安徽省亳州市蒙城县部分校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026九年级第二次学业水平检测 数学试题 （分值：150分，时间120分钟） 一、单选题（本大题共10小题，每题4分，满分40分） 1．下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（ ） A． B． C． D． 2．已知，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，是边上一点，若，则为（     ） A． B． C． D． 4．已知点，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 5．如图，小正方形的边长均为1，则下列正方形网格中的三角形（阴影部分）与相似的是（     ） A． B． C． D． 6．二次函数和一次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 7．如图，在正五边形中，连接它们的对角线，其中点是对角线与对角线的交点，已知点为的黄金分割点，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 8．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点．下列说法：①；②；③；④（为任意实数）；⑤若，是抛物线上两点，则．其中说法正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．如图，为等腰直角三角形，，，为线段上任意一动点，以为斜边作等腰，连接，下列说法：①；②；③；④；⑤四边形的面积有最大值，且最大值为．正确的结论是（     ） A．①②④ B．①③⑤ C．①③④ D．①③④⑤ 10．已知抛物线与直线在范围内有唯一公共点，则m的取值范围为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分） 11．若抛物线过点，，则此抛物线的对称轴是直线                  ． 12．如图，在中，，，则的值为                  ． 13．如图，在平面直角坐标系中，，，反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象经过点，则m的值为                        ． 14．如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接． （1）若，则                        ； （2）若，则                        ． 三、解答题（本大题共2小题，每题8分，满分16分） 15．已知线段，，满足，且． （1）求，，的值； （2）若线段是线段，的比例中项，求． 16．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于y轴对称的； （2）以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标． 四、解答题（本大题共2小题，每题8分，满分16分） 17．如图，用m长的护栏全部用于建造一个靠墙（墙的长度不限）的长方形养牛场，已知此长方形养牛场的面积为，且与墙平行的边长为． （1）求与之间的函数解析式； （2）当边长为何值时，该长方形面积最大？并求出其最大值． 18．如图1，在锐角中，是边上的高，，，动点沿线段从点向点运动，过点作，交于，交于，以为边向下作正方形． （1）设长为，利用相似三角形的性质，可用含的代数式表示正方形的边长为                        ；如图2，当恰好落在边上，此时长为                        ； （2）如图3，当在外部，且正方形与公共部分的面积为时，求的值． 五、解答题（本大题共2小题，每题10分，满分20分） 19．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． （1）求反比例函数的表达式； （2）请直接写出关于的不等式的解集； （3）若点是轴上的一点，的面积是9，求点的坐标． 20．如图，，，动点，分别以每秒cm和cm的速度同时开始运动，其中点从点出发，沿边一直移到点为止，点从点出发沿边一直运动到点为止（点到达点后，点继续运动）．当等于何值时，与相似？ 六、解答题（本题满分12分） 21．定义：若一个函数的图像上存在横坐标与纵坐标之差为的点，则称该点为这个函数图像上的“亮点”．例如：点是正比例函数的图像上的“亮点”． （1）一次函数的图像上的“亮点”是                        ； （2）若点M是反比例函数图像的“亮点”，一次函数的图像经过点，求的值； （3）若二次函数的图像经过点，试说明无论取何值，该二次函数的图像上一定存在“亮点”． 七、解答题（本题满分12分） 22．综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． （1）【数学思考】 如图1，在矩形中，，，，分别是，上的两点，连接，，于点，求的值； （2）【深入探究】 如图2，在矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，．求证：； （3）【拓展延伸】 如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交于点．若，，请求出的长． 八、解答题（本题满分14分） 23．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为；抛物线，顶点为． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标； （2）如图1，连接，点是抛物线对称轴右侧图象上一点，点是抛物线上一点，若四边形是面积为的平行四边形，求的值； （3）如图2，连接，，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，，求面积的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $2026九年级第二次学业水平检测答案 1.C 2.B 3.B 4.A 5.D 6.C 7.B 8.C 9.D 10.A 11.x=2 3 12.4/0.75 13.1 35 14.26 5 a_b-C-k(k+0) 15.(1)解：设326 则a=3k,b=2k,c=6k .a+2b+c=26 所以3k+2×2k+6k=26, 解得k=2, a=3×2=6,b=2×2=4,C=6×2=12;4 (2)解：：线段x是线段6a、b的比例中项， .x2=6ab=6×6×4=144, .x=12(负值舍去)… .8 16.(1)如图，△4BC为所作. .3 8-76-5-4-3-210 12345.6x (2)如图， △A,B,C2为所作， .6 点B,的坐标为(4，-6) 8 -8-7-6-5-43-2-19 123456x 17.(1)解：根据已知条件，与墙平行的边长为x(m), 60-x=(30-0.5x)m 则垂直于墙的边长为： 2 .y=x(30-0.5x)=-0.5x2+30x .…4 (2)解：y=-0.5x2+30x=-0.5(x-302+450 .当x=30m时，面积y取最大值为450m2 8 3 18.(1)2,125. .4 (2)解：设AP=x, iF=3 X 由(1)同理可求 2*,PD=EM=4-x, :GH在△ABC外部， 8 .x> :正方形EFGH与△ABC公共部分的面积为6， ∴.四边形EMNF的面积为6， 4-6 解得=七2=2 即AP的值为2.8 1 19.q)解：把420)代入2+1，得 2*2+1=2 a= ·A(2,2) k 无4,2）代入'-，得 2-4 2,解得k=4, 反比例函数的表达式为y=4x: 3 (2)-4<x<0或x>2: .6 (3)解：如图，设直线AB与y轴交于点M, y= ×0+1=1 令x=0,则2 :4(o,) 设P(0,p),则PM=p-l, .Sa48e=SaAw+SaBw= x2xPM+x4xPM=3PM=9 1 2 :3p-1=9 解得卫=-2或p=4, ∴点P的坐标为(0，-2)或(0,4) 60 20.解：当0≤t<6时，①若QP/BC,则有△AQP∽△ABC AO AP .AB AC, 又：AB=16cm,AC=12cm,AP=2tcm, 16-t_2t .1612 1s48 解得11： 3 ②油∠A=∠A,若∠AQP=∠C,则有△AOP∽△ACB AO AP :AC AB, 16-t2t .1216 解得t=6.4(不合题意，舍去)； .6 当6≤t≤16时，点P与点C重合，如图， B C(P) :∠A=∠A,只有当∠AQC=∠ACB时，才有△AQP∽△ACB AOAP AC AB 16-1=12 1216 解得t=7, 9 48 t= 综上所述，11或t=7 .10 (13 21.【详解】(1)解 22 2 (2)解：设(c,C-2)在反比例函数 x图像上， c-2=3 C, G=3C2=-1 3 反此例函数x图像的“亮点”有：M(3,),M(-1,-3) -次函数y=-2x+b的图像经过点M, 代入M(3,0,有1=-2x3+b,b=7； 代入M(-1,-3),有3=-2×()+b,b=-5 .b=7或b=-5: … （3)解：二次函数y=r-3x-c(a≠0)的图像经过点A(2,0) ∴.0=4a-6-c, ∴.c=4a-6. :.y=ax2-3x-c=ax2-3x-4a+6 .a(x2-4)=3x-6+y ∴.a(x+2)(x-2)=3x-6+y ∴无论a取何值，当x=2时，a(x+2)(x-2)=0,3x-6+y=0,此时y=0: 当x=-2时，a(x+2)(x-2)=0,3x-6+y=0,此时y=12, ∴无论a取何值，y=ar2-3x-4a+6一定过(2,0)和(-2,12)， 2-0=2, .该二次函数的图像上一定存在“亮点”，亮点坐标为(2,0).12 22. 5 【答案】(1)3 ..3 (2)证明：过点E作EP⊥BC于点P,过点H作H0⊥CD于点Q,且交EF于点O. B FP :四边形ABCD是矩形， .AD⊥CD.ADIIBC ADIIHQIIBC.HO=AD 同理，EPIICD,EP=CD. .∠HOF=∠EFP, EF⊥GH. :∠QHG+∠HOF=90° :∠OFP+∠FEP=90° ∠QHG=∠FEP ∠HQG=∠EPF=90° :△H0G∽△EPF GH HO BC .FE EP AB .7 (3)解：过点A作AG/CB,延长CF交AG于点G F D B 图2 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8, :.AB=AC2+BC2 =10. .BF=6 .AF=AB-BF=4. AG//CB ∴.△AFG∽△BFC,∠GAC=180°-∠ACB=90°， AG AF 4 2 BC BF 6 3, AG=16 :CE⊥AD .∠AEC=90° ∴.∠CAD+∠ACE=90° 又：∠CAD+∠ADC=90°， ∴.∠ACE=∠ADC ∴.△ACGn△CDA, :4C4G CD CA, CD=4C2 3627 4G=16=4 3 …12 23。(1)解：“抛物线y=r+br+c过点A(0,2),B(2,2) c=2 得(4+2b+c=2 b=-2 解得(c=2 “抛物线C的表达式为y=X2-2x+2 “顶点D(,): (2)解：如图，连接DE,过点E作EG心轴，交AD延长线于点G,过点D作DH⊥EG,垂足为 H,与y轴交于H',设点E的横坐标为t. H H G 设直线AD的表达式为y=x+b [b=2 由题意知k+b=1 k=-1 解得b=2 ·直线AD的表达式为y=-x+2 E(t,2-2t+2.G(t,2-).EG=2-t .口ADFE的面积为12 3em-65m=Se-5gGH0-6 .H'D=1, .EG=12 :.t2-t=12 解得5=4，五=-3（舍） :E(4,10) ,点E先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点F .F(5,9) 将F(5,9）代入y=x-2mr+m2-m+2(m≠） 得m2-11m+18=0 解得%=2.m2=9 …9 (3)解：如图，过M作MP⊥x轴，垂足为P,过点D作DK心轴，过点O作QKx轴， 与DK交于点K,设M(伍，-2h+2）.h<1且h≠0，N(m,0) 0 y=x2-2mx+m2+2-m=(x-m)2+2-m ∴抛物线C的顶点(m,2-m) .DK=1-(2-mm-l,K0=m-1 ∴.DK=KQ.∠D0K=45 MNIIDO,KOllNP 易得∠MNP=∠DOK=45 ∴.∠NMP=45 ∴.MP=NP ∴.n-h=h2-2h+2 .n=h2-h+2 12,7 n=气h-2+4 1 h= n=- 当2时， 4 7 n ∴点N横坐标最小值为4，此时点N到直线BD距离最近，△BDN的面积最小 72_7W2 最近距离即边BD上的高，高为：428 △BDN面积的最小值为 SABDN-1x1 28xV2= 8 14