16.3.2完全平方公式讲义-2025-2026学年人教版 八年级数学上册

第十六章 整式的乘法 第五节 完全平方公式 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1完全平方公式 2 题型精讲1运用完全平方公式进行运算 5 题型精讲2通过对完全平方公式变形求值 6 题型精讲3完全平方公式在几何图形中的应用 7 题型精讲4求完全平方式中的字母系数 7 题型精讲5整式的混合运算 8 03拓展培优 12 04课堂检测 19 知识思维导图 课程学习目标 知识技能：理解完全平方公式（)，)）的推导过程，掌握公式结构特征（两数和 / 差的平方）及逆用方法，能规范运用公式计算，契合新教材知识编排。 素养能力：通过多项式乘法推导公式、辨析公式与平方差公式的区别，发展逻辑推理与代数运算能力，对接新中考对公式直接应用、简便计算的基础考查要求。 情感应用：运用公式解决整式化简、实际问题中的面积计算等问题，感受公式简化运算的价值，为后续因式分解、二次函数学习奠基。 【新知学习】 【知识点1】 完全平方公式 1. 完全平方公式 ，.也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的)完全平方公式． 2. 完全平方公式的探究 图（1）中大正方形的面积的两种表示方法：，，故． 图（2）中阴影部分的面积的两种表示方法：，，故． 3. 特点 （1）两个公式的等号左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个符号不同； （2）等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是等号左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个符号不同． 边学边练下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 题型精讲 题型精讲1运用完全平方公式进行运算 【例题1】若，则的值为（    ） A．4 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式应用；根据题意将展开整理后，然后利用等式的性质即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：A； 【变式训练1】（1）计算：； （2）解方程：； （3）先化简再求值：，其中． 【答案】（1）6；（2）；（3），5 【分析】本题考查了有理数混合运算、一元一次方程的解法、整式的化简求值，掌握乘方运算法则、整式的混合运算法则、解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． （1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （2）利用解一元一次方程的一般步骤解出方程即可； （3）根据完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，把x的值代入计算得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得； （3） ， 当时，原式． 【变式训练2】先化简，再求值：其中，． 【答案】； 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．先根据完全平方公式和平方差公式，单项式乘多项式运算法则，进行化简，然后代入数据进行计算即可． 【详解】解： ＝ ＝， 当，时， 原式． 【变式训练3】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式以及多项式除以单项式的运算法则，熟练掌握这些公式和运算法则是解题的关键．先利用完全平方公式、单项式乘多项式、平方差公式展开并化简括号内的式子，再进行多项式除以单项式的运算，最后代入的值求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型精讲2通过对完全平方公式变形求值 【例题1】已知 ，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，通过对完全平方公式变形求值，解题关键是掌握通过对完全平方公式变形求值． 通过对完全平方公式变形，再整体代入求值． 【详解】解：当，时， ， 故答案为：． 【变式训练1】已知，，则的值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查完全平方公式，利用已知条件和，代入公式求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练2】已知，求下列代数式的值： (1)； (2) 【答案】(1)29 (2)33 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形： （1）根据，把已知的式子代入即可求解； （2）根据，把已知的式子代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）得：， ∴． 【变式训练3】先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了整式混合运算、求值，先根据整式的运算法则把整式化简，可得：原式，把等式变形可得，根据平方的非负性，可得：，，再把字母的值代入化简后的代数式求值即可． 【详解】解： ， ， 整理得：， ，， ，， 原式 ． 题型精讲3完全平方公式在几何图形中的应用 【例题1】如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为18，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2、图3中正方形纸片均无重叠部分），则图3阴影部分面积为 ． 【答案】38 【分析】此题考查完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解图形的构成，正确掌握完全平方公式是解题的关键．由图1可知，阴影部分面积，图2可知，阴影部分面积，进而得到，由图3可知，阴影部分面积，进而即可求解． 【详解】解：设A卡片的边长为a，B卡片的边长为b，则A卡片的面积为，B卡片的面积为， 图1中阴影部分的面积可以表示为，由题意可知，， 图2阴影部分的面积可以表示为，由题意可知，， 图3阴影部分的面积可以表示为 ， 故答案为：． 【变式训练1】如图，两个正方形边长分别为，．已知，阴影部分的面积为14，则值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查完全平方公式与图形的问题，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；由题意易得，，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 故选C． 【变式训练2】以下图形的面积能说明的关于、的完全平方公式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形，数形结合是解题的关键．根据灰色的左下方的正方形面积为，也可以表示为，即可求解． 【详解】解：灰色的左下方的正方形面积为，也可以表示为， ， 故答案为：． 【变式训练3】先在如图1边长为的正方形纸片中剪下一个边长为1的正方形，再将剩余部分（即图1中的阴影部分）剪拼成一个如图2的长方形．若图2的长方形的宽为，则长为 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算与图形的面积转化，熟练掌握平方差公式和长方形、正方形的面积公式是解题的关键． 先分别求出图1阴影部分的面积，再根据图2长方形的面积与阴影部分面积相等，结合长方形的宽求出长． 【详解】解：∵阴影部分面积为， ∴长方形的长为， 故答案为：． 题型精讲4求完全平方式中的字母系数 【例题1】下列多项式属于完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方式的判定，依据完全平方公式结构特征分析，关键是准确把握 的形式，易错点是对中间项系数和常数项的判断不准确； 解题思路是根据完全平方公式的结构，逐一分析选项是否符合 的形式即可． 【详解】解：完全平方式必须能表示为 ， 选项 A：，若 , ，则 ，不符合题意； 选项 B：，可化为 ，符合题意； 选项 C：，若 ,，则 ，不符合题意； 选项 D：，常数项为负，不符合题意； 故选 B． 【变式训练1】若是完全平方式，那么k的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方式．根据完全平方式的性质，可得出答案． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式训练2】若是一个完全平方式，则的值等于（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m的值．     此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【详解】解：∵为完全平方式， ， ∴． 故选：C 【变式训练3】若是完全平方式，则 ． 【答案】9或/或9 【分析】本题考查完全平方式，由，再通过比较系数确定参数的值． 【详解】解： ， 解得或， 故答案为：9或． 题型精讲5整式的混合运算 【例题1】先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值．用完全平方公式和平方差公式展开，合并同类项，代入a，b的值即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式． 【变式训练1】先化简，再求值：，其中． 【答案】，7 【分析】本题考查整式化简求值，涉及平方差公式、单项式乘以多项式等知识，熟记整式乘法公式是解决问题的关键． 先由平方差公式、单项式乘以多项式展开，再合并同类项即可得到化简结果，再将代入化简结果计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式训练2】先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算和化简求值．先利用完全平方公式、平方差公式计算，再合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入求值即可． 【详解】解：原式 当时， 原式． 【变式训练3】（1）计算：； （2）运用乘法公式计算：． 【答案】（1）（2） 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，平方差和完全平方公式，解题的关键是掌握整式运算的法则． （1）先进行乘除运算，再进行加减运算； （2）先利用平方差公式运算，再进行完全平方运算． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【拓展培优】 【典例1】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知整式，其中，为正整数，，，，为自然数，且．下列说法中： ①在所有满足条件的整式中，单项式共有5个； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有6个； ③满足条件的所有二次多项式中，当取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有3个．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的相关概念及分类讨论思想，熟练掌握根据条件对取值分类讨论并计算满足条件的整式个数是解题的关键．根据已知条件（为自然数，为正整数 ），对的可能取值进行分类讨论，分别计算不同值下满足条件的整式的个数，再据此判断三个说法的正误． 【详解】解：当时， ，为正整数，，即（，为自然数 ）． 时，，整式为； 时，，整式为； 时，，整式为； 时，，整式为；共个整式． 当时， ，为正整数，，即（，为自然数 ）． 时，： ，，整式为； ，，整式为； ，，整式为； 时，： ，，整式为； ，，整式为； 时，，，整式为； 共个整式． 当时： ，为正整数，，即（，为自然数 ）． 时，： ，，，整式为； ，，，整式为； ，，，整式为； 时，，，，整式为； 共个整式． 当时： ，为正整数，，即（，为自然数 ）． 则，，整式为，共个整式． 对于说法①，满足条件的单项式有时的（个 ）、时的（个 ）、时的（个 ）、时的（个 ），共个单项式，说法①错误． 对于说法②，当时，满足条件的整式有个，所以“不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有个”说法②错误． 对于说法③，满足条件的整式有，，，，，，其中，，，，即当取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有4个，说法③错误． 综上，三个说法都错误， 故选：． 【变式训练1】（24-25七年级下·山东济南·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，有如下结论： ①； ②是8的倍数； ③为正整数，且，若是“和谐数”，则； ④为正整数，且，若和都是“和谐数”，则也是“和谐数”． 则上述结论正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①根据 “和谐数”的定义，观察规律，即可得到的值； ②根据①中找出的规律进行计算即可判断此结论的正误； ③将整理为，由“和谐数”的定义即可得出的值； ④是“和谐数”， 由②知“和谐数”都是8的倍数，可设，则可为1，当，时计算得不是8的倍数，故不是“和谐数”． 【详解】① 观察“和谐数列”可知，设下标为，则被减数的底数为，减数的底数为， 即； ． 故①正确； ②根据①找出的规律知： ， 是8的倍数． 故②正确； ③ 由“和谐数”的定义得可为9． 故③错误； ④是“和谐数”， 可设， 得， 可取得， 则，符合“和谐数”的定义， 假设，， 此时不是8的倍数， 不是”和谐数”． 故④错误． 故选B． 【变式训练2】（25-26七年级上·北京·期中）若，，，满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，同底数幂的乘法；通过引入变量代换，利用不等式取等条件确定各变量值，进而计算平方和． 【详解】解：设,,,， ∴原方程化为， ∵，，，， ∴不等式（当且仅当时取等），（当且仅当时取等），（当且仅当时取等），（当且仅当时取等）， ∴各式相乘得， 当且仅当,,,时取等，此时方程成立， ∴得，得，得，得， ∴． 【变式训练3】（25-26八年级上·辽宁·期中）观察下列等式： ，，，，… 我们发现，两个数的和为60，这两个数差的绝对值越小，积越大，当这两个数相等时，这两个数的积最大为900．即，当时，的最大值为900． 利用我们学过的完全平方公式证明如下：因为，所以，则，因为，所以，所以当时，式子的值最大为900，此时，． 根据以上材料，解决下面问题： (1)求的最大值； (2)一个长方形的周长为40，求这个长方形面积的最大值； (3)已知，请判断有最大值还是有最小值，并求出的最大（小）值． 【答案】(1)的最大值为25 (2)长方形面积的最大值为 (3)有最小值，最小值为 【分析】本题主要考查了配方法，完全平方公式，解题的关键是掌握配方法． （1）利用配方法整理代数式，然后求出最值即可； （2）设长方形的一边长为，则它的邻边长为，利用配方法整理代数式，然后求出最值即可； （3）对原式进行变形得出，利用配方法整理代数式，得出最值即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 当时，的值最大为25， 的最大值为25； （2）解：设长方形的一边长为，则它的邻边长为， 长方形的面积 ， ， ， 当时，的值最大为100， 长方形面积的最大值为； （3）解：有最小值，最小值为，理由如下： ， ， ， ， 当时，式子有最小值， 有最小值， 当时，， 的最小值为， 有最小值，最小值为． 【典例2】（25-26八年级上·江苏南通·期中）设实数x，y，z满足，则代数式的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查通过对完全平方公式变形求值，已知式子的值求代数式的值，根据，得出，，再分别代入，整理得，因为，故，则，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则 ， ∵， ∴， 则， 即代数式的最大值为3， 故选：C． 【变式训练1】（25-26七年级上·重庆·期中）（原创）一个三位自然数，将它各位数字倒序排列后得到一个新的三位数，用新的三位数减去原来的三位数，得到的结果叫做的“逆差数”，记为．例如：，．则 ．若是一个完全平方数，且与的和能被3整除，则满足条件的的个数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义运算、完全平方数以及数的整除性，熟练掌握新定义的理解、完全平方数的性质以及数的整除规律是解题的关键．按照“逆差数”的定义，直接计算的倒排后的三位数与原三位数的差值．先设三位数（其中、、为整数，，，），推导“逆差数”的表达式，再结合完全平方数和能被3整除的条件，分析满足条件的数字组合数量． 【详解】解：已知，将其各位数字倒排后得到的三位数是． ． 设三位数（其中、、为整数，，，），则其各位数字倒排后的三位数为． 所以“逆差数”． 因为是完全平方数，是完全平方数， 所以也必须是完全平方数． 又因为，， 所以的取值范围是，且为整数． 要使是完全平方数，结合的范围，只有当时，（是完全平方数）．此时． 接下来分析能被整除的情况． 将变形为， 因为能被整除， 所以只需能被整除即可． 分别讨论从到时的可能取值： 当时，，可取、、，共个； 当时，，可取、、，共个； 当时，，可取、、、，共个； 当时，，可取、、，共个； 当时，，可取、、，共个； 当时，，可取、、、，共个； 当时，，可取、、，共个； 当时，，可取、、，共个； 当时，，可取、、、，共个． 将所有情况相加：． 故答案为：；． 【变式训练2】（25-26八年级上·江苏南通·期中）若实数a，b满足，则ab的最小值是 ，令，则S的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的非负性、整式的化简求值，熟练掌握完全平方公式的变形及整式化简方法是解题的关键． 先利用完全平方公式的非负性确定的取值范围，进而求出的最小值；再对进行化简，结合的取值范围求出的取值范围． 【详解】解：①∵ ， ∴ ， ∵ ，即， ∴ ，即， 解得， ∵ ，即， ∴ ，即，解得， ∴ 的取值范围为，故的最小值为， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 当时，； 当时，， ∴ 的取值范围为， 故答案为：，． 【典例3】（25-26八年级上·重庆·期中）综合与实践 【主题】借助图形直观，感受数与形之间的关系． 【实践操作】在一次数学实践活动中，学校数学兴趣小组准备了如图1所示的三种形状纸片各若干张，其中纸片是边长为的较小正方形纸片，纸片是宽为、长为的长方形纸片，纸片是边长为的较大正方形纸片． （1）小育同学用图1中张纸片，张纸片，张纸片拼出一个面积为的长方形，则______； （2）观察图2的面积关系，写出正确的等式________________________； 根据得到的代数恒等式，完成填空：若，，则______； 【知识迁移】类似地，我们还可以通过对立体图形进行变换来得到一些代数恒等式． 通过不同的方法表示同一个正方体的体积，如图3，棱长为的正方体被分割成8块．则有__________________________________________． 【拓展延伸】 （3）已知，，请运用探索得到的规律求出的值． 【答案】（1）0；（2），70，；（3） 【分析】本题主要考查了完全平方公式、立方和公式的几何背景及因式分解的应用，熟练掌握代数恒等式的几何意义和公式变形是解题的关键． （1）先将展开，再根据三种纸片的面积确定、、的值，最后计算． （2）先根据图2的面积关系得出代数恒等式，再利用恒等式结合已知条件计算．知识迁移：根据图3正方体的分割，用不同部分的体积和表示正方体体积，得出代数恒等式． （3）先根据已知条件求出的值，再将因式分解，结合前面的结果计算． 【详解】（1） ∵纸片面积为，纸片面积为，纸片面积为， ∴，，． ∴， 故答案为：． （2）图2大正方形面积为，也可表示为， ∴等式为． ∵，， ∴ ， ， ， 故答案依次为：；． 知识迁移：， 故答案为：． （3）解：，， ， ， 原式． 【变式训练1】（25-26八年级上·河南鹤壁·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们理解数学问题． 【公式推导】 （1）①如图1，将边长为的正方形分割成四部分，可得_______； ②如图2，用4个长和宽分别为的长方形拼成一个大正方形，可得______； 【阅读理解】“若满足，求的值．” 解：设，则．． 【解决问题】 （2）若满足，求的值； （3）如图3，正方形的边长为，长方形的面积是132，四边形和都是正方形，四边形是长方形，请直接写出图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体的数值） 【答案】（1）①；②；（2）660；（3）553 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，熟练掌握公式及整体思想是解题的关键． （1）①根据等面积法即可得到答案； ②根据等面积法即可得到答案； （2）运用题干所给的方法进行计算即可； （3）根据题意易得、的长，然后结合图形、运用题干所给的方法求解即可． 【详解】解：（1）①由图1的面积可得：． ②由图2正方形的面积可得：． （2）设，， 则， ， ； （3）矩形的面积， 设，， 则 ∴阴影部分的面积 ． 答：阴影部分的面积为553． 【变式训练2】（25-26八年级上·湖南长沙·期中）若满足，求解的值过程如下：设，，则，，则． 请仿照上面的整体思想，结合所学乘法公式求解下面的问题： (1)若满足，求解的值时，设，，则，__________； (2)若满足，求的值； (3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，长方形的面积是30，分别以、为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)5，19 (2)10 (3)阴影部分的面积为11． 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，完全平方公式的几何背景，理解例题的解题思路是解题的关键． （1）按照例题的解题思路，进行计算即可解答； （2）按照例题的解题思路，进行计算即可解答； （3）根据已知可得，然后按照例题的解题思路，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：设，， 则，， ∴； （2）足，求的值 解：设， ∴，， ∴； （3）解：∵正方形的边长为x， ∴， ∵， ∴， ∵长方形的面积是30， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积 ， ∴阴影部分的面积为11． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·浙江台州·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题考查整式的运算，涉及同底数幂的乘除、积的乘方和完全平方公式，需逐一验证各选项的正确性即可. 【分析】解：A、，故A符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知实数a，b满足，，则的值是（   ） A．49 B．37 C．36 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式． 利用完全平方公式展开并代入已知条件即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 3．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，涉及完全平方公式、分配律、积的乘方和同底数幂相乘法则．需逐一验证各选项的正确性． 【详解】A：，故选项A错误． B：，故选项B错误． C：，故选项C错误． D：，故选项D正确． 故选D． 4．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项法则，单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式进行计算，再得出选项即可． 本题考查整式的运算，熟练掌握合并同类项法则，单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：A、与不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D 5．（24-25八年级上·河南信阳·期末）若是一个完全平方式，则m的值（ ） A．10 B． C．20 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查完全平方公式，根据两平方项确定出这两个数，再根据二倍乘积项求解． 这里首末两项是和5的平方，那么中间项为加上或减去和5的乘积的2倍． 【详解】解：是完全平方式， ， 解得． 故选． 6．（25-26八年级上·全国·期末）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式、单项式乘单项式、合并同类项及积的乘方，掌握相关的法则是解题的关键．根据完全平方公式、单项式乘单项式、合并同类项及积的乘方进行计算，逐一判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：B． 7．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． 先由平方差公式进行两次计算，再由完全平方公式计算． 【详解】解： ， 故选：B． 8．（25-26八年级上·全国·期末）若 ，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的运用，利用平方差公式可得，进而可得，再根据完全平方公式的变形运算即可求解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式的运用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：． 二、填空题 9．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）图为边长分别为、的正方形纸片、，以及长为、宽为的长方形纸片，现将一张卡片放在卡片的内部得图，将一张卡片和一张卡片并列放置后构造新的正方形得图若图和图中阴影部分的面积分别为和，求图中新正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．根据题意可得，，根据求出即可． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 图中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为， 图阴影部分可以看作大正方形与两个小正方形的面积差，即，即， 图和图中阴影部分的面积分别为和， ，， ， ， ， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·陕西西安·期末）已知，，则的值是 ． 【答案】16 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键．将利用完全平方公式展开，再将已知数值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：16． 11．（25-26八年级上·河南周口·阶段练习）若代数式是一个完全平方式，则 ． 【答案】或10 【分析】把写成，解答即可； 本题考查了完全平方公式的变形计算，熟练掌握公式变形是解题的关键． 【详解】解：∵是一个完全平方式， 故将写成， 根据多项式对应项的系数相等，得到， 故答案为：或10． 12．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，两个边长分别为和的正方形如图（1）放置，其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图（1）中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图（2）），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．若，，则 ． 【答案】45 【分析】本题主要考查了整式的加减的应用，利用完全平方公式进行求解，根据图形之间的关系进行推导计算是解题关键． 先根据图形表示出，然后再利用完全平方公式进行化简代入求值即可． 【详解】解：，， ∴， 将，代入上式得， 原式， 故答案为：45． 三、解答题 13．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查单项式乘以单项式，完全平方公式，正确计算是解题的关键： （1）根据单项式乘以单项式法则计算即可； （2）根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：． 14．（24-25八年级下·江西赣州·期末）化简：． 【答案】 【分析】先运用完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则去括号后，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，涉及的知识有平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式以及合并同类项法则，熟练掌握法则及公式是解本题的关键． 15．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】；4 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．先根据整式混合运算法则进行化简，然后代入数据进行计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 16．（24-25七年级下·全国·期末）计算以及化简求值 (1) (2)y (3) (4) (5) (6)，其中，． 【答案】(1) (2) (3) (4)2015 (5) (6)， 【分析】本题考查整式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）根据单项式除单项式，单项式乘单项式运算法则计算即可； （3）运用完全平方公式展开后，合并同类项即可； （4）运用平方差公式进行简便计算； （5）添括号后，运用平方差公式，完全平方公式计算即可； （6）先计算积的乘方，再根据多项式除单项式运算法则将式子化简，最后代入值计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：y ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ， 当，时， 原式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十六章 整式的乘法 第五节 完全平方公式 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1完全平方公式 2 题型精讲1运用完全平方公式进行运算 5 题型精讲2通过对完全平方公式变形求值 6 题型精讲3完全平方公式在几何图形中的应用 7 题型精讲4求完全平方式中的字母系数 7 题型精讲5整式的混合运算 8 03拓展培优 12 04课堂检测 19 知识思维导图 课程学习目标 知识技能：理解完全平方公式（)，)）的推导过程，掌握公式结构特征（两数和 / 差的平方）及逆用方法，能规范运用公式计算，契合新教材知识编排。 素养能力：通过多项式乘法推导公式、辨析公式与平方差公式的区别，发展逻辑推理与代数运算能力，对接新中考对公式直接应用、简便计算的基础考查要求。 情感应用：运用公式解决整式化简、实际问题中的面积计算等问题，感受公式简化运算的价值，为后续因式分解、二次函数学习奠基。 【新知学习】 【知识点1】 完全平方公式 1. 完全平方公式 ，.也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和， （或 ）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的)完全平方公式． 2. 完全平方公式的探究 图（1）中大正方形的面积的两种表示方法：，，故． 图（2）中阴影部分的面积的两种表示方法：，，故． 3. 特点 （1）两个公式的等号左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个符号不同； （2）等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是等号左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个符号不同． 边学边练下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 题型精讲 题型精讲1运用完全平方公式进行运算 【例题1】若，则的值为（    ） A．4 B．1 C． D． 【变式训练1】（1）计算：； （2）解方程：； （3）先化简再求值：，其中． 【变式训练2】先化简，再求值：其中，． 【变式训练3】先化简，再求值：，其中． 题型精讲2通过对完全平方公式变形求值 【例题1】已知 ，，则 ． 【变式训练1】已知，，则的值是 ． 【变式训练2】已知，求下列代数式的值： (1)； (2) 【变式训练3】先化简，再求值：，其中． 题型精讲3完全平方公式在几何图形中的应用 【例题1】如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为18，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2、图3中正方形纸片均无重叠部分），则图3阴影部分面积为 ． 【变式训练1】如图，两个正方形边长分别为，．已知，阴影部分的面积为14，则值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式训练2】以下图形的面积能说明的关于、的完全平方公式为 ． 【变式训练3】先在如图1边长为的正方形纸片中剪下一个边长为1的正方形，再将剩余部分（即图1中的阴影部分）剪拼成一个如图2的长方形．若图2的长方形的宽为，则长为 （用含的代数式表示）． 题型精讲4求完全平方式中的字母系数 【例题1】下列多项式属于完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】若是完全平方式，那么k的值是 ． 【变式训练2】若是一个完全平方式，则的值等于（   ） A．2 B． C． D． 【变式训练3】若是完全平方式，则 ． 题型精讲5整式的混合运算 【例题1】先化简，再求值：，其中，． 【变式训练1】先化简，再求值：，其中． 【变式训练2】先化简，再求值：，其中． 【变式训练3】（1）计算：； （2）运用乘法公式计算：． 【拓展培优】 【典例1】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知整式，其中，为正整数，，，，为自然数，且．下列说法中： ①在所有满足条件的整式中，单项式共有5个； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有6个； ③满足条件的所有二次多项式中，当取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有3个．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练1】（24-25七年级下·山东济南·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，有如下结论： ①； ②是8的倍数； ③为正整数，且，若是“和谐数”，则； ④为正整数，且，若和都是“和谐数”，则也是“和谐数”． 则上述结论正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练2】（25-26七年级上·北京·期中）若，，，满足，则 ． 【变式训练3】（25-26八年级上·辽宁·期中）观察下列等式： ，，，，… 我们发现，两个数的和为60，这两个数差的绝对值越小，积越大，当这两个数相等时，这两个数的积最大为900．即，当时，的最大值为900． 利用我们学过的完全平方公式证明如下：因为，所以，则，因为，所以，所以当时，式子的值最大为900，此时，． 根据以上材料，解决下面问题： (1)求的最大值； (2)一个长方形的周长为40，求这个长方形面积的最大值； (3)已知，请判断有最大值还是有最小值，并求出的最大（小）值． 【典例2】（25-26八年级上·江苏南通·期中）设实数x，y，z满足，则代数式的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练1】（25-26七年级上·重庆·期中）（原创）一个三位自然数，将它各位数字倒序排列后得到一个新的三位数，用新的三位数减去原来的三位数，得到的结果叫做的“逆差数”，记为．例如：，．则 ．若是一个完全平方数，且与的和能被3整除，则满足条件的的个数为 ． 【变式训练2】（25-26八年级上·江苏南通·期中）若实数a，b满足，则ab的最小值是 ，令，则S的取值范围是 ． 【典例3】（25-26八年级上·重庆·期中）综合与实践 【主题】借助图形直观，感受数与形之间的关系． 【实践操作】在一次数学实践活动中，学校数学兴趣小组准备了如图1所示的三种形状纸片各若干张，其中纸片是边长为的较小正方形纸片，纸片是宽为、长为的长方形纸片，纸片是边长为的较大正方形纸片． （1）小育同学用图1中张纸片，张纸片，张纸片拼出一个面积为的长方形，则______； （2）观察图2的面积关系，写出正确的等式________________________； 根据得到的代数恒等式，完成填空：若，，则______； 【知识迁移】类似地，我们还可以通过对立体图形进行变换来得到一些代数恒等式． 通过不同的方法表示同一个正方体的体积，如图3，棱长为的正方体被分割成8块．则有__________________________________________． 【拓展延伸】 （3）已知，，请运用探索得到的规律求出的值． 【变式训练1】（25-26八年级上·河南鹤壁·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们理解数学问题． 【公式推导】 （1）①如图1，将边长为的正方形分割成四部分，可得_______； ②如图2，用4个长和宽分别为的长方形拼成一个大正方形，可得______； 【阅读理解】“若满足，求的值．” 解：设，则．． 【解决问题】 （2）若满足，求的值； （3）如图3，正方形的边长为，长方形的面积是132，四边形和都是正方形，四边形是长方形，请直接写出图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体的数值） 【变式训练2】（25-26八年级上·湖南长沙·期中）若满足，求解的值过程如下：设，，则，，则． 请仿照上面的整体思想，结合所学乘法公式求解下面的问题： (1)若满足，求解的值时，设，，则，__________； (2)若满足，求的值； (3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，长方形的面积是30，分别以、为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·浙江台州·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知实数a，b满足，，则的值是（   ） A．49 B．37 C．36 D．7 3．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河南信阳·期末）若是一个完全平方式，则m的值（ ） A．10 B． C．20 D． 6．（25-26八年级上·全国·期末）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·全国·期末）若 ，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）图为边长分别为、的正方形纸片、，以及长为、宽为的长方形纸片，现将一张卡片放在卡片的内部得图，将一张卡片和一张卡片并列放置后构造新的正方形得图若图和图中阴影部分的面积分别为和，求图中新正方形的边长为 ． 10．（24-25七年级下·陕西西安·期末）已知，，则的值是 ． 11．（25-26八年级上·河南周口·阶段练习）若代数式是一个完全平方式，则 ． 12．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，两个边长分别为和的正方形如图（1）放置，其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图（1）中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图（2）），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．若，，则 ． 三、解答题 13．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）计算： (1) (2) 14．（24-25八年级下·江西赣州·期末）化简：． 15．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）先化简，再求值：，其中，． 16．（24-25七年级下·全国·期末）计算以及化简求值 (1) (2)y (3) (4) (5) (6)，其中，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $