3.2.2双曲线的简单几何性质 教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

教材解读

本课时选自人教A版《普通高中教科书·数学·选择性必修 第一册》第三章“圆锥曲线的方程”，是3.2节“双曲线”中在3.2.1“双曲线及其标准方程”之后安排的课时，主要研究双曲线的简单几何性质。教材沿用研究椭圆几何性质的“路线图”，引导学生从双曲线的标准方程 出发，依次研究其范围、对称性、顶点、渐近线与离心率，突出“由方程研究图形性质”的解析几何基本方法。其中，渐近线是双曲线特有的几何性质，也是本课时的核心内容：它既是准确画出双曲线草图的重要依据，又为理解离心率与双曲线“张口”大小的关系搭建了桥梁。通过本课时的学习，学生将进一步体会类比思想与数形结合思想在圆锥曲线研究中的作用，发展数学抽象、逻辑推理、数学运算与直观想象等核心素养，也为后续学习圆锥曲线的综合应用奠定坚实基础。

教学目标

1.【数学抽象】类比椭圆几何性质的研究方法，经历“观察方程—推证性质—归纳概括”的过程，抽象出双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质，发展数学抽象素养。

2.【逻辑推理】经历双曲线与渐近线位置关系的探究与证明过程，会用分子有理化的方法说明“双曲线与渐近线无限接近但永不相交”，发展逻辑推理素养。

3.【数学运算】能由双曲线的标准方程准确求出实半轴长、虚半轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程；能根据简单几何条件求双曲线的标准方程，发展数学运算素养。

4.【直观想象】借助信息技术观察双曲线“张口”大小随渐近线斜率、离心率变化而变化的规律，理解离心率的几何意义，发展直观想象素养。

重点难点

教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线与离心率等简单几何性质。

教学难点：双曲线渐近线的发现与证明；离心率对双曲线“张口”大小影响的理解。

课时安排

1课时

教学过程

新课导入

（一）情境创设

（教师展示图1：双曲线型自然通风冷却塔的轮廓示意图）同学们，如果你留意过火力发电厂或核电站，会发现它们的冷却塔都有一个“中间细、两头粗”的优美身姿。目前，我国自主三代核电“华龙一号”正在批量化建设并陆续投入商运，其配套的自然通风冷却塔的塔身轴截面轮廓线，正是一条双曲线。这种

形状不仅受力均匀、结构稳定，还能让冷热空气对流更加顺畅，是数学之美与工程智慧的结合。

（二）问题激趣

师：冷却塔为什么要设计成“中间细、两头粗”的双曲线形？要回答这类问题，就要先弄清双曲线有哪些几何性质。

（学生思考、自由发言，教师不作评判）

师：还记得我们研究椭圆几何性质的“路线图”吗？

生：从方程出发，先看范围，再看对称性、顶点，最后研究离心率。

师：很好！这节课我们就沿着同样的路线图，研究双曲线 的简单几何性质。（板书课题）

【设计意图】以“华龙一号”冷却塔的真实情境导入，让学生感受双曲线在生产生活中的应用价值；同时唤醒研究椭圆几何性质的方法经验，为类比迁移作铺垫。

图1　双曲线型自然通风冷却塔轮廓示意图

探究新知

任务一：由方程定形——范围、对称性与顶点

问题1　类比椭圆范围的研究方法，你能由方程 求出双曲线上点的横坐标、纵坐标的取值范围吗？

（学生独立推导，教师巡视，请一名学生板演）

【要点点拨】把 移项可得 ，于是 ，即 |x|≥a，所以 x≤−a 或 x≥a，而 y 的取值范围是全体实数。因此双曲线位于两条直线 x=−a 与 x=a 的外侧，向左右两个方向无限延伸。

问题2　观察双曲线的形状，猜想它的对称性，并说明理由。

【要点点拨】把方程中的 x 换成 −x、y 换成 −y，方程都不变，所以双曲线关于 x 轴、y 轴和原点都对称。这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。

问题3　双曲线 与对称轴有几个交点？

【要点点拨】令 y=0，得 x=±a，所以双曲线与 x 轴有两个交点 、，它们叫做双曲线的顶点；令 x=0，方程无解，双曲线与 y 轴没有交点，但点 、 仍有特殊意义。线段 叫做双曲线的实轴，它的长为 2a，a 叫做双曲线的实半轴长；线段 叫做双曲线的虚轴，它的长为 2b，b 叫做双曲线的虚半轴长。

【辨一辨】在椭圆中有 ，而在双曲线中三者的关系是 ，二者不可混淆。实轴长与虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其方程可设为 （m≠0）。

（教师结合图2讲解，学生对照图形记忆各要素的位置与名称）

图2　双曲线的简单几何性质示意图

任务二：曲直之辨——渐近线的探究

问题4　用几何画板或 GeoGebra 画出双曲线 与两条直线 ，在右支上取一点 M，测量点 M 的横坐标 与点 M 到直线 的距离 d。沿曲线向右上方拖动点 M，观察 与 d 的大小关系。你发现了什么？

（学生分组操作、汇报发现）

生：点 M 的横坐标 越来越大，距离 d 越来越小，但 d 始终不等于 0（如图3）。

师：这说明双曲线在向右无限延伸的过程中，与直线 无限接近但永