3.1.3 第2课时 组合数的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（人教B版）

组合数的应用 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 进一步加深对组合概念的理解.掌握几种有限制条件的排列，能应用组合数公式解决简单的实际问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　组合数在实际问题中的应用 题型(二)　有限制条件的排列组合问题 题型(三)　排列组合的综合应用 4 课时跟踪检测 题型(一)　组合数在实际问题中的应用 01 [例1]　在6名内科医生和4名外科医生中，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法? (1)有3名内科医生和2名外科医生; 解：先选内科医生有种选法，再选外科医生有种选法，故有=120(种)选派方法. (2)既有内科医生，又有外科医生. 解：既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生去1人、2人、3人、4人，有+++=246(种)选派方法. 若从反面考虑，则有-=246(种)选派方法. |思|维|建|模| (1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数. (2)“至多”“至少”问题，常有两种解决思路：一是直接分类法，注意分类不重不漏;二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏. 针对训练 1.某市工商局对35种商品进行抽样检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种. (1)恰有2种假货在内的不同取法有多少种? 解：从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种，有=2 100(种). 所以恰有2种假货在内的不同取法有2 100种. (2)至少有2种假货在内的不同取法有多少种? 解：选取2种假货有种，选取3种假货有种，共有选取方法+=2 555(种). 所以至少有2种假货在内的不同取法有2 555种. (3)至多有2种假货在内的不同取法有多少种? 解：选取3种商品的种数为，选取3种假货的种数为，因此有选取方法-=6 090(种). 所以至多有2种假货在内的不同取法有6 090种. 题型(二)　有限制条件的 排列组合问题 02 [例2]　从6名男生，5名女生中选举3人分别担任班长、学习委员和体育委员. (1)若担任班长、学习委员和体育委员的3人中有女生，则不同的情况有多少种? 解：由题意知担任班长、学习委员和体育委员的3人中有女生， 可从11人中选3人，减去全是选男生的情况，再分配担任不同的职务， 故不同的情况有(-)=870种. (2)若担任班长和学习委员的学生性别不同，则不同的情况有多少种? 解：若担任班长和学习委员的学生性别不同，则不同的情况有 =540种. |思|维|建|模| 有限制条件的排列组合问题的解题策略 (1)元素分析法：首先满足特殊的元素，然后安排其他元素. (2)位置分析法：首先满足特殊的位置，即把元素安排在特殊的位置，然后安排其他元素. 针对训练 2.从10个人中选5个人分别担任5种不同的工作. (1)甲、乙、丙三人必须当选有多少种选法? 解：依题意，先从剩下的7人中选出2人，有种选法，再将5人安排到5种不同的工作，则有=2 520种选法. (2)甲、乙、丙三人不能当选有多少种选法? 解：依题意，直接从除甲、乙、丙三人外的7人种选出5人安排到5种不同的工作，则有=2 520种选法. 题型(三)　排列组合的综合应用 03 题点1　相邻与相间问题 [例3]　(1)(2022·新课标Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(　　) A.12种 B.24种 C.36种 D.48种 解析：先将丙和丁捆在一起有种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有种排列方式，最后将甲插入中间两空，有种排列方式，所以不同的排列方式共有=24种，故选B. √ (2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是______.  120 |思|维|建|模| 相邻与相间问题的解题策略 (1)要求相邻时，把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列. (2)对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中. 题点2　分组与分配问题 [例4]　按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方法? (1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本; 解：无序不均匀分组问题.先选1本有种选法;再从余下的5本中选2本有种选法;最后余下3本全选有种方法，故共有=60种. (2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本; 解：有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)问基础上，还应考虑再分配，共有=360种. (3)平均分成三份，每份2本; 解：无序均匀分组问题.共有=15种. (4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本; 解：在第(3)问的基础上，还应考虑再分配，共有15=90种. (5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本; 解：分成三份，1份4本，另外两份每份1本，这是部分均匀分组问题，求出组合总数除以即可，共有=15种. (6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本. 解：在第(5)问的基础上，还应考虑再分配，共有15=90种. |思|维|建|模| 分组与分配问题的解题思路 分组与分配问题的一般解题思路是先分组再分配. (1)分组问题属于“组合”问题. ①对于整体均分，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以组数的阶乘; ②对于部分均分，即若有m组元素个数相同，则分组时应除以m!; ③对于不等分组，只需先分组，后排列. (2)分配问题属于“排列”问题. ①相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”; ②不同元素的“分配”问题，利用分步乘法计数原理，分两步完成，第一步是分组，第二步是分配; ③有限制条件的分配问题常采用分类法求解. 针对训练 3.琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八雅.为弘扬中华优秀传统文化，某校决定从“八雅”中挑选“六雅”，于某周末开展知识讲座，每雅安排一节，连排六节.若“琴”“棋”“书”“画”必选，且要求“琴”“棋”相邻，“书”与“画”不相邻，则不同的排课方法共有______种.(用数字作答)  解析：首先从“诗”“酒”“花”“茶”中选“两雅”，有种选法;“琴”“棋”相邻用捆绑法看作一个整体，与除“书”与“画”外的“两雅”全排列，有种排法;最后将“书”与“画”插入到所形成的4个空中的2个空，有种插法.按照分步乘法计数原理，可得共有=864(种)排课方法. 864 4.某校抽调志愿者去服务社区，已知有4名教师志愿者和2名学生志愿者，要分配到3个不同的社区参加服务.每个社区分配2名志愿者，若要求两名学生不分在同一社区，则不同的分配方案有______种.  解析：有4名教师志愿者和2名学生志愿者，要分配到3个不同的社区参加服务，每个社区分配2名志愿者，共有×=90种分配方案.若两名学生分在同一社区，则有=18种分配方案.因为两名学生不分在同一社区，所以不同的分配方案有90-18=72(种). 72 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.某班计划从3位男生和4位女生中选出2人参加辩论赛，并且至少1位女生入选，则不同的选法的种数为 (　　) A.12 B.18 C.21 D.24 √ 15 解析：可分两种情况：第一种情况，只有一位女生入选，不同的选法有=12种，第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有=6种，根据分类加法计数原理知，至少1位女生入选的不同的选法的种数为12+6=18. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.体育课上，罗老师让8名身高各不相同的同学排队，要求排成前后两排，每排4人，且每排同学从左到右身高依次递增，则不同排法的种数为 (　　) A.60 B.70 C.80 D.90 √ 15 解析：从8人中任选4人放在第一排，有=70种选法，且仅有一种排法，其余4人放在第二排只有一种排法，所以不同排法的种数为70. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.从3名女同学和2名男同学中各选出1人进行跳舞、唱歌表演，则不同的选法种数为 (　　) A.6 B.12 C.8 D.5 √ 15 解析：男女各选一人出来跳舞和唱歌，有区别，产生顺序，先选人，后排序.先分步，后排列，所有可能为··=3×2×2=12种，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知书架上有4本不同的数学书，3本不同的化学书，从中任取3本书.若数学书、化学书每种都取出至少一本，则不同的取法种数为 (　　) A.60 B.180 C.30 D.90 √ 15 解析：由题意知，可分为两类：若取1本数学书，2本化学书，有 =4×3=12种;若取2本数学书，1本化学书，有=6×3=18种，所以不同的取法种数为12+18=30. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.某冰淇淋店至少需要准备m(m∈N+)种不同口味的冰淇淋，才能满足其广告所称“任选两种不同口味的冰淇淋的组合数超过100”.若来店里的顾客从这m种冰淇淋中任选一种或两种不同口味的冰淇淋，则不同的选择方法有 (　　) A.110种 B.115种 C.120种 D.125种 √ 15 解析：从n(n∈N+)种不同口味的冰淇淋中任选两种不同口味的冰淇淋的组合数为=，令>100，得n≥15，因此m=15.若来店里的顾客从这15种冰淇淋中任选一种或两种不同口味的冰淇淋，则不同的选择方法共有+=15+105=120(种). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.从1，3，5中取两个数，从2，4中取一个数，可以组成没有重复数字的三位数，则在这些三位数中，奇数的个数为 (　　) A.12 B.18 C.24 D.36 √ 15 解析：从1，3，5中取两个数有种方法，从2，4中取一个数有种方法，而奇数只能从1，3，5取出的两个数之一作为个位数，另外两个数全排列即可，故奇数的个数为=3×2×2×2×1=24. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.[多选]在某城市中，A，B两地之间有如图所示的 道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径从A地 出发到B地，则下列结论正确的是 (　　) A.不同的路径共有31条 B.不同的路径共有41条 C.若甲途经C地，则不同的路径共有18条 D.若甲途经C地，且不经过D地，则不同的路径共有8条 15 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15 解析：由题图可知，从A地出发到B地的最短路径共包含7步，其中3步向上，4步向右，且前3步中至少有1步向上，则不同的路径共有++=31(条)，故A正确，B错误;若甲途经C地，则不同的路径共有=18(条)，故C正确;若甲途经C地，且不经过D地，则不同的路径共有=9(条)，故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.现有4种不同品牌的小车各2辆(同一品牌的小车完全相同)，计划将其放在4个车库中(每个车库放2辆)，则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有 (　　) A.144种 B.108种 C.72种 D.36种 √ 15 解析：根据题意，分3步进行分析：①从4种不同品牌的小车中任取2个品牌的小车，有种取法，②将取出的2个品牌的小车任意的放进2个车库中，有种情况，③剩余的4辆车放进剩下的2个车库，相同品牌的不能放进同一个车库，有1种情况，则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有×1=72种，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.[多选]安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是 (　　) A.若每人都安排一项工作，则不同的方法种数为45 B.若每项工作至少有1人参加，则不同的方法种数为 C.如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则不同的方法种数为(+) D.若每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同的安排方法种数为+ √ 15 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15 解析：若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有45种安排方法，故A正确;先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有种安排方法，故B错误;先将5人分为3组，有种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有种情况，则有种安排方法，故C错误;①从丙、丁、戊中选出1人开车，②从丙、丁、戊中选出2人开车，则有(+)种安排方法，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)在4月举行的高中学校篮球联赛中，8个篮球队中有2个强队，先任意将这8个队分成两个组(每组4个队)进行比赛，这两个强队被分在一个组内的分法有______种.  15 解析：两个强队被分在一个组内，则该组的另两个球队是从除强队外的6个队中任取两个，余下4个队为一组，所以不同的分法有=15种. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现锅中煮有白菜馅饺子4个，韭菜馅饺子5个，这两种饺子的外形完全相同.从中任意舀取4个饺子，则每种口味的饺子都至少舀取到1个的概率为______.  15 解析：由题意，每种口味的饺子都至少舀取到1个的情况有++ =20+60+40=120种，9个饺子任意舀取4个饺子的情况有=126种，所以每种口味的饺子都至少舀取到1个的概率为=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)某班准备利用班会的时间举行一场小型的文娱活动，准备表演3个歌唱类节目和2个语言类节目，现要排出一个节目单，若前2个节目中必须要有语言类节目，则不同的排法有______种.  15 解析：若前2个节目都是语言类节目，此时后3个为歌唱类节目，有=12种情况; 若前2个节目中恰有1个是语言类节目，有1个是歌唱类节目，则有=12种情况， 剩余的3个节目进行全排列，则有=6种情况，则共有12×6=72种情况. 综上，有12+72=84种不同的排法. 84 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(5分)将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列，记第i项为ai(i=1，2，…，7)，若a4=7，a1+a2+a3<a5+a6+a7，则这样的数列共有______个.  15 解析：∵1+2+3+4+5+6=21，∴前3项的和S3≤10，列举可知，①(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，2，6)有4个;②(1，3，4)，(1，3，5)，(1，3，6)有3个;③(1，4，5)有1个;④(2，3，4)，(2，3，5)有2个，共有10个，∴共计有10××=360个这样的数列. 360 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)用1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求所有相邻两个数字的奇偶性都不同，且1和2相邻.问：有多少个这样的六位数? 15 解：先排3，5，有种方法，再将4，6插空排列，有2种方法，最后将1，2捆绑放到3，4，5，6形成的5个空中，且保持所有相邻两个数字的奇偶性都不同，共有种方法，综上，一共有=40个这样的六位数. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)从4名女生，3名男生中选出3名学生去参加一项创新大赛. (1)选出3名学生中，恰有1名男生的选法有多少种?(3分) 解：从3名男生中选出1名的选法有=3种， 从4名女生中选出2名的选法有=6种， 所以选出的3名学生中，恰有1名男生的选法有3×6=18种. (2)选出3名学生中，既有女生又有男生的选法有多少种?(3分) 解：选出的3名学生中，有1名女生2名男生的选法有=12种， 有2名女生1名男生的选法有=18种， 所以选出的3名学生中，既有女生又有男生的选法有12+18=30种. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)选出3名学生中，女生中的甲与男生中的乙至少有1名在内的选法有多少种?(4分) 解：选出的3名学生中，女生中的甲在内且男生中的乙不在内的选法有=10种; 女生中的甲不在内且男生中的乙在内的选法有=10种; 女生中的甲在内且男生中的乙也在内的选法有=5种， 所以选出的3名学生中，女生中的甲与男生中的乙至少有1名在内的选法有10+10+5=25种. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn 解析：安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声” “小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.对于第一种情况，形式为“　小品1歌舞1小品2　相声　”，有=36(种)排法；同理，第三种情况也有36种排法；对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“　小品1　相声　小品2　”，有=48(种)排法，故共有36+36+48= 120(种)排法. $