专题13 二元一次方程组的实际应用（高效培优专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

专题13 二元一次方程组的实际应用 题型一、年龄问题 题型二、分配问题 题型三、和差倍分问题 题型四、古代问题 题型五、方案问题 题型六、行程问题 题型七、工程问题 题型八、销售、利润问题 题型九、几何图形问题 题型十、数字问题 题型一、年龄问题 1．如图是小颖与哥哥的对话，根据对话信息，下面结论正确的是（     ） A．哥哥比小颖大6岁 B．哥哥比小颖大7岁 C．哥哥比小颖大8岁 D．哥哥比小颖大9岁 【答案】A 【分析】利用年龄差不变列出二元一次方程组，解出两人现在年龄，相减求出年龄差，选出正确选项． 【详解】解：设哥哥现在x岁，小颖现在y岁，根据题意得到二元一次方程组： ，即 解得： ∴年龄差：，即哥哥比小颖大6岁． 2．爸爸今年34岁，子女两人的年龄和是16岁，两年后，妹妹年龄的3倍与哥哥的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．哥哥和妹妹今年的年龄分别是（   ） A．9岁、7岁 B．10岁、6岁 C．12岁、4岁 D．12岁、6岁 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 设哥哥今年年龄为岁，妹妹为岁，根据年龄和与两年后的条件列方程组求解． 【详解】解：设哥哥今年年龄为岁，妹妹为岁 ∵ 今年子女年龄和， 两年后爸爸年龄为岁， 且， 化简得：， 联立方程： ， ② − ①得：， ， 代入①得：. 故原方程组的解为 ∴ 哥哥岁，妹妹岁； 故选：B. 3．寄宿学校老师对学生说：我像你这样大时，你才1岁。等你长到我这样大时，我40岁了。试问，今年老师_________岁？学生_________岁？ 【答案】 27 14 【分析】抓住年龄差不变的特点，设出老师和学生今年的年龄，根据题意列二元一次方程组求解． 【详解】解：设今年老师岁，学生岁，两人的年龄差始终不变，根据题意可得 解得， 所以今年老师27岁，学生14岁． 4．聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7．则聪聪______岁． 【答案】14 【分析】设聪聪的年龄为岁，妈妈的年龄为岁，根据“过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7”，即可得出关于，的二元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设聪聪的年龄为岁，则妈妈的年龄为岁， 根据题意得：， 解得：， ∴聪聪的年龄为岁． 5．小明和小亮比年龄．小明说：“再过年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过年，我的年龄就是你现在年龄的倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄．（列二元一次方程组解应用题） 【答案】小明现在岁，小亮现在岁． 【分析】设小明现在岁，小亮现在岁，根据题意得，然后解方程组即可． 【详解】解：设小明现在岁，小亮现在岁， 根据题意得， 解得：， 答：小明现在岁，小亮现在岁． 题型二、分配问题 6．2024年4月3日，我国台湾省发生7.3级地震，某公益组织为灾区人民送去了大量的物资，其中就有1000份面包，全部分发给某村300位灾民，其中成人一人分4份，小孩一人分3份，问分别有多少成人和小孩？若设成人有x人，小孩有y人，则可列二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 根据面包总数为1000份，灾民人数为300位，列方程组即可． 【详解】解：设成人有x人，小孩有y人， 由题意可得，， 故选：A． 7．某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶．购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元． (1)求大、小两种垃圾桶的单价； (2)该校购买10个大垃圾桶和26个小垃圾桶共需多少元？ 【答案】(1)大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为60元 (2)3360元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、有理数混合运算的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和算式是解题的关键． （1）设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元，根据“购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元”列出关于x，y的二元一次方程组求解即可； （2）利用总价、单价、数量列式计算即可． 【详解】（1）解：设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元， 根据题意得：，解得： 答：大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为60元． （2）解：根据题意得：元 答：该校购买10个大垃圾桶和26个小垃圾桶共需3360元． 8．已知2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货11吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货13吨．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)某物流公司现有32吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，且恰好一次运完．请求出所有租车方案． (3)在（2）的条件下，若A型车每辆需租金80元/辆，B型车每辆需租金100元/辆，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货5吨 (2)该物流公司共有2种租车方案：方案1：租4辆A型车，4辆B型车；方案2：租9辆A型车，1辆B型车 (3)租4辆A型车，4辆B型车最少，最少租车费为720元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用以及列式计算． （1）设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货11吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货13吨”，即可得出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据租用的车辆可一次运载货物32吨且恰好每辆车都载满货物，即可得出关于a，b的二元一次方程，求出正整数解，即可得出各租车方案； （3）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨， 依题意得：， 解得， 答：1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货5吨． （2）解：依题意得：， ∵a，b均为正整数， ∴或， ∴该物流公司共有2种租车方案： 方案1：租4辆A型车，4辆B型车； 方案2：租9辆A型车，1辆B型车． （3）解：方案1：租4辆A型车，4辆B型车； 费用为：（元）， 方案2：租9辆A型车，1辆B型车； 费用为：（元）， 答：租4辆A型车，4辆B型车最少，最小费用为元． 9．为加强学生体能素质，某校计划开设球类特色课程，需购买足球、排球共个，据调查，某商城每个足球的价格为元，每个排球的价格为元，经双方议价，按折销售，学校共付款元，求购买足球、排球各多少个？ 【答案】学校共购买了个足球、个排球． 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程组的实际应用，解题关键是根据题意列出正确的方程组并求解． 设购买个足球、个排球，根据题意列出二元一次方程组后求解即可． 【详解】解：设购买个足球、个排球， 根据题意得  ， 解得 ． 答：学校共购买了个足球、个排球． 10．七年（2）班的王老师和张老师带领40名学生去公园野营，大帐篷限住5人，小帐篷限住3人，一共租了10顶帐篷，正好全部住满，求大帐篷和小帐篷各租了多少顶？ 【答案】大帐篷租了6顶，小帐篷租了4顶 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设大帐篷租了x顶，则小帐篷租了顶，根据租用的帐篷正好住人，再根据列出关于x的一元一次方程，可解求得出x的值，再将其代入中，即可求出租用小帐篷的数量． 【详解】解：设大帐篷租了x顶，则小帐篷租了顶， 根据题意得：，解得：， ∴． 答：大帐篷租了6顶，小帐篷租了4顶． 题型三、和差倍分问题 11．某商场甲、乙两个柜台去年十二月份的总营业额为64万元．今年一月份甲柜台的营业额增长了，乙柜台的营业额降低了，且两个柜台的总营业额达到75万元，则甲柜台去年十二月份的营业额为_________万元． 【答案】34 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组来解决现实生活中的应用问题；解题的关键是把握题意，正确列出方程，准确求解计算． 设甲柜台去年十二月份营业额为万元，乙柜台为万元，根据总营业额万元和一月份变化后总营业额万元，列出方程组求解即可． 【详解】解：设甲柜台去年十二月份营业额为万元，乙柜台为万元， 由题意，得方程组 解得 故甲柜台去年十二月份的营业额为万元． 故答案为：． 12．某校为了解学生对不同竞赛科目的感兴趣程度，老师对学生们做了一次“我最喜爱的竞赛科目”问卷调查（只可选择数学、物理、化学、生物学其中1个科目）．若4个科目都有人选且选物理的人数比选生物学的人数少8，选数学的人数是选生物学人数的整数倍，选生物学与数学的人数之和是选物理与化学的人数之和的5倍，选化学与数学的人数之和比选物理与生物学的人数之和多24，则选数学的人数是_______． 【答案】30 【分析】设选物理的有人，则选生物学的有人，选数学的有人， 【详解】解：设选物理的有人，则选生物学的有人，选数学的有人，为正整数， 选化学的有人.依题意得： 联立①②，消去：， ∵均为正整数， ， 为正整数，由①得：， 将的解带入上式，只有当时，， 故选数学的有， 故答案为：． 【点睛】本题考查了应用类问题，二元一次方程的正整数解、二元一次方程组，根据题意列出二元一次方程是解决本题的关键． 13．为促进新质生产力的发展，两江新区出台了相应的补贴政策，鼓励企业进行生产线的设备更新．某企业现有甲、乙两类共30条生产线，根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴． (1)若企业对现有生产线的设备全部进行更新换代，则可获得70万元的补贴，该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ (2)更新换代后，甲、乙两类生产线每条每天都可以生产A部件30件或B部件15件．A部件每件利润12元，B部件每件利润18元．要求所有生产线都要开工且一条生产线每天只生产一种部件，应安排多少条生产线生产A部件，才能保证每天总利润为9000元？ 【答案】(1)该企业甲类生产线有10条，乙类生产线有20条 (2)应安排10条生产线生产A部件 【分析】（1）以两类生产线总数量、总补贴额为等量关系列二元一次方程组求解； （2）以每天总利润为等量关系列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设该企业甲类生产线有x条，乙类生产线有y条. 由题意得： ， 解得：   答：该企业甲类生产线有10条，乙类生产线有20条； （2）解：设应安排m条生产线生产A部件，则安排条生产线生产B部件， 单条生产线生产A部件的日利润为元， 单条生产线生产B部件的日利润为元， 由题意得：， 解得：， 答：应安排10条生产线生产A部件． 14．已知一个三角形的周长为，其中两条边的长度之和等于第三条边长的3倍，而这两边长度的差等于第三条边长的．求这个三角形的三边长． 【答案】三边长分别为，，． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设未知数表示三边长以及三边之间的关系是解题关键． 设两边为、，结合周长表示第三边，然后据“两边和、差与第三边的关系”列方程组，求两边后算第三边． 【详解】解：设三角形其中两边分别为，， 三角形的周长为，两条边的长度之和等于第三条边长的3倍， ， 两边长度的差等于第三条边长的， ， 联立方程得， 解得， 故第三边长度为． 答：三边长分别为，，． 15．有一群鸟，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．若从地上飞到树上1只，则地上的鸟就是整个鸟群的；若从树上飞到地上1只，则树上、地上的鸟就一样多了．你知道树上、地上各有多少只鸟吗？试列方程组解答． 【答案】树上有7只鸟，地上有5只鸟． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设树上有只鸟，地上有只鸟，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设树上有只鸟，地上有只鸟． 根据条件，若从地上飞到树上1只，则地上的鸟为整个鸟群的，得：； 若从树上飞到地上1只，则树上、地上的鸟一样多，得：； 即， 解得：． 答：树上有7只鸟，地上有5只鸟． 16．阅读与人文滋养内心．某校开展阅读经典活动，小明3天里阅读的总页数比小颖5天里阅读的总页数少6页，小颖平均每天阅读的页数比小明平均每天阅读页数的2倍少10页．求小明、小颖平均每天各阅读多少页． 【答案】小明平均每天阅读8页，小颖平均每天阅读6页 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出合适的等量关系． 设小明、小颖平均每天分别阅读x页和y页，根据题意列出相应的方程组求解即可． 【详解】解：设小明、小颖平均每天分别阅读x页和y页， 由题意，得 解得． 答：小明平均每天阅读8页，小颖平均每天阅读6页． 题型四、古代问题 17．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就，其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，下列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“盈”“不足”的含义，分别列总出钱数与物价的等量关系． 【详解】解：设合伙人数为人，物价为钱， ∵每人出8钱，盈3钱， ∴， ∵每人出7钱，不足4钱， ∴， 联立得． 18．小明在阅读《九章算术》时看到一个问题，大意为：只麻雀、只燕子放在天平上，麻雀一端重，燕子一端轻．麻雀、燕子从两端各交换只，天平就平衡了．已知所有的麻雀和燕子总重斤（“斤”为古代计量单位）．问：麻雀、燕子每只重多少斤？设一只麻雀重斤，一只燕子重斤．请列出符合题意的二元一次方程组：_______________． 【答案】 【分析】提取题干中的两个等量关系，分别列出方程即可得到方程组． 【详解】解：∵所有麻雀和燕子总重为1斤，一只麻雀重斤，一只燕子重斤，共只麻雀与只燕子 ， ∴第一个方程为 ， ∵交换只后，麻雀侧变为只麻雀加只燕子，燕子侧变为只燕子加只麻雀，此时天平平衡，两侧重量相等， ∴第二个方程为 ， ∴方程组为． 19．中国古代有这样一道有趣的问题：“一百马，一百瓦，大马一拉四，小马四拉一．”意思是：“现有匹马恰好拉片瓦，已知匹大马能拉片瓦，匹小马能拉片瓦．”则共有大马______匹． 【答案】 【分析】设共有大马匹，小马匹，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设共有大马匹，小马匹， 依题意得：， 解得：， 即共有大马匹． 20．我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数和，各行从左到右用算筹依次表示未知数、的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组：__________ 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键，根据题干中给出的方程组，获取信息，列出图2所表示的方程组，进行求解即可． 【详解】解：根据题目给出的示例和规则，可以总结算筹表示数的规律： 每行从左到右依次为的系数、的系数、常数项； 单独的竖棒：每1根代表1；横棒在个位位置时代表5，横棒在十位位置时代表10，求和得到该位置的数值． 对算筹图2分析： 第一行：系数为，系数为，常数项为， 得方程； 第二行：系数为，系数为，常数项为， 得方程． 因此得到方程组． 21．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代著名数学家 程大位．在其中有这样的记载“一百馒头一百僧，大僧三个 更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？” 译文：有100名和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各有几人？ 设有大和尚x人，小和尚y人，可列方程组为_______________________． 【答案】 【分析】设有大和尚x人，小和尚y人，根据题意，大和尚共分得个馒头，小和尚共分得个馒头，根据大、小和尚人数和为100，分得的馒头和为100列方程组即可． 【详解】解：设有大和尚x人，小和尚y人，由题意得： 题型五、方案问题 22．小芳用50元购买单价5元的笔记本和单价2元的圆珠笔（两种都要买），钱刚好用完，则她购买方案共有（     ）． A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】先设未知数，根据总费用列出方程，再结合两种商品都要买的条件，找出所有符合要求的正整数解，即可得到购买方案的数量． 【详解】设购买笔记本本，圆珠笔支，其中均为正整数， 由题意得： 整理得： ∵为正整数， ∴是整数， 又是奇数， ∴必为偶数， ∵， ∴， 解得， 结合是正偶数，可得的取值为，共种，即共有种购买方案． 23．有36名分别了多年的老同学约定到某个地方故地重游，他们决定租用汽车前往．可租用的汽车有两种：甲种每辆可以乘8人，乙种每辆可以乘4人．他们不愿意让车子留出空位，但也不能超载．（乘坐人数不包含司机） (1)你能想出几种租车的方案？ (2)已知甲种汽车每天的租金为300元，乙种汽车每天的租金为200元．请帮助他们选择一个最便宜的租车方案． 【答案】(1)共有5种租车方案，分别为：方案1：租用甲种车0辆，乙种车9辆；方案2：租用甲种车1辆，乙种车7辆；方案3：租用甲种车2辆，乙种车5辆；方案4：租用甲种车3辆，乙种车3辆；方案5：租用甲种车4辆，乙种车1辆； (2)最便宜的租车方案为租用甲种车4辆，乙种车1辆，每天租金为1400元． 【分析】（1）设租用甲种汽车辆，乙种汽车辆，根据总人数为人，列出方程，再根据、均为非负整数，找出不同的整数解，即为不同的租车方案； （2）根据甲种汽车和乙种汽车的租金，分别计算各方案的费用，比较后得出费用最少的方案，也可以通过建立总费用的函数表达式，结合的取值范围，利用函数性质求出最小值． 【详解】（1）解：设租用甲种汽车辆，租用乙种汽车辆， 由题意得，即． ，均为非负整数， 可取，，，，，则依次为，，，，， 共有5种租车方案，分别为：方案1：租用甲种车0辆，乙种车9辆；方案2：租用甲种车1辆，乙种车7辆；方案3：租用甲种车2辆，乙种车5辆；方案4：租用甲种车3辆，乙种车3辆；方案5：租用甲种车4辆，乙种车1辆； （2）解：根据题意，得租用甲种汽车每人的平均日租金比租用乙种汽车少， 欲使费用最少，则必须多租用甲种汽车， 符合要求且费用最少的租车方案为租用甲种汽车辆，乙种汽车辆，此时的费用为（元）． 24．为推进“美育浸润行动”，某校决定采购两类美育教室设备（类含书法桌椅、笔墨纸砚、字帖碑帖等；类含画架画板、颜料画笔、美术教具等）．据了解，购买1套类设备和3套类设备共需55万元；购买2套类设备和1套类设备共需60万元． (1)、两类设备每套的价格分别为多少万元？ (2)若该学校计划恰好用200万元购进以上两种设备（两种设备均购买），请你通过计算写出全部购买方案． 【答案】(1)类设备每套的价格为25万元，类设备每套的价格为10万元 (2)方案1：购买类设备2套，类设备15套；方案2：购买类设备4套，类设备10套；方案3：购买类设备6套，类设备5套 【分析】（1）设A类设备每套的价格为万元，B类设备每套的价格为万元，根据题意列出方程组解方程组，即可求解． （2）设购买A类设备套，B类设备套，其中，均为正整数，根据题意列出二元一次方程，根据为正整数得出的值，即可求解． 【详解】（1）解：设A类设备每套的价格为万元，B类设备每套的价格为万元． 根据题意，得         解得 答：A类设备每套的价格为25万元，B类设备每套的价格为10万元． （2）解：设购买A类设备套，B类设备套，其中，均为正整数． 根据题意，得，         解得．             ，均为正整数， 为正偶数，且， 为正偶数，且． 当时，； 当时，； 当时，． 答：方案1：购买A类设备2套，B类设备15套；方案2：购买A类设备4套，B类设备10套；方案3：购买A类设备6套，B类设备5套． 25．【发现问题】 某商铺计划整体翻新装修，为兼顾工期、装修劳务费与营业收益，老板对比了甲、乙两支专业装修施工队．已知两队合作施工、单独分段施工的工期与付款金额如下： 【提出问题】 ①甲、乙两队同时开工，天能够全部完工，商店需要合计支付两队劳务费元； ②若先由甲队单独施工天，剩余工程交由乙队单独施工天，也可以完成全部装修，总共需要支付劳务费元． 【分析问题】 经测算：甲队独立完成全部工程需要天，乙队独立完成全部工程需要天．商铺正常营业每日净利润为元，停工装修期间没有营业收入． 请结合以上信息，完成以下实践分析： 【解决问题】 (1)设甲队工作天商店需付费元，乙队工作天商店需付费元，请列出二元一次方程组，并求解甲、乙两队每日劳务费用； (2)分别计算单独聘请甲队、单独聘请乙队完成装修的总花费，对比判断只单独雇佣一支队伍时，哪一个成本更低，并说明理由． 【答案】(1)甲、乙两队每日劳务费用分别为元，元 (2)单独聘请甲队完成装修的总花费更低， 理由：单独聘请甲队完成装修的总花费（元）， 单独聘请乙队完成装修的总花费（元）， ，                        单独聘请甲队完成装修的总花费更低 【分析】（1）根据两队同时施工天的总劳务费和甲单独施工天、乙单独施工天的总劳务费，列出二元一次方程组，解方程组即可得到两队每日劳务费用； （2）分别用“每日劳务费+每日净利润”乘以各自的独立工期，算出单独聘请甲、乙两队的总花费，再比较两个总花费的大小，即可判断哪个成本更低． 【详解】（1）解：由题意列方程组为： ， 解得 ， 答：甲、乙两队每日劳务费用分别为元，元． （2）略 26．某班级打算采购绿萝、兰草这两种绿植用来装扮教室．为此，该班学生特意到市场上了解价格，得到如下信息： 信息：购买盆绿萝和盆兰草共需元． 信息：购买盆绿萝和盆兰草共需元． (1)求绿萝、兰草每盆分别是多少元． (2)若该班同学购买共花费元，设绿萝、兰草分别购买盆，盆（，）． ①用含的代数式表示． ②若，均为偶数，求出所有满足条件的购买方案，并指出哪种方案购买的绿植总数量最多． 【答案】(1)绿萝每盆元，兰草每盆元． (2)①；方案一：绿萝购买盆，兰草购买盆；方案二：绿萝购买盆，兰草购买盆；方案二购买的绿植总数量最多． 【分析】（1）设绿萝每盆元，兰草每盆元，列出方程，进行解答，即可； （2）①由题意可得，，化简式子，即可；②当元全部买绿萝，求出的取值范围，根据，均为偶数，分类讨论，的值，进行解答，即可． 【详解】（1）解：设绿萝每盆元，兰草每盆元， ∴， 解得：， 答：绿萝每盆元，兰草每盆元． （2）解：①由题意可得，， 整理得，； ②结合总花费120元及的要求，可得， ∵，均为偶数 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴方案一：绿萝购买盆，兰草购买盆；方案二：绿萝购买盆，兰草购买盆； ∵，，， ∴方案二购买的绿植总数量最多． 【点睛】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是掌握二元一次方程的知识，进行解答，即可． 27．随着“低空经济”被写入政府工作报告，某市物流公司率先启动了“空中快递”服务，利用无人机进行同城急送．某数学兴趣小组对该服务的运营数据进行了调研，整理素材如表： 类别 素材内容 素材1 （运营成本） 某咖啡店的配送账单：上周六，该市一家网红咖啡店共发出了单外卖，采用“传统骑手”和“无人机”两种方式共同完成配送，且全部配送完毕．已知传统骑手每单运费元，无人机每单运费元，该店当天的总运费支出为元． 素材2 （运力升级） 新机型采购计划：为了提升运力，公司决定淘汰部分旧机型，购入“旋翼型”和“旋翼型”两种新型无人机共建新机队．旋翼型：单价万元，旋翼型：单价万元．公司计划正好投入万元预算用于采购这两种无人机，且两种型号都必须购买． 问题解决： (1)任务1：根据素材1，利用二元一次方程组的知识，求上周六该咖啡店使用“传统骑手”和“无人机”各配送了多少单？ (2)任务2：根据素材2的预算限制，请你帮助公司设计采购方案：共有哪几种满足条件的采购方案？请列出所有可能的情况； 【答案】(1) 传统骑手配送了单，无人机配送了单. (2) 共有种满足条件的采购方案，分别是： 方案一：旋翼A型无人机台，旋翼B型无人机台； 方案二：旋翼A型无人机台，旋翼B型无人机台； 方案三：旋翼A型无人机台，旋翼B型无人机台； 方案四：旋翼A型无人机台，旋翼B型无人机台. 【分析】（1）设传统骑手配送了单，无人机配送了单，列方程组求解即可； （2）设旋翼型无人机采购了台，旋翼型无人机采购了台，可得：，根据、均为正整数，求出满足条件的采购方案． 【详解】（1）解：设传统骑手配送了单，无人机配送了单， 根据题意可得：， 解得：， 答：传统骑手配送了单，无人机配送了单； （2）解：设旋翼型无人机采购了台，旋翼型无人机采购了台， 根据题意可得：， 整理可得：， 、均为正整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 共有种满足条件的采购方案，分别是： 方案一：旋翼A型无人机台，旋翼B型无人机台； 方案二：旋翼A型无人机台，旋翼B型无人机台； 方案三：旋翼A型无人机台，旋翼B型无人机台； 方案四：旋翼A型无人机台，旋翼B型无人机台． 题型六、行程问题 28．甲乙两人分别从相距的A、B两地同时出发，相向而行，小时相遇；若同向而行，甲9小时追上乙．则甲、乙速度(单位∶ ) 分别为（   ） A．12， 8 B．10， 10 C．14， 6 D．16， 4 【答案】A 【分析】设甲的速度是，乙的速度是，根据追及问题和相遇问题列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲的速度是，乙的速度是， 由题意可得：，解得：． ∴甲的速度是，乙的速度是，即A选项符合题意． 29．线段图是解决行程问题的重要数学工具，如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是，乙的平均速度是/，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用——行程问题，关键是根据线段图准确分析两次行程中甲乙的行驶时间、路程与总路程的数量关系． 【详解】解：根据第一次行程的线段图可知，甲先行驶小时，再与乙共同行驶2小时，两人走完的路程， 甲的总路程为，乙的路程为，因此列方程为； 根据第二次行程的线段图可知，甲乙同时行驶1小时后，两人之间仍相距，总路程为， 因此甲乙1小时的路程和加上等于总路程，列方程为； 综上，可列方程组为， 故选：A． 30．甲、乙二人同时同地出发，都以不变的速度在环形路上奔跑．若反向而行，每隔相遇一次，若同向而行，则每隔相遇一次，已知甲比乙跑得快，设甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈，则可列方程组为_______________________． 【答案】 【详解】解：设甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈， 若同时同地反向出发，相遇时两人跑的路程和刚好是1整圈，甲跑圈，乙跑圈，则列方程为：， 若同向而行：甲比乙快，同时同地同向出发，相遇时甲比乙多跑了1整圈，甲跑圈，乙跑圈，则列方程为：， 联立两个方程得：． 31．由甲地到乙地的公路全程为，其中一段为高速公路，其余路段均为普通公路．已知汽车在普通公路和高速公路上的行驶速度分别是和，从甲地到乙地用时，汽车在普通公路和高速公路上分别行驶了多少千米？ 【答案】汽车在普通公路上行驶了千米，在高速公路上行驶了千米 【分析】设汽车在普通公路上行驶了千米，在高速公路上行驶了千米，根据题意列方程组即可求解． 【详解】解：设汽车在普通公路上行驶了千米，在高速公路上行驶了千米， 根据题意得， 解得， 答：汽车在普通公路上行驶了千米，在高速公路上行驶了千米． 32．火车以的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时，其中火车全身都在隧道里的时间是20，求隧道和火车的长度． 【答案】隧道长度为，火车长度为 【分析】结合火车完全通过隧道、全身在隧道内两种行驶过程的路程与隧道长、车长的数量关系，列方程组求解． 【详解】解：设隧道长度为，火车长度为，根据题意，得 ， 解得， 答：隧道长度为，火车长度为． 33．如图，已知点、在数轴上表示的数分别是、64，动点从点出发，以每秒若干个单位长度的速度向右匀速运动，动点从点出发，以每秒若干个单位长度的速度向左匀速运动，若点、同时出发．则出发后12秒相遇；若点先出发7秒，则点出发10秒后与点相遇． (1)求动点、运动的速度分别是多少？ (2)若点、同时出发，设运动时间为， ①动点在数轴上对应的数为______，动点在数轴上对应的数为_____； ②求为何值时，点与点恰好相距14？ 【答案】(1)动点运动的速度是每秒5个单位长度，动点运动的速度是每秒2个单位长度 (2)①，；②为10秒或14秒时，点与点恰好相距14 【分析】（1）先求出，设动点运动的速度是每秒个单位长度，动点运动的速度是每秒个单位长度，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）①由（1）得动点运动的速度是每秒5个单位长度，动点运动的速度是每秒2个单位长度，结合点、在数轴上表示的数分别是、64，列代数式即可； ②根据题意列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 设动点运动的速度是每秒个单位长度，动点运动的速度是每秒个单位长度， 则， 解得， 答：动点运动的速度是每秒5个单位长度，动点运动的速度是每秒2个单位长度． （2）解：①因为动点运动的速度是每秒5个单位长度，动点运动的速度是每秒2个单位长度，点、在数轴上表示的数分别是、64， 所以动点在数轴上对应的数为，动点在数轴上对应的数为； ②由题意得， 化简整理得， 所以或， 解得或14， 答：为10秒或14秒时，点与点恰好相距14． 题型七、工程问题 34．22名工人按定额完成了3400件产品，其中熟练工每人定额200件，学徒工每人定额150件．问：这22名工人中熟练工和学徒工各有多少名？ 【答案】学徒工有20名，熟练工有2名． 【分析】设学徒工有x名，熟练工有y名，根据“学徒工与熟练工共22人，且定额完成了3400件产品”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设学徒工有x名，熟练工有y名， 依题意，得：， 解得：． 答：学徒工有20名，熟练工有2名． 35．某公司目前有A，B两款植保无人机为农户提供农药喷洒服务，据了解3架A款植保无人机和2架B款植保无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒，2架A款植保无人机和3架B款植保无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒，求A，B两款植保无人机每小时分别可为多少亩土地进行农药喷洒？ 【答案】 A款植保无人机每小时可为80亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为100亩土地进行农药喷洒． 【分析】设A款植保无人机每小时可为x亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为y亩土地进行农药喷洒，根据“3架A款植保无人机和2架B款植保无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒，2架A款植保无人机和3架B款植保无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒”建立二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设A款植保无人机每小时可为x亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为y亩土地进行农药喷洒， 由题意得， 解得， 答：A款植保无人机每小时可为80亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为100亩土地进行农药喷洒． 36．南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？ 清淤机 清淤船 时间 方案一 1台 2台 8天 方案二 2台 1台 7天 【答案】能按要求完成任务 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设一台清淤机的工作效率为，一台清淤船的工作效率为，根据方案一和方案二建立方程求解即可． 【详解】解：设一台清淤机的工作效率为，一台清淤船的工作效率为． 根据题意，得 解得， 答：2台清淤机和2台清淤船共同工作，能按要求完成任务． 37．玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元．玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成，设工作总量为1，甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n． (1)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？ (2)如果从节约开支的角度考虑应选哪家公司？ 【答案】(1)时间上考虑选择甲公司 (2)从节约开支上考虑选择乙公司 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． （1）列出方程组求出甲乙单独做所用的时间，然后比较大小，进行作答即可； （2）列出方程组求出各自单独做的周费用，再乘以他们所需时间计算总费用，然后比较大小，进行作答即可． 【详解】（1）解：设工作总量为1，甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n 依题意得，， 解得：， ∵， ∴甲公司的效率高， ∴从时间上考虑选择甲公司． （2）解：设甲公司每周费用为万元，乙公司每周费用为万元， 依题意得，， 解得：， ∴甲公司共需万元，乙公司共需万元， ∵， ∴从节约开支上考虑选择乙公司． 38．安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项工程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天． (1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天； (2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的． 【答案】(1)甲队单独完成此项工程需要40天，乙队单独完成此项工程需要15天 (2)与公司派来的乙工程队再合作6天可完成此项工程 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程（组）． （1）设甲队单独完成此项工程需要天，乙队单独完成此项工程需要天，根据题意列出方程组，解方程组，即可求解； （2）设与公司派来的乙工程队再合作天可完成此项工程的，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设甲队单独完成此项工程需要天，乙队单独完成此项工程需要天， 根据题意得 解得 答：甲队单独完成此项工程需要40天，乙队单独完成此项工程需要15天 （2）解：设与公司派来的乙工程队再合作天可完成此项工程的， 根据题意得， 解得， 答：与公司派来的乙工程队再合作6天可完成此项工程． 39．穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？ 【答案】(1)甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、米； (2)能比原来少用天． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意是解本题的关键； （1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，根据题意列方程组，解方程组即可；（2）设按原来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要a天、b天完成任务，分别计算出施工进度改进前和改进后完成任务还需的天数，再作差即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米， 由题意得， 解得． 答：甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、米； （2）解：设按原来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要a天、b天完成任务，则 （天）， （天）， 则（天）． 答：能比原来少用天． 题型八、销售、利润问题 40．某商场购进种头盔个，种头盔个，共花费元．已知一个种头盔比一个种头盔贵元，那么种头盔的单价是______元，种头盔的单价是______元． 【答案】 65 54 【分析】设出A、B两种头盔的单价，根据总花费和两种头盔的单价差两个等量关系列方程组，解方程组即可得到结果． 【详解】解：设种头盔的单价为元，种头盔的单价为元， 根据题意，得 ， 解得． 41．某文具店购进100只两种型号的文具进行销售，其进价和售价如下表： 型号 进价（元/只） 售价（元/只） A型 10 12 B型 15 28 若该店购进这100只文具共花费1300元，求全部售出后的总利润是多少？ 【答案】全部售出后的总利润是元 【分析】设购进A型只，购进B型只，根据题意列出二元一次方程组，求得购进A型，B型的数量，再计算利润即可． 【详解】解：设购进A型只，购进B型只， 可得， 解得， 全部售出后的总利润为（元）， 答：全部售出后的总利润是元． 42．某商店用2200元购进《红星照耀中国》和《红岩》两种红色文化教育读本共100本，这两种书籍的进价、标价如下表所示： 书名价格 《红星照耀中国》 《红岩》 进价（元/本） 20 25 标价（元/本） 40 45 (1)《红星照耀中国》和《红岩》各购进了多少本？ (2)若《红星照耀中国》按标价的9折出售，《红岩》按标价的8折出售，那么这两种书全部售出后，该商店共获利多少元？ 【答案】(1)《红星照耀中国》和《红岩》分别购进了60本和40本 (2)1400元 【分析】（1）根据两本书共计100本和购买数的总费用2200列二元一次方程组，解出即可； （2）根据总利润等于两种书的售价和进价的差再乘以数量的总和计算即可． 【详解】（1）设《红星照耀中国》和《红岩》分别购进了 本和本， 由题意得，解得 答：《红星照耀中国》和《红岩》分别购进了60本和40本． （2）由题意得： （元） 答：商店共获利1400元． 43．黎锦刺绣属于世界级与国家级双重非物质文化遗产．黎锦刺绣作为海南特色传统手工艺，闻名中外．在消博会举办之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的刺绣作品作为纪念品．已知购买1件A种刺绣作品与2件B种刺绣作品共需要700元，购买2件A种刺绣作品与3件B种刺绣作品共需要1200元． (1)求A、B两种刺绣作品的单价； (2)该国际旅游公司计划购买A种刺绣作品35件和B种刺绣作品50件，那么总费用是多少元？ 【答案】(1)A种刺绣作品的单价为300元，B种刺绣作品的单价为200元． (2)总费用是20500元． 【分析】（1）先设出A、B两种刺绣作品的单价，根据题干给出的两种购买方案的总费用列出二元一次方程组，求解得到两种作品的单价； （2）根据计划购买的数量计算总费用即可． 【详解】（1）解：设A种刺绣作品的单价为元，B种刺绣作品的单价为元． 根据题意可得 解得 答：A种刺绣作品的单价为300元，B种刺绣作品的单价为200元． （2）解：总费用为：（元） 答：总费用是20500元． 44．张老师去文具店给美术小组的30名学生买铅笔和橡皮，到了商店后发现，若给全组每人都买2支铅笔和1块橡皮，则要按零售价计算，共需付款30元；若给全组每人都买3支铅笔和2块橡皮，则可按批发价，共需付款40.5元．已知铅笔每支批发价比零售价低0.05元，橡皮每块批发价比零售价低0.1元，求这家文具店每支铅笔和每块橡皮的批发价是多少？ 【答案】这家文具店每支铅笔的批发价为元，每块橡皮的批发价为元． 【分析】设这家文具店每支铅笔的批发价为元，每块橡皮的批发价为元，则这家文具店每支铅笔的零售价为元，每块橡皮的零售价为元，根据题意列出两个方程，并求解出、． 【详解】解：设这家文具店每支铅笔的批发价为元，每块橡皮的批发价为元， ∴这家文具店每支铅笔的零售价为元，每块橡皮的零售价为元， 根据题意可知，2支铅笔和1块橡皮的零售价之和为（元）， ∴4支铅笔和2块橡皮的零售价之和为元， ∴， 去括号，得， 变形，得， 3支铅笔和2块橡皮的批发价为（元）， ∴， 将，得，， 将代入①，得， 解得． 答：这家文具店每支铅笔的批发价为元，每块橡皮的批发价为元． 45．2026年中超联赛重燃战火，成都蓉城队表现卓越，在全市范围内引发了足球热潮．为弘扬体育精神，丰富校园文化，某校计划采购一批成都蓉城队纪念徽章与定制足球帆布袋．若采购2套纪念徽章和3个帆布袋，所需资金共计240元；若采购3套纪念徽章和2个帆布袋，所需资金共计260元． (1)求纪念徽章和帆布袋的售价分别为多少元？ (2)学校计划购进纪念徽章和帆布袋共120个，商场售出一套纪念徽章，利润率为．一个帆布袋的进价为25元．为了促销，商场决定每售出一个帆布袋，返还现金a元，纪念徽章售价不变，若所有采购方案获利相同，求a的值． 【答案】(1)纪念徽章的售价为60元，帆布袋的售价为40元 (2)5 【分析】（1）设纪念徽章的售价为元，帆布袋的售价为元，根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）利用利润率先求出纪念徽章的进价，再求出每套纪念徽章和每个帆布袋的利润，求出总利润的表达式，利用总利润与的取值无关，求出的值． 【详解】（1）解：设纪念徽章的售价为元，帆布袋的售价为元， 根据题意得： 解得： 答：纪念徽章的售价为60元，帆布袋的售价为40元； （2）解：设购进纪念徽章套，则购进帆布袋个，总获利为元， 纪念徽章进价为元， 每套纪念徽章的利润为元， 每个帆布袋的利润为元， 则总利润为：， 由所有采购方案获利相同得：， 解得：． 题型九、几何图形问题 46．如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则每个小长方形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形观察，大长方形的高度由两部分组成：上面是两块横放砖的宽，下面是一块竖放砖的长；同时，观察图形内部结构，一块竖放砖的长等于三块横放砖的宽之和，据此列出方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为厘米，宽为厘米 依题意得， 解得， ∴ 每个小长方形的面积为． 47．如图，大长方形是由7个形状大小完全相同的小长方形组成的，大长方形的周长为，则小长方形的两边长分别为（   ） A．3、4 B．2、5 C．3、6 D．4、5 【答案】B 【分析】设小长方形的长为，宽为，再结合长方形的性质可得方程组，再解方程组即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得，， 解得：， ∴小长方形的两边长分别为，． 48．将6个形状、大小相同的小长方形放置在大长方形中，其他信息如图所示，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】首先设小长方形的长为宽为由图形得等量关系：①1个长+3个宽；②2个宽+6=1个长+1个宽，根据等量关系列出方程组，再解即可． 【详解】解：设长方形的长为宽为 根据题意，得， 解得， ∴阴影部分的面积为：． 49．列方程（组）解应用题 如图，学校规划在一块长19米，宽17米的长方形场地上，分别设计与平行的横向和纵向通道，把这块长方形地分成12块形状，大小相同的长方形菜地分给各班管理．如果通道的宽度相等，其中一块菜地的两边，那么通道的宽度是多少？ 【答案】通道的宽度是1米 【分析】设米，通道宽为y米，则米，根据长方形的长19米，宽17米列方程组求解即可． 【详解】解：设米，通道宽为y米，则米， 根据题意，得， 解得， 答：通道的宽度是1米． 50．如图，我们在证明勾股定理时，会见到熟悉的图形，用8个全等的直角三角形拼成的图形．设直角三角形的两直角边长分别为，大正方形的面积为25，中间小正方形的面积为1，求的值分别是多少？ 【答案】 【分析】求出大正方形的边长，中间小正方形的边长，进而根据题干列方程组求解即可． 【详解】解：∵大正方形的面积为25，中间小正方形的面积为1， ∴大正方形的边长为5，中间小正方形的边长为1， 由题意可得， ． 题型十、数字问题 51．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则（    ）． A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了有理数加法，列代数式，以及二元一次方程组，解题的关键是根据表格，利用每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等列方程． 【详解】解：观察图3得， 解得， ． 故选：A． 52．宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则x，y的值分别是（   ） 2x 3 2 4y A．，0 B．1， C．，1 D．1，0 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．利用幻方每行、每列、每条对角线之和相等的性质，通过已知单元格列出方程组求解． 【详解】解：由题意得， 整理得， 得，解得； 将代入①，得， 解得； ∴， 故选：C． 53．两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数的乘积为_____． 【答案】 1035 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意得到等量关系列出方程是解题的关键． 设较大的两位数为，较小的两位数为，根据两个两位数的和为68，以及两个四位数的差为2178，列出方程组求解，再计算乘积即可． 【详解】解：由题意得， 解得， ∴这两个数的乘积为． 故答案为：1035． 54．在数学游戏会上，有五张卡片A、B、C、D、E按环形排列在桌上（如图）．卡片上的数字是1到50之间互不相同的整数．已知相邻两张卡片上的数的和如下：A和B的和是55；B和C的和是65；C和D的和是60；D和E的和是75；E和A的和是45，数据最大的卡片是_____；最大值为_____． 【答案】 B 45 【分析】本题考查了解多元一次方程组，解题关键是掌握三元一次方程组的解法． 仿照三元一次方程组的解法求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得：， 所以最大，最大值为45； 故答案为：，45 ． 55．小明的爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 碑上的数 是一个两位数，数字之和是7 是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好颠倒了 比时看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是多少？ 【答案】 时看到的两位数是16 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及应用，正确理解题意并列出方程组是解题的关键．设小明12时看到的两位数，十位数为，个位数为，根据两位数之和为7可列一个方程，再根据匀速行驶，时行驶的里程数等于时行驶的里程数列出第二个方程，解方程组即可． 【详解】解：设小明12时看到的两位数，十位数为，个位数为，即为； 则13时看到的两位数为，时行驶的里程数为：； 则时看到的数为，时行驶的里程数为：； 由题意列方程组得： ， 解得：， 时看到的两位数是16． 56．一个两位数，它十位上的数字与个位上的数字之和是9．若交换个位上的数字与十位上的数字的位置，新得到的数比原来的数小63，求原来的两位数 【答案】原来的两位数是81． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，准确列出等量关系是解决问题的关键． 根据等量关系，设原来两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，列出二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：设原来两位数的十位上的数字为，个位上的数字为． 根据题意，得 解得 故原来的两位数是81． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 二元一次方程组的实际应用 题型一、年龄问题 题型二、分配问题 题型三、和差倍分问题 题型四、古代问题 题型五、方案问题 题型六、行程问题 题型七、工程问题 题型八、销售、利润问题 题型九、几何图形问题 题型十、数字问题 题型一、年龄问题 1．如图是小颖与哥哥的对话，根据对话信息，下面结论正确的是（     ） A．哥哥比小颖大6岁 B．哥哥比小颖大7岁 C．哥哥比小颖大8岁 D．哥哥比小颖大9岁 2．爸爸今年34岁，子女两人的年龄和是16岁，两年后，妹妹年龄的3倍与哥哥的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．哥哥和妹妹今年的年龄分别是（   ） A．9岁、7岁 B．10岁、6岁 C．12岁、4岁 D．12岁、6岁 3．寄宿学校老师对学生说：我像你这样大时，你才1岁。等你长到我这样大时，我40岁了。试问，今年老师_________岁？学生_________岁？ 4．聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7．则聪聪______岁． 5．小明和小亮比年龄．小明说：“再过年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过年，我的年龄就是你现在年龄的倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄．（列二元一次方程组解应用题） 题型二、分配问题 6．2024年4月3日，我国台湾省发生7.3级地震，某公益组织为灾区人民送去了大量的物资，其中就有1000份面包，全部分发给某村300位灾民，其中成人一人分4份，小孩一人分3份，问分别有多少成人和小孩？若设成人有x人，小孩有y人，则可列二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 7．某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶．购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元． (1)求大、小两种垃圾桶的单价； (2)该校购买10个大垃圾桶和26个小垃圾桶共需多少元？ 8．已知2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货11吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货13吨．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)某物流公司现有32吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，且恰好一次运完．请求出所有租车方案． (3)在（2）的条件下，若A型车每辆需租金80元/辆，B型车每辆需租金100元/辆，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 9．为加强学生体能素质，某校计划开设球类特色课程，需购买足球、排球共个，据调查，某商城每个足球的价格为元，每个排球的价格为元，经双方议价，按折销售，学校共付款元，求购买足球、排球各多少个？ 10．七年（2）班的王老师和张老师带领40名学生去公园野营，大帐篷限住5人，小帐篷限住3人，一共租了10顶帐篷，正好全部住满，求大帐篷和小帐篷各租了多少顶？ 题型三、和差倍分问题 11．某商场甲、乙两个柜台去年十二月份的总营业额为64万元．今年一月份甲柜台的营业额增长了，乙柜台的营业额降低了，且两个柜台的总营业额达到75万元，则甲柜台去年十二月份的营业额为_________万元． 12．某校为了解学生对不同竞赛科目的感兴趣程度，老师对学生们做了一次“我最喜爱的竞赛科目”问卷调查（只可选择数学、物理、化学、生物学其中1个科目）．若4个科目都有人选且选物理的人数比选生物学的人数少8，选数学的人数是选生物学人数的整数倍，选生物学与数学的人数之和是选物理与化学的人数之和的5倍，选化学与数学的人数之和比选物理与生物学的人数之和多24，则选数学的人数是_______． 13．为促进新质生产力的发展，两江新区出台了相应的补贴政策，鼓励企业进行生产线的设备更新．某企业现有甲、乙两类共30条生产线，根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴． (1)若企业对现有生产线的设备全部进行更新换代，则可获得70万元的补贴，该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ (2)更新换代后，甲、乙两类生产线每条每天都可以生产A部件30件或B部件15件．A部件每件利润12元，B部件每件利润18元．要求所有生产线都要开工且一条生产线每天只生产一种部件，应安排多少条生产线生产A部件，才能保证每天总利润为9000元？ 14．已知一个三角形的周长为，其中两条边的长度之和等于第三条边长的3倍，而这两边长度的差等于第三条边长的．求这个三角形的三边长． 15．有一群鸟，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．若从地上飞到树上1只，则地上的鸟就是整个鸟群的；若从树上飞到地上1只，则树上、地上的鸟就一样多了．你知道树上、地上各有多少只鸟吗？试列方程组解答． 16．阅读与人文滋养内心．某校开展阅读经典活动，小明3天里阅读的总页数比小颖5天里阅读的总页数少6页，小颖平均每天阅读的页数比小明平均每天阅读页数的2倍少10页．求小明、小颖平均每天各阅读多少页． 题型四、古代问题 17．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就，其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，下列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 18．小明在阅读《九章算术》时看到一个问题，大意为：只麻雀、只燕子放在天平上，麻雀一端重，燕子一端轻．麻雀、燕子从两端各交换只，天平就平衡了．已知所有的麻雀和燕子总重斤（“斤”为古代计量单位）．问：麻雀、燕子每只重多少斤？设一只麻雀重斤，一只燕子重斤．请列出符合题意的二元一次方程组：_______________． 19．中国古代有这样一道有趣的问题：“一百马，一百瓦，大马一拉四，小马四拉一．”意思是：“现有匹马恰好拉片瓦，已知匹大马能拉片瓦，匹小马能拉片瓦．”则共有大马______匹． 20．我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数和，各行从左到右用算筹依次表示未知数、的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组：__________ 21．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代著名数学家 程大位．在其中有这样的记载“一百馒头一百僧，大僧三个 更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？” 译文：有100名和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各有几人？ 设有大和尚x人，小和尚y人，可列方程组为_______________________． 题型五、方案问题 22．小芳用50元购买单价5元的笔记本和单价2元的圆珠笔（两种都要买），钱刚好用完，则她购买方案共有（     ）． A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 23．有36名分别了多年的老同学约定到某个地方故地重游，他们决定租用汽车前往．可租用的汽车有两种：甲种每辆可以乘8人，乙种每辆可以乘4人．他们不愿意让车子留出空位，但也不能超载．（乘坐人数不包含司机） (1)你能想出几种租车的方案？ (2)已知甲种汽车每天的租金为300元，乙种汽车每天的租金为200元．请帮助他们选择一个最便宜的租车方案． 24．为推进“美育浸润行动”，某校决定采购两类美育教室设备（类含书法桌椅、笔墨纸砚、字帖碑帖等；类含画架画板、颜料画笔、美术教具等）．据了解，购买1套类设备和3套类设备共需55万元；购买2套类设备和1套类设备共需60万元． (1)、两类设备每套的价格分别为多少万元？ (2)若该学校计划恰好用200万元购进以上两种设备（两种设备均购买），请你通过计算写出全部购买方案． 25．【发现问题】 某商铺计划整体翻新装修，为兼顾工期、装修劳务费与营业收益，老板对比了甲、乙两支专业装修施工队．已知两队合作施工、单独分段施工的工期与付款金额如下： 【提出问题】 ①甲、乙两队同时开工，天能够全部完工，商店需要合计支付两队劳务费元； ②若先由甲队单独施工天，剩余工程交由乙队单独施工天，也可以完成全部装修，总共需要支付劳务费元． 【分析问题】 经测算：甲队独立完成全部工程需要天，乙队独立完成全部工程需要天．商铺正常营业每日净利润为元，停工装修期间没有营业收入． 请结合以上信息，完成以下实践分析： 【解决问题】 (1)设甲队工作天商店需付费元，乙队工作天商店需付费元，请列出二元一次方程组，并求解甲、乙两队每日劳务费用； (2)分别计算单独聘请甲队、单独聘请乙队完成装修的总花费，对比判断只单独雇佣一支队伍时，哪一个成本更低，并说明理由． 26．某班级打算采购绿萝、兰草这两种绿植用来装扮教室．为此，该班学生特意到市场上了解价格，得到如下信息： 信息：购买盆绿萝和盆兰草共需元． 信息：购买盆绿萝和盆兰草共需元． (1)求绿萝、兰草每盆分别是多少元． (2)若该班同学购买共花费元，设绿萝、兰草分别购买盆，盆（，）． ①用含的代数式表示． ②若，均为偶数，求出所有满足条件的购买方案，并指出哪种方案购买的绿植总数量最多． 27．随着“低空经济”被写入政府工作报告，某市物流公司率先启动了“空中快递”服务，利用无人机进行同城急送．某数学兴趣小组对该服务的运营数据进行了调研，整理素材如表： 类别 素材内容 素材1 （运营成本） 某咖啡店的配送账单：上周六，该市一家网红咖啡店共发出了单外卖，采用“传统骑手”和“无人机”两种方式共同完成配送，且全部配送完毕．已知传统骑手每单运费元，无人机每单运费元，该店当天的总运费支出为元． 素材2 （运力升级） 新机型采购计划：为了提升运力，公司决定淘汰部分旧机型，购入“旋翼型”和“旋翼型”两种新型无人机共建新机队．旋翼型：单价万元，旋翼型：单价万元．公司计划正好投入万元预算用于采购这两种无人机，且两种型号都必须购买． 问题解决： (1)任务1：根据素材1，利用二元一次方程组的知识，求上周六该咖啡店使用“传统骑手”和“无人机”各配送了多少单？ (2)任务2：根据素材2的预算限制，请你帮助公司设计采购方案：共有哪几种满足条件的采购方案？请列出所有可能的情况； 题型六、行程问题 28．甲乙两人分别从相距的A、B两地同时出发，相向而行，小时相遇；若同向而行，甲9小时追上乙．则甲、乙速度(单位∶ ) 分别为（   ） A．12， 8 B．10， 10 C．14， 6 D．16， 4 29．线段图是解决行程问题的重要数学工具，如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是，乙的平均速度是/，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 30．甲、乙二人同时同地出发，都以不变的速度在环形路上奔跑．若反向而行，每隔相遇一次，若同向而行，则每隔相遇一次，已知甲比乙跑得快，设甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈，则可列方程组为_______________________． 31．由甲地到乙地的公路全程为，其中一段为高速公路，其余路段均为普通公路．已知汽车在普通公路和高速公路上的行驶速度分别是和，从甲地到乙地用时，汽车在普通公路和高速公路上分别行驶了多少千米？ 32．火车以的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时，其中火车全身都在隧道里的时间是20，求隧道和火车的长度． 33．如图，已知点、在数轴上表示的数分别是、64，动点从点出发，以每秒若干个单位长度的速度向右匀速运动，动点从点出发，以每秒若干个单位长度的速度向左匀速运动，若点、同时出发．则出发后12秒相遇；若点先出发7秒，则点出发10秒后与点相遇． (1)求动点、运动的速度分别是多少？ (2)若点、同时出发，设运动时间为， ①动点在数轴上对应的数为______，动点在数轴上对应的数为_____； ②求为何值时，点与点恰好相距14？ 题型七、工程问题 34．22名工人按定额完成了3400件产品，其中熟练工每人定额200件，学徒工每人定额150件．问：这22名工人中熟练工和学徒工各有多少名？ 35．某公司目前有A，B两款植保无人机为农户提供农药喷洒服务，据了解3架A款植保无人机和2架B款植保无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒，2架A款植保无人机和3架B款植保无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒，求A，B两款植保无人机每小时分别可为多少亩土地进行农药喷洒？ 36．南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？ 清淤机 清淤船 时间 方案一 1台 2台 8天 方案二 2台 1台 7天 37．玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元．玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成，设工作总量为1，甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n． (1)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？ (2)如果从节约开支的角度考虑应选哪家公司？ 38．安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项工程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天． (1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天； (2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的． 39．穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？ 题型八、销售、利润问题 40．某商场购进种头盔个，种头盔个，共花费元．已知一个种头盔比一个种头盔贵元，那么种头盔的单价是______元，种头盔的单价是______元． 41．某文具店购进100只两种型号的文具进行销售，其进价和售价如下表： 型号 进价（元/只） 售价（元/只） A型 10 12 B型 15 28 若该店购进这100只文具共花费1300元，求全部售出后的总利润是多少？ 42．某商店用2200元购进《红星照耀中国》和《红岩》两种红色文化教育读本共100本，这两种书籍的进价、标价如下表所示： 书名价格 《红星照耀中国》 《红岩》 进价（元/本） 20 25 标价（元/本） 40 45 (1)《红星照耀中国》和《红岩》各购进了多少本？ (2)若《红星照耀中国》按标价的9折出售，《红岩》按标价的8折出售，那么这两种书全部售出后，该商店共获利多少元？ 43．黎锦刺绣属于世界级与国家级双重非物质文化遗产．黎锦刺绣作为海南特色传统手工艺，闻名中外．在消博会举办之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的刺绣作品作为纪念品．已知购买1件A种刺绣作品与2件B种刺绣作品共需要700元，购买2件A种刺绣作品与3件B种刺绣作品共需要1200元． (1)求A、B两种刺绣作品的单价； (2)该国际旅游公司计划购买A种刺绣作品35件和B种刺绣作品50件，那么总费用是多少元？ 44．张老师去文具店给美术小组的30名学生买铅笔和橡皮，到了商店后发现，若给全组每人都买2支铅笔和1块橡皮，则要按零售价计算，共需付款30元；若给全组每人都买3支铅笔和2块橡皮，则可按批发价，共需付款40.5元．已知铅笔每支批发价比零售价低0.05元，橡皮每块批发价比零售价低0.1元，求这家文具店每支铅笔和每块橡皮的批发价是多少？ 45．2026年中超联赛重燃战火，成都蓉城队表现卓越，在全市范围内引发了足球热潮．为弘扬体育精神，丰富校园文化，某校计划采购一批成都蓉城队纪念徽章与定制足球帆布袋．若采购2套纪念徽章和3个帆布袋，所需资金共计240元；若采购3套纪念徽章和2个帆布袋，所需资金共计260元． (1)求纪念徽章和帆布袋的售价分别为多少元？ (2)学校计划购进纪念徽章和帆布袋共120个，商场售出一套纪念徽章，利润率为．一个帆布袋的进价为25元．为了促销，商场决定每售出一个帆布袋，返还现金a元，纪念徽章售价不变，若所有采购方案获利相同，求a的值． 题型九、几何图形问题 46．如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则每个小长方形的面积是（     ） A． B． C． D． 47．如图，大长方形是由7个形状大小完全相同的小长方形组成的，大长方形的周长为，则小长方形的两边长分别为（   ） A．3、4 B．2、5 C．3、6 D．4、5 48．将6个形状、大小相同的小长方形放置在大长方形中，其他信息如图所示，则阴影部分的面积为________． 49．列方程（组）解应用题 如图，学校规划在一块长19米，宽17米的长方形场地上，分别设计与平行的横向和纵向通道，把这块长方形地分成12块形状，大小相同的长方形菜地分给各班管理．如果通道的宽度相等，其中一块菜地的两边，那么通道的宽度是多少？ 50．如图，我们在证明勾股定理时，会见到熟悉的图形，用8个全等的直角三角形拼成的图形．设直角三角形的两直角边长分别为，大正方形的面积为25，中间小正方形的面积为1，求的值分别是多少？ 题型十、数字问题 51．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则（    ）． A．1 B．3 C．5 D．7 52．宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则x，y的值分别是（   ） 2x 3 2 4y A．，0 B．1， C．，1 D．1，0 53．两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数的乘积为_____． 54．在数学游戏会上，有五张卡片A、B、C、D、E按环形排列在桌上（如图）．卡片上的数字是1到50之间互不相同的整数．已知相邻两张卡片上的数的和如下：A和B的和是55；B和C的和是65；C和D的和是60；D和E的和是75；E和A的和是45，数据最大的卡片是_____；最大值为_____． 55．小明的爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 碑上的数 是一个两位数，数字之和是7 是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好颠倒了 比时看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是多少？ 56．一个两位数，它十位上的数字与个位上的数字之和是9．若交换个位上的数字与十位上的数字的位置，新得到的数比原来的数小63，求原来的两位数 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 二元一次方程组的实际应用 题型一、年龄问题 题型二、分配问题 题型三、和差倍分问题 题型四、古代问题 题型五、方案问题 题型六、行程问题 题型七、工程问题 题型八、销售、利润问题 题型九、几何图形问题 题型十、数字问题 题型一、年龄问题 1．【答案】A 【分析】利用年龄差不变列出二元一次方程组，解出两人现在年龄，相减求出年龄差，选出正确选项． 【详解】解：设哥哥现在x岁，小颖现在y岁，根据题意得到二元一次方程组： ，即 解得： ∴年龄差：，即哥哥比小颖大6岁． 2．【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 设哥哥今年年龄为岁，妹妹为岁，根据年龄和与两年后的条件列方程组求解． 【详解】解：设哥哥今年年龄为岁，妹妹为岁 ∵ 今年子女年龄和， 两年后爸爸年龄为岁， 且， 化简得：， 联立方程： ， ② − ①得：， ， 代入①得：. 故原方程组的解为 ∴ 哥哥岁，妹妹岁； 故选：B. 3．【答案】 27 14 【分析】抓住年龄差不变的特点，设出老师和学生今年的年龄，根据题意列二元一次方程组求解． 【详解】解：设今年老师岁，学生岁，两人的年龄差始终不变，根据题意可得 解得， 所以今年老师27岁，学生14岁． 4．【答案】14 【分析】设聪聪的年龄为岁，妈妈的年龄为岁，根据“过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7”，即可得出关于，的二元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设聪聪的年龄为岁，则妈妈的年龄为岁， 根据题意得：， 解得：， ∴聪聪的年龄为岁． 5．【答案】小明现在岁，小亮现在岁． 【分析】设小明现在岁，小亮现在岁，根据题意得，然后解方程组即可． 【详解】解：设小明现在岁，小亮现在岁， 根据题意得， 解得：， 答：小明现在岁，小亮现在岁． 题型二、分配问题 6．【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 根据面包总数为1000份，灾民人数为300位，列方程组即可． 【详解】解：设成人有x人，小孩有y人， 由题意可得，， 故选：A． 7．【答案】(1)大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为60元 (2)3360元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、有理数混合运算的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和算式是解题的关键． （1）设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元，根据“购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元”列出关于x，y的二元一次方程组求解即可； （2）利用总价、单价、数量列式计算即可． 【详解】（1）解：设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元， 根据题意得：，解得： 答：大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为60元． （2）解：根据题意得：元 答：该校购买10个大垃圾桶和26个小垃圾桶共需3360元． 8．【答案】(1)1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货5吨 (2)该物流公司共有2种租车方案：方案1：租4辆A型车，4辆B型车；方案2：租9辆A型车，1辆B型车 (3)租4辆A型车，4辆B型车最少，最少租车费为720元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用以及列式计算． （1）设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货11吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货13吨”，即可得出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据租用的车辆可一次运载货物32吨且恰好每辆车都载满货物，即可得出关于a，b的二元一次方程，求出正整数解，即可得出各租车方案； （3）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨， 依题意得：， 解得， 答：1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货5吨． （2）解：依题意得：， ∵a，b均为正整数， ∴或， ∴该物流公司共有2种租车方案： 方案1：租4辆A型车，4辆B型车； 方案2：租9辆A型车，1辆B型车． （3）解：方案1：租4辆A型车，4辆B型车； 费用为：（元）， 方案2：租9辆A型车，1辆B型车； 费用为：（元）， 答：租4辆A型车，4辆B型车最少，最小费用为元． 9．【答案】学校共购买了个足球、个排球． 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程组的实际应用，解题关键是根据题意列出正确的方程组并求解． 设购买个足球、个排球，根据题意列出二元一次方程组后求解即可． 【详解】解：设购买个足球、个排球， 根据题意得  ， 解得 ． 答：学校共购买了个足球、个排球． 10．【答案】大帐篷租了6顶，小帐篷租了4顶 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设大帐篷租了x顶，则小帐篷租了顶，根据租用的帐篷正好住人，再根据列出关于x的一元一次方程，可解求得出x的值，再将其代入中，即可求出租用小帐篷的数量． 【详解】解：设大帐篷租了x顶，则小帐篷租了顶， 根据题意得：，解得：， ∴． 答：大帐篷租了6顶，小帐篷租了4顶． 题型三、和差倍分问题 11．【答案】34 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组来解决现实生活中的应用问题；解题的关键是把握题意，正确列出方程，准确求解计算． 设甲柜台去年十二月份营业额为万元，乙柜台为万元，根据总营业额万元和一月份变化后总营业额万元，列出方程组求解即可． 【详解】解：设甲柜台去年十二月份营业额为万元，乙柜台为万元， 由题意，得方程组 解得 故甲柜台去年十二月份的营业额为万元． 故答案为：． 12．【答案】30 【分析】设选物理的有人，则选生物学的有人，选数学的有人， 【详解】解：设选物理的有人，则选生物学的有人，选数学的有人，为正整数， 选化学的有人.依题意得： 联立①②，消去：， ∵均为正整数， ， 为正整数，由①得：， 将的解带入上式，只有当时，， 故选数学的有， 故答案为：． 【点睛】本题考查了应用类问题，二元一次方程的正整数解、二元一次方程组，根据题意列出二元一次方程是解决本题的关键． 13．【答案】(1)该企业甲类生产线有10条，乙类生产线有20条 (2)应安排10条生产线生产A部件 【分析】（1）以两类生产线总数量、总补贴额为等量关系列二元一次方程组求解； （2）以每天总利润为等量关系列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设该企业甲类生产线有x条，乙类生产线有y条. 由题意得： ， 解得：   答：该企业甲类生产线有10条，乙类生产线有20条； （2）解：设应安排m条生产线生产A部件，则安排条生产线生产B部件， 单条生产线生产A部件的日利润为元， 单条生产线生产B部件的日利润为元， 由题意得：， 解得：， 答：应安排10条生产线生产A部件． 14．【答案】三边长分别为，，． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设未知数表示三边长以及三边之间的关系是解题关键． 设两边为、，结合周长表示第三边，然后据“两边和、差与第三边的关系”列方程组，求两边后算第三边． 【详解】解：设三角形其中两边分别为，， 三角形的周长为，两条边的长度之和等于第三条边长的3倍， ， 两边长度的差等于第三条边长的， ， 联立方程得， 解得， 故第三边长度为． 答：三边长分别为，，． 15．【答案】树上有7只鸟，地上有5只鸟． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设树上有只鸟，地上有只鸟，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设树上有只鸟，地上有只鸟． 根据条件，若从地上飞到树上1只，则地上的鸟为整个鸟群的，得：； 若从树上飞到地上1只，则树上、地上的鸟一样多，得：； 即， 解得：． 答：树上有7只鸟，地上有5只鸟． 16．【答案】小明平均每天阅读8页，小颖平均每天阅读6页 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出合适的等量关系． 设小明、小颖平均每天分别阅读x页和y页，根据题意列出相应的方程组求解即可． 【详解】解：设小明、小颖平均每天分别阅读x页和y页， 由题意，得 解得． 答：小明平均每天阅读8页，小颖平均每天阅读6页． 题型四、古代问题 17．【答案】C 【分析】根据“盈”“不足”的含义，分别列总出钱数与物价的等量关系． 【详解】解：设合伙人数为人，物价为钱， ∵每人出8钱，盈3钱， ∴， ∵每人出7钱，不足4钱， ∴， 联立得． 18．【答案】 【分析】提取题干中的两个等量关系，分别列出方程即可得到方程组． 【详解】解：∵所有麻雀和燕子总重为1斤，一只麻雀重斤，一只燕子重斤，共只麻雀与只燕子 ， ∴第一个方程为 ， ∵交换只后，麻雀侧变为只麻雀加只燕子，燕子侧变为只燕子加只麻雀，此时天平平衡，两侧重量相等， ∴第二个方程为 ， ∴方程组为． 19．【答案】 【分析】设共有大马匹，小马匹，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设共有大马匹，小马匹， 依题意得：， 解得：， 即共有大马匹． 20．【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键，根据题干中给出的方程组，获取信息，列出图2所表示的方程组，进行求解即可． 【详解】解：根据题目给出的示例和规则，可以总结算筹表示数的规律： 每行从左到右依次为的系数、的系数、常数项； 单独的竖棒：每1根代表1；横棒在个位位置时代表5，横棒在十位位置时代表10，求和得到该位置的数值． 对算筹图2分析： 第一行：系数为，系数为，常数项为， 得方程； 第二行：系数为，系数为，常数项为， 得方程． 因此得到方程组． 21．【答案】 【分析】设有大和尚x人，小和尚y人，根据题意，大和尚共分得个馒头，小和尚共分得个馒头，根据大、小和尚人数和为100，分得的馒头和为100列方程组即可． 【详解】解：设有大和尚x人，小和尚y人，由题意得： 题型五、方案问题 22．【答案】B 【分析】先设未知数，根据总费用列出方程，再结合两种商品都要买的条件，找出所有符合要求的正整数解，即可得到购买方案的数量． 【详解】设购买笔记本本，圆珠笔支，其中均为正整数， 由题意得： 整理得： ∵为正整数， ∴是整数， 又是奇数， ∴必为偶数， ∵， ∴， 解得， 结合是正偶数，可得的取值为，共种，即共有种购买方案． 23．【答案】(1)共有5种租车方案，分别为：方案1：租用甲种车0辆，乙种车9辆；方案2：租用甲种车1辆，乙种车7辆；方案3：租用甲种车2辆，乙种车5辆；方案4：租用甲种车3辆，乙种车3辆；方案5：租用甲种车4辆，乙种车1辆； (2)最便宜的租车方案为租用甲种车4辆，乙种车1辆，每天租金为1400元． 【分析】（1）设租用甲种汽车辆，乙种汽车辆，根据总人数为人，列出方程，再根据、均为非负整数，找出不同的整数解，即为不同的租车方案； （2）根据甲种汽车和乙种汽车的租金，分别计算各方案的费用，比较后得出费用最少的方案，也可以通过建立总费用的函数表达式，结合的取值范围，利用函数性质求出最小值． 【详解】（1）解：设租用甲种汽车辆，租用乙种汽车辆， 由题意得，即． ，均为非负整数， 可取，，，，，则依次为，，，，， 共有5种租车方案，分别为：方案1：租用甲种车0辆，乙种车9辆；方案2：租用甲种车1辆，乙种车7辆；方案3：租用甲种车2辆，乙种车5辆；方案4：租用甲种车3辆，乙种车3辆；方案5：租用甲种车4辆，乙种车1辆； （2）解：根据题意，得租用甲种汽车每人的平均日租金比租用乙种汽车少， 欲使费用最少，则必须多租用甲种汽车， 符合要求且费用最少的租车方案为租用甲种汽车辆，乙种汽车辆，此时的费用为（元）． 24．【答案】(1)类设备每套的价格为25万元，类设备每套的价格为10万元 (2)方案1：购买类设备2套，类设备15套；方案2：购买类设备4套，类设备10套；方案3：购买类设备6套，类设备5套 【分析】（1）设A类设备每套的价格为万元，B类设备每套的价格为万元，根据题意列出方程组解方程组，即可求解． （2）设购买A类设备套，B类设备套，其中，均为正整数，根据题意列出二元一次方程，根据为正整数得出的值，即可求解． 【详解】（1）解：设A类设备每套的价格为万元，B类设备每套的价格为万元． 根据题意，得         解得 答：A类设备每套的价格为25万元，B类设备每套的价格为10万元． （2）解：设购买A类设备套，B类设备套，其中，均为正整数． 根据题意，得，         解得．             ，均为正整数， 为正偶数，且， 为正偶数，且． 当时，； 当时，； 当时，． 答：方案1：购买A类设备2套，B类设备15套；方案2：购买A类设备4套，B类设备10套；方案3：购买A类设备6套，B类设备5套． 25．【答案】(1)甲、乙两队每日劳务费用分别为元，元 (2)单独聘请甲队完成装修的总花费更低， 理由：单独聘请甲队完成装修的总花费（元）， 单独聘请乙队完成装修的总花费（元）， ，                        单独聘请甲队完成装修的总花费更低 【分析】（1）根据两队同时施工天的总劳务费和甲单独施工天、乙单独施工天的总劳务费，列出二元一次方程组，解方程组即可得到两队每日劳务费用； （2）分别用“每日劳务费+每日净利润”乘以各自的独立工期，算出单独聘请甲、乙两队的总花费，再比较两个总花费的大小，即可判断哪个成本更低． 【详解】（1）解：由题意列方程组为： ， 解得 ， 答：甲、乙两队每日劳务费用分别为元，元． （2）略 26．【答案】(1)绿萝每盆元，兰草每盆元． (2)①；方案一：绿萝购买盆，兰草购买盆；方案二：绿萝购买盆，兰草购买盆；方案二购买的绿植总数量最多． 【分析】（1）设绿萝每盆元，兰草每盆元，列出方程，进行解答，即可； （2）①由题意可得，，化简式子，即可；②当元全部买绿萝，求出的取值范围，根据，均为偶数，分类讨论，的值，进行解答，即可． 【详解】（1）解：设绿萝每盆元，兰草每盆元， ∴， 解得：， 答：绿萝每盆元，兰草每盆元． （2）解：①由题意可得，， 整理得，； ②结合总花费120元及的要求，可得， ∵，均为偶数 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴方案一：绿萝购买盆，兰草购买盆；方案二：绿萝购买盆，兰草购买盆； ∵，，， ∴方案二购买的绿植总数量最多． 【点睛】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是掌握二元一次方程的知识，进行解答，即可． 27． 【答案】(1) 传统骑手配送了单，无人机配送了单. (2) 共有种满足条件的采购方案，分别是： 方案一：旋翼A型无人机台，旋翼B型无人机台； 方案二：旋翼A型无人机台，旋翼B型无人机台； 方案三：旋翼A型无人机台，旋翼B型无人机台； 方案四：旋翼A型无人机台，旋翼B型无人机台. 【分析】（1）设传统骑手配送了单，无人机配送了单，列方程组求解即可； （2）设旋翼型无人机采购了台，旋翼型无人机采购了台，可得：，根据、均为正整数，求出满足条件的采购方案． 【详解】（1）解：设传统骑手配送了单，无人机配送了单， 根据题意可得：， 解得：， 答：传统骑手配送了单，无人机配送了单； （2）解：设旋翼型无人机采购了台，旋翼型无人机采购了台， 根据题意可得：， 整理可得：， 、均为正整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 共有种满足条件的采购方案，分别是： 方案一：旋翼A型无人机台，旋翼B型无人机台； 方案二：旋翼A型无人机台，旋翼B型无人机台； 方案三：旋翼A型无人机台，旋翼B型无人机台； 方案四：旋翼A型无人机台，旋翼B型无人机台． 题型六、行程问题 28．【答案】A 【分析】设甲的速度是，乙的速度是，根据追及问题和相遇问题列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲的速度是，乙的速度是， 由题意可得：，解得：． ∴甲的速度是，乙的速度是，即A选项符合题意． 29．【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用——行程问题，关键是根据线段图准确分析两次行程中甲乙的行驶时间、路程与总路程的数量关系． 【详解】解：根据第一次行程的线段图可知，甲先行驶小时，再与乙共同行驶2小时，两人走完的路程， 甲的总路程为，乙的路程为，因此列方程为； 根据第二次行程的线段图可知，甲乙同时行驶1小时后，两人之间仍相距，总路程为， 因此甲乙1小时的路程和加上等于总路程，列方程为； 综上，可列方程组为， 故选：A． 30．【答案】 【详解】解：设甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈， 若同时同地反向出发，相遇时两人跑的路程和刚好是1整圈，甲跑圈，乙跑圈，则列方程为：， 若同向而行：甲比乙快，同时同地同向出发，相遇时甲比乙多跑了1整圈，甲跑圈，乙跑圈，则列方程为：， 联立两个方程得：． 31．【答案】汽车在普通公路上行驶了千米，在高速公路上行驶了千米 【分析】设汽车在普通公路上行驶了千米，在高速公路上行驶了千米，根据题意列方程组即可求解． 【详解】解：设汽车在普通公路上行驶了千米，在高速公路上行驶了千米， 根据题意得， 解得， 答：汽车在普通公路上行驶了千米，在高速公路上行驶了千米． 32．【答案】隧道长度为，火车长度为 【分析】结合火车完全通过隧道、全身在隧道内两种行驶过程的路程与隧道长、车长的数量关系，列方程组求解． 【详解】解：设隧道长度为，火车长度为，根据题意，得 ， 解得， 答：隧道长度为，火车长度为． 33．【答案】(1)动点运动的速度是每秒5个单位长度，动点运动的速度是每秒2个单位长度 (2)①，；②为10秒或14秒时，点与点恰好相距14 【分析】（1）先求出，设动点运动的速度是每秒个单位长度，动点运动的速度是每秒个单位长度，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）①由（1）得动点运动的速度是每秒5个单位长度，动点运动的速度是每秒2个单位长度，结合点、在数轴上表示的数分别是、64，列代数式即可； ②根据题意列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 设动点运动的速度是每秒个单位长度，动点运动的速度是每秒个单位长度， 则， 解得， 答：动点运动的速度是每秒5个单位长度，动点运动的速度是每秒2个单位长度． （2）解：①因为动点运动的速度是每秒5个单位长度，动点运动的速度是每秒2个单位长度，点、在数轴上表示的数分别是、64， 所以动点在数轴上对应的数为，动点在数轴上对应的数为； ②由题意得， 化简整理得， 所以或， 解得或14， 答：为10秒或14秒时，点与点恰好相距14． 题型七、工程问题 34．【答案】学徒工有20名，熟练工有2名． 【分析】设学徒工有x名，熟练工有y名，根据“学徒工与熟练工共22人，且定额完成了3400件产品”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设学徒工有x名，熟练工有y名， 依题意，得：， 解得：． 答：学徒工有20名，熟练工有2名． 35．【答案】 A款植保无人机每小时可为80亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为100亩土地进行农药喷洒． 【分析】设A款植保无人机每小时可为x亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为y亩土地进行农药喷洒，根据“3架A款植保无人机和2架B款植保无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒，2架A款植保无人机和3架B款植保无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒”建立二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设A款植保无人机每小时可为x亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为y亩土地进行农药喷洒， 由题意得， 解得， 答：A款植保无人机每小时可为80亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为100亩土地进行农药喷洒． 36． 【答案】能按要求完成任务 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设一台清淤机的工作效率为，一台清淤船的工作效率为，根据方案一和方案二建立方程求解即可． 【详解】解：设一台清淤机的工作效率为，一台清淤船的工作效率为． 根据题意，得 解得， 答：2台清淤机和2台清淤船共同工作，能按要求完成任务． 37．【答案】(1)时间上考虑选择甲公司 (2)从节约开支上考虑选择乙公司 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． （1）列出方程组求出甲乙单独做所用的时间，然后比较大小，进行作答即可； （2）列出方程组求出各自单独做的周费用，再乘以他们所需时间计算总费用，然后比较大小，进行作答即可． 【详解】（1）解：设工作总量为1，甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n 依题意得，， 解得：， ∵， ∴甲公司的效率高， ∴从时间上考虑选择甲公司． （2）解：设甲公司每周费用为万元，乙公司每周费用为万元， 依题意得，， 解得：， ∴甲公司共需万元，乙公司共需万元， ∵， ∴从节约开支上考虑选择乙公司． 38．【答案】(1)甲队单独完成此项工程需要40天，乙队单独完成此项工程需要15天 (2)与公司派来的乙工程队再合作6天可完成此项工程 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程（组）． （1）设甲队单独完成此项工程需要天，乙队单独完成此项工程需要天，根据题意列出方程组，解方程组，即可求解； （2）设与公司派来的乙工程队再合作天可完成此项工程的，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设甲队单独完成此项工程需要天，乙队单独完成此项工程需要天， 根据题意得 解得 答：甲队单独完成此项工程需要40天，乙队单独完成此项工程需要15天 （2）解：设与公司派来的乙工程队再合作天可完成此项工程的， 根据题意得， 解得， 答：与公司派来的乙工程队再合作6天可完成此项工程． 39．【答案】(1)甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、米； (2)能比原来少用天． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意是解本题的关键； （1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，根据题意列方程组，解方程组即可；（2）设按原来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要a天、b天完成任务，分别计算出施工进度改进前和改进后完成任务还需的天数，再作差即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米， 由题意得， 解得． 答：甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、米； （2）解：设按原来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要a天、b天完成任务，则 （天）， （天）， 则（天）． 答：能比原来少用天． 题型八、销售、利润问题 40．【答案】 65 54 【分析】设出A、B两种头盔的单价，根据总花费和两种头盔的单价差两个等量关系列方程组，解方程组即可得到结果． 【详解】解：设种头盔的单价为元，种头盔的单价为元， 根据题意，得 ， 解得． 41． 【答案】全部售出后的总利润是元 【分析】设购进A型只，购进B型只，根据题意列出二元一次方程组，求得购进A型，B型的数量，再计算利润即可． 【详解】解：设购进A型只，购进B型只， 可得， 解得， 全部售出后的总利润为（元）， 答：全部售出后的总利润是元． 42． 【答案】(1)《红星照耀中国》和《红岩》分别购进了60本和40本 (2)1400元 【分析】（1）根据两本书共计100本和购买数的总费用2200列二元一次方程组，解出即可； （2）根据总利润等于两种书的售价和进价的差再乘以数量的总和计算即可． 【详解】（1）设《红星照耀中国》和《红岩》分别购进了 本和本， 由题意得，解得 答：《红星照耀中国》和《红岩》分别购进了60本和40本． （2）由题意得： （元） 答：商店共获利1400元． 43．【答案】(1)A种刺绣作品的单价为300元，B种刺绣作品的单价为200元． (2)总费用是20500元． 【分析】（1）先设出A、B两种刺绣作品的单价，根据题干给出的两种购买方案的总费用列出二元一次方程组，求解得到两种作品的单价； （2）根据计划购买的数量计算总费用即可． 【详解】（1）解：设A种刺绣作品的单价为元，B种刺绣作品的单价为元． 根据题意可得 解得 答：A种刺绣作品的单价为300元，B种刺绣作品的单价为200元． （2）解：总费用为：（元） 答：总费用是20500元． 44．【答案】这家文具店每支铅笔的批发价为元，每块橡皮的批发价为元． 【分析】设这家文具店每支铅笔的批发价为元，每块橡皮的批发价为元，则这家文具店每支铅笔的零售价为元，每块橡皮的零售价为元，根据题意列出两个方程，并求解出、． 【详解】解：设这家文具店每支铅笔的批发价为元，每块橡皮的批发价为元， ∴这家文具店每支铅笔的零售价为元，每块橡皮的零售价为元， 根据题意可知，2支铅笔和1块橡皮的零售价之和为（元）， ∴4支铅笔和2块橡皮的零售价之和为元， ∴， 去括号，得， 变形，得， 3支铅笔和2块橡皮的批发价为（元）， ∴， 将，得，， 将代入①，得， 解得． 答：这家文具店每支铅笔的批发价为元，每块橡皮的批发价为元． 45．【答案】(1)纪念徽章的售价为60元，帆布袋的售价为40元 (2)5 【分析】（1）设纪念徽章的售价为元，帆布袋的售价为元，根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）利用利润率先求出纪念徽章的进价，再求出每套纪念徽章和每个帆布袋的利润，求出总利润的表达式，利用总利润与的取值无关，求出的值． 【详解】（1）解：设纪念徽章的售价为元，帆布袋的售价为元， 根据题意得： 解得： 答：纪念徽章的售价为60元，帆布袋的售价为40元； （2）解：设购进纪念徽章套，则购进帆布袋个，总获利为元， 纪念徽章进价为元， 每套纪念徽章的利润为元， 每个帆布袋的利润为元， 则总利润为：， 由所有采购方案获利相同得：， 解得：． 题型九、几何图形问题 46．【答案】D 【分析】根据图形观察，大长方形的高度由两部分组成：上面是两块横放砖的宽，下面是一块竖放砖的长；同时，观察图形内部结构，一块竖放砖的长等于三块横放砖的宽之和，据此列出方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为厘米，宽为厘米 依题意得， 解得， ∴ 每个小长方形的面积为． 47．【答案】B 【分析】设小长方形的长为，宽为，再结合长方形的性质可得方程组，再解方程组即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得，， 解得：， ∴小长方形的两边长分别为，． 48．【答案】 【分析】首先设小长方形的长为宽为由图形得等量关系：①1个长+3个宽；②2个宽+6=1个长+1个宽，根据等量关系列出方程组，再解即可． 【详解】解：设长方形的长为宽为 根据题意，得， 解得， ∴阴影部分的面积为：． 49．【答案】通道的宽度是1米 【分析】设米，通道宽为y米，则米，根据长方形的长19米，宽17米列方程组求解即可． 【详解】解：设米，通道宽为y米，则米， 根据题意，得， 解得， 答：通道的宽度是1米． 50．【答案】 【分析】求出大正方形的边长，中间小正方形的边长，进而根据题干列方程组求解即可． 【详解】解：∵大正方形的面积为25，中间小正方形的面积为1， ∴大正方形的边长为5，中间小正方形的边长为1， 由题意可得， ． 题型十、数字问题 51．【答案】A 【分析】本题考查了有理数加法，列代数式，以及二元一次方程组，解题的关键是根据表格，利用每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等列方程． 【详解】解：观察图3得， 解得， ． 故选：A． 52． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．利用幻方每行、每列、每条对角线之和相等的性质，通过已知单元格列出方程组求解． 【详解】解：由题意得， 整理得， 得，解得； 将代入①，得， 解得； ∴， 故选：C． 53．【答案】 1035 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意得到等量关系列出方程是解题的关键． 设较大的两位数为，较小的两位数为，根据两个两位数的和为68，以及两个四位数的差为2178，列出方程组求解，再计算乘积即可． 【详解】解：由题意得， 解得， ∴这两个数的乘积为． 故答案为：1035． 54．【答案】 B 45 【分析】本题考查了解多元一次方程组，解题关键是掌握三元一次方程组的解法． 仿照三元一次方程组的解法求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得：， 所以最大，最大值为45； 故答案为：，45 ． 55． 【答案】 时看到的两位数是16 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及应用，正确理解题意并列出方程组是解题的关键．设小明12时看到的两位数，十位数为，个位数为，根据两位数之和为7可列一个方程，再根据匀速行驶，时行驶的里程数等于时行驶的里程数列出第二个方程，解方程组即可． 【详解】解：设小明12时看到的两位数，十位数为，个位数为，即为； 则13时看到的两位数为，时行驶的里程数为：； 则时看到的数为，时行驶的里程数为：； 由题意列方程组得： ， 解得：， 时看到的两位数是16． 56．【答案】原来的两位数是81． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，准确列出等量关系是解决问题的关键． 根据等量关系，设原来两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，列出二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：设原来两位数的十位上的数字为，个位上的数字为． 根据题意，得 解得 故原来的两位数是81． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $