精品解析：福建厦门市第五中学2026-2027学年度第一学期期中考试九年级数学试卷

厦门市第五中学2026-2027学年度第一学期期中考试 九年级数学试卷 （试卷满分：150 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡； 2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分； 3．可直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有8小题，共32．每小题的四个选项中，只有一个选项正确） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义逐项识别即可． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项D能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形． 故选D． 2. 方程的根是（　　） A. B. C. D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】两边直接开平方即可． 【详解】解：， ， 则， 故选：B． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，能够根据方程的特点选用合适的方法是解题的关键． 3. 如图△ABC绕点A旋转至△ADE，则旋转角是（　　） A. ∠BAD B. ∠BAC C. ∠BAE D. ∠CAD 【答案】A 【解析】 【分析】由对应点与旋转中心所连线段的夹角为旋转角，可求解． 【详解】解：∵△ABC绕点A旋转至△ADE， ∴旋转角为∠BAD或∠CAE， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转角，掌握定义是解题关键． 4. 关于的一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的求根公式，将方程中的对应系数代入求根公式推导，即可得到该方程的根． 【详解】解：∵ 一元二次方程中，，，一次项系数为． ∴ 代入求根公式得． 化简得． 5. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的值可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 根据方程有两个实数根，得出，建立关于的一元一次不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：由题意可知：， ， 实数的值可能是1， 故选A． 6. 下列抛物线只通过平移能与抛物线重合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：抛物线平移不改变二次项系数的大小与符号， 原抛物线的二次项系数为， 只有选项C的二次项系数为，符合要求． 7. 元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，用x分别表示出剩下锦的长度和每尺锦的价格，再根据“总售价长度单价”列方程即可． 【详解】解：∵设这匹锦的长为尺，且这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七， ∴每尺锦的价格为文； ∵先卖掉三尺， ∴剩下的锦长度为尺； ∵剩下的锦总售价为文，总售价长度单价， ∴列方程得． 8. 在平面直角坐标系中，为原点，抛物线的对称轴交轴于点，直线与该抛物线轴上方的部分交于点，与交于点，过点作轴，垂足为，则下列线段中，长度随线段长度的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依照题意，画出图形，找出、、以及随变化的情况，即可得出结论． 【详解】解：依照题意，画出图形，如图所示： 直线可变形为，过定点， 随着的增大，先增大，后减小，故选项A不符合题意； 随着的增大，先减小，后增大，故选项B不符合题意； 随着的增大，先减小，后增大，故选项C不符合题意； 随着的增大，一直减小，故选项D符合题意；． 二、填空题（本大题有6小题，共24） 9. 点关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的对称性，根据关于原点对称的两个点的横坐标及纵坐标均互为相反数的特征直接求解即可得到答案，熟记关于原点对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 10. 抛物线的对称轴是_____． 【答案】直线 【解析】 【分析】由二次函数顶点式可得抛物线顶点坐标，进而求解． 【详解】解：， 抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， 故答案为：直线． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式． 11. 若是方程的一个根，则m的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根求参数，解题的关键是掌握根的定义． 根据方程根的定义，将已知根代入方程求解参数． 【详解】解：因为是方程的一个根， 所以代入得， 即， 所以， 因此， 故答案为：2． 12. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则另一个根为___________． 【答案】 【解析】 【分析】已知一元二次方程的一个根为1，可利用根与系数的关系直接计算另一根，无需先求解参数． 【详解】解：设方程的另一个根为． ∵ 一元二次方程的两根之和为． ∴ 对于方程，，，两根之和为． ∵ 方程的一个根为． ∴ ． ∴ ． 13. 抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … 0 1 … … 0 4 6 6 … 则的两个实数根为___________． 【答案】 ， 【解析】 【分析】由表格中函数值相等的点确定抛物线对称轴，结合已知的函数值为0的点，利用二次函数的对称性求出另一函数值为0的点，即为方程的实数根． 【详解】解：∵ 当时，，当时，， ∴ 抛物线的对称轴为直线， ∵ 当时，， ∴ 是方程的一个实数根， ∵ 抛物线上关于对称轴对称的点纵坐标相等， ∴ 与关于直线对称的点的纵坐标也为0， 该对称点的横坐标为， ∴ 是方程的另一个实数根． 14. 我校为了迎接一百二十周年校庆，组织了篮球联赛，采用单循环制（即每两支球队之间都只进行一场比赛），每场比赛都决出胜负，胜者积2分，负者积1分，最后参赛球队的总得分是570分，若设参赛队伍有支，则由题意列方程___________． 【答案】 【解析】 【分析】需先计算单循环赛制下的总比赛场数，再结合单场比赛的总积分，根据总得分建立等量关系列方程． 【详解】解：∵ 单循环制中，每支球队需与其余支球队各进行1场比赛，每场比赛会被2支球队重复统计． ∴ 总比赛场数为． ∵ 每场比赛胜者积2分，负者积1分． ∴ 单场比赛产生的总积分为分． ∵ 所有参赛球队的总得分为570分． ∴ 总比赛场数与单场总积分的乘积等于总得分，对应列方程为． 15. 若抛物线图象上有两点关于原点对称，则称此抛物线为“完美抛物线”，已知抛物线是“完美抛物线”，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据完美抛物线的定义，设出关于原点对称的两点坐标，代入抛物线方程联立推导，结合实数的性质与两点不重合的要求，得到的取值范围. 【详解】解：设抛物线上关于原点对称的两点为，，其中， ∵ 点、在抛物线上， ∴ 将两点坐标代入抛物线方程，可得： ， 整理得：， ∵ 为非零实数， ∴ ， ∴ ， 解得． 16. 抛物线经过点，和，三点，，都在该抛物线上，若对于一定成立，则的取值范围是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】先由抛物线上纵坐标相同的两点确定对称轴，再代入第三点判断开口方向，结合开口向下时函数值与到对称轴距离的对应关系，得到满足的范围，进而求解的取值． 【详解】解：∵ 抛物线经过和，两点纵坐标相同， ∴ 抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴； 将、代入抛物线解析式得 ， ， ∴， ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ ，即抛物线开口向下， 开口向下时，点到对称轴的距离越近，对应的函数值越大 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为 要满足，等价于到对称轴的距离大于1且小于3 即 解不等式，得 或 解不等式，得 取交集得满足的范围为或 ∵ 对任意，恒成立， ∴或 解得或 综上，的取值范围是或． 三、解答题（本大题有9小题，共86） 17. 解方程：； 【答案】， 【解析】 【分析】方程两边都加上1，配成完全平方的形式，然后求解即可（或用公式法求解）． 【详解】解：， ，，， ∴，． 18. 画出二次函数的图象． 【答案】图象如下： 【解析】 【分析】首先可得顶点坐标为，然后利用对称性列表，再描点，连线，即可作出该函数的图象． 【详解】解：，列表如下， x 0 ⋯ y ⋯ 3 0 0 3 ⋯ 画图略 19. 先化简再求值： ，其中 ． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 20. 如图，有一块宽为16m的矩形荒地，某公园计划将其分为A、B、C三部分，分别种植不同的植物．若已知A、B地块为正方形，C地块的面积比B地块的面积少40m2，试求该矩形荒地的长． 【答案】矩形荒地的长为26 m 【解析】 【分析】设B地块的边长为xm，根据“C地块的面积比B地块的面积少40m2”列出方程求解即可． 【详解】解：设B地块的边长为x m． x2－x(16－x)＝40 解得：x1＝10，x2＝－2（不符题意，舍去） ∴ 10＋16＝26 m 答：矩形荒地的长为26 m 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系，难度不大． 21. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． （2） 的值为或 【解析】 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根为，  ∴，，  ∵， ∴， ∴， ∴，  代入得：， 整理得， 解得或． 22. 综合与实践：滑雪滑道中的函数探究 【活动背景】 如图，滑雪场的滑道由滑坡（段）和水平缓冲带（段）两段组成．滑雪者从点由静止出发，先在滑坡上滑行，到达点后进入缓冲带继续滑行直至停下．有几个滑雪爱好者对滑雪滑行距离与时间的关系开展探究． 【探究材料】 ①滑雪者在滑坡上滑行的距离（单位：）和滑行时间（单位：）满足二次函数关系，并测得相关数据： 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行距离 0 4.5 14 28.5 48 ②滑雪者在缓冲带上滑行的距离（单位：）和滑行时间（单位：）满足：： ③滑雪者从出发在缓冲带上停止，一共用了． 【探究任务】 （1）任务1（模型建构）：根据表格数据，求和满足的二次函数解析式；（不需要写出自变量取值范围） （2）任务2（数据分析）：求滑坡的长度． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】（1）先设，然后利用待定系数法解题即可； （2）从题意可知，当取得最大值时，滑雪者停下，先求出滑雪者在段所花的时间，即可得到滑雪者在段用的时间，然后将时间代入的表达式即可． 【小问1详解】 解：设，代入，得 ， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵在对称轴上取得最大值，即滑雪者停下， ∴此时秒， ∵滑雪者从出发在缓冲带上停止，一共用了． ∴滑雪者在段用的时间为（秒）， 将代入，得（米）， 即滑坡的长度为米． 23. 如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E.若一个三角形模板与△ABE完全重合地叠放在一起，现将该模板绕 点E顺时针旋转.要使该模板旋转60°后，三个顶点仍在平行四边形ABCD的边上，请探究平行四边形ABCD的角和边需要满足的条件. 【答案】详见解析. 【解析】 【分析】三角形模板绕点E旋转60°后，E为旋转中心，位置不变，仍在边BC上，过点E分别做射线EM，EN，EM，EN分别AB,CD于F,G使得∠BEM=∠AEN=60°，可证△BEF为等边三角形，即EB=EF，故B的对应点为F.根据SAS可证，即EA=GE ，故A的对应点为G. 由此可得：要使该模板旋转60°后，三个顶点仍在平行四边形ABCD的边上, 平行四边形ABCD的角和边需要满足的条件是:∠ABC=60°，AB=BC. 【详解】解：要使该模板旋转60°后，三个顶点仍在 的边上，的角和边需要满足的条件是：∠ABC=60°，AB=BC 理由如下： 三角形模板绕点E旋转60°后，E为旋转中心，位置不变，仍在边BC上，过点E分别做射线EM，EN，使得∠BEM=∠AEN=60°， ∵AE⊥BC，即∠AEB=∠AEC=90°， ∴∠BEM<∠BEA ∴射线EM只能与AB边相交，记交点为F 在△BEF中， ∵∠B=∠BEF=60°， ∴∠BFE=180°-∠B-∠BEF=60° ∴∠B=∠BEF=∠BFE=60° ∴△BEF为等边三角形 ∴EB=EF ∵当三角形模板绕点E旋转60°后，点B的对应点为F，此时点F在边AB边上 ∵∠AEC=90° ∴∠AEN=60°<∠AEC ∴射线EN只可能与边AD或边CD相交 若射线EN与CD相交，记交点为G 在Rt△AEB中，∠1=90°-∠B=30° ∴BE= ∵AB=BC=BE+EC ∴EC= ∵∠GEC=∠AEC-∠AEG=90°-60°=30° ∵在中，AB//CD ∠C=180°-∠ABC=120° 又∵∠EGC=180°-120°-30°=30° ∴EC=GC 即AF=EF=EC=GC=,且∠1=∠GEC=30° ∴ ∴EA=GE ∴当三角形模板绕点E旋转60°后，点A的对应点为G，此时点G在边CD边上 ∴只有当∠ ABC=60°, AB= BC时,三角形模板绕点E顺时针旋转60°后,三个顶点仍在平行四边形ABCD的边上. ∴要使该模板旋转60°后，三个顶点仍在平行四边形ABCD的边上, 平行四边形ABCD的角和边需要满足的条件是:∠ABC=60°，AB=BC. 【点睛】本题考查了旋转的性质以及平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的性质及判定是解题的关键. 24. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标分别为和，且该抛物线与轴的交点为，顶点为． （1）用等式表示与的关系，与的关系，并说明理由； （2）连接，求证：． （3）若方程有两个不相等的实数根，且，直接写出的取值范围，设，求出的最小值． 【答案】（1），．理由如下： ∵抛物线与轴交于，， ∴设抛物线的解析式为， 展开得， 对比，可得，． （2）证明：由（1）得抛物线解析式为， 令，得， ∴． 抛物线的对称轴为直线， 将代入抛物线解析式，得， ∴顶点． 过点作，作点关于直线的对称点．连接、(如图)． ∵，直线平行于轴且过点， ∴直线的解析式为，点的坐标为． 设直线的解析式为， 将，代入得 解得，， ∴直线的解析式为． 当时，，与点的纵坐标相等， ∴点在直线上． 由对称的性质得． ∵， ∴． 又∵，且， ∴． （3）的取值范围是；的最小值为． 【解析】 【分析】（1）由抛物线与轴的两个交点写出交点式，展开后与原解析式的各项系数对应，即得、与的关系； （2）用待定系数法求直线的解析式，把点关于过点且平行于轴的直线的对称点验证在上，从而把拆成两个相等的角； （3）把方程的两根看作抛物线与轴交点的横坐标，由抛物线的对称轴与、时的正负定出的范围，再把配方求最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）知． 代入，整理得． 把方程的两根看作抛物线与轴交点的横坐标． 这条抛物线的对称轴为直线． 两根关于对称． ∵． ∴． 当时，． 当时，． 当时，抛物线开口向上，在两根之外，在两根之间或恰为左根． ∴当时，当时． 即且． ∴． 当时，抛物线开口向下，同理需当时、当时． ∴且，即且，矛盾，舍去． ∴的取值范围为． ∵． ∵． ∴． ∴． ∴． 当时上式取等号． ∴的最小值为． 【点睛】考查二次函数的图象与性质、待定系数法求直线解析式、轴对称的性质与配方法；关键是把倍角关系转化为“对称点落在直线上”，再把根的范围转化为抛物线与轴交点的位置，由、时的正负定出参数范围． 25. 如图，在Rt中，，，以为斜边在上方作等腰直角三角形，与相交于点．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若点，分别是，的中点，连接，． ①当点在边的什么位置时，以点为顶点的四边形是平行四边形？ ②求证：． 【答案】（1）证明：由旋转可得，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①点是线段上靠近点的四等分点； ②证明：延长交于点，过点作交于点， 由①知， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在等腰中，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①连接， ∵，点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在等腰中，， ∴， ∴ ∴， ∴当时，四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴当点是线段上靠近点的四等分点时，以点为顶点的四边形是平行四边形； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市第五中学2026-2027学年度第一学期期中考试 九年级数学试卷 （试卷满分：150 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡； 2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分； 3．可直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有8小题，共32．每小题的四个选项中，只有一个选项正确） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的根是（　　） A. B. C. D. ， 3. 如图△ABC绕点A旋转至△ADE，则旋转角是（　　） A. ∠BAD B. ∠BAC C. ∠BAE D. ∠CAD 4. 关于的一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的值可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 下列抛物线只通过平移能与抛物线重合的是（ ） A. B. C. D. 7. 元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，为原点，抛物线的对称轴交轴于点，直线与该抛物线轴上方的部分交于点，与交于点，过点作轴，垂足为，则下列线段中，长度随线段长度的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有6小题，共24） 9. 点关于原点对称的点的坐标是_______． 10. 抛物线的对称轴是_____． 11. 若是方程的一个根，则m的值为______． 12. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则另一个根为___________． 13. 抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … 0 1 … … 0 4 6 6 … 则的两个实数根为___________． 14. 我校为了迎接一百二十周年校庆，组织了篮球联赛，采用单循环制（即每两支球队之间都只进行一场比赛），每场比赛都决出胜负，胜者积2分，负者积1分，最后参赛球队的总得分是570分，若设参赛队伍有支，则由题意列方程___________． 15. 若抛物线图象上有两点关于原点对称，则称此抛物线为“完美抛物线”，已知抛物线是“完美抛物线”，则的取值范围是___________． 16. 抛物线经过点，和，三点，，都在该抛物线上，若对于一定成立，则的取值范围是___________． 三、解答题（本大题有9小题，共86） 17. 解方程：； 18. 画出二次函数的图象． 19. 先化简再求值： ，其中 ． 20. 如图，有一块宽为16m的矩形荒地，某公园计划将其分为A、B、C三部分，分别种植不同的植物．若已知A、B地块为正方形，C地块的面积比B地块的面积少40m2，试求该矩形荒地的长． 21. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 22. 综合与实践：滑雪滑道中的函数探究 【活动背景】 如图，滑雪场的滑道由滑坡（段）和水平缓冲带（段）两段组成．滑雪者从点由静止出发，先在滑坡上滑行，到达点后进入缓冲带继续滑行直至停下．有几个滑雪爱好者对滑雪滑行距离与时间的关系开展探究． 【探究材料】 ①滑雪者在滑坡上滑行的距离（单位：）和滑行时间（单位：）满足二次函数关系，并测得相关数据： 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行距离 0 4.5 14 28.5 48 ②滑雪者在缓冲带上滑行的距离（单位：）和滑行时间（单位：）满足：： ③滑雪者从出发在缓冲带上停止，一共用了． 【探究任务】 （1）任务1（模型建构）：根据表格数据，求和满足的二次函数解析式；（不需要写出自变量取值范围） （2）任务2（数据分析）：求滑坡的长度． 23. 如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E.若一个三角形模板与△ABE完全重合地叠放在一起，现将该模板绕 点E顺时针旋转.要使该模板旋转60°后，三个顶点仍在平行四边形ABCD的边上，请探究平行四边形ABCD的角和边需要满足的条件. 24. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标分别为和，且该抛物线与轴的交点为，顶点为． （1）用等式表示与的关系，与的关系，并说明理由； （2）连接，求证：． （3）若方程有两个不相等的实数根，且，直接写出的取值范围，设，求出的最小值． 25. 如图，在Rt中，，，以为斜边在上方作等腰直角三角形，与相交于点．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若点，分别是，的中点，连接，． ①当点在边的什么位置时，以点为顶点的四边形是平行四边形？ ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $