山西省太原市2026-2027学年高三上学期11月期中阶段学业诊断数学试题

20262027学年第一学期高三年级阶段学业诊断 数学答案 一、选择题： 1-8 CBADBCDC 二、多项选择题： 9.AD 10.ABD 11.BCD 三、填空题： 3 12.2. 13.62. 14.-18-9V3 四、解答题： 15.解：1)若m-3。 f)=9-103-2 3 …1分 /2-39-0-2239103+120 3 3 …2分 令t=3”,t>0,则不等式变为31-10t+3≥0 …4分 t≤ 3≤ t≥3或3,3≥3或3，x≥1或x≤-1 ∴不等式的解集为≤-或x≥} 6分 (2)若m=0,f()=9-3-2 爱=%叶2训，得] …8分 则()=-1-2，对称轴为=2，开口向上， t= 9 所以最小值为 八2 4,最大宣为f6)=4 …11分 asn地「子 。。。。。。。。。。。。。。 …13分 l6.解：(1)由tan4cosB+sinB=2sinC, 即sinAc0sB+c0 sAsinB=2 sinCe0sA,…2分 sinAcosB+cos4sinB=sin(+B)=sin(-C)=sinc …4分 所以sinC=2 sinCcosA, 以cosA= 在△ABC中，A,C∈(0，π)，sinC≠0，所以o Aπ ,则3；…6分 29由B=8,40=5,4= 3， 由余弦定理可得 BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos4=52+82-80× =49 2 …8分 cosC=4C+BC2-4B 1 所以BC=7,则 2AC.BC 7: …10分 sinC=4v3 sin/CBD=2 00S/CBD=V③ 易 7, 2，… …12分 所以sin∠BDC=sin(-C-∠DBC)=sin(C+∠DBC) =sinCeos/CBD+cosCsinCBD=13 14,… …13分 CB CD →CD=7x 1,.149 sin∠CDB sin∠CBD 213-13 由正弦定理得 14 …15分 17.解：(1)a1=Sn+1-Sn. 故原式为：2S,=S1-,-1,即：S1=3S+1, 3as+片8+s+ 等式两侧同时加2得： 1 Sn1+ 2=3 1 S+ 即 2 4分 .13 S,+5= 当n=l时， 22,… …5分 ,1 3 数列”2是以2为首项，3为公比的等比数列 3=73”8=3 13 1 S+22 2，故 2 2 …8分 =13-1-1 (2)0,=S,-S1,故 ，2322 1+1 =3- 则6=3n-a=3n-3- 故当n≤3时3n-3"-≥0. 当n>3时3n-3m-<0,10分 7=3+6+3n-3”-3--3_6+3m）130-3）_-3”+3n2+3n+1 当n≤3时， 2 1-3 当0>3时. =27-3”+3m+3n+1-10-3”+3m2+3n+1_3-3n2-3n+19 2 2 -3"+3n2+3n+1 n≤3 T= 2 3"-3n2-3n+19 n>3 故 …15分 18.解：(1)因为D⊥平面DABC,而DCC平面DABC,所以D⊥DC, 又DC⊥A,D∩VA=',D,Ac平面AD,所以DC⊥平面DA, 而DAC平面DA,所以DC⊥DA. 因为AB2+DA=DB2,所以DA⊥AB,在底面DABC上，可知ABIIDC, 又DC￠平面VAB,ABc平面'AB, 所以DCII平面VAB …4分 (2)设D7=a,DA=b, Dm=c.则同-月=2.同=5，a-6=ac=0. 6-c=V5x2x5-3 2 如图，连接G并延长交AB于点M,连接DM,则 、C DG=D+6=D+3M-D+3(DM-D）D+号xDi+DB)-(a++d) 两kf方熟d-号+8++2i625+25司 d-4+34+o-号.- 8分 (3)设DC=m,CB=n,则m2+n2=4①，因DC⊥CB,如图， 过点C作D的平行线Cz,分别以CD,CB,Cz所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系 C-xyz. 此时有C(00,0),D(m,0,0),B(0,m0).V(m,0,2) 因D5=(←m儿，0，DF=(0,02),设平面DB的法向量为n=(c2), n.DB=-mx+ny =0 则n-DF=2z=0,故可取n=(m,m,0), …12分 又CB=(0,m,0),CT=(m0,2）,设平面CB的法向量为m=(x,y,2) m.CB =ny=0 则m:CT=mr+2z=0,故可取m=(2,0-m） …14分 2n cos(m,n) m·n m2+n2.vm2+4 Vm2+4 则 由题意， /1-cos(m,=V42 √42 ,即V m2+47,② 联立①②，解得m=3,n2=L,故DC=m=V5 …17分 19.解：1)当a=0时，f()=-血x,定义域为(0，+o）,f'(y-血r-l, r0为后ra)0,g2 1 t 所以函数f(~)有极大值 …4分 (2)由愿意得，f'(x)=2ar-lnr-1 @4“2,2r--1-m-=-r-,则- 1 a之 当x>1时，h()>0,则h(x)在（L,+o)上单调递增， 所以h()>h(0=0,所以当x>1时，x-lx-1>0, 所以∫"()>0，所以f()在（山+o)上单调递增， 型小0=，两u小 …7分 e0a,a=2ar-r-1g1小-2a 0-2o10,原a.r0,所e 我水0-=e片，质0 1 0<a< 2不符合题意. 10分 ③当a≤0，x>1时，∫'()=2ar-lmr-1<0,所以f()在(，+o)上单调递减， 所以（因）k/0=a<2,所以u≤0不符合短数 综上，实数0的取值范阔是及+” …12分 0E:白ya.-克--m>所B2re刘 a= .hx<x-(x>1) 当x>l时，lnxr<2lnx,所以 13分 x=n+ln” n+l n+1 n 2n+1 令n,得nnn+1n(n+I) 2n+1>nl 即n(n+1) n …15分 2025 232026 =ln2026 2025 22n+1>ln2026 即后n(n+l) ，…17分 2026~2027学年第一学期高三年级阶段学业诊断 数学 （考试时间：上午8:00—10:00） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页． 2．回答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考试编号填写在答题卡上． 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效． 4．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．复数的虚部为 A． B． C． D． 3．“且”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设向量，，若，则 A． B． C． D． 5．下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是 A． B． C． D． 6．等差数列前项和为，，，则正确的为 A． B． C．数列的公差为2 D． 7．若点为函数的图象的一个对称中心，则的最小值为 A． B． C． D． 8．某个封闭的圆锥形容器（容器壁厚度忽略不计）的轴截面是边长为8的等边三角形，一个半径为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁（包括侧面与底面面积之和）的最大面积为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若不等式对任意正数x，y恒成立，则实数m的值可以为 A． B． C． D． 10．在正三棱柱中，各棱长均为1，为的中点，则下列选项正确的是 A． B． C．平面 D．三棱锥外接球表面积为 11．记内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，则下列选项错误的是 A．角A的最大值为 B． C． D．的取值范围是 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．指数函数的图象经过点，则_____________． 13．设等比数列的公比，且，，则_____________． 14．给定任意三角形，以它的三边为底，向外（或向内）各作一个等边三角形，再把这三个等边三角形的中心（外心）连起来，得到的三角形就是拿破仑三角形，它一定是等边三角形．向外作的叫外拿破仑三角形，如图1所示的，向内作的叫内拿破仑三角形，如图2所示的．在中，已知，，的面积为，的面积为，则的最小值等于_____________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 已知函数． （1）若，解不等式； （2）若，求在区间上的值域． 16．（本小题15分） 在中，，，． （1）求角的大小； （2）若线段上点满足，求的长． 17．（本小题15分） 设数列的前项和为，已知，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 18．（本小题17分） 如图，四棱锥中，底面，，，． （1）若，证明：平面； （2）若点为的重心，求； （3）若，且二面角的正弦值为，求． 19．（本小题17分） 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）对任意，恒成立，求的取值范围； （3）求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $