21.2 二次函数的图象和性质 同步分层训练卷 2026-2027 学年沪科版九年级数学上册

21.2 二次函数的图象和性质课堂同步分层训练卷 2026-2027 学年沪科版九年级数学上册 （满分 100 分　考试时间 60 分钟） 班级：__________　姓名：__________　学号：__________　得分：__________ 【分层建议】A 层（基础）：第 1—3、6、11—13 题，第 17—19 题；B 层（提升）：第 1—8、11—15 题，第 17—22 题；C 层（拓展）：全卷． 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）抛物线 的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·安徽六安·期中）将抛物线 先向右平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 3．（2026·安徽淮北·模拟预测）如图，二次函数 （）的图象所在坐标系的原点可能是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 4．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）下列函数中，当 时， 的值随 值的增大而减小的是（　　） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点 在抛物线 上运动，过点 作 轴于点 ，以 为对角线作矩形 ，连接 ，则对角线 的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．（2026·安徽淮南·一模）若二次函数 与一次函数 （）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，一段抛物线 （），记为 ，它与 轴交于点 ，；将 绕点 旋转 得 ，交 轴于点 ；将 绕点 旋转 得 ，交 轴于点 ；……如此进行下去，若 是其中某段抛物线上一点，则 为（　　） A． B． C． D． 8．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数 ，当自变量 满足 时， 的最大值为 ， 的最小值为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 9．（26-27九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图是二次函数 （）图象的一部分，对称轴为直线 ，且经过点 ，下列选项正确的是（　　） A． B． C．若 ，则 时的函数值小于 时的函数值 D． 10．（2026·福建漳州·模拟预测）如图 1，在 Rt 中，，， 分别是边 ， 上的动点，且 ， 是 的中点，连接 ，，，设 ， 的面积为 ，图 2 是 关于 的函数图象，则下列说法不正确的是（　　） A． 是等腰直角三角形 B． C． 的周长可以等于 D．四边形 的面积为 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）函数 的图象的顶点在直线 上，则 的值是 ______． 12．（26-27九年级上·河南省直辖县级单位·期中）已知二次函数 的图象如图所示，则 ______．（填“”“”或“”） 13．（26-27九年级上·河南·阶段检测）已知抛物线 （ 为常数）． （1）若该抛物线经过点 ，则 ______； （2）若点 ，，， 均在该二次函数的图象上，则 ____． 14．（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）已知三个二次函数 、、 的图象如图所示，那么 、、 的大小关系是______． 15．（26-27八年级上·安徽安庆·阶段检测）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 （ 为常数，）． （1）当 时，抛物线的顶点坐标是 ______； （2）设抛物线与 轴交于 、 两点（点 在点 左侧），顶点为 ，当 为等边三角形时， 的值为 ______． 16．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，函数 的图象过点 和 ．请思考下列判断： ① ；② ；③ ；④ ； ⑤ 若 ，点 ，， 在抛物线上，且满足 ，则 ． 其中正确的是______．（填序号） 三、解答题（本大题共 8 小题，共 46 分） 17．（4 分）（26-27九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）已知二次函数 ． （1）将 化成 （）的形式，并写出其图象的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出当 时此函数的图象． 18．（5 分）（26-27九年级上·安徽淮南·阶段检测）已知抛物线 经过 ，， 三点． （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的对称轴及最值． 19．（5 分）（26-27九年级上·安徽合肥·期中）已知 ，，， 四个点，抛物线 （）经过其中三个点． （1）点 在抛物线 （）上吗？为什么？ （2）求 与 的值． 20．（6 分）（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数 的图象经过点 ， 两点． （1）试求 、 的值； （2）能否通过上下平移二次函数 的图象，使得到的新函数的图象过点 ？若能，求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由． 21．（6 分）（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知二次函数 （ 为常数）． （1）若 ，请通过配方将二次函数的表达式化成顶点式，并写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标； （2）已知点 ， 是两个不同的点，都在该二次函数图象上，求 的最大值． 22．（6 分）（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线 与直线 相交于 、 两点．点 为直线 上方抛物线上任意一点，过点 作 轴的垂线交 于点 ，交 轴于点 ． （1）设点 的横坐标为 ，线段 的长为 ，求 关于 的函数表达式，并求出 的最大值； （2）当点 是 的中点时，求点 的坐标． 23．（7 分）（26-27九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知抛物线 （）经过点 ． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点 和 分别在抛物线 和 上（、 与原点不重合）．当 时，若 是一个与 无关的定值，求 的值． 24．（7 分）（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，已知二次函数 （、 为常数）的图象经过点 、，顶点为 ，过点 作 轴，交 轴于点 ，交二次函数图象于点 ，连接 ． （1）求该二次函数的表达式及点 的坐标； （2）若将该二次函数图象向上平移 （）个单位长度，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在 的内部（不包括 的边界），求 的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.2 二次函数的图象和性质课堂同步分层训练卷 2026-2027 学年沪科版九年级数学上册 （满分 100 分　考试时间 60 分钟） 班级：__________　姓名：__________　学号：__________　得分：__________ 【分层建议】A 层（基础）：第 1—3、6、11—13 题，第 17—19 题；B 层（提升）：第 1—8、11—15 题，第 17—22 题；C 层（拓展）：全卷． 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）抛物线 的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 的顶点为 ．这里 ，，故顶点坐标为 ． 2．（26-27九年级上·安徽六安·期中）将抛物线 先向右平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】抛物线平移遵循左加右减、上加下减的规律：向右平移 2 个单位得 ，再向上平移 3 个单位得 ． 3．（2026·安徽淮北·模拟预测）如图，二次函数 （）的图象所在坐标系的原点可能是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【解析】 的对称轴为直线 ，当 时 ，即图象与 轴交于点 ．结合图象可知，抛物线的顶点在 轴右侧且与 轴交于正半轴，对照四个候选原点，只有点 满足要求． 4．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）下列函数中，当 时， 的值随 值的增大而减小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A 开口向下、对称轴为 轴，当 时 随 增大而减小，故 时也减小；B、D 开口向上，不满足；C 开口向下但对称轴为 ，当 时 随 增大而增大，不满足． 5．（26-27九年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点 在抛物线 上运动，过点 作 轴于点 ，以 为对角线作矩形 ，连接 ，则对角线 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，抛物线的顶点坐标是 ．∵ 轴于点 ，∴当点 在抛物线的顶点处时 最小，最小值为 ．∵四边形 是矩形，∴，∴对角线 的最小值是 ． 6．（2026·安徽淮南·一模）若二次函数 与一次函数 （）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由抛物线开口向上得 ；由一次函数图象得 ，，即 ，∴，A 错误．当 时，抛物线 ，直线 ，由图象得 ，即 ，B 错误．当 时，抛物线 ，直线 ，由图象得 ，即 ，∵，∴ 的正负不能确定，C 错误．当 时，由图象得 ，∴，代入 得 ，即 ；又 且 ，∴，即 ，∴，D 正确． 7．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，一段抛物线 （），记为 ，它与 轴交于点 ，；将 绕点 旋转 得 ，交 轴于点 ；将 绕点 旋转 得 ，交 轴于点 ；……如此进行下去，若 是其中某段抛物线上一点，则 为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，与 轴交于 ，；旋转 后 ，；同理 ，……归纳得 ．∵，∴点 在抛物线 上，把 代入 得 ，∴． 8．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数 ，当自变量 满足 时， 的最大值为 ， 的最小值为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，开口向下，对称轴 在 内，故 时取最大值 ；当 时取最小值，即 ，解得 ，所以 ． 9．（26-27九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图是二次函数 （）图象的一部分，对称轴为直线 ，且经过点 ，下列选项正确的是（　　） A． B． C．若 ，则 时的函数值小于 时的函数值 D． 【答案】D 【解析】图象开口向下，∴；对称轴 ，∴，即 ，∴，，A 错误．图象经过 ，∴，B 错误．图象开口向下、对称轴为 ，离对称轴越远函数值越小．∵，∴ 到对称轴的距离小于 到对称轴的距离，∴ 时的函数值大于 时的函数值，C 错误．由 、 得 ，∴．∵，，∴，即 ，D 正确． 10．（2026·福建漳州·模拟预测）如图 1，在 Rt 中，，， 分别是边 ， 上的动点，且 ， 是 的中点，连接 ，，，设 ， 的面积为 ，图 2 是 关于 的函数图象，则下列说法不正确的是（　　） A． 是等腰直角三角形 B． C． 的周长可以等于 D．四边形 的面积为 【答案】C 【解析】由 关于 的图象可知，当 取最大值时抛物线取到顶点，且对称轴为 ，从而可求得两直角边长，再利用 SAS 证 ，进而逐项判断．由全等可得 ，且 ，故 是等腰直角三角形，A 正确；由图象可求得 ，B 正确；当 与 （或 ）重合时 最大，由勾股定理得 ，，即 的最大值为 ，∴ 周长的最大值为 ，∴周长不可能等于 ，C 错误；由 得 ，∴，D 正确．故不正确的是 C． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）函数 的图象的顶点在直线 上，则 的值是 ______． 【答案】3 【解析】，顶点为 ；代入 得 ，所以 ． 12．（26-27九年级上·河南省直辖县级单位·期中）已知二次函数 的图象如图所示，则 ______．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】由图象得抛物线的对称轴为直线 ，∴由对称性可知， 时的函数值与 时的函数值相同．由函数图象可知，当 时 ，∴当 时 ，即 ． 13．（26-27九年级上·河南·阶段检测）已知抛物线 （ 为常数）． （1）若该抛物线经过点 ，则 ______； （2）若点 ，，， 均在该二次函数的图象上，则 ____． 【答案】1；2 【解析】（1）把 代入得 ，解得 ．（2）由根与系数的关系得 ，；又 ，所以 ，同理 ，故 ． 14．（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）已知三个二次函数 、、 的图象如图所示，那么 、、 的大小关系是______． 【答案】 【解析】∵ 的图象开口向上，∴；∵ 与 的图象开口向下，∴，．∵ 的图象开口比 的图象开口大，∴，∴． 15．（26-27八年级上·安徽安庆·阶段检测）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 （ 为常数，）． （1）当 时，抛物线的顶点坐标是 ______； （2）设抛物线与 轴交于 、 两点（点 在点 左侧），顶点为 ，当 为等边三角形时， 的值为 ______． 【答案】； 或 【解析】（1） 时 ，顶点为 ．（2）令 得 ，故 ，，，顶点 ．等边三角形的高为 ，故 ，即 或 ． 16．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，函数 的图象过点 和 ．请思考下列判断： ① ；② ；③ ；④ ； ⑤ 若 ，点 ，， 在抛物线上，且满足 ，则 ． 其中正确的是______．（填序号） 【答案】①②④⑤ 【解析】∵图象开口向下，∴；对称轴在 轴右侧，∴，得 ，∴，①正确．由图可知，当 时抛物线在 轴下方，∴，②正确．由图象过 得 ，即 ；又过 得 ，代入得 ，∵，∴，③错误．④中左式 ，∵图象交 轴于正半轴，∴，即 ，∴，④正确．⑤∵，∴对称轴为直线 ，图象开口向下，离对称轴越近函数值越大．由 得 ，解得 ，⑤正确．故填①②④⑤． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 46 分） 17．（4 分）（26-27九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）已知二次函数 ． （1）将 化成 （）的形式，并写出其图象的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出当 时此函数的图象． 【答案】（1），顶点坐标为 ；（2）图象略（见图）． 【解析】（1），顶点坐标为 ． （2）列表： 时 ；描点、连线，注意 处取空心点，图象开口向上、关于直线 对称． 18．（5 分）（26-27九年级上·安徽淮南·阶段检测）已知抛物线 经过 ，， 三点． （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的对称轴及最值． 【答案】（1）；（2）对称轴为直线 ，函数有最大值 ． 【解析】（1）把 代入得 ；再把 、 分别代入，得 ，，解得 ，，故 ． （2），故对称轴为直线 ，函数有最大值 ． 19．（5 分）（26-27九年级上·安徽合肥·期中）已知 ，，， 四个点，抛物线 （）经过其中三个点． （1）点 在抛物线 （）上吗？为什么？ （2）求 与 的值． 【答案】（1）点 不在抛物线上；（2），． 【解析】（1）若点 在抛物线上，由对称轴 知 就是顶点，则 ； 把 代入得 ，，与 矛盾，故点 不在抛物线上． （2）抛物线经过 、、： 由 、 关于直线 对称，代入得 ；把 代入得 ． 两式相减得 ，所以 ，． 20．（6 分）（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数 的图象经过点 ， 两点． （1）试求 、 的值； （2）能否通过上下平移二次函数 的图象，使得到的新函数的图象过点 ？若能，求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由． 【答案】（1），；（2）能，把图象向下平移 个单位长度． 【解析】（1）把 代入得 ；把 代入得 ，解得 ，故 ． （2）当 时，，即原图象上的点为 ． 点 向下平移 个单位得到 ，故把图象向下平移 个单位长度即可． 21．（6 分）（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知二次函数 （ 为常数）． （1）若 ，请通过配方将二次函数的表达式化成顶点式，并写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标； （2）已知点 ， 是两个不同的点，都在该二次函数图象上，求 的最大值． 【答案】（1），开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ；（2）． 【解析】（1） 时，，故开口向上，对称轴为直线 ，顶点为 ． （2）抛物线对称轴为直线 ．因 、 纵坐标相同且不重合，故两点关于对称轴对称， 所以 ，解得 ，即 ，点 在对称轴上． 于是 ，故 的最大值为 ． 22．（6 分）（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线 与直线 相交于 、 两点．点 为直线 上方抛物线上任意一点，过点 作 轴的垂线交 于点 ，交 轴于点 ． （1）设点 的横坐标为 ，线段 的长为 ，求 关于 的函数表达式，并求出 的最大值； （2）当点 是 的中点时，求点 的坐标． 【答案】（1）（）， 的最大值为 ；（2）． 【解析】（1）令 ，整理得 ，解得 或 ，故 ． 因为 在直线 上方，所以 ， ，当 时 取最大值 ． （2）点 是 的中点，而 在 轴上，故点 的纵坐标是点 纵坐标的一半： ，整理得 ， 或 （舍去），故 ． 23．（7 分）（26-27九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知抛物线 （）经过点 ． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点 和 分别在抛物线 和 上（、 与原点不重合）．当 时，若 是一个与 无关的定值，求 的值． 【答案】（1）对称轴为直线 ；（2）． 【解析】（1）把 代入得 ，所以 ，对称轴为直线 ． （2），． 由 得 ，即 ， 所以 ．该式与 无关，须 ，故 ． 24．（7 分）（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，已知二次函数 （、 为常数）的图象经过点 、，顶点为 ，过点 作 轴，交 轴于点 ，交二次函数图象于点 ，连接 ． （1）求该二次函数的表达式及点 的坐标； （2）若将该二次函数图象向上平移 （）个单位长度，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在 的内部（不包括 的边界），求 的取值范围． 【答案】（1），；（2）． 【解析】（1）把 代入得 ；把 代入得 ，解得 ． 故 ，顶点 ． （2）由 轴知 ，令 得 或 ，故 ，． 直线 ：；直线 ：．平移后顶点为 ， 当 时， 上对应点的纵坐标为 ， 上对应点的纵坐标为 ， 由 得 ． 学科网（北京）股份有限公司 $