第二十九～三十章综合测试卷【培优卷】- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十九~三十章综合测试卷【培优卷】 考试时间：100分钟　　满分：120分 测试范围：第二十九章 圆 第三十章 直线与圆的位置关系 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）点在半径为的内，则的长度不可能是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·上海·期末）对于命题“三角形的外心在三角形内”，以下能用来说明这是一个假命题的反例可以是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 3．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，四边形内接于的半径为，则弦的长为（     ） A．3 B． C． D．4 4．（26-27九年级上·浙江温州·期中）如图，一圆弧形钢梁的拱高为，跨径为．则这钢梁圆弧的半径长为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·山东济南·期中）如图，已知、是的弦，且，如果，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·河南信阳·模拟预测）如图，的半径为2，于点E，，则扇形的面积为（     ） A． B．π C． D．2π 7．（24-25九年级上·云南德宏·期末）如图，是的切线，为切点，与相切于点，分别交于点．若的周长为，则切线长为（     ） A． B． C． D． 8．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，交于点G，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．（2026·江苏徐州·一模）如图，倒马井位于徐州市泉山区夹河街西侧，其井壁外壁为正八边形，内壁为圆形，且圆与四边形各边均相切．若雨滴落在井口区域各点的机会相等，则雨滴落在圆形区域内的概率为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形内接于，连接，，下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则四边形是平行四边形 D．若四边形是平行四边形，则 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（26-27九年级上·全国·期中）等边三角形的边长为6，则它的外接圆的半径为____________． 12．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图是某圆弧形拱桥的截面示意图，水面宽，拱桥最高点到水面的距离为，则拱桥所在圆的半径为______m． 13．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，是的外接圆，若，则的值为_______． 14．（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为4，则这个“莱洛三角形”的周长_____． 15．（2026九年级上·江苏南京·专题练习）如图，与相切，为切点，的延长线交于点，连接.若，则 __________ （用含的代数式表示）． 16．（2026·广西柳州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是的内心，则点关于轴对称的点的坐标是__________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分6分）（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，，，解答下列问题： （1）请在图中确定该圆弧所在圆心点的位置，则点坐标为_________． （2）若平面上有点，判断点与的位置关系并给出理由． 18.（本题满分8分）（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E，． （1）求的度数； （2）若圆的半径为6，求的长． 19.（本题满分8分）（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，是的直径，是的弦，如果 （1）求的度数． （2）若，求的长． 20.（本题满分8分）（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长； （3）在（2）的条件下，求圆心O到的距离． 21.（本题满分10分）（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知正五边形内接于，连接，，． （1）求的度数； （2）若的半径为，求扇形（阴影部分）的面积． 22.（本题满分10分）（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，点是内部一点，连接，平分，以点为圆心，为半径的圆经过点，交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 23.（本题满分10分）（2026·山东淄博·二模）已知，内接于，平分交边于点E，连接． （1）如图1，过点D作直线，求证：是的切线： （2）小明同学围绕圆内接三角形进行了一系列的探究，发现线段之间存在着一种数量关系； 【发现猜想】在图1中，小明同学发现，当时，线段之间满足数量关系 【推理证明】延长AC到点P使得 平分 又 为正三角形 【类比探究】如图2，当时，试猜想线段之间满足的数量关系，并证明你的结论； 【一般归纳】如图3，当时，试猜想线段之间满足的数量关系（用含有的三角函数表示），并证明你的结论； 【拓展应用】如图4，过点E作，垂足为G，过点E作，垂足为H，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $第二十九~三十章综合测试卷【培优卷】 考试时间：100分钟满分：120分 测试范围：第二十九章圆第三十章直线与圆的位置关系 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.(25-26九年级上·湖南长沙期末)点P在半径为8Cm的⊙0内，则PO的长度不可能是 A.7cm B.9cm C.2cm D.5cm 【答案】B 【分析】此题考查了点与圆的位置关系，熟知当该点在圆内时，半径大于点到圆心的距离是解 题的关键.根据点与圆的位置关系即可作答： 解：点P在⊙O内，⊙O的半径为8cm, ∴.OP<8cm 只有9cm不符合题意， 故选：B 2.(25-26七年级下·上海·期末)对于命题“三角形的外心在三角形内”，以下能用来说明 这是一个假命题的反例可以是() A.等腰三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.直角三角形 【答案】D 解：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心， 不同类型三角形外心的位置规律为：锐角三角形的外心在三角形内部， 直角三角形的外心为斜边中点，在三角形的边上， 钝角三角形的外心在三角形外部 本题选项中只有直角三角形的外心不在三角形内部，可以作为说明原命题是假命题的反例，因 此D符合题意 3.(25-26九年级上·湖北孝感·期末)如图，四边形ABCD内接于 ⊙O,BC=CD,∠BCD=120°，⊙O的半径为3，则弦BC的长为() A.3 B.2V3 C.22 D.4 【答案】A 【分析】连接OC,先由圆内接四边形对角互补求出∠A,再由圆周角定理求出圆心角∠BOD ，再由径、弦、弧关系得出∠BOC=∠DOC= 2 ∠BOD=60°，然后借助圆的半径相等证得 △BOC是等边三角形，得到弦BC的长等于圆的半径即可得到答案. 解：连接OC,如图所示： :四边形ABCD内接于⊙O,∠BCD=120° ∴.∠A=60° BD=BD ∴.∠BOD=2∠A=120° .BC=CD .BC=CD ∠B0C=∠D0C= 2 ∠B0D=60° .OB=OC ∴aBOC是等边三角形.则BC=OB=OC, ⊙0的半径为3， ∴.BC=OB=3 4.(26-27九年级上·浙江温州·期中)如图，一圆弧形钢梁的拱高为8m,跨径为40m.则这 钢梁圆弧的半径长为() C 8 0 A 40 A.29m B.28m C.25m D.20m 【答案】A 【分析】把拱高与跨径化归到同一个直角三角形里：设圆心为O、半径为R,则半弦长 AD=20、圆心到弦AB的距离OD=R-8,由勾股定理列方程即可求R. 解：如图，设钢梁圆弧所在圆的圆心为O,半径为Rm,则OD⊥AB,OC=OB=Rm .CD是拱高，AB是跨径， ∴，CD=8m,AB=40m,且点D是AB的中点， ∴.BD=20m .O、D、C三点在同一条直线上， .OD=OC-CD=(R-8)m 在RtAOBD中，OB2=BD2+OD2 .R2=202+(R-8)2 .R2=400+R2-16R+64 ∴.16R=464,解得R=29 .这钢梁圆孤的半径长为29m 5.(26-27九年级上·山东济南期中)如图，已知AB、CD是⊙0的弦，且AB=CD,如果 ∠BOD=86°，则∠ACO的度数是() D A.42° B.44° C.47° D.49 【答案】C 【分析】连接OA,根据AB=CD,得到AC=BD,则∠AOC=∠BOD=86°，再根据等腰三角 形求∠ACO的度数 解：连接OA, D B .AB=CD ∴，AB=CD .'AB-AD=CD-AD.BAC=BD. .∠AOC=∠BOD=86° .OA=OC ∠4c0=∠C40=180°-40c_180,86°=4r 2 2 6.(2026河南信阳·模拟预测)如图，⊙O的半径为2，OA⊥CD于点E,AE=2-√2，则 扇形BOD的面积为() B D π π A. 2 B.π C. D.2π 【答案】C 【分析】由题意易得OE=OA-AE=V2,DE=OE=√2，然后可得∠AOD=45°，则有 ∠BOD=180°-∠AOD=135°，进而根据扇形面积公式进行求解即可. 解：，OA⊥CD,OC=OA=2,AE=2-V2, ..OE=OA-AE=2 .OD=2, ..DE=OD2-OE2=2. ∴.OE=DE=√2， .∴.∠AOD=45° .∠BOD=180°-∠AOD=135°， 135×π×223π ∴.S扇形BOD= 360 2 7.(24-25九年级上·云南德宏·期末)如图，ADAE是⊙0的切线D、E为切点，BC与 ⊙O相切于点F,分别交AD、AE于点B、C.若△ABC的周长为12，则切线长AD为 B F E A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】A 【分析】连接OD,OE,OF,根据切线长定理可知BD=BF,CE=CF,AD=AE,再由 △ABC的周长为12，即可求解. 解：连接OD,OE,OF B :BD,BF分别与OO相切， .BD=BF 同理CE=CF,AD=AE, :△ABC的周长为12 ..AB+AC+BC=12 ..AB+BF+CF+AC=12 .AB+BD+CE+AC=12 ∴AD+AE=12 .2AD=12 .AD=6 8.(26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,点F是AE 的中点，连接BF,BD,BF交AE于点G则∠BGE的度数为() G B A.108 B.117° C.126° D.144° 【答案】C 【分析】连接OA,OE,OF,求出∠BAE,∠AOE的度数，再由弧与圆心角之间的关系和圆周角 定理求出∠ABF的度数，最后由三角形外角的性质可得答案 解：如图所示，连接OA,OE,OF B 由题意得∠B1E=1805-2到=108，∠40B-360=72, 5 ,点F是AE的中点， ∠40F=40B=36, ∠ABF=号∠4OF=180, .∠BGE=∠BAE+∠ABF=126°. 9.(2026江苏徐州一模)如图，倒马井位于徐州市泉山区夹河街西侧，其井壁外壁为正八 边形ABCDEFGH,内壁为圆形，且圆与四边形BDFH各边均相切.若雨滴落在井口区域各点 的机会相等，则雨滴落在圆形区域内的概率为（) B A.v2r 8 4 C.② D. 4 【答案】A 【分析】证明△ABH≌aSDB(SAS),进一步可得BH=HF=DF=BD,如图，合正八边形的 中心为点O,连接OH,OA,OA交BH于点P设BH=2a,再进一步求解即可 解：，多边形ABCDEFGH为正八边形， ZB4H=ZC--=135 4B=4H=CB=CD 8 ∠4BH=∠CBD=180°-∠BMH=22.50 2 .∴.△ABH≌aCDB(SAS) .'BH BD, 同理可得：BH=HF=DF=BD 四边形BDFH为菱形， .∠DBH=180°-2∠ABH=90° ∴四边形BDFH为正方形， 如图，合正八边形的中心为点O,连接OH,OA,OA交BH于点P设BH=2a, B E ..PH=PO=a,OH=AO=2a Sa=元：0p2=πa2, SE队边e=8Sa0m=8x)40.PH=4N2a, 2 .∴，P(雨滴落在圆形区域内)= S=V2π S正八边形8· 10.(25-26九年级上·安徽合肥期末)如图，四边形ABCD内接于⊙O,连接AO,CO,下 列说法错误的是() B A.若∠AOC=120°，则∠D=60° B.若∠D=60°，则∠B=120° C.若∠B=120°，则四边形ABCO是平行四边形 D.若四边形ABCO是平行四边形，则∠AOC=120° 【答案】D 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、平行四边形的判定和性质，熟记圆 内接四边形的对角互补是解题的关键.根据圆周角定理、圆内接四边形的性质、平行四边形的 判定和性质解答即可. 解：A、由圆周角定理得∠D=)∠40C=60°，故本选项说法正确，不符合遐意： 2 B、四边形ABCD内接干⊙O ∴.∠B=180°-∠D=180°-60°=120°，故本选项说法正确，不符合题意； C、∠B=120°时，∠D=180°-∠B=60°，则∠AOC=2∠D=120°， .∴.∠BA0+∠BC0=360°-∠B-∠AOC=120° .'∠BA0O与∠BCO不一定相等，则∠BCO不一定都等于60°， ,∴四边形ABCO不一定是平行四边形，故本选项说法错误，符合题意： D、.四边形ABCO是平行四边形， .,∠B=∠AOC, 由圆周角定理得∠D=∠40C, 2 ,四边形ABCD内接干⊙O, ..∠B+∠D=180° .∴.∠AOC+5∠AOC=180° .∴.∠AOC=120°，故本选项说法正确，不符合题意. 故选：D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分】 11.(26-27九年级上·全国期中)等边三角形的边长为6，则它的外接圆的半径为 【答案】2V3 【分析】已知等边三角形边长为6，求其外接圆半径，可通过连接外心与三角形顶点构造直角 三角形，结合等边三角形性质、圆周角定理、直角三角形边角关系求解 解：设等边三角形为△ABC,边长BC=6,其外接圆圆心为O,连接OB、OC,过点O作 OH⊥BC于点H, Q H ,△ABC为等边三角形， .∴.∠BAC=60° 由圆周角定理可得，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍， .∴.∠BOC=2∠BAC=120° OB=OC,OH⊥BC, on平分∠BOC,且BH=)BC=3 2 ∴.∠BOH= ∠B0C=60°. 2 .∴.∠OBH=30° .∴.OB=2OH .∴.BH=VOB2-OH=√3OH ∴0H=3 .0B=23」 12.(26-27九年级上·江苏南京·阶段检测)如图是某圆弧形拱桥的截面示意图，水面AB宽 10m, 拱桥最高点C到水面的距离为4m,则拱桥所在圆的半径为m. 41 【答案】 【分析】构造直角三角形，设半径为”，利用垂径定理和勾股定理建立关干”的方程求解 解：设拱桥所在圆的圆心为O,半径为r米，连接OA、OB、OC,交AB于点D.如图： :点C是拱桥最高点 ∴OC⊥AB,且C为弧AB的中点， AD=BD=40=10=5, “点C到水面的距离为4，即CD=4, 0D=0C-CD=r-4, 在Rt△OAD中，由勾股定理得OA=OD+AD2 六户=(-4+53，解得r=1 Γ8 41 故拱桥所在圆的半径为8米. 13. (26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测)如图，⊙0是△ABC的外接圆，若∠C=20°，则 ∠BAO的值为 【答案】70°/70度 【分析】连接OB,根据圆周角定理结合等边对等角，进行求解即可， 解：连接OB .,⊙O是△ABC的外接圆，∠C=20°， .∠AOB=40°，OA=OB .∠BM0=080°-∠B00=70 14.(26-27九年级上·江苏南京·期中)如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”， 它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆孤.若该等边三角 形的边长为4，则这个“莱洛三角形”的周长 【答案】4π 【分析】根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可， 解：如图： ,'△ABC是正三角形 .∴.∠BAC=60°， 60m×44 BC的长为：180=3π， 4 .“莱洛三角形”的周长=3×3π=4红 15.(2026九年级上·江苏南京·专题练习)如图，AB与⊙0相切，C为切点，A0的延长线 交⊙0于点D,连接CD.若∠BCD=a(45<a<90),则∠A= (用含a的代数 式表示). D B 【答案】2a-90°/-90°+2a 【分析】连接OC,则OC1AB,可得∠OCD=∠ODC=90°-a,即可求解 解：如图，连接OC。 D 0 B :AB与⊙0相切， .OC⊥AB .∠OCD=90°-∠BCD=90°-a .OC=OD .∠ODC=∠OCD=90°-a .·∠AOC=∠ODC+∠OCD=180°-2a .∠A=90°-(180°-2a)=2a-90° 16.(2026广西柳州二模)如图，在平面直角坐标系中，点A(0,9),点B(12,0),点1是 △OAB的内心，则点I关于'轴对称的点的坐标是 A B 【答案】（-3,3) 【分析】先利用勾股定理求解AB,连接OI,BI,AL,过I作IM⊥OB,IN⊥OA, IE⊥AB,垂足分别为M,N,E,根据I是aOAB的内心，利用OM=ON,BM=BE, AE=AN,得出AE+BE=9-x+12-x=15,求解即可 解：·点A(0,9),点B(12,0), ∴.OA=9.OB=12 ∴.在Rt△OAB中，AB=VOA2+OB2=15; 连接OI,BI,AI,过I作IM⊥OB,IN⊥OA,IE⊥AB,垂足分别为M,N,E, M B I是aOAB的内心 ∴.OL,AL,BI分别平分∠AOB,∠OAB,∠ABO .IM=IN=IE .AI=AI .:,Rt△ANI≌Rt△AEI(HL) .'AE=AN 同理可得，OM=ON,BM=BE, 设OM=ON=x,则BM=BE=12-x,AN=AE=9-x, .AE+BE=9-x+12-x=15 解得：x=3, .∴.OM=ON=3, 1的坐标为(3,3) 心点关于轴对称的点的坐标是 -3,3) 三、解答题（本大题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本题满分6分)(26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测)如图，在正方形网格图中建立 一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A(0,2),B(4,2),C(6,0),解答下列问题： ()请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，则D点坐标为 (2)若平面上有点P(-3,-),判断点P与⊙D的位置关系并给出理由 B 2 r-- 2 6 【答案】(1)解：画图如下： B 4 (2,-2) (2)解：点P(-3,-)在⊙D的外部 理由如下： D(2,-2).A(0,2）).P(-3,-1) :圆的半径为DA=V(2-02+(-2-2}=25, DP=V(-3-2)2+(-1+2)2=V26 .V26>√20=2W5, :点P(-3,-)在⊙D的外部. 【分析】(1)根据点A(0,2),B(4,2),得圆心D-定在直线x=2上，不妨设D(2,m),根据 同圆的半径相等，得(2-0+(m-2)}=(2-6)}2+(m-0)2,确定点D的坐标，继而确定圆心的 位置。 (2)首先计算圆的半径，再计算DP的长，比较大小，解答即可 (1)解：根据点A(0,2),B(4,2),得圆心D-定在直线x=2上， 不妨设D(2,m),根据同圆的半径相等，得(2-0)2+(m-2)}=(2-6)}+(m-0)2, 解得m=一2， 故D(2,-2),画图略 (2)解：略. 18.(本题满分8分)(26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测)如图，AB是⊙0的值径，C是 BA延长线上一点，点D在O0上，且CD=OB,CD的延长线交O0于点E,∠C=15°. (1)求∠BOE的度数； (2)若圆的半径为6，求CE的长 【答案】(1)45°：(2)6+6V3 【分析】(1)连接OD,利用半径相等和等腰三角形的性质求得∠ODE,从而利用三角形的 外角的性质求解： (2)过点O作OF⊥DE于点F,根据垂径定理得DF=EF,再根据含30度角的直角三角形的 1 性质得到0F=20E=3,然后由勾股定理求出 R 最后根据线段的和差即可求解 (1)解：连接OD .CD=OB=OD,∠C=15 .∴.∠ODE=2∠C=30° ·.OD=OE、 .∠OED=∠ED0=30°. .∴.∠EOB=∠C+∠OED=15°+30°=45°； (2)解：如图，过点O作OF⊥DE于点F, D B ∴，DF=EF, .'∠OED=30°，圆的半径为6，即OE=6, :0r-208=3 .∴.EF=VOE2-0F2=V6-32=33, .DE=63, ..CD=OB=6 CE-CD+DE-646 19.(本题满分8分)(26-27九年级上·浙江温州·阶段检测)如图，AB是⊙O的直径，CD 是⊙0的弦，如果∠ADC=30° (1)求∠BAC的度数 (2)若AC=3,求AB的长 D 【答案】 (1)60°：(2)6 【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角得到∠ADB=90°，据此求出∠BDC的度数，再由 同弧所对的圆周角相等可得答案： (2)根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，再由同弧所对的圆周角相等得到 ∠ABC=∠ADC=30°， 据此可得答案， (1)解：.AB是⊙O的直径， .∴.∠ADB=90° ·.'∠ADC=30°， ,∴.∠BDC=∠ADB-∠ADC=60° BC=BC, .∠BAC=∠BDC=60°； (2)解：AB是⊙O的直径， .∴.∠ACB=90°； .AC=AC .∴.∠ABC=∠ADC=30°， AB=2AC=6 20.(本题满分8分)(26-27九年级上·江苏泰州·期中)如图，在△ABC中，AB=AC,以 AB为直径的OO交BC于点D,过点D作DE⊥AC于点E (1)求证：DE是⊙O的切线： (2)若AB=10,BC=12,求DE的长； (3)在(2)的条件下，求圆心O到BC的距离 【答案】(1)证明：连接OD、AD, ○ B ,AB是⊙O的直径， ∴.∠ADB=90°，即AD⊥BC 又AB=AC, .BD=DC,即D是BC的中点. ,'O是AB的中点， ∴.OD是△ABC的中位线， ∴.OD∥AC ·.'DE⊥AC ∴.DE⊥OD 又OD是⊙O的半径， ,DE是⊙O的切线； (2)4.8 (3)4 【分析】(1)连接OD、AD,根据圆周角定理得出AD⊥BC,结合AB=AC,得出 BD=DC,则OD是△ABC的中位线，即可得OD∥AC,结合DE⊥AC,得出DE⊥OD,即 可证明DE是OO的切线： (2)在R1△ABD中，根据勾股定理求出AD,再根据等面积法求解即可： (3)过点O作OH⊥BC干点H根据三线合-得出BH=DH,在△ABD中，OH是△ABD的 中位线，即可解答； 解：(1)路 2解：BD=DC=BC=6,AB=10 .在Rt△ABD中，AD=VAB2-BD=V100-36=8. Se-号DcaD=号4CE, ∴.6×8=10×DE,解得DE=4.8 (3)解：过点O作OH⊥BC于点H, E B ·.OB=OD .'BH=DH. ,O是AB的中点 ∴，在△ABD中，OH是△ABD的中位线， 0m=40=x8=4 BC .圆心0到心的距离为4. 21.(本题满分10分)(25-26九年级上·浙江嘉兴·期末)如图，已知正五边形ABCDE内接 于⊙O,连接OA,OC,AD. (1)求∠ADC的度数； (2)若⊙0的半径为1，求扇形AOC(阴影部分)的面积. 【答案】(1) 72°；(2) 5 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，扇形面积的计算，解题关键是掌握正多边形 的性质与扇形面积公式： （)由正五边形的性质，可得∠40C=360×名=144，即可解答： 5 (2②)根据扇形的面积公式S= 360求解即可. (1)解：正五边形ABCDE内接干⊙O, ∠40c=360×号-14 :∠ADC=∠A0C=-72°： (2)由(1)得∠A0C=144, ⊙0的半径为1， S=nmr2-144元x122元 扇形40C 360° 360 5 (阴影部分)的面积为： 22.(本题满分10分)(26-27九年级上·浙江杭州阶段检测)如图，点O是△ABC内部一 点，连接OC,CO平分∠ACB,以点O为圆心，OC为半径的圆经过点B,交AC于点D,连 接BO并延长交CD于点E,连接ED并延长交AB于点F. (1)求证：OC EF: (2)当∠EBF=2∠A时，求∠EFB的度数. B 【答案】(1)证明：，CO平分∠ACB ∴.∠AC0=∠BCO 由题意得：OB=OC, ∴.∠OBC=∠BCO=∠ACO .EC=EC. .∠EDC=∠OBC. .∠ACO=∠EDC ∴.OC∥EF (2)60° 【分析】(1)根据CO平分∠ACB,推出∠ACO=∠BCO:根据OB=OC,推出 ∠OBC=∠BCO=∠ACO:结合∠EDC=∠OBC即可求证： (2)设∠ACO=a,∠A=B,则∠ADF=∠EDC=a,∠DCB=2LAC0=2a, ∠EBF=2∠A=2P,推出∠EFB=∠ADF+∠A=Q+B,即可求解， 解：(1)路 (2)解：设∠ACO=a,∠A=B, ∴.∠ADF=∠EDC=&,∠DCB=2LACO=2a,∠EBF=2∠A=2p ∴.∠EFB=∠ADF+∠A=a+B. BD=BD ∴.∠E=∠DCB=2a, 在△BEF中，∠EFB+∠E+∠EBF=180° ∴.a+B+2au+2B=180° 解得a+B=60° .∠EFB=a+B=60° 23.(本题满分10分)(2026山东淄博·二模)已知，△ABC内接于⊙0，AD平分∠BAC交 BC边于点E连接DB,DC」 0 B E M D D D D 图1 图2 图3 图4 (1)如图1，过点D作直线MN∥BC,求证：MN是⊙O的切线： (2)小明同学围绕圆内接三角形进行了一系列的探究，发现线段AB,AC,AD之间存在着一 种数量关系； 【发现猜想】在图1中，小明同学发现，当∠BAC=120°时，线段AB,AC,AD之间满足数量 关系AB+AC=AD 【推理证明】延长AC到点P使得CP=AB :AD平分∠BAC .BD=CD..BD=CD 又：∠ABD=∠PCD .∴AABD≌APCD .AD=PD :∠DAP=1∠BAC=60° .△ADP为正三角形 ∴.AD=AP=CP+AC=AB+AC 【类比探究】如图2，当∠BAC=90°时，试猜想线段AB,AC,AD之间满足的数量关系，并证 明你的结论； 【一般归纳】如图3，当∠BAC=2α时，试猜想线段AB,AC,AD之间满足的数量关系（用含 有的三角函数表示)，并证明你的结论； 【拓展应用】如图4，过点E作EG⊥AB,垂足为G过点E作EH⊥AC,垂足为H求证： S四边形AGDH=SABC. 【答案】(1)证明：连接DO并延长交⊙0于点F B E M .'AD平分∠BAC .BD=CD ,DF为直径 ∴.DF⊥BC 又'.'MN∥BC .∴DF⊥MN ..MW是⊙O的切线 (2)类比探究：AB+AC=V2AD 一般归纳：AB+AC=2cosa·AD 拓展应用：证明：连接GH与AD交于点K A a H B D ·,∠GAE=∠HAE,AE=AE,∠AGE=∠AHE .∴.△AGE≌AAHE .'.AG=AH ,∴.△AGH为等腰三角形 .AE垂直平分GH 设EG=EH=h 在RtAGEK中，∠KGE=a' cosa= GK h .GH =2GK 2h-cosa wwD-GlID.2hcouAD-lbewsa 2 六5ma6+10h ×2AD.cosa·h Γ2 =h-cosa·AD .S四边形AGDH=S。ABc 【分析】(1)连接DO并延长交⊙O于点F,根据垂径定理推理和切线的判定定理进行证明即 可； (2)①延长AC到点R,使得CR=AB,证明△ABD≌△CD,则AD=PD,证明△ADR为等 腰直角三角形，即可得到结论： ②由①中证明，同理可得△ABD≌aPCD,过点D作D2⊥A于Q在Rt△ADM中， cosa = AO AD. 得到A0=cosa·AD,即可得到AB+AC=2cosa~AD: ③连接GH与AD交于点K,证明△AGE≌△AHE,得到△AGH为等腰三角形，得到AE垂直平 分GH,设EG=EH=h,求出GH=2GK=2h.cosa,求出S四边形AGDH=AD·hcosa,求出 SMBc=h.cosa.AD,即可证明结论. 解：(1)略 (2)①数量关系：AB+AC=V2AD 证明如下：延长AC到点B,使得C=AB A B D .'AD平分∠BAC .'.BD=CD ∴.BD=CD 又，'∠ABD=∠PCD ..△ABD≌APCD ∴，AD=PD ∴，∠DPC=∠DAB= ∠BAC=45 ∴.△ADP为等腰直角三角形 .∴，AB+AC=CP+AC=AP=V2AD ②数量关系：AB+AC=2cosa·AD 证明如下：由①中证明，同理可得△ABD≌△CD A a B D .AD=BD,AB=BC 过点D作DQ⊥AP于0 在R△DM中，cosa= AD .∴.AQ=Cosa·AD .∴.AB+AC=PC+AC=AP=2AQ=2cosa·AD ③略 【点睛】此题考查了解直角三角形、切线的判定定理、垂径定理的推论、圆周角定理、全等三 角形的判定和性质等知识，准确推理是解题的关键.