21.4 二次函数的应用课堂 同步分层训练卷 2026-2027 学年沪科版九年级数学上册

21.4 二次函数的应用课堂同步分层训练卷 2026-2027 学年沪科版九年级数学上册 （满分 100 分　考试时间 60 分钟） 班级：__________　姓名：__________　学号：__________　得分：__________ 【分层建议】A 层（基础）：第 1—2、11—14 题，第 17—19 题；B 层（提升）：第 1—7、11—16 题，第 17—23 题；C 层（拓展）：全卷． 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．（26-27九年级上·安徽芜湖·阶段检测）某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系式为 ，当水面宽度 为 m 时，水面与桥拱顶的高度 为（　　） A． m B． m C． m D． m 2．（26-27九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）把一根长为 cm 的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为 cm，它的面积为 cm²，则 与 之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）小明以二次函数 的图象为灵感为某葡萄酒大赛设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若 ，，则杯子的高 为（　　） A．12 B．11 C．6 D．3 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知正方形 的边长是 ，正方形 的顶点分别在 ，，， 上．设正方形 的面积是 ， 的长是 ，则下列说法正确的是（　　） A．当 时， 有最小值 B．当 时， 有最大值 C． 随 的增大而减小 D． 随 的增大而增大 5．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系 中，， 是 轴上的两点， 是函数 图象上一动点，连接 ，．则 的最小值为（　　） A．30 B．24 C．42 D．63 6．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，铅球的出手点 距地面 米，出手后的运动路线是抛物线，出手后 秒钟达到最大高度 米，则铅球落地点到出手点的时间为（　　） A． B． C． D． 7．（26-27九年级上·安徽宣城·阶段检测）某电子游戏中，角色所处地形的高度 （单位：米）与水平坐标 （单位：米）满足 ，其中 为常数，且 ．已知角色位于水平坐标 时，地形高度低于海平面（即 ）；那么当角色位于水平坐标 时，地形高度 满足（　　） A． B． C． D． 8．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 和 相交于 ， 两点，点 为抛物线 上 ， 之间的动点，点 为抛物线 上 ， 之间的动点（点 ， 不与 ， 重合），则四边形 面积的最大值为（　　） A．18 B．16 C．12 D．10 9．（2026·安徽六安·二模）如图，在正方形 中，，点 为边 上的动点， 在边 上，，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，，，则下列结论错误的是（　　） A． 的最小值是 B． C． D．四边形 面积的最大值为 10．（26-27九年级上·安徽淮北·阶段检测）已知抛物线 具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点 的距离与到直线 的距离始终相等，若点 的坐标为 ， 是抛物线上的一个动点，则 周长的最小值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）某市今年第一季度的专项教育投入为 亿元，第二季度比第一季度增长的百分比为 ，第三季度增长的百分比是第二季度增长百分比的 倍，则第三季度专项教育投入 （亿元）关于 的函数关系式为＿＿＿＿＿＿． 12．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）某种商品每件进价为 元，调查表明：在某段时间内若以每件 元（ 且 为整数）出售，可卖出 件，若使利润最大，则每件商品的售价应为＿＿＿＿＿＿元． 13．（26-27九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）为贯彻实施劳动课程，某校计划建造一个矩形种植场地，为充分利用现有资源，该矩形种植场地一面靠墙（墙的长度为 m），另外三面用栅栏围成．已知栅栏的总长度为 m，设矩形场地中垂直于墙的一边长为 m（如图），矩形种植场地的面积最大值是＿＿＿＿＿＿． 14．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）飞机着陆后滑行的距离 （单位：m）关于滑行的时间 （单位：s）的函数解析式为 （），则飞机着陆后滑行了＿＿＿＿＿＿秒才停下来． 15．（26-27九年级上·安徽宣城·期中）如图，在平面直角坐标系中，点 （其中 ）在抛物线 上，过点 作 轴的垂线，交抛物线于另一点 ，点 ， 在线段 上，分别过点 ， 作 轴的垂线交抛物线于 ， 两点，连接 ． （1）______； （2）当四边形 为正方形时，线段 的长为______． 16．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象过 ， 两点． （1）当 时，函数 的最大值等于 ，则 的最大值为______； （2）已知 ， 两点，连接 ，若二次函数 的图象向上平移 （）个单位长度时，与线段 有一个公共点，则 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 46 分） 17．（5 分）（26-27九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）已知抛物线过 与 且有最大值 ． （1）求此二次函数的解析式； （2）抛物线与 轴交于点 ，，在抛物线上存在一点 使 的面积为 ，求出点 的坐标． 18．（5 分）（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）安徽省黄山市徽州区某农业合作社第一期搭建大棚，种植徽州黄菊 棚，铁皮石斛 棚．经统计，第一期徽州黄菊平均每棚利润 元，铁皮石斛平均每棚利润 元．调研发现：徽州黄菊每减少 棚，黄菊平均每棚利润增加 元；铁皮石斛平均每棚利润保持不变．为了增加总利润，合作社计划第二期一共搭建 棚，全部种植徽州黄菊和铁皮石斛．设第二期徽州黄菊比第一期减少 棚，第二期黄菊总利润为 元，铁皮石斛总利润为 元． （1）求第一期黄菊和铁皮石斛的总利润； （2）用含 的代数式分别表示 和 ，并求出自变量 的取值范围； （3）当 取何值时，第二期获得的总利润 最大？求出最大总利润． 19．（5 分）（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，排球运动员站在点 处练习发球，将球从 点正上方 m 的 处发出，把球看成点，其运行的高度 （m）与运行的水平距离 （m）满足关系式 ．已知球网与 点的水平距离为 m，高度为 m，球场的边界距 点的水平距离为 m． （1）当 时，求 与 的关系式（不要求写出自变量 的取值范围）； （2）若球一定能越过球网，又不出边界，求 的取值范围． 20．（6 分）（26-27九年级上·安徽合肥·期中）图 1 是一个瓷碗，图 2 是其截面图，碗体 呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽 cm，此时面汤最大深度 cm（注：以点 为坐标原点，建立平面直角坐标系）． （1）求抛物线解析式； （2）当面汤的深度 为 cm 时，汤面的直径 长为多少？ （3）如图 3，把瓷碗绕点 缓缓倾斜倒出部分面汤，当 时停止，此时碗中液面宽度 为多少？ 21．（6 分）（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）在数学上我们定义：若点 ， 在同一抛物线上，且点 的横坐标比点 的横坐标大 ，则称点 是点 的“芯移点”．例如，抛物线 上，点 是点 的“芯移点”． （1）点 和点 在抛物线 上，点 是点 的“芯移点”，且点 的纵坐标为 ，求 ， 的值． （2）点 ， 在（1）中的抛物线上，且点 是点 的“芯移点”． ①若点 ， 的纵坐标相等，求点 ， 的横坐标； ②抛物线上 ， 两点之间的部分（含 ， 两点）记为图象 ，设点 的横坐标为 ，当 时，若图象 上的最高点和最低点到 轴的距离之和为 ，求 的值． 22．（6 分）（26-27九年级上·安徽合肥·期中）已知抛物线 （）的顶点横坐标比抛物线 的顶点横坐标小 ． （1）求 的值； （2）点 在抛物线 上，点 在抛物线 上． （ⅰ）若 ，求 的最小值； （ⅱ）若 ，且 ，，求 的值． 23．（6 分）（26-27九年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，某校准备给长 m、宽 m 的矩形场地 用花卉进行装饰，现将其划分为区域①（等腰直角三角形 且 ），区域②（ 个全等的直角三角形 与 ），剩余空白部分记为区域③， 为 和 的中点，为了美观，要求区域②的面积不超过矩形 面积的 ，且点 到点 之间的距离等于 的长，设 m． （1）求 的取值范围； （2）求区域③的面积 关于 的函数解析式； （3）已知区域①与区域②所种花卉相同，价格为 元/m²，区域③所种花卉的价格为 元/m²，求总费用的最小值． 24．（7 分）（26-27九年级上·安徽合肥·期中）如图，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，抛物线 的顶点为 ，且与 轴左交点为 （其中 ）． （1）当 时，①求 的值和抛物线的对称轴；②在抛物线 的对称轴上求一点 使得 的周长最小，并写出最小值； （2）当点 在直线 上方时，求点 到直线 的距离的最大值； （3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当 时，求在抛物线和直线 所围成的封闭图形内“整点”的个数（包括边界上）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.4 二次函数的应用课堂同步分层训练卷 2026-2027 学年沪科版九年级数学上册 （满分 100 分　考试时间 60 分钟） 班级：__________　姓名：__________　学号：__________　得分：__________ 【分层建议】A 层（基础）：第 1—2、11—14 题，第 17—19 题；B 层（提升）：第 1—7、11—16 题，第 17—23 题；C 层（拓展）：全卷． 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．（26-27九年级上·安徽芜湖·阶段检测）某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系式为 ，当水面宽度 为 m 时，水面与桥拱顶的高度 为（　　） A． m B． m C． m D． m 【答案】D 【解析】由题意知抛物线的对称轴为 轴，水面 平行于 轴，点 在 轴上，由对称性知点 是 的中点．∵，∴点 的横坐标为 ，当 时 ，∴，，∴水面与桥拱顶的高度 为 m． 2．（26-27九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）把一根长为 cm 的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为 cm，它的面积为 cm²，则 与 之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵长方形的周长为 cm，一边长为 cm，∴相邻一边长为 cm，∴． 3．（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）小明以二次函数 的图象为灵感为某葡萄酒大赛设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若 ，，则杯子的高 为（　　） A．12 B．11 C．6 D．3 【答案】B 【解析】∵，∴，二次函数图象的对称轴为直线 ．∵，， 关于点 对称，∴，∴点 的横坐标为 ，纵坐标为 ，即点 的纵坐标为 ，∴，∵，∴． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知正方形 的边长是 ，正方形 的顶点分别在 ，，， 上．设正方形 的面积是 ， 的长是 ，则下列说法正确的是（　　） A．当 时， 有最小值 B．当 时， 有最大值 C． 随 的增大而减小 D． 随 的增大而增大 【答案】A 【解析】∵四边形 、 都是正方形，∴，，∴，，∴，∴，∴，．在 Rt 中，，∴（），∵，∴当 时 有最小值 ． 5．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系 中，， 是 轴上的两点， 是函数 图象上一动点，连接 ，．则 的最小值为（　　） A．30 B．24 C．42 D．63 【答案】B 【解析】设点 的横坐标为 ，由 在 上得 ，∴，，∴，∵，∴当 时， 取得最小值 ． 6．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，铅球的出手点 距地面 米，出手后的运动路线是抛物线，出手后 秒钟达到最大高度 米，则铅球落地点到出手点的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设抛物线的解析式为 ，∵它与 轴的交点坐标为 ，∴，解得 ，∴．当 时，，解得 （舍去），，∴铅球落地点到出手点的时间为 秒． 7．（26-27九年级上·安徽宣城·阶段检测）某电子游戏中，角色所处地形的高度 （单位：米）与水平坐标 （单位：米）满足 ，其中 为常数，且 ．已知角色位于水平坐标 时，地形高度低于海平面（即 ）；那么当角色位于水平坐标 时，地形高度 满足（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，，∴对称轴是直线 ，当 时 ，抛物线开口向上．设 ， 为 的两个根，则 ，由对称性得 ．∵当 时 ，∴，∴．又当 时 随 的增大而减小，∴当 时 ． 8．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 和 相交于 ， 两点，点 为抛物线 上 ， 之间的动点，点 为抛物线 上 ， 之间的动点（点 ， 不与 ， 重合），则四边形 面积的最大值为（　　） A．18 B．16 C．12 D．10 【答案】B 【解析】过点 作 轴交 于点 ，过点 作 轴交 于点 ．设直线 ，代入 ， 得 ，，∴． 设 （），则 ，∴，∴，∴当 时 取得最大值 ； 同理设 （），可得 ，当 时取得最大值 ．∵，∴当 时，四边形 面积的最大值为 ． 9．（2026·安徽六安·二模）如图，在正方形 中，，点 为边 上的动点， 在边 上，，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，，，则下列结论错误的是（　　） A． 的最小值是 B． C． D．四边形 面积的最大值为 【答案】D 【解析】作点 关于 的对称点 ，连接 ，，则 ，，∴，，∴ 的最小值为 ，A 正确； 连接 ，在 Rt 中，，∴，∵，∴，B 正确； 过点 作 于点 ，连接 ，，则 ，；由旋转得 ，，可证 ，∴，．设 ，则 ，（），∴，∴当 时取得最大值 ，当 时取得最小值 ，∴，C 正确； 计算得 ，∵，∴当 时取得最大值 ，D 错误．故错误的是 D． 10．（26-27九年级上·安徽淮北·阶段检测）已知抛物线 具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点 的距离与到直线 的距离始终相等，若点 的坐标为 ， 是抛物线上的一个动点，则 周长的最小值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】D 【解析】∵，，∴．过 向直线 作垂线，垂足为 ，则 ，∴，当点 ，， 共线时取等号，此时 ，∴ 周长的最小值为 ． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）某市今年第一季度的专项教育投入为 亿元，第二季度比第一季度增长的百分比为 ，第三季度增长的百分比是第二季度增长百分比的 倍，则第三季度专项教育投入 （亿元）关于 的函数关系式为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】∵第一季度专项教育投入为 亿元，第二季度比第一季度增长的百分比为 ，∴第二季度专项教育投入为 亿元；∵第三季度增长的百分比是第二季度增长百分比的 倍，即增长率为 ，∴第三季度专项教育投入 ，化简得 ． 12．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）某种商品每件进价为 元，调查表明：在某段时间内若以每件 元（ 且 为整数）出售，可卖出 件，若使利润最大，则每件商品的售价应为＿＿＿＿＿＿元． 【答案】 【解析】设总利润为 元，∵每件商品的利润为 元，销售量为 件，∴，∵，图象开口向下，对称轴为直线 ，且 、 为整数，∴当 时 最大，∴每件商品的售价应为 元． 13．（26-27九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）为贯彻实施劳动课程，某校计划建造一个矩形种植场地，为充分利用现有资源，该矩形种植场地一面靠墙（墙的长度为 m），另外三面用栅栏围成．已知栅栏的总长度为 m，设矩形场地中垂直于墙的一边长为 m（如图），矩形种植场地的面积最大值是＿＿＿＿＿＿． 【答案】 m² 【解析】矩形种植场地的面积 ，∵，∴．∵，∴当 时 最大，最大值为 ，∴矩形种植场地的面积最大为 m²． 14．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）飞机着陆后滑行的距离 （单位：m）关于滑行的时间 （单位：s）的函数解析式为 （），则飞机着陆后滑行了＿＿＿＿＿＿秒才停下来． 【答案】 【解析】将解析式配方得 ，∵，∴二次函数图象开口向下，当 时 取得最大值，此时飞机停下来，∴飞机着陆后滑行了 秒才停下来． 15．（26-27九年级上·安徽宣城·期中）如图，在平面直角坐标系中，点 （其中 ）在抛物线 上，过点 作 轴的垂线，交抛物线于另一点 ，点 ， 在线段 上，分别过点 ， 作 轴的垂线交抛物线于 ， 两点，连接 ． （1）______； （2）当四边形 为正方形时，线段 的长为______． 【答案】； 【解析】（1）把 代入 得 ，解得 ，∵点 在第一象限，∴． （2）设 （），由抛物线的对称性得 ，∴，．∵四边形 为正方形，∴，即 ，解得 （负值舍去），∴． 16．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象过 ， 两点． （1）当 时，函数 的最大值等于 ，则 的最大值为______； （2）已知 ， 两点，连接 ，若二次函数 的图象向上平移 （）个单位长度时，与线段 有一个公共点，则 的取值范围是______． 【答案】； 或 【解析】把 ， 代入得 ，，∴，抛物线开口向下，顶点为 ，函数最大值为 ． （1）∵当 时函数的最大值等于 ，∴，解得 ，∴ 的最大值为 ． （2）平移后解析式为 ，线段 为 （）．情况 1：顶点落在线段上，，得 ；情况 2：抛物线与 有两个交点且恰有一个落在线段上，可得 （ 时两交点均在 内，舍去）．∴ 或 ． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 46 分） 17．（5 分）（26-27九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）已知抛物线过 与 且有最大值 ． （1）求此二次函数的解析式； （2）抛物线与 轴交于点 ，，在抛物线上存在一点 使 的面积为 ，求出点 的坐标． 【答案】(1) ；(2) 或 ． 【解析】（1）∵ 与 纵坐标相同，∴对称轴为直线 ，∵抛物线的最大值为 ，∴顶点坐标为 ，设 ，把 代入得 ，解得 ，∴． （2）令 ，解得 ，，∴．设 ，则 ，解得 ，即 或 ．当 时， 无实数根；当 时，，解得 或 ，∴点 的坐标为 或 ． 18．（5 分）（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）安徽省黄山市徽州区某农业合作社第一期搭建大棚，种植徽州黄菊 棚，铁皮石斛 棚．经统计，第一期徽州黄菊平均每棚利润 元，铁皮石斛平均每棚利润 元．调研发现：徽州黄菊每减少 棚，黄菊平均每棚利润增加 元；铁皮石斛平均每棚利润保持不变．为了增加总利润，合作社计划第二期一共搭建 棚，全部种植徽州黄菊和铁皮石斛．设第二期徽州黄菊比第一期减少 棚，第二期黄菊总利润为 元，铁皮石斛总利润为 元． （1）求第一期黄菊和铁皮石斛的总利润； （2）用含 的代数式分别表示 和 ，并求出自变量 的取值范围； （3）当 取何值时，第二期获得的总利润 最大？求出最大总利润． 【答案】(1) 元；(2) ，， 且 为整数；(3) 时 最大，最大总利润 元． 【解析】（1）由题意得 （元）． （2），；∵ 且 ，∴，故自变量 的取值范围是 且 为整数． （3），∴当 取与 最接近的整数 时， 取得最大值，（元）． 19．（5 分）（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，排球运动员站在点 处练习发球，将球从 点正上方 m 的 处发出，把球看成点，其运行的高度 （m）与运行的水平距离 （m）满足关系式 ．已知球网与 点的水平距离为 m，高度为 m，球场的边界距 点的水平距离为 m． （1）当 时，求 与 的关系式（不要求写出自变量 的取值范围）； （2）若球一定能越过球网，又不出边界，求 的取值范围． 【答案】(1) ；(2) ． 【解析】（1）∵，抛物线过点 ，∴，解得 ，∴． （2）把 代入得 ，∴，∴．∵球越过球网，∴当 时 ，即 ，解得 ；∵球不出边界，∴当 时 ，即 ，解得 ．综上，． 20．（6 分）（26-27九年级上·安徽合肥·期中）图 1 是一个瓷碗，图 2 是其截面图，碗体 呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽 cm，此时面汤最大深度 cm（注：以点 为坐标原点，建立平面直角坐标系）． （1）求抛物线解析式； （2）当面汤的深度 为 cm 时，汤面的直径 长为多少？ （3）如图 3，把瓷碗绕点 缓缓倾斜倒出部分面汤，当 时停止，此时碗中液面宽度 为多少？ 【答案】(1) ；(2) cm；(3) cm． 【解析】（1）∵以点 为坐标原点建立平面直角坐标系，∴，可设抛物线的表达式为 ．∵碗口宽 cm，面汤最大深度 cm，∴，代入得 ，解得 ，∴． （2）∵面汤的深度 为 cm，∴将 代入 得 ，解得 ，∴ cm． （3）∵把瓷碗绕点 缓缓倾斜，当 时停止，∴旋转前 与水平方向的夹角为 ，设直线 的解析式为 ，将 代入得 ，∴．联立 与 ，解得 ，，∴，∴ cm． 21．（6 分）（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）在数学上我们定义：若点 ， 在同一抛物线上，且点 的横坐标比点 的横坐标大 ，则称点 是点 的“芯移点”．例如，抛物线 上，点 是点 的“芯移点”． （1）点 和点 在抛物线 上，点 是点 的“芯移点”，且点 的纵坐标为 ，求 ， 的值． （2）点 ， 在（1）中的抛物线上，且点 是点 的“芯移点”． ①若点 ， 的纵坐标相等，求点 ， 的横坐标； ②抛物线上 ， 两点之间的部分（含 ， 两点）记为图象 ，设点 的横坐标为 ，当 时，若图象 上的最高点和最低点到 轴的距离之和为 ，求 的值． 【答案】(1) ，；(2) ① 点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ；② ． 【解析】（1）∵点 是点 的“芯移点”，，点 的纵坐标为 ，∴．把 ， 代入 得 ，，解得 ，． （2）由（1）得 ．①设点 的横坐标为 ，则点 的横坐标为 ，∵两点纵坐标相等，∴，解得 ，∴点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ． ②∵，∴对称轴为直线 ，顶点为 ，抛物线与 轴的交点为 ，．∵，∴．当 时，最低点为顶点 ，最高点为点 ，∴点 到 轴的距离为 ，即点 的纵坐标为 ，∴，解得 或 （舍去）；当 时，同理可得 （舍去）．综上，． 22．（6 分）（26-27九年级上·安徽合肥·期中）已知抛物线 （）的顶点横坐标比抛物线 的顶点横坐标小 ． （1）求 的值； （2）点 在抛物线 上，点 在抛物线 上． （ⅰ）若 ，求 的最小值； （ⅱ）若 ，且 ，，求 的值． 【答案】(1) ；(2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【解析】（1）抛物线 的顶点横坐标为 ，抛物线 的顶点横坐标为 ，由题意得 ，解得 ． （2）（ⅰ）由（1）得两抛物线分别为 与 ．∵ 在 上，∴；∵ 在 上，∴，∴，∴．∵，∴，∵，∴当 时 取得最小值 ． （ⅱ）∵，∴，∴，即 ，∴ 或 ．∵，，∴，舍去，∴，此时 ． 23．（6 分）（26-27九年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，某校准备给长 m、宽 m 的矩形场地 用花卉进行装饰，现将其划分为区域①（等腰直角三角形 且 ），区域②（ 个全等的直角三角形 与 ），剩余空白部分记为区域③， 为 和 的中点，为了美观，要求区域②的面积不超过矩形 面积的 ，且点 到点 之间的距离等于 的长，设 m． （1）求 的取值范围； （2）求区域③的面积 关于 的函数解析式； （3）已知区域①与区域②所种花卉相同，价格为 元/m²，区域③所种花卉的价格为 元/m²，求总费用的最小值． 【答案】(1) ；(2) ；(3) 当 时总费用最小，最小值为 元． 【解析】（1）由题意得 ，∴ m，∴区域②的面积为 m²．∵区域②的面积不超过矩形 面积的 ，∴，解得 ，∴． （2）连接 ，由题意得 ，， 三点共线，， m．∵ m，∴ m．∵ 是等腰直角三角形，∴ m，∴区域①的面积为 m²，∴． （3）∵区域①和区域②的价格为 元/m²，区域③的价格为 元/m²，矩形 的面积为 m²，设总费用为 元，则 ．∵，，∴当 时总费用取得最小值 元． 24．（7 分）（26-27九年级上·安徽合肥·期中）如图，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，抛物线 的顶点为 ，且与 轴左交点为 （其中 ）． （1）当 时，①求 的值和抛物线的对称轴；②在抛物线 的对称轴上求一点 使得 的周长最小，并写出最小值； （2）当点 在直线 上方时，求点 到直线 的距离的最大值； （3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当 时，求在抛物线和直线 所围成的封闭图形内“整点”的个数（包括边界上）． 【答案】(1) ① ，对称轴为直线 ；② ，最小值为 ；(2) ；(3) ． 【解析】（1）①∵ 与 轴交于 ，∴；在 中令 得 ．∵，∴，∴，∴，对称轴为直线 ． ②连接 ，，．令 得 或 ，∴，，由对称性得 ，∴ 的周长 ，当 ，， 三点共线时取最小值．∵，∴最小值为 ；在 中令 得 ，∴． （2）∵，∴，点 到直线 的距离为 ，∵，∴当 时距离的最大值为 ． （3）当 时，抛物线为 ，直线 为 ，联立解得交点为 ，．按 逐列统计整点，各列整点数依次为 ，合计 个． 学科网（北京）股份有限公司 $