， 设， 由题意，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴和的面积和为12. 3．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）乘法公式的探究及应用： 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片：种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积： 方法1：_________________________________， 方法2：_________________________________； (2)观察图2，请你写出三个代数式之间的数量关系：____________________________________________； (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知，求的值； ②已知，求的值． (4)两块完全相同的直角三角板如图3所示放置，其中在同一直线上．连接，若，求一块直角三角板的面积． 【答案】(1)， (2) (3)①，② (4) 【分析】（1）方法1，由大正方形的边长为，直接求面积；方法2，大正方形是由2个长方形，2个小正方形拼成，分别求出各个小长方形、正方形的面积再求和即可； （2）由（1）直接可得关系式； （3）①根据求解即可；②设，，可得，，然后根据求解即可； （4）设，，根据，得到，，再根据，得到，解得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：①∵，且， ∴，解得； ②设，， ∴，， ∵， ∴， 解得，即， ∴的值为； （4）解：∵和是两块完全相同的直角三角板，， ∴设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴一块直角三角板的面积为． 知识点三 完全平方变形公式 完全平方公式：， 移项：， ， 两式相加： 两式相减： 特别提醒 看到、、、四个里面知二求二，优先用这组变形。 易错提醒 （1）变形公式加减项颠倒，把“减2ab”记成“加2ab”，把“减4ab”记成“减2ab”； （2）代入负数的和/差、负的积时，未带符号整体计算，导致符号错误； （3）逆求型题目（已知平方和+积，求和/差），遗漏正负两种解； （4）忽略积的符号对结果的影响，未判断解的合理性； （5）分数/小数运算时，平方、乘法未按规则计算，导致结果错误． 即学即练 1．（26-27七年级上·上海普陀·期中）已知则=______. 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式和代数式求值，解题的关键是能通过完全平方公式求出的值． 根据完全平方公式求出，代入即可求值． 【详解】∵， ∴． ， ∴， ∴． 2．（26-27八年级上·吉林长春·期中）若，且，则________． 【答案】 【分析】借助完全平方公式，先由已知条件求出的值，再代入计算，开平方得到的取值． 【详解】解：∵ ，且，， ∴ ， 解得 ∵ ∴ 将，代入上式，得 ∴ 3．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）已知：，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将所求代数式转化为含已知、的组合形式，代入数值计算． （2）先计算的取值，再开平方得到的结果． 【详解】（1）解： （2）解： 因此 题型01 完全平方公式的适用条件解题贴士 完全平方公式有两种基本形式，它们描述的是一个二项式的平方展开为三项式的过程，完全平方三项式”的判断标准：首平方，尾平方，首尾两倍在中央． 典｜例｜精｜析 1．（2026七年级上·上海·专题练习）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项：，能用平方差公式计算，不能用完全平方公式计算，故A选项不符合题意； B选项：，能用平方差公式计算，不能用完全平方公式计算，故B选项不符合题意； C选项：，能用完全平方公式计算，故C选项符合题意； D选项：，能用平方差公式计算，不能用完全平方公式计算，故D选项不符合题意． 变｜式｜巩｜固 1．（2026八年级上·全国·专题练习）下列各式中，不可以用完全平方公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各选项的因式变形，判断是否可化为两个相同二项式的乘积，即可确定能否使用完全平方公式． 【详解】解：A选项：，可用完全平方公式计算，故该选项不符合题意； B选项：中项相同，项符号相反，为平方差公式形式，不可用完全平方公式计算，故该选项符合题意； C选项：，可用完全平方公式计算，故该选项不符合题意； D选项：，可用完全平方公式计算，故该选项不符合题意． 2．（24-25八年级上·江西南昌·期末）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“完全平方式的定义”，熟练掌握完全平方式的形式是解题关键． 根据完全平方式的定义，两个因式需完全一致或其中一个式子是另一个式子的因式，才能应用完全平方式，根据定义判断即可． 【详解】 A选项： 中，不满足定义，不能用完全平方公式； B选项：，两项都相等，符合完全平方公式； C选项： 中，不满足定义，不能用完全平方公式； D选项： 中，两项无共同点，不满足定义，不能用完全平方公式； 故选：B． 3．（24-25七年级上·上海·阶段检测）下列算式能用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式、完全平方公式，熟练掌握平方差公式、完全平方公式的特征是解题的关键． 根据平方差公式、完全平方公式的特征，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、中各项不相同，不能用完全平方公式计算，不符合题意； B、，能用完全平方公式计算，符合题意； C、中既含有相同项，也含有相反项，能用平方差公式计算，不能用完全平方公式计算，不符合题意； D、中既含有相同项，也含有相反项，能用平方差公式计算，不能用完全平方公式计算，不符合题意； 故选：B． 题型02 运用完全平方公式进行计算 解题贴士 运用完全平方公式计算的核心是先定形式，再找a、b，严格套式，最后化简，针对不同题型（数字、单项式、多项式、整体代换），遵循统一思路并灵活运用技巧，就能快速准确计算. （1）判断形式，确认适用； （2）确定a、b，明确对应项； （3）套用公式，逐项展开； （4）化简结果，合并同类项. 典｜例｜精｜析 1．（2x﹣y）2＝　 ． 【分析】直接利用完全平方公式展开即可． 【解答】解：（2x﹣y）2＝4x2﹣4xy+y2． 变｜式｜巩｜固 1．计算：（x﹣2y﹣1）（1﹣x+2y）． 【分析】利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【解答】解：（x﹣2y﹣1）（1﹣x+2y） ＝﹣（x﹣2y﹣1）2 ＝﹣[（x﹣2y）2﹣2（x﹣2y）+1] ＝﹣x2+4xy﹣4y2+2x﹣4y﹣1． 2．（1）计算：3（x﹣1）（x+3）﹣2（x﹣5）（x﹣2）； （2）计算：（﹣2x﹣5）2﹣（5﹣2x）2． 【分析】（1）根据多项式乘多项式法则化简即可； （2）直接利用完全平方公式计算即可得出答案． 【解答】解：（1）3（x﹣1）（x+3）﹣2（x﹣5）（x﹣2） ＝3x2+6x﹣9﹣2x2+14x﹣20 ＝x2+20x﹣29； （2）（﹣2x﹣5）2﹣（5﹣2x）2 ＝4x2+20x+25﹣25+20x﹣4x2 ＝40x． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1). (2). (3). (4). 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式. 题型03 利用完全平方公式进行简便运算 解题贴士 利用完全平方公式做简便运算，核心是凑整变形，将非整十、整百的数，或复杂整式转化为“整数/简单式 ± 小数/简单项”的平方形式，再套用公式计算． 典｜例｜精｜析 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）利用乘法公式计算：． 【答案】 【分析】根据完全平方公式，计算即可． 【详解】解：原式 ． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）运用所学乘法公式进行简便运算： (1) (2) 【答案】(1) (2)39601 【分析】（1）将401转化为，399转化为，然后利用平方差公式进行简便计算； （2）将199转化为，再利用完全平方公式进行简便计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）运用乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理原式，再运用完全平方公式进行简便运算，即可作答． （2）先整理原式，再运用平方差公式进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）运用所学乘法公式进行简便运算： (1) (2) 【答案】(1) (2)39601 【分析】（1）将401转化为，399转化为，然后利用平方差公式进行简便计算； （2）将199转化为，再利用完全平方公式进行简便计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型04 利用完全平方公式进行化简求值 解题贴士 利用完全平方公式化简求值的核心是先通过公式化简整式，再代入数值计算 （1）分析原式，判断化简方向； （2）套用公式，彻底化简整式； （3）分析已知条件，选择代入方式 ①若已知条件为单个字母的值（如x=3，a=2），直接整理化简后的式子，准备代入； ②若已知条件为代数式的值（如2x+y=5，x-3y=2），无需求单个字母，直接将该代数式作为整体代入； ③若已知条件需变形转化，直接代入变形后的条件； （4）代入计算，得出最终结果． 典｜例｜精｜析 1．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】，原式 【分析】先利用完全平方公式，平方差公式进行计算，然后把，的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当，时，原式． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式计算，最后将x、y的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：      ，     当，时，原式 2．（25-26七年级下·四川成都·期末）先化简，再求值：，其中和互为倒数． 【答案】，2 【详解】解：原式 ， ，互为倒数， ， 原式． 3．（25-26七年级下·江西景德镇·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ， 当，时，原式． 题型05 求完全平方式中的参数 解题贴士 求完全平方公式中的字母系数，核心是紧扣完全平方式的结构特征，列方程（组）求解，关键在于找准完全平方式的“首项、尾项、中间项”，利用对应关系建立等式． （1）判断形式，锁定完全平方式类型； （2）拆分平方项，确定首尾项的底数； （3）根据中间项特征，列等式； （4）解方程（组），求字母系数的值． 典｜例｜精｜析 1．（26-27八年级上·四川眉山·期中）要使是完全平方式，那么的值为（     ） A． B．5或 C． D．或7 【答案】B 【分析】将原式对应完全平方公式的结构，根据中间项的两种符号情况列方程求解值． 【详解】解：∵ 是完全平方式， ∴ ，即， 当时，，； 当时，，， ∴的值为5或． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27七年级上·上海普陀·期中）若关于的整式是某个关于的整式的平方，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：∵整式是关于的整式的平方， ∴该式为完全平方式， ∵首项为，末项为， ∴中间项系数满足，即， 解得或． 2．（25-26七年级下·湖南常德·期末）若是完全平方式，则的值是（     ） A．10 B．10或 C． D．5或 【答案】B 【详解】解：∵ 是完全平方式， ∴ 该式可表示为 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 3．（2025秋•牡丹江期末）若4x2+mx+9是完全平方式，则（6m4﹣8m3）÷（﹣2m2）+3m2的值是（　　） A．±48 B．±24 C．48 D．24 【分析】先根据完全平方公式的结构特征和已知条件求出m，再根据多项式除以单项式法则和单项式除以单项式法则化简，最后把m的值代入进行计算即可． 【解答】解：4x2+mx+9＝（2x）2+mx+32， ∵4x2+mx+9是完全平方式， ∴m＝±2×2×3＝±12， ∴（6m4﹣8m3）÷（﹣2m2）+3m2的 ＝6m4÷（﹣2m2）+8m3÷2m2+3m2 ＝﹣3m2+4m+3m2 ＝4m ＝4×（±12） ＝±48， 故选：A． 题型06 规律探究型问题 解题贴士 （1）审题与分析：明确题目背景，分清已知条件和待求问题，理解变量含义； （2）初步观察与列举：写出前3-5个具体实例； （3）寻找变化规律； （4）提出猜想：根据数据尝试写出第n项的表达式； （5）验证与修正：用n=1，2，3检验猜想是否正确； （6）归纳结论． 典｜例｜精｜析 1．（24-25七年级上·四川宜宾·阶段检测）探究式子与式子的关系． (1)请分别计算当时两个式子的值． (2)通过计算结果猜想两个式子在数量上存在什么样的关系，请写出你发现的数量关系： ，并利用你发现的规律计算：的值． 【答案】(1)1；1 (2) 或 ；8 【分析】（1）把给定分别代入两个代数式，按照有理数运算规则求值，对比两个式子计算结果； （2）由第（1）问的计算结果猜想两个代数式的等量关系，得到立方恒等式，计算时，需要对原式变形，将式子匹配我们猜想得到的公式结构，将原式转化为的形式，直接套用公式快速算出结果． 【详解】（1）解：当时， ； ； （2）解：数量关系： 或 ； ． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·广西桂林·阶段检测）【教材呈现】以下是新湘教版教材第页题改编： 已知是含字母的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，求． 【自主解答】解：根据两个数和或差的平方公式，分情况讨论： 当为含字母的一次单项式时，原式可以表示为关于的二项式的平方． 【解后反思】 ①上述解答过程得到等式：；同理可得， 观察等式左边多项式的系数发现：． ②结合多项式的因式分解，又如： ；， 发现这两个多项式的系数规律：，． ③一般地：若关于的二次三项式（、、是常数）是某个含的二项式的平方，则其系数、、一定存在某种关系． (1)请你写出系数、、之间存在的这种关系式：__________________； 【解决问题】 (2)若多项式加上一个含字母的单项式，就能表示为一个含的二项式的平方，请直接写出所有满足条件的单项式； (3)若关于的多项式是一个含的多项式的平方，求实数的值． 【答案】(1) (2)，， (3) 【分析】（1）由阅读材料中的规律直接求解即可； （2）由阅读材料中的方法，结合完全平方公式分情况求解即可； （3）由阅读材料中二次三项式中系数满足的关系式列方程计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，满足题意的所有单项式为，，； （3）解：关于的多项式是一个含的多项式的平方， 则由材料中二次三项式系数满足的关系式可得， ． 2．（26-27八年级上·北京·期中）对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质，例如代数式，若将其写成的形式，就能看出不论字母取何值，它都表示正数；若将它写成的形式，就能与代数式建立联系．下面我们改变的值，研究一下，两个代数式取值的规律： 0 1 2 17 10 5 p 1 10 5 2 1 q (1)表中______，______； (2)观察表格可以发现： 若时，，则时， .我们把这种现象称为代数式参照代数式取值延后，此时延后值为1． ①若代数式参照代数式取值延后，相应的延后值为3，请直接写出代数式； ②已知代数式 参照代数式取值延后，请直接写出的值． 【答案】(1)2，2 (2)①；②20 【分析】（1）将，分别代入代数式求值即可； （2）① 根据新定义可知代数式； ②先求出，再设延后值为k，可得，求出k，进而得出答案． 【详解】（1）解：将代入得：； 将代入得：. （2）解：① ∵代数式D参照代数式B取值延后，相应的延后值为3， ∴； ② 由定义可知，， ∴， ∵代数式参照代数式取值延后， 设延后值为k， ∵时，， 时，， ∴， ∴，， 解得， ∴． 3．（25-26七年级下·广东深圳·期末）【教材呈现】教材七年级下册第一章课后习题： 11．观察下列各式： ，，，…… 个位数字是5的两位数平方后，结果末尾的两个数字有什么规律？为什么？你还能找到哪些类似的规律？试举一例． (1)依据上述等式的规律，填空：______； (2)【拓展探究】同学们进一步思考发现：十位数字相同，个位数字和为10的两个两位数相乘，也可以用类似的规律进行计算． 例如：， ， ， …… 依据上述等式的规律，写出计算的过程与结果：____________________； (3)设两个两位数的十位数字为，个位数字分别为，，且，请用代数式表示上述规律，并说明理由． 【答案】(1)2025 (2)，3016 (3)规律为： 理由：左边 （乘法对加法的分配律逆运算） 因为， 所以左边， 右边左边 所以等式的规律正确． 【分析】（1）设两位数的十位数字为a，则两位数为，则有，然后问题可求解； （2）根据题中所给例子进行总结规律，然后问题可求解； （3）根据（2）中例子及多项式乘多项式进行求解即可． 【详解】（1）解：个位数字是5的两位数平方后，结果末尾的两个数字为25；理由如下： 设两位数的十位数字为a，则两位数为， ∴， ∴末尾的两个数为25； ∴； （2）解：∵， ， ， ……， ∴依据上述等式的规律，； （3）略 题型07 几何背景 解题贴士 （1）画图：画大长方形，按项分段标上字母； （2）分块：横竖分段，标出每一小块长和宽； （3）算面积：每块面积=长×宽，全部相加； （4）合并同类项：整理成最简多项式． 典｜例｜精｜析 1．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（     ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【分析】由图可得阴影部分面积为，列式根据完全平方公式变形再计算即可． 【详解】解：根据题意可知， 代入，，得：． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27七年级上·上海普陀·期中）如图，正方形A的边长为，正方形B的边长为（）． 图1：将正方形B放置在正方形A内部，图中阴影部分的正方形面积为7； 图2：将正方形A、正方形B并列摆放，构造边长为的大正方形，图中阴影部分的面积为18． (1)根据图形直接写出的值为___________； (2)求图2最大正方形的面积． 【答案】(1)7 (2)43 【分析】（1）根据图形得：图1中阴影部分是边长为的正方形，即可求解； （2）根据题意可得，再结合（1），可得，再由完全平方公式解答即可． 【详解】（1）解：根据图形得：图1中阴影部分是边长为的正方形， 因为阴影部分的正方形面积为7， 所以； （2）解：因为图中阴影部分的面积为18， 所以， 由（1）得：， 所以， 所以， 所以图2最大正方形的面积为． 2．（25-26七年级下·贵州毕节·期末）我国著名数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法之一．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)下图给出的甲、乙、丙3个正方形分割方案，分别验证了以下乘法公式： ①  ②  ③ 甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为________． (2)利用（1）中所得到的乘法公式，解决下面的问题： ①若，，求的值； ②若，求的值． 【答案】(1) ①③② (2)①73；②185 【分析】（1）图甲中用两种方法表示出最大的正方形面积，图乙中用两种方法表示出中间的正方形的面积，图丙中用两种方法表示出第二大的正方形的面积，进而可得答案； （2）①根据代入求值即可；②设，则，，根据代入求值即可． 【详解】（1）解：图甲中，最大的正方形的边长为，其面积为，最大的正方形的面积又等于两个较小的正方形的面积加上两个长方形的面积，则最大的正方形的面积为， ∴； 图乙中，中间的正方形的边长为，其面积为，中间的正方形的面积又等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，则中间正方形的面积为， ∴，即； 图丙中，第二大的正方形的边长为，其面积为，第二大的正方形面积又等于最大的正方形面积减去两个大长方形的面积，再加上最小的正方形面积，则第二大的正方形面积 为， ∴， ∴甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为①③②； （2）解：①由（1）得， ∵，， ∴， ∴； ②设，则， ∴， 由（1）得， ∴ ． 3．（26-27八年级上·河南周口·期中）在数学学习中，借助几何图形可以直观解释整式乘法公式．如图1是由4个长为、宽为的小长方形围成的一个大正方形．请解答以下问题： (1)【观察思考】图1中空白部分的小正方形面积可以表示为___________________，也可以表示为___________________； (2)【数学理解】由此可以得出代数式，，之间的等量关系为________________________； (3)【类比应用】图2是由2个直角边分别为，的等腰直角三角形和2个两直角边为，的直角三角形拼成的一个四边形，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）用两个方法分别表示空白部分的面积，第一种直接利用小正方形的边长计算，第二种利用大正方形面积减去四个小长方形的面积； （2）结合（1），即可推出三者关系； （3）利用，可得，再利用（2）中等量关系计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知，空白部分的小正方形的边长为，那么空白部分的小正方形的面积可以表示为； 也可以表示为：大正方形面积减去四个小长方形的面积，即； （2）解：结合（1）可知，； （3）解：不妨设交于点，如图所示： 由题意可知，四边形的面积， 即， 由（2）可知，，即， ∵，， ∴， ∴四边形的面积． 题型08 新定义问题 解题贴士 （1）先读懂定义，圈出关键词，题目会给你一个新符号，把它翻译成：左边是什么，右边是什么，怎么运算； （2）严格照抄规则，不要自己创造，它怎么定义，你就原样代入，不联想以前的公式，不脑补、不创新； （3）把数字/式子精准替换进定义里，有括号先算括号里的； （4）变成我们学过的运算，按学过的方法正常算就行． 典｜例｜精｜析 1．（26-27九年级上·河北保定·阶段检测）配方法是数学中重要的一种方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们规定：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，10是“和谐数”，理由：因为，所以10是“和谐数” 【解决问题】 (1)判断40是否为“和谐数”_____．（填“是”或“否”） 【综合运用】 (2)若可配方成（m，n为常数），则的值_____； (3)已知（a，b是整数，k是常数），要使M为“和谐数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【答案】(1)是 (2) (3)符合条件的一个k值为9，理由如下： 对M配方： ， 当时，， ∴， ∵，是整数， ∴和都是整数， ∴M是两个整数的平方和，即M为“和谐数”． 【分析】（1）根据“和谐数”的定义，判断40能否写成两个整数的平方和即可； （2）利用配方法对代数式变形，对比得到，的值，即可计算； （3）对M进行配方，将其整理为两个平方和的形式，即可得到符合条件的k值． 【详解】（1）解：∵，且6，2都是整数， ∴40是“和谐数”； （2）解：， 对比得，， ∴； （3）略 变｜式｜巩｜固 1．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）对于任意有理数，定义一种新运算：． (1)______； (2)对于有理数、，若，． ①求的值： ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点在同一条直线上，点在边上，连接．若，图中阴影部分的面积为45，求的值． 【答案】(1) (2)①56；②2 【分析】本题主要考查了新定义，完全平方公式在几何图形中的应用： （1）直接根据计算即可； （2）①先根据新定义化简，再利用完全平方公式变形求解即可； ②根据图形用含x，y的式子表示出阴影部分的面积，再根据①中的结果代入即可求出n． 【详解】（1）解：原式． 故答案为：； （2）解：①原式 ， ∵，， ∴，， ∴ ； ②由图知：， ∴， 化简得， ∴， 由①得，，， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）现定义一种新运算“”，对于任意有理数a，b，c，d规定．例如：．请解答下列问题： (1)填空：______； (2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； (3)如图，在六边形中，对角线和相交于点G，当四边形和四边形都为正方形时，设正方形和正方形的边长分别为a，b，若，，求出阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据新运算定义代入计算即可； （2）先根据新运算得出代数式，再通过合并同类项，根据一次项系数为求解； （3）利用新运算得到等式，结合已知线段长度，通过完全平方公式变形求阴影部分面积(即两个正方形面积和)． 【详解】（1）解：根据新运算， 对于； （2）解：， ∵代数式中不含x的一次项， ∴一次项系数， ∴解得； （3）解：， 可得：， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 阴影部分面积为两个三角形面积和 3．（25-26七年级下·湖南郴州·期中）定义，如．已知，已知（为常数）． (1)若，求的值； (2)若的代数式中不含的一次项，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据新定义，分别化简、,再结合方程求解； （2）利用多项式不含一次项则一次项系数为0求解． 【详解】（1）解：根据定义，化简 ， ， ， 解得：． （2）解：根据定义，化简： ， 的代数式中不含的一次项， ， 解得：． 题型09 配方法 解题贴士 将二次三项式转化为一个完全平方式与一个常数项的和，从而简化运算或求最值 （1）若二次项系数不为1，则提取二次项系数； （2）接着对括号内的二次项和一次项凑平方，即加上并减去一次项系数一半的平方． 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·全国·阶段检测）【阅读材料】我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ， 当时，有最小值－4． 【解答问题】 (1)求代数式的最小值； (2)若，有最大值还是最小值？求出这个最值； 【答案】(1) (2)有最大值，为 【分析】（1）先用配方法将多项式化为完全平方式加常数，再利用平方非负性求最小值； （2）先提取负号后配方，再根据完全平方非负判断代数式存在最大值并求值． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴最小值为． （2）解：有最大值， ∵ ∴ ∴ ∴有最大值，为． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用． 例如：利用配方法求最小值：求代数式的最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空： (2)将变形为的形式，并求出的最小值． (3)如图，某农场计划利用一面足够长的承重墙，再用总长为的篱笆围成一个长方形菜园，长方形一边平行于承重墙．设垂直于墙的边长为，菜园的面积为，求的最大值． 【答案】(1)4，2 (2)； (3) 【分析】（1）根据完全平方公式的特征求解； （2）先配方，再求最小值． （3）根据题意表示出S，然后配方，再求最大值． 【详解】（1）解：∵一次项系数的一半为2，平方为， ∴； （2）解：， ∵， ∴当时，，此时的最小值为； （3）解：根据题意得：垂直于墙的边长，篱笆总长， ∴平行于墙的边， ∴面积 ∵ ∴当时，S取得最大值． 2．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即.例如：，，是的三种不同形式的配方. 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)已知，求的值. 【答案】(1)①；②；③ (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，代数式求值， （1），仿照例题配方即可； （2），将等式的左边化成3个完全平方公式和的性质，再求出字母的值，然后代入计算． 【详解】（1）①； ②； ③； （2）， 整理，得， 则， 即， ，，， ，，， ． 3．（25-26八年级上·吉林长春·期中）阅读材料： 求多项式的最值．分析：求二次三项式的最大值或最小值可以通过配成完全平方式的形式来求出． ， 无论取何值，， ∴， ∴时，有最小值是2． 解决问题： (1)请在序号处填上数字，完成多项式的配方过程： (2)求多项式的最值． (3)式子有最______值（填“大”或“小”），是______． (4)如图，一边靠墙（墙足够长），其余三边用长为12米的栅栏围成一个长方形鸡舍，则围成的鸡舍的最大面积是______平方米． 【答案】(1)①2；②1；③3 (2)1 (3)大，4 (4)18 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）利用完全平方公式配方即可； （2）仿照阅读材料中的方法，利用完全平方公式配方求出代数式的最值； （3）仿照阅读材料中的方法，利用完全平方公式配方求出代数式的最值； （4）设垂直于墙的长为x米，再表示出平行于墙的长，进而表示出鸡舍的面积，利用完全平方公式配方后确定出最大面积即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：①2；②1；③3． （2）解：， 无论取何值，， ∴， ∴时，有最小值是1． （3）解：， 无论取何值，， ∴， ∴， ∴时，有最大值是4． 故答案为：大，4； （4）解：设垂直于墙的长为x米，则平行于墙的边长为米， ， 无论取何值，， ∴， ∴时，有最大值是18． 即围成的鸡舍的最大面积是18平方米． 故答案为：18． 题型10 大小比较 解题贴士 作差法：与0比较；若大于0，则大；小于0，则大；等于0，相等 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）已知，． (1)对，进行整式乘法运算； (2)甲、乙两位同学用如下方法比较，的大小． 作差法：与0比较；若大于0，则大；小于0，则大；等于0，相等． 甲认为：大于； 乙认为：不小于． 通过计算判断谁的说法正确． 【答案】(1)、 (2)乙说得对 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）利用平方差公式进行计算得，运用单项式乘多项式得，即可作答． （2）利用作差法得，又因为，故，即可作答． 【详解】（1）解：， ； ； （2）解： =， ， ∴， ∴ ∴乙说得对． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）“分类讨论”是数学学习中的一种重要方法，比如：比较和4的大小，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，．“数形结合”是直观理解数学的一种方法，比如表示长和宽分别为4和a的长方形的面积，表示边长为a的正方形的面积． (1)若，则___________； (2)若，则a的取值范围是___________ (3)当a和b为正数时，画出图形，比较和的大小． 【答案】(1) (2) (3)画图如下， 【分析】（1）根据绝对值的意义，求解即可； （2）根据绝对值的几何意义，进行求解即可； （3）利用边长为a，b的正方形与边长为的正方形进行拼图即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴数轴上表示数的点在表示和3的点之间， ∴； （3）解：如图，在边长为的正方形中有边长为和的正方形， 由图可知：． 2．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）探寻规律，解决问题： (1)【观察探索】 比较与的大小： ①当，时，______（填“>”“<”或“=”）； ②当，时，______（填“>”“<”或“=”）； (2)【猜想证明】 通过上面的填空，猜想与的大小关系，并证明： (3)【问题解决】 如图，点在线段上，以，为边，在线段的两侧分别作正方形、正方形，连接，设两个正方形的面积分别为，．若的面积为，求的最小值； 【答案】(1)； (2) ，理由如下： ，即， ； (3)的最小值为 【分析】本题考查完全平方公式与基本不等式的证明，几何图形的面积计算与代数转化．熟悉完全平方公式，并通过完全平方公式转化证明基本不等式，是解题的关键． （1）代入数值计算，比较大小即可． （2）通过完全平方公式：，证明即可． （3）结合正方形、三角形的面积公式，将几何问题转化为代数问题，再利用基本不等式求最值． 【详解】（1）解：当，时，，， ∵， ∴括号内填“”， 当，时，，， ∵， ∴括号内填“”， 故答案为：；； （2）略 （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ， 的面积为，即， ， ， ， 的最小值为 3．（25-26八年级上·云南曲靖·期末）我们规定：若两个非零实数与满足，则称这两个数为“伴侣数”，并定义（为正整数）． 例：已知与为伴侣数，且，求的值． 解：与为伴侣数 即 根据以上信息，解答下列问题： (1)已知与为伴侣数，，求的值； (2)已知与为伴侣数，，试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据伴侣数的定义和完全平方公式解答即可求解； （）根据伴侣数的定义和完全平方公式分别求出的值，进而求出的值，再与比较即可求解； 本题考查了新定义运算，完全平方公式的应用，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：与为伴侣数， ， ， ， ∵， ； （2）解：与为伴侣数， ， ， ， ， 又， ， 即， 又， ， 即， ∴ ， ． 题型11 变形公式 解题贴士 1. 审题圈量：圈出题目给的是哪两个量，目标求什么（分清是和、差、积、平方和）； 2. 选对公式：对照四个量的关系，挑选匹配的变形公式； 3. 代入数值：带数计算，注意符号，负数整体加括号； 4. 化简计算：先算平方，再算乘除，最后加减； 5. 检验复盘：代入回原式验算，检查有没有符号、漏系数错误。 典｜例｜精｜析 1．（26-27八年级上·重庆江北·阶段检测）已知，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两个已知等式用完全平方公式展开后作差，消去含、的项，求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 得， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，，那么等于_______． 【答案】19 【分析】借助完全平方公式将待求式变形为含已知、的表达式，通过整体代入完成计算． 【详解】解：根据完全平方公式可得 ∴移项变形可得． ∵已知，． ∴． 2．（26-27七年级上·上海虹口·期中）如果，，那么的值为________． 【答案】 【分析】通过完全平方公式由已知条件求出的值，再将所求整式展开化简，整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ，展开得． ∵ ， ∴ ， 解得． 对所求代数式展开化简： 将，代入上式： 原式 3．（26-27八年级上·甘肃天水·期中）已知，．求下列代数式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴． 基础通关 1．（2026·四川遂宁·中考真题）下列计算错误的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的基本运算，需要运用积的乘方法则、合并同类项法则、完全平方公式和去括号法则，逐一判断运算正误即可找出错误选项． 【详解】解：选项A：根据积的乘方法则，，运算正确． 选项B：合并同类项得，运算正确． 选项C：根据完全平方公式，，运算正确． 选项D：根据去括号法则，括号前是负号，去括号后括号内各项要变号，，本选项计算错误． 2．（26-27八年级上·陕西·期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平方差公式和完全平方公式判断即可． 【详解】解：A．，此项符合题意； B．，此项不符合题意； C．，此项不符合题意； D．，此项不符合题意． 3．（2025秋•闽清县期末）两个完全相同的长方形如图放置，每个长方形的面积为32，图中阴影部分的面积为24，则每个长方形的周长为（　　） A．12 B．18 C．24 D．36 【分析】根据题意设AB＝CD＝CE＝FG＝x，AD＝BC＝EF＝CG＝y，由此列式得到x＝4，y＝8，根据周长的计算即可求解． 【解答】解：如图，设AB＝CD＝CE＝FG＝x，AD＝BC＝EF＝CG＝y， ∴， 解得x＝4或x＝﹣4（负值舍去）， ∴y＝8， ∴2（x+y）＝24， 故选：C． 4．（2025秋•饶平县期末）已知a＝x+2026，b＝x+2024，c＝x+2025，当a2+b2＝8，则c2的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 【分析】由题意可得（x+2026）2+（x+2024）2＝8，将其变形为[（x+2025）+1]2+[（x+2025）﹣1]2＝8，利用完全平方公式展开并求得（x+2025）2的值即可． 【解答】解：∵a＝x+2026，b＝x+2024，a2+b2＝8， ∴（x+2026）2+（x+2024）2＝8， ∴[（x+2025）+1]2+[（x+2025）﹣1]2＝8， ∴（x+2025）2+2（x+2025）+1+（x+2025）2﹣2（x+2025）+1＝8， ∴2（x+2025）2+2＝8， ∴（x+2025）2＝3， 即c2＝3， 故选：A． 5．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）一个正方形的边长为 cm，则它的面积是__________ （结果用含 a 的多项式表示）． 【答案】 【详解】 解：由题意得，面积为． 6．（26-27七年级上·上海青浦·阶段检测）已知，，则_________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式变形，将所求式子用已知的和表示后代入计算即可． 【详解】解：∵由完全平方公式可得， ∴变形得， ∵，， ∴代入得． 7．（26-27七年级上·上海浦东新·阶段检测）已知关于x的整式是某个关于x的整式的平方，那么k的值是______． 【答案】或 【分析】根据完全平方式的结构特征，对比对应项系数即可求解的值． 【详解】解：由题意得，是关于的完全平方式， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当时，解得， 当时，解得， ∴的值为或． 8．（2025秋•洪雅县期末）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式，若6，则x＝　　 ． 【分析】利用上述规律列出式子（x﹣1）（x+1）+（x﹣1）2＝6，再化简，解方程即可． 【解答】解：定义ad﹣bc， 可得（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣1）2＝6， 解得：x＝4， 故答案为：4 9．（2025秋•固原校级期末）已知多项式（2x﹣1）2＝ax2+bx+c，则a+b+c＝　　 ． 【分析】根据完全平方公式计算即可． 【解答】解：（2x﹣1）2＝4x2﹣4x+1， ∵（2x﹣1）2＝ax2+bx+c， ∴a＝4，b＝﹣4，c＝1， ∴a+b+c＝4+（﹣4）+1＝1， 故答案为：1． 10．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）计算： (1)； (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 11．（24-25七年级下·贵州毕节·期中）简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)4008004 (2) 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用，熟练掌握公式是关键． （1）将变形为，根据完全平方公式即可解答 （2）把变形为，根据平方差公式利用平方差公式，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）计算、化简 (1)计算：． (2)计算：． (3)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2) (3) ； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； 当，时， 原式. 13．给出以下等式： (1)观察以上各式的规律，可以得到： ________（直接写结果，其中n为正整数） (2)利用以上等式，完成下列两题： ①对任意的实数a，试比较与1的大小关系； ②求值： 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）观察所给等式，即可总结出规律； （2）①把看作，即可利用所得规律计算； ②将原式变形为，根据所得规律计算即可． 【详解】（1）解：， （2）解：① ， ∵， ∴，即． ② 14．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）若满足，求的值． 解：设，，则，． (1)请仿照上面的方法求解：若满足，求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，则，再求出，然后根据代入计算即可得； （2）设，，则，，根据，求得的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：设，，则， ∵， ∴， ∴ ． （2）解：设，， 则，， ∴ ． 15．（25-26八年级下·山东青岛·期末）对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1)______； (2)如图，四边形是正方形，边长，P在正方形内部，过点P分别作、的垂线与、、、相交于点E、F、G、H，连接、，，，且．求图中阴影部分的面积是多少？    【答案】(1)11 (2)3 【分析】（1）利用新定义的运算法则计算即可求解； （2）利用新定义的运算法则化简，得到，利用正方形面积公式和三角形面积公式计算得到图中阴影部分的面积为，整体代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 图中阴影部分的面积 ， ∵， ∴原式． 素养提升 16．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）已知，则________． 【答案】 【分析】由已知等式得，将待求多项式的高次项逐步降次，化简后计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∴， ． 将上述结果代入待求式： ． 17．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）分解下列因式：，，，观察上述三个多项式的系数，有，，．若多项式是完全平方式，那么系数，，之间一定存在某种关系．若多项式和都是完全平方式，则利用观察得到的规律可得的值是________． 【答案】16 【分析】根据题中给出的三个式子，结合多项式，由，，的形式即可表示出，根据多项式是完全平方式，得到①；多项式是完全平方式，得到②，从而两式相乘即可得到的值． 【详解】解： ，对比多项式有， 由可知； 同理，对于，，由，，均可得到； 当多项式是完全平方式，得到①； 当多项式是完全平方式，得到②， ， 和都是多项式，， ， ，两边同时除以得到 ． 18．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）我们可以将进行变形，得到，等．请灵活利用这些变形解决下列问题： (1)已知，则_____； (2)若满足，求的值； (3)如图，四边形是梯形，，连接，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)9； (2)； (3)25． 【分析】（1）根据已知条件和完全平方公式进行计算即可； （2）设，根据已知条件求出和，然后利用完全平方公式进行解答即可； （3）设，图中阴影部分的面积可用梯形面积减去两个等腰直角三角形的面积来表示，再利用完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：令， 则， ． （3）解：设， ， ． 则图中阴影部分的面积为 ． 19．（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）结合提供的素材，解决相关问题． “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式． 素材 如图，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等面积法，我们可以得到一个等式：    利用上述公式解决问题： (1)若，，求的值； (2)若，求的值； (3)如图，在线段上取一点D，分别以，为边作正方形、，连接、、．若的长为，的面积为，求阴影部分的面积和．    【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用完全平方公式变形求出的值； （2）设，，利用完全平方公式变形求出结果； （3）设正方形、的边长分别为、，可得、、，根据三角形的面积公式即可求出结果． 【详解】（1）解：， ， ，， ； （2）解：设，，则， ，， ， ， ， ， ； （3）解：设正方形、的边长分别为、， ，， ， ，， 的面积为， ， ， ， ， ． 20．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段检测）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，即时的值最小，最小值是1． 即的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成（、是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）①已知13是“完美数”，请将它写成（、是正整数）的形式______； ②配方：； 【探究问题】 （2）①已知，则______； ②已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （3）已知实数、满足，当______时，最小值为______． 【答案】（1）①；②9，3； （2）①； ②当时，为“完美数”， 理由如下： ， ，是整数， ，也是整数， 是一个“完美数”； （3）3，1 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）①把13分为两个整数的平方即可； ②原式利用完全平方公式即可求解； （2）①已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，即可求出的值； ②根据为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； （3）由已知等式表示出，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最小值即可． 【详解】解：（1）①根据题意得：； 故答案为：； ②根据题意得：， 故答案为：9，3； （2）①∵， ∴， ∴， ，， ，， 解得：，， ∴； 故答案为：； ②略 （3）∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为1． 故答案为：3，1． 21．（26-27八年级上·海南海口·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们理解数学问题． (1)①如图1，将边长为的正方形分割成四部分，则________； ②用4个长和宽分别为、的长方形拼成如图2的正方形，则________； 【阅读理解】“若满足，求的值” 解：设，， 则， 【解决问题】 (2)若满足，则的值为________； (3)如图3，正方形的边长为，，，长方形的面积是180，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体的数值） 【答案】(1)①；②； (2)； (3)． 【分析】（1）观察图形面积间的关系即可求解； （2）设，，则可知，的值，由（1）中关系式即可解答； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意可知，，由（1）②代入计算即可． 【详解】（1）解：观察图形可得 ① ； ②； （2）解：设，， 则，， ； （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 长方形的面积是180， ， ，， ，， 正方形中，， ， ， 由（1）②得， ， 由题意可知四边形是正方形，其边长为， 图中阴影部分的面积为． 迁移创新 22．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）已知整式，其中，…，为自然数，与均为正整数．例：当，时，．下列说法：①若，则符合条件的整式中二次二项式有4个；②若，则符合条件的整式有7个；③若，且整式是二次三项式，则的值一定是正数．其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据题目定义，结合系数的取值范围，分别判断三个说法的正误，最终统计正确说法的个数． 【详解】解：由题意得，与为正整数，为自然数． ①，即，， 要求是二次二项式，则仅存在两种情况：或． 当，时，， 由于，，则有，，共3组解； 当，时，， 由于，，则有，，共3组解； 所以符合条件的整式中二次二项式有（个），故①错误． ②，为正整数，则是4的正因数，即． 当时，，即，，共4组解； 当时，，即，， 时，有2组解，时，有1组解，合计3组解； 当时，，即，，仅1组解； 合计个，故②错误． ③，且为二次三项式，则，，，． ， ，代入得，满足条件的解为或， 对应整式分别为和． ∵， ， ∴的值一定是正数，故③正确． 综上，正确的说法共1个． 23．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）已知个数，，…从，，中取值．若，且，则的值为________． 【答案】 【分析】求出，，…中，或的个数是个，，，…中，的个数是个，的个数是个，的个数是个，据此进行解答即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∵个数，，…从，，中取值． ∴，，…中，或的个数是，，，…中，的个数是， ∵，或的个数是，，，…中，的个数是， ∴比多个， 即的个数是（个），的个数是（个）， ∴ 24．（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）对完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，所以，即：， 又因为，所以． 根据上面的解题思路与方法，请你解决下列问题： (1)若，= 22，求的值； (2)填空： ①若，则 ______； ②若 ，则 ______； (3)如图，学校有一块梯形空地，对角线于点E，，．学校计划在和区域内种花，已知种花区域的面积和为，对角线，求种草区域（和）的面积和． 【答案】(1)7； (2)①29；②8； (3)12． 【分析】（1）完全平方公式的整体代换求． （2）① 令，，则，，利用求解；② 令，，则，利用求解． （3）设，，由花坛面积得，由得，利用完全平方公式求． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：①令，， ，， ， ， ， ． ② 令，， ， 又， ， ， ， ． （3）解：设，， 于点， ，， 花坛面积， ， ， ， ， ， ， 草地面积， 草地面积． 25．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）综合与实践：探究图式之间的内在联系 观察下列图形，思考图形中点的排列规律，抽象出数学等式，探究点的总个数． 任务一：下列是两位同学采用了不同方法进行探究，请你完善他们的探究过程． (1)明明将这些点分为两类，一类是实心点构造的正方形点阵，一类是空心点构造的正方形点阵，这样图1点的总数可表示为，图2点的总数可表示为，图3点的总数可表示为，图4点的总数可表示为，…，图点的总数可表示为_________； (2)欣欣用虚线将这些点进行连接，图1的点可以表示为，图2的点可以表示为，图3的点可以表示为，图4的点可以表示为，欣欣思考这种连接方式下，图5中最长虚线上共有________个点，她结合明明的探究，猜想两种方法利用图建立的等式：__________________； 任务二： (3)由两位同学的探究结果，我们可以获得从1开始，连续个奇数的和，即______________________； 任务三： (4)应用任务二探究得到的结论，计算：． 【答案】(1) (2)；； (3) (4) 【分析】（1）根据图形得出规律即可； （2）根据图形得出规律即可； （3）由（2）可得，再由，计算即可得出结果； （4），再结合（3）中的规律计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵图1点的总数可表示为，图2点的总数可表示为，图3点的总数可表示为，图4点的总数可表示为，…， ∴图点的总数可表示为； （2）解：∵图1中最长虚线上共有个点，图2中最长虚线上共有个点，图3中最长虚线上共有个点，图4中最长虚线上共有个点，…， ∴图5中最长虚线上共有个点， ∵图1的点可以表示为，图2的点可以表示为，图3的点可以表示为，图4的点可以表示为，…， ∴利用图建立的等式为 （3）解：由（2）可得， ∴ ； （4）解：， ∵，， ∴原式=． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十六章 整式的乘法 16.3.2 完全平方公式 课标要点 1．能推导完全平方公式，了解公式的几何背景。 2．掌握完全平方公式的结构特征，会运用公式进行简单的整式乘法与简便运算。 3．体会从特殊到一般、数形结合、整体代换的数学思想，发展符号意识与推理能力。 学习重难点 重点： 1．理解完全平方公式的结构特征，熟记完全平方公式。 2．能够直接运用公式进行整式计算和简便运算。 3．理解完全平方公式的几何背景。 难点： 1．认清公式里的符号、系数，把代数式看成整体套用公式。 2．区分完全平方公式与平方差公式，能灵活变形构造完全平方形式进行运算。 知识点一 完全平方公式 1.完全平方公式： 即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍， 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放” 2.完全平方公式的特征： ①左边是两个数的和的平方； ②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号 与左边的运算符号相同 3.应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的，可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式 4.完全平方公式：对于一个具有若干个简单变元的整式，如果存在另一个实系数整式，使，则称是完全平方式 完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方，另一种是完全平方差公式， 就是两个整式的差括号外的平方，算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随 中央，（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中 间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用，完全平方差公式就用，后边 的符号都用）” 特别提醒  1）、可以是单项式，也可以是多项式，做题时常需要整体思想，把一个式子当成或。  2）两个公式可以统一写成：，中间项的符号和括号里的符号一致。  3）几何意义：大正方形分割验证，数形结合理解。 易错提醒  1）致命错误：，漏掉中间的。  2）系数忘记平方，首尾都要整体平方。  3）混淆平方差和完全平方。  4）中间项系数是2倍，不要写成1倍。 即学即练 1．若对于两个多项式的乘积：（m+n）（p+q），能用完全平方公式进行简捷运算，则满足的条件可以是（　　） A．m＝﹣p，n＝q B．m＝p，n＝﹣q C．m＝p，n＝q D．m＝p，n＝2q 2．（2025秋•北京校级期中）计算：（a﹣2）（a+3）﹣（a﹣1）2． 3．阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： （2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如1+2i的共轭复数为1﹣2i． （1）填空：①（2+i）（2﹣i）＝　　 ；②（2+i）2＝　 ； （2）若a+bi是（1+2i）2的共轭复数，求（b﹣a）2的值； （3）已知（a+i）（b+i）＝1﹣3i，求（a2+b2）（i+i2+i3+i4+…+i2025）的值． 知识点二 完全平方公式的几何意义 如图，大正方形的面积可以表示为S=，也可以表示为其几何意义：以为边长的正方形的面积等于边长分别为，的小正方形及2个长、宽分别是，的小长方形的面积之和，从而验证了完全平方公式 特别提醒 1） 几何模型：边长为的大正方形，分割成1个边长的正方形、1个边长的正方形、2个长宽的长方形；总面积=三块面积相加。 2） 几何模型：边长为的大正方形，去掉两个长宽的长方形，角落多减了1个边长的小正方形，所以要加回；最后剩下边长的小正方形。 3）数形结合目的：用来解释为什么会有中间项，从图形上理解不能漏掉交叉乘积项。 4）图形只是直观验证，不是严格证明；才适合画图，负数不适合用这个几何图解释。 5）同一个式子可以对应不同分割方法，只要面积等式成立即可。 易错提醒 1）形上明显少了两块长方形，漏掉。 2）认为、可以是负数：几何面积模型里边长必须是正数，负数不能用该图解释。 3）看图列式时，边长看错：把长方形边长写反、分不清哪一段是。 4）认为几何推导可以代替代数推导：图形只能辅助理解，不能作为通用证明。 即学即练 1．（26-27八年级上·河南周口·期中）利用完全平方公式解决问题． 如图，在四边形中，对角线于点O，，．若，，求图中阴影部分的面积． 2．（26-27八年级上·吉林长春·期中）【知识生成】 (1)写出图①中所表示的数学等式：______； 【知识应用】 (2)已知，，求的值； 【灵活运用】 (3)已知m满足，则的值为______； 【知识迁移】 (4)如图②，C是线段上一点（不与点A、B重合），分别以为腰在线段异侧作等腰直角三角形和，连接．已知，和的面积和为20．直接写出和的面积和． 3．（26-27七年级上·上海浦东新·期中）乘法公式的探究及应用： 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片：种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积： 方法1：_________________________________， 方法2：_________________________________； (2)观察图2，请你写出三个代数式之间的数量关系：____________________________________________； (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知，求的值； ②已知，求的值． (4) 两块完全相同的直角三角板如图3所示放置，其中在同一直线上．连接，若，求一块直角三角板的面积． 知识点三 完全平方变形公式 完全平方公式：， 移项：， ， 两式相加： 两式相减： 特别提醒 看到、、、四个里面知二求二，优先用这组变形。 易错提醒 （1）变形公式加减项颠倒，把“减2ab”记成“加2ab”，把“减4ab”记成“减2ab”； （2）代入负数的和/差、负的积时，未带符号整体计算，导致符号错误； （3）逆求型题目（已知平方和+积，求和/差），遗漏正负两种解； （4）忽略积的符号对结果的影响，未判断解的合理性； （5）分数/小数运算时，平方、乘法未按规则计算，导致结果错误． 即学即练 1．（26-27七年级上·上海普陀·期中）已知则=______. 2．（26-27八年级上·吉林长春·期中）若，且，则________． 3．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）已知：，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 题型01 完全平方公式的适用条件解题贴士 完全平方公式有两种基本形式，它们描述的是一个二项式的平方展开为三项式的过程，完全平方三项式”的判断标准：首平方，尾平方，首尾两倍在中央． 典｜例｜精｜析 1．（2026七年级上·上海·专题练习）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2026八年级上·全国·专题练习）下列各式中，不可以用完全平方公式计算的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江西南昌·期末）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海·阶段检测）下列算式能用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 题型02 运用完全平方公式进行计算 解题贴士 运用完全平方公式计算的核心是先定形式，再找a、b，严格套式，最后化简，针对不同题型（数字、单项式、多项式、整体代换），遵循统一思路并灵活运用技巧，就能快速准确计算. （1）判断形式，确认适用； （2）确定a、b，明确对应项； （3）套用公式，逐项展开； （4）化简结果，合并同类项. 典｜例｜精｜析 1．（2x﹣y）2＝　 ． 变｜式｜巩｜固 1．计算：（x﹣2y﹣1）（1﹣x+2y）． 2．（1）计算：3（x﹣1）（x+3）﹣2（x﹣5）（x﹣2）； （2）计算：（﹣2x﹣5）2﹣（5﹣2x）2． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型03 利用完全平方公式进行简便运算 解题贴士 利用完全平方公式做简便运算，核心是凑整变形，将非整十、整百的数，或复杂整式转化为“整数/简单式 ± 小数/简单项”的平方形式，再套用公式计算． 典｜例｜精｜析 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）利用乘法公式计算：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）运用所学乘法公式进行简便运算： (1) (2) 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）运用乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 3．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）运用所学乘法公式进行简便运算： (1) (2) 题型04 利用完全平方公式进行化简求值 解题贴士 利用完全平方公式化简求值的核心是先通过公式化简整式，再代入数值计算 （1）分析原式，判断化简方向； （2）套用公式，彻底化简整式； （3）分析已知条件，选择代入方式 ①若已知条件为单个字母的值（如x=3，a=2），直接整理化简后的式子，准备代入； ②若已知条件为代数式的值（如2x+y=5，x-3y=2），无需求单个字母，直接将该代数式作为整体代入； ③若已知条件需变形转化，直接代入变形后的条件； （4）代入计算，得出最终结果． 典｜例｜精｜析 1．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）先化简，再求值： ，其中，． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）先化简，再求值：，其中，． 2．（25-26七年级下·四川成都·期末）先化简，再求值：，其中和互为倒数． 3．（25-26七年级下·江西景德镇·期中）先化简，再求值：，其中，． 题型05 求完全平方式中的参数 解题贴士 求完全平方公式中的字母系数，核心是紧扣完全平方式的结构特征，列方程（组）求解，关键在于找准完全平方式的“首项、尾项、中间项”，利用对应关系建立等式． （1）判断形式，锁定完全平方式类型； （2）拆分平方项，确定首尾项的底数； （3）根据中间项特征，列等式； （4）解方程（组），求字母系数的值． 典｜例｜精｜析 1．（26-27八年级上·四川眉山·期中）要使是完全平方式，那么的值为（     ） A． B．5或 C． D．或7 变｜式｜巩｜固 1．（26-27七年级上·上海普陀·期中）若关于的整式是某个关于的整式的平方，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26七年级下·湖南常德·期末）若是完全平方式，则的值是（     ） A．10 B．10或 C． D．5或 3．（2025秋•牡丹江期末）若4x2+mx+9是完全平方式，则（6m4﹣8m3）÷（﹣2m2）+3m2的值是（　　） A．±48 B．±24 C．48 D．24 题型06 规律探究型问题 解题贴士 （1）审题与分析：明确题目背景，分清已知条件和待求问题，理解变量含义； （2）初步观察与列举：写出前3-5个具体实例； （3）寻找变化规律； （4）提出猜想：根据数据尝试写出第n项的表达式； （5）验证与修正：用n=1，2，3检验猜想是否正确； （6）归纳结论． 典｜例｜精｜析 1．（24-25七年级上·四川宜宾·阶段检测）探究式子与式子的关系． (1)请分别计算当时两个式子的值． (2)通过计算结果猜想两个式子在数量上存在什么样的关系，请写出你发现的数量关系： ，并利用你发现的规律计算：的值． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·广西桂林·阶段检测）【教材呈现】以下是新湘教版教材第页题改编： 已知是含字母的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，求． 【自主解答】解：根据两个数和或差的平方公式，分情况讨论： 当为含字母的一次单项式时，原式可以表示为关于的二项式的平方． 【解后反思】 ①上述解答过程得到等式：；同理可得， 观察等式左边多项式的系数发现：． ②结合多项式的因式分解，又如： ；， 发现这两个多项式的系数规律：，． ③一般地：若关于的二次三项式（、、是常数）是某个含的二项式的平方，则其系数、、一定存在某种关系． (1)请你写出系数、、之间存在的这种关系式：__________________； 【解决问题】 (2)若多项式加上一个含字母的单项式，就能表示为一个含的二项式的平方，请直接写出所有满足条件的单项式； (3)若关于的多项式是一个含的多项式的平方，求实数的值． 2．（26-27八年级上·北京·期中）对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质，例如代数式，若将其写成的形式，就能看出不论字母取何值，它都表示正数；若将它写成的形式，就能与代数式建立联系．下面我们改变的值，研究一下，两个代数式取值的规律： 0 1 2 17 10 5 p 1 10 5 2 1 q (1)表中______，______； (2)观察表格可以发现： 若时，，则时， .我们把这种现象称为代数式参照代数式取值延后，此时延后值为1． ①若代数式参照代数式取值延后，相应的延后值为3，请直接写出代数式； ②已知代数式 参照代数式取值延后，请直接写出的值． 3．（25-26七年级下·广东深圳·期末）【教材呈现】教材七年级下册第一章课后习题： 11．观察下列各式： ，，，…… 个位数字是5的两位数平方后，结果末尾的两个数字有什么规律？为什么？你还能找到哪些类似的规律？试举一例． (1)依据上述等式的规律，填空：______； (2)【拓展探究】同学们进一步思考发现：十位数字相同，个位数字和为10的两个两位数相乘，也可以用类似的规律进行计算． 例如：， ， ， …… 依据上述等式的规律，写出计算的过程与结果：____________________； (3)设两个两位数的十位数字为，个位数字分别为，，且，请用代数式表示上述规律，并说明理由． 题型07 几何背景 解题贴士 （1）画图：画大长方形，按项分段标上字母； （2）分块：横竖分段，标出每一小块长和宽； （3）算面积：每块面积=长×宽，全部相加； （4）合并同类项：整理成最简多项式． 典｜例｜精｜析 1．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（     ） A．10 B．20 C．30 D．40 变｜式｜巩｜固 1．（26-27七年级上·上海普陀·期中）如图，正方形A的边长为，正方形B的边长为（）． 图1：将正方形B放置在正方形A内部，图中阴影部分的正方形面积为7； 图2：将正方形A、正方形B并列摆放，构造边长为的大正方形，图中阴影部分的面积为18． (1)根据图形直接写出的值为___________； (2)求图2最大正方形的面积． 2．（25-26七年级下·贵州毕节·期末）我国著名数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法之一．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)下图给出的甲、乙、丙3个正方形分割方案，分别验证了以下乘法公式： ①  ②  ③ 甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为________． (2)利用（1）中所得到的乘法公式，解决下面的问题： ①若，，求的值； ②若，求的值． 3．（26-27八年级上·河南周口·期中）在数学学习中，借助几何图形可以直观解释整式乘法公式．如图1是由4个长为、宽为的小长方形围成的一个大正方形．请解答以下问题： (1)【观察思考】图1中空白部分的小正方形面积可以表示为___________________，也可以表示为___________________； (2)【数学理解】由此可以得出代数式，，之间的等量关系为________________________； (3)【类比应用】图2是由2个直角边分别为，的等腰直角三角形和2个两直角边为，的直角三角形拼成的一个四边形，若，，求四边形的面积． 题型08 新定义问题 解题贴士 （1）先读懂定义，圈出关键词，题目会给你一个新符号，把它翻译成：左边是什么，右边是什么，怎么运算； （2）严格照抄规则，不要自己创造，它怎么定义，你就原样代入，不联想以前的公式，不脑补、不创新； （3）把数字/式子精准替换进定义里，有括号先算括号里的； （4）变成我们学过的运算，按学过的方法正常算就行． 典｜例｜精｜析 1．（26-27九年级上·河北保定·阶段检测）配方法是数学中重要的一种方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们规定：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，10是“和谐数”，理由：因为，所以10是“和谐数” 【解决问题】 (1)判断40是否为“和谐数”_____．（填“是”或“否”） 【综合运用】 (2)若可配方成（m，n为常数），则的值_____； (3)已知（a，b是整数，k是常数），要使M为“和谐数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）对于任意有理数，定义一种新运算：． (1)______； (2)对于有理数、，若，． ①求的值： ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点在同一条直线上，点在边上，连接．若，图中阴影部分的面积为45，求的值． 2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）现定义一种新运算“”，对于任意有理数a，b，c，d规定．例如：．请解答下列问题： (1)填空：______； (2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； (3)如图，在六边形中，对角线和相交于点G，当四边形和四边形都为正方形时，设正方形和正方形的边长分别为a，b，若，，求出阴影部分的面积． 3．（25-26七年级下·湖南郴州·期中）定义，如．已知，已知（为常数）． (1)若，求的值； (2)若的代数式中不含的一次项，求n的值． 题型09 配方法 解题贴士 将二次三项式转化为一个完全平方式与一个常数项的和，从而简化运算或求最值 （1）若二次项系数不为1，则提取二次项系数； （2）接着对括号内的二次项和一次项凑平方，即加上并减去一次项系数一半的平方． 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·全国·阶段检测）【阅读材料】我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ， 当时，有最小值－4． 【解答问题】 (1)求代数式的最小值； (2)若，有最大值还是最小值？求出这个最值； 变｜式｜巩｜固 1．（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用． 例如：利用配方法求最小值：求代数式的最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空： (2)将变形为的形式，并求出的最小值． (3)如图，某农场计划利用一面足够长的承重墙，再用总长为的篱笆围成一个长方形菜园，长方形一边平行于承重墙．设垂直于墙的边长为，菜园的面积为，求的最大值． 2．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即.例如：，，是的三种不同形式的配方. 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)已知，求的值. 3．（25-26八年级上·吉林长春·期中）阅读材料： 求多项式的最值．分析：求二次三项式的最大值或最小值可以通过配成完全平方式的形式来求出． ， 无论取何值，， ∴， ∴时，有最小值是2． 解决问题： (1)请在序号处填上数字，完成多项式的配方过程： (2)求多项式的最值． (3)式子有最______值（填“大”或“小”），是______． (4)如图，一边靠墙（墙足够长），其余三边用长为12米的栅栏围成一个长方形鸡舍，则围成的鸡舍的最大面积是______平方米． 题型10 大小比较 解题贴士 作差法：与0比较；若大于0，则大；小于0，则大；等于0，相等 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）已知，． (1)对，进行整式乘法运算； (2)甲、乙两位同学用如下方法比较，的大小． 作差法：与0比较；若大于0，则大；小于0，则大；等于0，相等． 甲认为：大于； 乙认为：不小于． 通过计算判断谁的说法正确． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）“分类讨论”是数学学习中的一种重要方法，比如：比较和4的大小，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，．“数形结合”是直观理解数学的一种方法，比如表示长和宽分别为4和a的长方形的面积，表示边长为a的正方形的面积． (1)若，则___________； (2)若，则a的取值范围是___________ (3)当a和b为正数时，画出图形，比较和的大小． 2．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）探寻规律，解决问题： (1)【观察探索】 比较与的大小： ①当，时，______（填“>”“<”或“=”）； ②当，时，______（填“>”“<”或“=”）； (2)【猜想证明】 通过上面的填空，猜想与的大小关系，并证明： (3)【问题解决】 如图，点在线段上，以，为边，在线段的两侧分别作正方形、正方形，连接，设两个正方形的面积分别为，．若的面积为，求的最小值； 3．（25-26八年级上·云南曲靖·期末）我们规定：若两个非零实数与满足，则称这两个数为“伴侣数”，并定义（为正整数）． 例：已知与为伴侣数，且，求的值． 解：与为伴侣数 即 根据以上信息，解答下列问题： (1)已知与为伴侣数，，求的值； (2)已知与为伴侣数，，试比较与的大小． 题型11 变形公式 解题贴士 1. 审题圈量：圈出题目给的是哪两个量，目标求什么（分清是和、差、积、平方和）； 2. 选对公式：对照四个量的关系，挑选匹配的变形公式； 3. 代入数值：带数计算，注意符号，负数整体加括号； 4. 化简计算：先算平方，再算乘除，最后加减； 5. 检验复盘：代入回原式验算，检查有没有符号、漏系数错误。 典｜例｜精｜析 1．（26-27八年级上·重庆江北·阶段检测）已知，，则的值为（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，，那么等于_______． 2．（26-27七年级上·上海虹口·期中）如果，，那么的值为________． 3．（26-27八年级上·甘肃天水·期中）已知，．求下列代数式的值： (1) (2) 基础通关 1．（2026·四川遂宁·中考真题）下列计算错误的是(   ) A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·陕西·期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（     ） A． B． C． D． 3．（2025秋•闽清县期末）两个完全相同的长方形如图放置，每个长方形的面积为32，图中阴影部分的面积为24，则每个长方形的周长为（　　） A．12 B．18 C．24 D．36 4．（2025秋•饶平县期末）已知a＝x+2026，b＝x+2024，c＝x+2025，当a2+b2＝8，则c2的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 5．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）一个正方形的边长为 cm，则它的面积是__________ （结果用含 a 的多项式表示）． 6．（26-27七年级上·上海青浦·阶段检测）已知，，则_________． 7．（26-27七年级上·上海浦东新·阶段检测）已知关于x的整式是某个关于x的整式的平方，那么k的值是______． 8．（2025秋•洪雅县期末）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式，若6，则x＝　　 ． 9．（2025秋•固原校级期末）已知多项式（2x﹣1）2＝ax2+bx+c，则a+b+c＝　　 ． 10．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）计算： (1)； (2) (3) (4) 11．（24-25七年级下·贵州毕节·期中）简便运算： (1)； (2)． 12．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）计算、化简 (1)计算：． (2)计算：． (3)先化简，再求值：，其中，． 13．给出以下等式： (1)观察以上各式的规律，可以得到： ________（直接写结果，其中n为正整数） (2)利用以上等式，完成下列两题： ①对任意的实数a，试比较与1的大小关系； ②求值： 14．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）若满足，求的值． 解：设，，则，． (1)请仿照上面的方法求解：若满足，求的值． (2)若，求的值． 15．（25-26八年级下·山东青岛·期末）对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1)______； (2)如图，四边形是正方形，边长，P在正方形内部，过点P分别作、的垂线与、、、相交于点E、F、G、H，连接、，，，且．求图中阴影部分的面积是多少？    素养提升 16．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）已知，则________． 17．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）分解下列因式：，，，观察上述三个多项式的系数，有，，．若多项式是完全平方式，那么系数，，之间一定存在某种关系．若多项式和都是完全平方式，则利用观察得到的规律可得的值是________． 18．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）我们可以将进行变形，得到，等．请灵活利用这些变形解决下列问题： (1)已知，则_____； (2)若满足，求的值； (3)如图，四边形是梯形，，连接，若，求图中阴影部分的面积． 19．（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）结合提供的素材，解决相关问题． “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式． 素材 如图，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等面积法，我们可以得到一个等式：    利用上述公式解决问题： (1)若，，求的值； (2)若，求的值； (3)如图，在线段上取一点D，分别以，为边作正方形、，连接、、．若的长为，的面积为，求阴影部分的面积和．    20．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段检测）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，即时的值最小，最小值是1． 即的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成（、是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）①已知13是“完美数”，请将它写成（、是正整数）的形式______； ②配方：； 【探究问题】 （2）①已知，则______； ②已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （3）已知实数、满足，当______时，最小值为______． 21．（26-27八年级上·海南海口·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们理解数学问题． (1)①如图1，将边长为的正方形分割成四部分，则________； ②用4个长和宽分别为、的长方形拼成如图2的正方形，则________； 【阅读理解】“若满足，求的值” 解：设，， 则， 【解决问题】 (2)若满足，则的值为________； (3)如图3，正方形的边长为，，，长方形的面积是180，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体的数值） 迁移创新 22．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）已知整式，其中，…，为自然数，与均为正整数．例：当，时，．下列说法：①若，则符合条件的整式中二次二项式有4个；②若，则符合条件的整式有7个；③若，且整式是二次三项式，则的值一定是正数．其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 23．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）已知个数，，…从，，中取值．若，且，则的值为________． 24．（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）对完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，所以，即：， 又因为，所以． 根据上面的解题思路与方法，请你解决下列问题： (1)若，= 22，求的值； (2)填空： ①若，则 ______； ②若 ，则 ______； (3)如图，学校有一块梯形空地，对角线于点E，，．学校计划在和区域内种花，已知种花区域的面积和为，对角线，求种草区域（和）的面积和． 25．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）综合与实践：探究图式之间的内在联系 观察下列图形，思考图形中点的排列规律，抽象出数学等式，探究点的总个数． 任务一：下列是两位同学采用了不同方法进行探究，请你完善他们的探究过程． (1)明明将这些点分为两类，一类是实心点构造的正方形点阵，一类是空心点构造的正方形点阵，这样图1点的总数可表示为，图2点的总数可表示为，图3点的总数可表示为，图4点的总数可表示为，…，图点的总数可表示为_________； (2)欣欣用虚线将这些点进行连接，图1的点可以表示为，图2的点可以表示为，图3的点可以表示为，图4的点可以表示为，欣欣思考这种连接方式下，图5中最长虚线上共有________个点，她结合明明的探究，猜想两种方法利用图建立的等式：__________________； 任务二： (3)由两位同学的探究结果，我们可以获得从1开始，连续个奇数的和，即______________________； 任务三： (4)应用任务二探究得到的结论，计算：． 7 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $