精品解析：湖北省鄂州市2026-2027学年八年级上学期期中考试数学试题

2026年秋季学期期中质量监测试题 八年级数学 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列中，为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 如图，在中，，，点为边上一点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，，，则（ ） A. 2 B. 8 C. 5 D. 3 5. 如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路、、两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是（ ） A. 各边垂直平分线的交点 B. 中线的交点 C. 高的交点 D. 内角平分线的交点 7. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 在中，如果，那么，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 9. 如图，已知，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，分别是，，的平分线，三条角平分线交于点，与交于点．下列结论：①；②是等腰三角形；③当时，是直角三角形．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 如图，燕矶长江大桥是鄂州新建的双层跨江大桥，它的钢桁梁部分采用三角形钢架结构，这是利用了三角形的________． 12. 已知a、b、c是的三条边长，化简的结果为______． 13. 如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，则点到的距离为______． 14. 如图所示，坐标平面上，，其中，，的对应顶点分别为，，，且，若点的坐标为，，两点的纵坐标都是，，两点在轴上，则点到轴的距离为________． 15. 如图，在中，，，，，是斜边上的两个动点，且． ①若，则________；②的最小值是________． 三．解答题（共9题，共75分） 16. 如图，，垂足为E，．求证． 17. 按要求解题 （1）等腰三角形的一个角是，它的另外两个角是多少度？ （2）等腰三角形的一边长是，周长是，它的另外两边长是多少？ 18. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C与点A关于y轴对称． （1）写出点C的坐标； （2）画出关于y轴对称的； （3）已知横坐标与纵坐标都是整数的点叫作格点，若平面内有一格点E，使得与全等，写出所有点E的坐标（点B与点E不重合）． 19. 如图，在中，，是的垂直平分线，垂足为点，交于点，连接． （1）若，求的度数； （2）若的周长为，，求的周长． 20. 如图，一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，早上8时，在处测得小岛在北偏东方向上，轮船继续向东航行，早上10点到达处，并测得小岛在北偏东方向上． （1）求此时轮船与小岛的距离； （2）已知小岛周围18海里内有暗礁，若轮船仍向东航行，有无触礁危险？请说明理由． 21. 如图，在中，，平分，过点分别作、，垂直平分，垂足分别为，，，连接． （1）若，，求的长； （2）若，求的度数． 22. 已知点P在∠MON内． （1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP． ①若∠MON=50°，则∠GOH=______； ②若PO=5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH=10； （2）如图2，若∠MON=60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当PAB的周长最小时，求∠APB的度数． 23. 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折、旋转或“截长补短”作辅助线等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，弱化条件，变更载体．而构建模型，可把握问题的本质． 【问题提出】 （1）如图，四边形是正方形，，分别在边和上，且（此时），小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点顺时针旋转得到后，如图，进而证明________，可得出结论，他的结论应是________． 【触类旁通】 （2）如图，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【知识应用】 （3）鄂州灵玲野生动物园修建观光步道，在观景台设置调度中心．如图，、是园内打卡点，且．打卡点在点北偏西方向，打卡点在点南偏东方向．观光电瓶车从出发，以米/分的速度向正东行驶；观光小火车从出发，以米/分的速度沿北偏东方向巡视．2分钟后，电瓶车到达点，小火车到达点，此时测得，求此时两车之间的距离（单位：米）．（可利用以上结论） 24. 如图，锐角中，于，且的垂直平分线分别交、、边于点、、，分别连接、． （1）求证：是等腰三角形； （2）过点作于，当时，求的度数； （3）如图，在（2）的条件下，、、分别是边、、上的动点． ①若动点从开始以的速度向点运动，动点从开始以的速度向点运动，两点同时出发，同时停止，当且为直角三角形时，请直接写出运动时间的值为________； ②若，，当是等边三角形时，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期期中质量监测试题 八年级数学 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列中，为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察各图形的形状特征，判断是否存在对称轴． 【详解】解：A、B、C选项中的图形均无法找到一条直线使折叠后两部分重合，不是轴对称图形；D选项中的图形可以找到对称轴，折叠后两部分重合，是轴对称图形． 2. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形中较小两边之和大于第三边的知识，逐项判断即可． 【详解】解：A项，，无法构成三角形，此项不符合题意； B项，，能构成三角形，此项符合题意； C项，，无法构成三角形，此项不符合题意； D项，，无法构成三角形，此项不符合题意． 3. 如图，在中，，，点为边上一点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行线的性质得，进而根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 4. 如图，，，，则（ ） A. 2 B. 8 C. 5 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等；根据全等三角形的性质得出，进而根据线段的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵，， ∴, 故选：C． 5. 如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，，，则，不符合题意； B、，，，则，不符合题意； C、由得到，而，，则，不符合题意； D、，，，不能证明全等，该选项符合题意． 6. 如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路、、两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是（ ） A. 各边垂直平分线的交点 B. 中线的交点 C. 高的交点 D. 内角平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了角平分线的性质的实际应用，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在和的角平分线的交点处，即可得出答案． 【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点处， 故选：D． 7. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方的性质先确定原来的点横坐标大于，纵坐标小于，再根据关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，得到对称点横坐标大于，纵坐标也大于，从而判断其所在象限． 【详解】解：， ． 点关于轴的对称点坐标为． ，， 该对称点在第一象限． 8. 在中，如果，那么，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的概念，掌握“在三角形中，大边对大角”知识是解题的关键． 先根据三角形概念得到、、的对角分别为、、，再根据得出结论． 【详解】解：∵在中， ， 又∵、、的对角分别为、、， ∴． 故选：B． 9. 如图，已知，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先由全等三角形的性质得到，，然后利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴． 10. 如图，在中，，，，分别是，，的平分线，三条角平分线交于点，与交于点．下列结论：①；②是等腰三角形；③当时，是直角三角形．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边对等角、角平分线的性质以及三角形的外角性质可推出， 即可判断①；由角平分线的性质结合平行线的性质可推出， 再根据等角对等边即可判断②；证明是等边三角形， 由角平分线的性质结合三角形内角和定理可得，即可判断③ ． 【详解】解：， ． ，平分， ， ， ，故①正确； ． 平分， ， ， ，即是等腰三角形，故②正确； 当时，是等边三角形， ． 平分， ． ， ． ，平分， ． 在中，， 是直角三角形，故③正确． 综上所述，正确的结论有3个． 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 如图，燕矶长江大桥是鄂州新建的双层跨江大桥，它的钢桁梁部分采用三角形钢架结构，这是利用了三角形的________． 【答案】稳定性 【解析】 【详解】解：根据三角形的性质可知，这是利用了三角形的稳定性． 12. 已知a、b、c是的三条边长，化简的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系定理，绝对值的化简，合并同类项，掌握相关知识是解决问题的关键．先根据三角形三边关系定理确定代数式的正负，然后根据绝对值的性质进行化简，最后合并同类项即可． 【详解】解：∵a、b、c是的三条边长， ∴， ∴， ， ， ． 13. 如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，则点到的距离为______． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的性质和作图，过点E作于点H，根据角平分线的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：过点E作于点H，如图， 由题中作图可知，平分， ∵，即， ∴， 即点到的距离为3， 故答案为：3 14. 如图所示，坐标平面上，，其中，，的对应顶点分别为，，，且，若点的坐标为，，两点的纵坐标都是，，两点在轴上，则点到轴的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，过点作，过点作，根据点的坐标和等面积法可以求出，根据全等三角形的性质可以求出，所以点到轴的距离为. 【详解】解：如下图所示，过点作，过点作，过点作， ，两点的纵坐标都是， 轴， 点的纵坐标是， 点的坐标为， ， ，， ， ， ， 点到轴的距离为． 15. 如图，在中，，，，，是斜边上的两个动点，且． ①若，则________；②的最小值是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半可以求出的长度，根据即可求出的长度； ②过点作，令，可证，根据全等三角形对应边相等可证，可得，根据三角形三边之间的关系可知，利用勾股定理求出的值即为的最小值． 【详解】①解：在中，，， ，， 当时， ， ， ， ， ； ②解：如下图所示，过点作，令，连接 则有， ，， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 在中，， 的最小值为． 三．解答题（共9题，共75分） 16. 如图，，垂足为E，．求证． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴． 【解析】 【分析】此题考查了三角形的全等的判定和性质．证明，根据全等三角形对应边相等即可得到结论． 【详解】略 17. 按要求解题 （1）等腰三角形的一个角是，它的另外两个角是多少度？ （2）等腰三角形的一边长是，周长是，它的另外两边长是多少？ 【答案】（1） 另外两个角均为 （2） 另外两边长为和或和 【解析】 【分析】（1）先判断角只能为等腰三角形的顶角，结合等腰三角形底角相等与三角形内角和计算底角度数； （2）分边长为的边是腰、底边两种情况，结合周长计算边长后，用三角形三边关系验证是否成立． 【小问1详解】 解： 若为底角，则两底角和为，不符合内角和定理； ∴为顶角， ∴底角的度数为，即另外两个角均为； 【小问2详解】 解：分两种情况讨论： ① 当长为的边为腰时： 底边长为， ∵，满足三角形三边关系， ∴另外两边长为和； ② 当长为的边为底边时： 腰长为 ， ∵，满足三角形三边关系， ∴另外两边长为和； 综上所述，另外两边长为和或和． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C与点A关于y轴对称． （1）写出点C的坐标； （2）画出关于y轴对称的； （3）已知横坐标与纵坐标都是整数的点叫作格点，若平面内有一格点E，使得与全等，写出所有点E的坐标（点B与点E不重合）． 【答案】（1） （2） 如图，即为所求． （3）点E的坐标为或或 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换、全等三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质、全等三角形的判定是解答本题的关键． （1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得答案； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）结合全等三角形的判定确定点E的位置，即可得出答案． 【小问1详解】 解：点C与点关于y轴对称， 点C的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，点，，均满足题意， 点E的坐标为或或． 19. 如图，在中，，是的垂直平分线，垂足为点，交于点，连接． （1）若，求的度数； （2）若的周长为，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得的度数，再由线段垂直平分线的性质可得，可求出的度数，即可求解； （2）根据题意可得到的长，再由线段垂直平分线的性质可得，然后根据三角形周长的公式解答即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵的周长为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长． 20. 如图，一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，早上8时，在处测得小岛在北偏东方向上，轮船继续向东航行，早上10点到达处，并测得小岛在北偏东方向上． （1）求此时轮船与小岛的距离； （2）已知小岛周围18海里内有暗礁，若轮船仍向东航行，有无触礁危险？请说明理由． 【答案】（1）40海里 （2） 如图，过点作射线的垂线，交射线于点C， ∵， ∴， ∵， ∴， 在直角中，，， （海里）， ， 若轮船仍向东航行，则没有触礁危险． 【解析】 【分析】本题考查方位角的概念，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理与外角的性质，掌握好方位角的概念和三角形中角度的关系是解题关键． （1）由题意可知，，，则，可得； （2）过点作射线的垂线，交射线于点C，根据题意可得．由含角的直角三角形的性质可得，．求出的值后，与18进行比较，并得出结论． 【小问1详解】 解：由题意可知，（海里），，， ∴， ∴， ∴海里； 【小问2详解】 略 21. 如图，在中，，平分，过点分别作、，垂直平分，垂足分别为，，，连接． （1）若，，求的长； （2）若，求的度数． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，结合角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质可得，可得，同理，可得，即可求解； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，再由等腰三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵平分，、， ∴， ∵垂直平分， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴． 22. 已知点P在∠MON内． （1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP． ①若∠MON=50°，则∠GOH=______； ②若PO=5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH=10； （2）如图2，若∠MON=60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当PAB的周长最小时，求∠APB的度数． 【答案】（1）①100°；②当时，；（2） 【解析】 【分析】（1）①根据对称性可得，即可得到OM平分，ON平分，进而得出∠GOH的值； ②当时，，此时在同一直线上，可得； （2）设点P关于OM、ON对称点分别为，当点A、B在上时，PAB周长的最小，根据轴对称的性质，可求出的度数． 【详解】解：（1）①关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H， ， 平分， 同理得，ON平分， ， 故答案为：100°； ②O=5， 当时， 在同一直线上， ； （2）如图，分别作点P关于OM、ON的对称点，连接交于点A、B，连接PA，PB， 则AP=，此时PAB周长的最小值等于的长， 由对称性可得， 同理可得 ． 【点睛】本题考查轴对称——最短路线问题，涉及角平分线性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 23. 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折、旋转或“截长补短”作辅助线等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，弱化条件，变更载体．而构建模型，可把握问题的本质． 【问题提出】 （1）如图，四边形是正方形，，分别在边和上，且（此时），小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点顺时针旋转得到后，如图，进而证明________，可得出结论，他的结论应是________． 【触类旁通】 （2）如图，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【知识应用】 （3）鄂州灵玲野生动物园修建观光步道，在观景台设置调度中心．如图，、是园内打卡点，且．打卡点在点北偏西方向，打卡点在点南偏东方向．观光电瓶车从出发，以米/分的速度向正东行驶；观光小火车从出发，以米/分的速度沿北偏东方向巡视．2分钟后，电瓶车到达点，小火车到达点，此时测得，求此时两车之间的距离（单位：米）．（可利用以上结论） 【答案】（1）； （2）仍然成立，理由如下： 如图，将绕点顺时针旋转至的位置， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴点G，B，E三点共线， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）100米 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，从而得到，，进而得到点G，B，E三点共线，，可证明，从而得到，即可解答； （2）根据旋转的性质可得，从而得到，，进而得到点G，B，E三点共线，，可证明，从而得到，即可解答； （3）延长交于点E，根据题意可得，再由， ，可得符合【触类旁通】中的条件，从而得到，即可解答． 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴，， ∴点G，B，E三点共线， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长交于点E， 根据题意得：， ∵， ∴， ∵， ， ∴符合【触类旁通】中的条件， ∴， 根据题意得：米，米， ∴此时两车之间的距离米． 24. 如图，锐角中，于，且的垂直平分线分别交、、边于点、、，分别连接、． （1）求证：是等腰三角形； （2）过点作于，当时，求的度数； （3）如图，在（2）的条件下，、、分别是边、、上的动点． ①若动点从开始以的速度向点运动，动点从开始以的速度向点运动，两点同时出发，同时停止，当且为直角三角形时，请直接写出运动时间的值为________； ②若，，当是等边三角形时，请求出的长． 【答案】（1）证明：∵，即， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2） （3）①4或；② 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，即可求证； （2）先证明，再证明为等边三角形，即可解答； （3）①分两种情况：当时，当时，结合直角三角形的性质，即可求解； ②在上取点G，使，证明，可得，再结合三角形外角的性质可得，根据直角三角形的性质可得，进而得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：同理（1）得：是等腰三角形，， ∵垂直平分， ∴，， ∴平分，即， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 【小问3详解】 解：①根据题意得：，则， 由（2）得：， 如图，当时，此时， ∴， ∴， 解得：； 如图，当时，此时， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，运动时间的值为4或； ②如图，在上取点G，使， 由（2）得：， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $