3.1.3 组合与组合数（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第二册

第二章 排列、组合与二项式定理 3.1.3 组合与组合数 3.1排列与组合 【新教材】人教B版·高二选修第二册 学 习 目 标 1 2 3 理解组合的概念，区分排列与组合；掌握组合数公式、组合数性质，会用公式计算组合数。 能判断一个计数问题是排列问题还是组合问题；会利用组合数性质简化运算，能用组合解决简单实际计数问题。 易错点警示：判断的关键——是否与元素顺序有关；有序为排列，无序为组合。 温故知新 前面我们学习了排列：从 n 个不同元素中取出 m 个，按一定顺序排成一列，顺序改变就是不同排列。 请看两个问题： 问题1：从甲、乙、丙3名同学里选出2人，分别担任班长、副班长，有多少种选法？ 问题2：从甲、乙、丙3名同学里选出2人参加志愿者活动，不分工，有多少种选法？ 思考：两个问题都是取出2个人，区别在哪里？ 第一个有分工、有顺序；第二个只选人、不分先后，甲乙和乙甲是同一种结果。 像这种“只选不排、不计顺序”的选取方式，就是今天我们要学习的——组合。 目标一：组合的概念 实例 知识讲解 互动探究 新课引入 下面这两个计数问题的答案一样吗？ 小张要在3所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，小张共有多少种不同的选择方式？ (2) 小张要在3所大学中选择2所，作为自己努力的目标，小张共有多少种不同的选择方式？ 选择合适的符号，分别表示出上述两题中所有的选择方式，并总结两者之间的关系。 不难看出，两个问题中：前者选出两所学校后，还要指定一所作为第一志愿，另一所作为第二志愿；而后者只需要选出两所学校即可。换句话说，前者选出的学校是要排列顺序的，而后者选出的学校不需要排列顺序。 5 实例 知识讲解 互动探究 新课引入 下面这两个计数问题的答案一样吗？ 小张要在3所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，小张共有多少种不同的选择方式？ (2) 小张要在3所大学中选择2所，作为自己努力的目标，小张共有多少种不同的选择方式？ 选择合适的符号，分别表示出上述两题中所有的选择方式，并总结两者之间的关系。 (1)中的事情，可以分成两步来完成： 第一步，完成(2)中的事情，即选择两所学校；第二步，将选出的两所学校做全排列（共有 种方法）。 因为问题(1)的答案，所以如果设问题(2)的答案是 x，那么根据上述分析和分步乘法计数原理可知 ，从而 x。 6 组合的概念 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地，从 n 个不同对象中取出 m(m≤n) 个对象并成一组，称为从 n 个不同对象中取出 m 个对象的一个组合。 (1) 组合的特点：组合要求 n 个对象是不同的，取出的 m 个对象也是不同的，即从 n 个不同的对象中进行 m 次不放回地取出。 (2) 组合的特性：对象的无序性。取出的 m 个对象不讲究顺序，即对象没有位置的要求。 (3) 根据组合的定义，只要两个组合的对象完全相同，不论对象的顺序如何，都是相同的组合；如果两个组合的对象不完全相同，那么这两个组合就是不同的组合。 解读 7 排列与组合的异同及区分方法 知识讲解 互动探究 新课引入   排列 组合 相同点  从n个不同对象中取出m（m≤n）个对象  不同点 与对象的顺序有关 与对象的顺序无关 排列问题 若交换某两个对象的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关 组合问题 若交换任意两个对象的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关 8 (多选)给出下列问题，其中是组合问题的是( )。 A. 由1,2,3,4构成的含3个元素的集合 B. 从7名班委中选2人担任班长和团支书 C. 从数学组的10名教师中选3人去参加市里新课程研讨会 D. 由1,2,3,4组成无重复数字的两位数 对点体验 解 A. 选出的元素构成集合，是组合问题； B. 2人担任班长和团支书，有两种不同的分工，是排列问题；C. 选出3人去参加研讨会，是组合问题；D. 2个数字组成两位数，有十位和个位的区分，是排列问题。 故选 AC。 答 AC 从5个不同的元素 a,b,c,d,e 中取出2个，写出所有不同的组合 对点体验 答 画出树形图，如图a 分支出：b c d e b 分支出：c d e c 分支出：d e d 分支出：e 图3-1-3-1 由此可得所有不同的组合为 ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de。（此法常被称为“树形图法”） 目标二：组合数 组合数 知识讲解 互动探究 新课引入 从 n 个不同对象中取出 m 个对象的所有组合的个数，称为从 n 个不同对象中取出 m 个对象的组合数，用符号 表示。 注意：同符号 一样，在符号 中，总是要求 n 和 m 都是正整数，且 m≤n，以后也不再声明。 辨析比较 组合与组合数的区别   组合 组合数 区别 “一个组合”是指“从 个不同对象中取出 个对象并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事 “组合数”是指“从 个不同对象中取出 个对象的所有不同组合的个数”，它是一个数 12 组合数公式的推导 知识讲解 互动探究 新课引入 考虑到从 个不同对象中取出 个做排列，可以分成两个步骤来完成：第一步，从 个不同对象中取出 个，有 种选法；第二步，将选出的 个对象做全排列，有 种排法。由分步乘法计数原理有 ，所以 。上述公式称为组合数公式。 13 组合数公式的特点 知识讲解 互动探究 新课引入 组合数公式 与排列数公式一样，组合数公式也有两个 连乘表示：①。 (2) 阶乘表示：因为 ，所以 ②。 另外，我们规定 。 14 (1) 已知 ，那么 。 A. 20 B. 30 C. 42 D. 72 (2) 。 A. 31 B. 32 C. 33 D. 34 对点体验 解 (1) 方法一：由 ，得 ， 即 ， 解得 或 （舍去）， 故 。 方法二：由 知，，故 。 (2) 。 已知一个平面内有10个点，其中任意3点都不共线，且任意两点所连成的线段中，任意两条线段的长度都不相等： (1) 这些点共可以连成多少条不同的线段？ 对点体验 因为已知的点中，任意3点都不共线，而任意两点都能连成一条线段，所以共可以连成的不同线段条数为 已知一个平面内有10个点，其中任意3点都不共线，且任意两点所连成的线段中，任意两条线段的长度都不相等： (2) 以这些点为端点共可以作出多少个不同的非零向量？ 对点体验 因为以任意一点为始点、另一点为终点，均可作出一个非零向量，而且连成的所有线段中，任意两条线段的长度都不相等，因此共可以作出不同的非零向量个数为 目标三：组合数的性质 实例 知识讲解 互动探究 新课引入 在了解敬老院可以进行哪些爱心活动的走访中，老师要将5位同学分成两组，一组2人，另一组3人。老师要完成分组，有两种不同的做法： (1) 选出2人作为一组，另外3人是另一组； (2) 选出3人作为一组，另外2人是另一组。 用组合数符号分别表示(1)和(2)所得的分法种数，说明所得结果之间的关系，并将结果推广到一般情况。 根据组合和组合数公式可知，(1)和(2)所得的分法种数分别为 和 ，而且 ，。因此 。 19 性质一 知识讲解 互动探究 新课引入 性质一：。 注意 该性质反映了组合数的对称性，其组合意义是：从 个不同的对象中取出 个对象后，就剩下 个对象，因此从 个不同对象中取出 个对象的方法，与从 个对象中取出 个对象的方法是一一对应的，因此是一样多的，就是说从 个不同的对象中取出 个对象的每一个组合，都对应着从 个不同对象中取出 个对象的唯一的一个组合，反过来也一样。故从 个不同对象中取出 个对象的组合数 等于从 个不同的对象中取出 个对象的组合数 ，也就是 。 20 实例 知识讲解 互动探究 新课引入 假设有 n+1 个不同的对象，甲是其中一个，从这 n+1 个对象中选出 m+1 个的组合，可以分成两类： (1) 不包括对象甲的；(2) 包括对象甲的。 你能用这一事实直观地理解上述组合数的性质吗？ 总选法：从 个元素选 个，共 种； 第一类（不含甲）：只能从剩余 个元素里选全部 个，共 种； 第二类（含甲）：甲已确定入选，只需从剩余 个元素再选 个，共 种； 由分类加法计数原理，两类相加等于总选法，得到该恒等式。 结论： 21 性质二 知识讲解 互动探究 新课引入 性质二： 或 注意 性质二的实际意义：一般地，从 这 个不同对象中取出 个对象的组合数是 ，这些组合可以分为两类：一类含有对象 ，一类不含有对象 。含有 的组合是从 这 个对象中取出 个对象与 组成的，共有 个；不含有 的组合是从 这 个对象中取出 个对象组成的，共有 个。由分类加法计数原理，知从 个不同对象中取出 个对象的方法种数为 。 22 化简 。 对点体验 答 由原式知 且 ， 即满足不等式组 解得 。故原式 。 解下列方程和不等式： (1) ； (2) 。 对点体验 解 (1) 利用组合数公式与排列数公式将方程化为一般的方程求解。 (2) 利用组合数公式将原不等式化为一般的不等式求解。 答 (1) 由排列数与组合数公式知，原方程可化为 ， 则 ， 即 ，， 解得 或 。 又 ， 舍去，。 解下列方程和不等式： (1) ； (2) 。 对点体验 (2) 由 得 又 ， 该不等式的解集为 。 点评 与排列数、组合数有关的方程和不等式问题要用到排列数、组合数公式，求解时，要注意由 中的 𝒎∈𝒏∈，且 𝒏≥𝒎 确定 𝒎,𝒏 的范围，因此求解后要验证所得结果是否符合题意。 目标四：无限制条件的组合应用题的解法 (1) 整体分类。对事物进行整体分类，从集合的意义讲，要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏；任意两个集合的交集等于空集，以保证分类的不重复。计算结果时使用分类加法计数原理。 (2) 局部分步。整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证步骤的不重复，计算每一类结果时使用分步乘法计数原理。 (3) 正确判断是“排列”问题还是“组合”问题。考虑顺序，区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”，无序的是组合问题，有序的是排列问题。 (4) 辩证地看待元素与位置。排列与组合中的元素与位置没有严格的界定标准，哪些事物看成元素或位置，随解题者思维方式的变化而变化，要视具体情况而定。有时元素选位置，问题解决起来简捷，有时位置选元素效果会更好。 解答组合应用题的基本思想 基本思想是“化归”，即由实际问题来建立组合模型，再由组合数公式来计算结果，从而得出实际问题的解。 解答组合应用题的基本方法 直接法。注意分类要全、要细，分步要合理完整。 (2) 间接法。注意找准对立面，确保不重不漏。 (1) 5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒子里至多放一个球，则不同的放法有( )。 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 对点体验 解 (1) 由于球不相同，盒子不同，每个盒子里至多放一个球，所以取出5个盒子放不同的球，共有 种不同的放法。 (2) 5个相同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒子里至多放一个球，则不同的放法有( )。 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 (2) 由于球都相同，盒子不同，每个盒子里至多放一个球，所以只要选出5个不同的盒子即可，故共有 种不同的放法。 (3) 5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒子里放球数量不限，则不同的放法有( )。 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 对点体验 (3) 由于每个盒子里放球数量不限，所以第1个球有8种放法，第2个球有8种放法……第5个球也有8种放法，故不同的放法共有 （种） 目标五：有限制条件的组合应用题的解法 ❶ “至多”与“至少”问题 解答有限制条件的组合应用题的基本方法是“直接法”和“间接法（排除法）”。其中用直接法求解时，应坚持“特殊元素优先选取”“特殊位置优先安排”的原则。而运用间接法的原则是“正难则反”。 (2) “至多”“至少”问题，常用的解题方法有两种：①直接分类法，但注意分类要细、要全；②间接法，注意找准对立面，确保不重不漏。 ❷ “含”与“不含”问题 (1) “含……”或“不含……”是组合应用的常见题型。解决这类问题时，一要确切理解这些词的含义；二是谨防重复或遗漏，当用直接法分类较多时，可考虑用间接法处理，即“正难则反”的策略。 (2) “含”与“不含”问题，其解法为直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把特殊元素去掉再取出，分步计数。 (3) 对题目中的元素分类后，要明白被取出的元素“含有”哪一类，“含有”多少个，或者对于某个特殊元素，被取出的元素中含不含这个特殊元素，这是解题的关键。 “众志成城，抗击疫情”，在武汉抗击新冠病毒疫情中，上海某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴武汉抗击新冠病毒，这10名医疗专家中有4名是肺科专家。问： (1) 抽调的6名专家中恰有2名是肺科专家的抽调方法有多少种？ (2) 至少有2名肺科专家的抽调方法有多少种？ (3) 至多有2名肺科专家的抽调方法有多少种？ 对点体验 答 (1) 分2步：第1步，从4名肺科专家中任选2名，有 种选法；第2步，从除肺科专家外的6人中选取4人，有 种选法，所以共有 （种）抽调方法。 “众志成城，抗击疫情”，在武汉抗击新冠病毒疫情中，上海某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴武汉抗击新冠病毒，这10名医疗专家中有4名是肺科专家。问： (1) 抽调的6名专家中恰有2名是肺科专家的抽调方法有多少种？ (2) 至少有2名肺科专家的抽调方法有多少种？ (3) 至多有2名肺科专家的抽调方法有多少种？ 对点体验 (2) “至少”的含义是不低于，有两种解答方法。 方法一（直接法）：按选取的肺科专家的人数分类。 ① 选2名肺科专家，共有 种选法； ② 选3名肺科专家，共有 种选法； ③ 选4名肺科专家，共有 种选法。 根据分类加法计数原理，共有 【图6】 （种）抽调方法。 “众志成城，抗击疫情”，在武汉抗击新冠病毒疫情中，上海某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴武汉抗击新冠病毒，这10名医疗专家中有4名是肺科专家。问： (1) 抽调的6名专家中恰有2名是肺科专家的抽调方法有多少种？ (2) 至少有2名肺科专家的抽调方法有多少种？ (3) 至多有2名肺科专家的抽调方法有多少种？ 对点体验 方法二（间接法）：不考虑是否有肺科专家，共有 种选法；考虑选取1名肺科专家参加，有 种选法；没有肺科专家参加，有 种选法，所以共有 （种）抽调方法。 “众志成城，抗击疫情”，在武汉抗击新冠病毒疫情中，上海某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴武汉抗击新冠病毒，这10名医疗专家中有4名是肺科专家。问： (1) 抽调的6名专家中恰有2名是肺科专家的抽调方法有多少种？ (2) 至少有2名肺科专家的抽调方法有多少种？ (3) 至多有2名肺科专家的抽调方法有多少种？ 对点体验 (3) “至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答。 ① 没有肺科专家参加，有 种选法； ② 有1名肺科专家参加，有 种选法； ③ 有2名肺科专家参加，有 种选法。 所以共有 （种）抽调方法。 与几何图形有关的组合问题 解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何图形中抽象出组合问题，寻找一个组合模型加以处理。 (2) 图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算。常用直接法，也可采用排除法。 (3) 在处理几何图形中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构造模型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决。 (1) 异面直线 a,b 上分别有4个点、5个点，由这9个点可以确定平面的个数为( )。 A. 20 B. 9 C. 84 D. 63 (2)已知直线 =1 (a,b 均为非零常数)与圆 =100 有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线有______条。 对点体验 (2) 如图，在圆 上，横坐标和纵坐标均为整数的点的坐标有 ，，，，，，，，，，，，共12个。 过这12个点的切线有12条。由于直线的方程是截距式，故过原点的直线及与坐标轴平行的直线不符合题意。又过原点的直线有6条，与坐标轴平行（不过原点）的直线有12条，故符合题意的直线共有 （条）。 由正方体的8个顶点中的任何2个顶点组成的直线中，异面直线有______对。 对点体验 【解析】在任何一个四面体中，都有3对异面直线，我们只要弄清由正方体的8个顶点能组成多少个四面体即可。四面体由不共面的四个点构成，只要在8个顶点中选出4个不共面的顶点即可组成1个四面体。 由于四点不共面不好确定，因此我们可以考虑用间接法先求四点共面的个数。 在正方体的8个顶点中任选4个顶点，有 种选法。 正方体中共有12种情况四点共面，故由正方体的8个顶点共可以组成 （个）四面体。 因为每个四面体中有3对异面直线，所以满足题意的异面直线共有 （对）。 四面体的一个顶点为 A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点 A 在同一平面内，有多少种不同的取法？ 对点体验 答 如图，含顶点 的四面体的3个面上，除点 外都有5个点，从中取出3个点必与点 共面，共有 种取法；含顶点 的三条棱上，除点 外都有2个点，它们与所对棱的中点共面，共有3种取法。根据分类加法计数原理，与顶点 共面的3个点的取法有 （种）。 目标六：排列与组合的综合问题 ❶ 先选后排问题 解排列、组合的综合问题的一般思路是“先选后排”，即先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列。 (2) 认真审题是把握问题实质的前提，分清是排列还是组合，并注意结合分类加法与分步乘法两个计数原理。要按元素的性质确定分类的标准，按事情的发生过程确定分步顺序。 (3) 对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件及其联系，从某一个限制条件出发，考虑合理分类、分步，一般优先考虑特殊的元素。 有6名男医生，4名女医生，从中选3名男医生，2名女医生到5个不同地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区A，则不同的分派方案共有______种。 对点体验 点拨：男医生甲是特殊对象，地区A是特殊位置，因此可分类解决。 解 方法一：分两类完成。 第一类：甲被选中，有 种分派方案； 第二类：甲不被选中，有 种分派方案。 根据分类加法计数原理，分派方案共有 （种）。 现要从A，B，C，D，E，F这6人中选出4人安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，那么一共有多少种不同的安排方法？ 对点体验 安排方法可以分成两类：选出的4人中有A和没有A。 有A的安排方法可以分成两步完成： 第一步，在乙、丙、丁3个岗位中选择一个给A，共 种方法； 第二步，在B，C，D，E，F这5人中选出3人安排在其他3个岗位上，共 种方法。所以此类安排方法共有 种。 没有A的安排方法共有 种。 因此安排方法种数为 。 目标七：针对训练 举一反三 1、6本不同的书在下列不同的条件下，各有多少种不同的分法？ (1) 分成1本、2本、3本三组； (2) 分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本； (3) 分成每组都是2本的三个组； (4) 分给甲、乙、丙三人，每人2本； (5) 分成三组，一组4本，另外两组各1本； (6) 分给甲、乙、丙三人，一人得4本，另外两人各1本； (7) 甲得1本，乙得1本，丙得4本。 解 本题是一道分组分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题要注意顺序，避免计数的重复或遗漏，同时注意各小题的区别与联系。 答 (1) 非均匀不编号分组问题。分三步：先选1本有 种选法；再从余下的5本中选2本有 种选法；最后余下的3本全选有 种选法。由分步乘法计数原理知，不同的分法共有 (种)。 举一反三 1、6本不同的书在下列不同的条件下，各有多少种不同的分法？ (1) 分成1本、2本、3本三组； (2) 分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本； (3) 分成每组都是2本的三个组； (4) 分给甲、乙、丙三人，每人2本 (2) 非均匀编号分组问题。先选后排，由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)的基础上，还应考虑分配问题。因此，不同的分法共有 (种)。 (3) 均匀不编号分组问题。先分三组，则应有 种分法，但是这里面出现了重复，不妨记6本书为 A, B, C, D, E, F，若第一组取了 A, B，第二组取了 C, D，第三组取了 E, F，该种方法记为 (AB, CD, EF)，则 种分法中还有 (AB, EF, CD), (CD, AB, EF), (CD, EF, AB), (EF, CD, AB), (EF, AB, CD)，共 种情况，而这 种情况只能作为一种分法，故不同的分法共有 (种)。 (4) 均匀编号分组问题。在问题(3)的基础上再分配即可，不同的分法共有 (种)。 举一反三 1、6本不同的书在下列不同的条件下，各有多少种不同的分法？ (1) 分成1本、2本、3本三组； (2) 分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本； (3) 分成每组都是2本的三个组； (4) 分给甲、乙、丙三人，每人2本； (5) 分成三组，一组4本，另外两组各1本； (6) 分给甲、乙、丙三人，一人得4本，另外两人各1本； (7) 甲得1本，乙得1本，丙得4本。 (5) 部分均匀不编号分组问题，不同的分法共有 (种)。 (6) 部分均匀编号分组问题，不同的分法共有 (种)。或是从6本书中选4本看作一个元素，再与其余2本全排列，共有 (种)。 (7) 直接分配问题，不同的分法共有 (种)。 举一反三 2. 有10个运动员名额，分给班号分别为1, 2, 3的3个班。 (1) 每班至少1个名额，有多少种分法？ (2) 每班至少2个名额，有多少种分法？ (3) 可以允许某些班级没有名额，有多少种分法？ 解 (1) 直接使用隔板法计数；(2)(3) 先将问题进行等价转化，再使用隔板法计数。 答 (1) 因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相邻名额之间形成9个空，在9个空中选2个位置插入“隔板”，可把名额分成3份，对应地分给3个班级，每一种插入隔板的方法对应一种分法，共有 (种)分法。图是其中一种分法，表示分给1班、2班、3班的名额分别是2个、5个、3个。 举一反三 2. 有10个运动员名额，分给班号分别为1, 2, 3的3个班。 (1) 每班至少1个名额，有多少种分法？ (2) 每班至少2个名额，有多少种分法？ (3) 可以允许某些班级没有名额，有多少种分法？ (2) 要求每班至少2个名额，可以先从10个名额中拿出3个，分别给各班1个名额，还剩下7个名额，此时题目转化为将7个名额分给3个班级且每个班级至少1个名额，按照解第(1)小问的方法，可得有 (种)分法。 图是其中一种分法，表示分给1班、2班、3班的名额分别是 (个), (个), (个)。 举一反三 2. 有10个运动员名额，分给班号分别为1, 2, 3的3个班。 (1) 每班至少1个名额，有多少种分法？ (2) 每班至少2个名额，有多少种分法？ (3) 可以允许某些班级没有名额，有多少种分法？ (3) 增加3个名额，使得每个班级至少有1个名额，此时问题转化为将13个名额分给3个班级且每个班级至少1个名额，按照解第(1)小问的方法，可得有 (种)分法。 图是其中一种分法，表示分给1班、2班、3班的名额分别是 (个), (个), (个)。 举一反三 3. 城区某中学安排2位数学老师、4位英语老师到A，B两所乡村中学任教，要求两个乡村中学各安排3位老师，其中A中学至少需要安排1位数学老师，那么有______种不同的安排方式() A. 9 B. 12 C. 14 D. 16 解析：情况1：A中学安排1位数学老师，2位英语老师的方式：， 情况2：A中学安排2位数学老师，1位英语老师的方式：， 所以A中学至少需要安排1位数学老师的方式为： (种)。 目标八：小结 学海拾贝 知识小结 本节课我们类比排列学习了组合： 组合：从 n 个不同元素取出 m 个元素，并成一组，与顺序无关； 2. 组合数：组合的个数记作 ； 3. 组合数公式： 学海拾贝 4. 两条核心性质：，； 5. 解题判断口诀：有序排列，无序组合。 课后请大家留意生活里的计数问题，试着区分什么时候用排列、什么时候用组合，灵活选用公式与性质简化计算。 【新教材】人教B版·高二选修第二册 感谢聆听! $