广东省揭阳第一中学、广东梅县东山中学2026-2027学年高三上学期11月期中考试数学试题

2026-2027学年度高三级第一学期期中考试 数学科试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求。 1．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2．双曲线的离心率为 A． B． C． D． 【答案】B 3．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 4．若，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 5．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为 A． B． C． D． 【答案】C 6．对24小时内降水在平地上的积水厚度（）进行如下定义： 0~10 10~25 25~50 50~100 小雨 中雨 大雨 暴雨 小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级（    ） A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 【答案】B 7．已知、是函数的图象上两个不同的点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 8．若集合表示的图形中，两点间最大距离为d、面积为S，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域，结合图形分析求解即可． 【详解】对任意给定，则，且， 可知，即， 再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域， 如图阴影部分所示，其中， 可知任意两点间距离最大值； 阴影部分面积． 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．已知函数，则（     ） A．在处取得极小值 B．的图象关于点中心对称 C．有个零点 D．直线是的一条切线 【答案】BD 10．在的二项展开式中，下列结论正确的是（   ） A．常数项是60 B．各项系数之和是64 C．二项式系数最大值是20 D．不含的项 【答案】AC 11．如图，在长方体中，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（   ） A．截面是平行四边形 B．若，则 C．存在点，使得截面为长方形 D．截面的面积存在最小值 【答案】AD 【详解】如图： 对A：设平面交棱于点，连接，. 因为平面平面，平面 平面， 平面 平面 ，所以. 同理，所以四边形为平行四边形，即截面是平行四边形，故A正确； 对B：因为，，所以，. 又和中，，，. 所以 ，所以，. 连接，，则， 且， ， ， 所以，又，所以，所以，故B错误； 对C：假设存在点，使得截面为长方形. 设，则，. 由 ， 即 或. 这与矛盾，所以假设错误.故不存在点，使得截面为长方形.即C错误； 对D：设，，则，， 在中，由余弦定理， ， 所以 . 所以 . 所以截面四边形的面积为 ， 所以当时，截面的面积最小，为.故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．向量在正方形网格中的位置如图所示，若(λ，μ∈R)，则______． 【答案】4 13．设集合，集合，且，则实数的取值范围为______． 【答案】 14．已知，均为正项数列，令，，…，.某人用图分析得到恒等式：，则______（）． 【答案】 【分析】将求和问题看作是求各个小矩形的面积和，然后横向构成新的形式的小矩形，求和即得. 【详解】如图所示，等式的等号左边看成是图中的各个竖向矩形的面积和，右边是如下图所示的横向小矩形的面积和，可知 （）， 故答案为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，角所对边分别为，满足. （1）若，求角； （2）若，，求的面积. 【详解】（1）由， 可知， ,， 由正弦定理可知， 即； （2）由余弦定理可知， 即，从而， 可得，. 16．已知在六面体中，平面，平面，且，底面为菱形，且． （1）求证．平面平面． （2）若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值． 【详解】（1）连接，交于，底面为菱形，， 平面，平面，， ，平面， 平面，平面平面； （2） 平面，即为直线与平面所成角， 即，， 以A为原点，AM，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系（如图）. 则， ， 设平面PCE的法向量为， 则,即， 令，则所以， 设平面ACE的法向量为， 则即， 令，则所以  ， 设二面角的大小为，则． 所以二面角的余弦值为． 17．已知抛物线的焦点为，圆，抛物线上一点到其准线的距离等于其到圆心的距离，且. (1)求抛物线和圆的方程； (2)过抛物线上一点作圆的切线分别交抛物线于两点，已知直线的斜率为，求点的坐标. 【详解】（1）由题意知，易知点横坐标为，故， 所以，所以，即， 所以抛物线的方程为，圆的方程为. （2）设，直线的方程为， 由 得， 则， 设直线的方程为， 整理得， 因为与圆相切，所以， 整理得， 同理可得， 所以为方程的两根， 则， 所以，即， 所以或，经检验符合题意. 所以或. 18．某火锅店为了鼓励顾客们办理本店的会员卡，在持有会员卡的顾客点单后，推出“玩游戏，送果盘”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子，若向上点数不超过4点，获得1分，否则获得2分.进行若干轮游戏，若累计得分为9分，则游戏结束，可得到“果盘”一份；若累计得分为10分，则游戏结束，可得“牛肉卷”一份，最多进行9轮游戏. (1)当进行完3轮游戏时，总分为，求的分布列和数学期望； (2)若累计得分为的概率为，初始分数为0分，记 （i）证明：数列是等比数列； （ii）求活动参与者得到“牛肉卷”的概率. 【详解】（1）解：由题意得每轮游戏获得1分的概率为，获得2分的概率为 所以随机变量可能取值为3，4，5，6， 可得， ， 所以的分布列： 3 4 5 6 所以期望. （2）（i）证明：，即累计得分为1分，是第1次掷骰子，向上点数不超过4点的概率 则， 累计得分为分的情况有两种： ①，即前一轮累计得分，又掷骰子点数超过4点得2分，其概率为， ②，即前一轮累计得分，又掷骰子点数没超过4点得1分，其概率为， 所以， 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （ⅱ）因为数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以，，…，， 各式相加，得：， 所以 所以活动参与者得到“牛肉卷”的概率为. 19．设定义域为的函数以及非空集合，若对任意，当时，都有，则称是关联的. (1)若，则是否是关联的？是否是关联的？ (2)若是{3}关联的，当时，，解不等式：； (3)证明：既是关联的，又是关联的，当且仅当是关联的． 【详解】（1）函数是关联的，证明如下： 任取R，若，则， 所以函数是关联的； 函数不是关联的，证明如下： 若 ，则， 所以函数不是关联的. （2）因是{3}关联的，则，有，即， 当时，，而， 即，解得，于是得， 当时，，，不等式无解， 当时，，，而， 即，解得，则有， 当时，，，，不等式无解， 把函数从起每3个单位向右按变换，图象上升， 从起每3个单位向左按变换，图象下降，综上得， 所以不等式的解集为. （3）①若函数是关联的，且是关联的，则函数是关联的． 是关联的， ， ， 又是关联的， 任取，成立， 若，则， ，即， ， 是关联的，满足充分性； ②若函数是关联的，则函数是关联的，且是关联的． 是关联， 任取，都有成立，即满足，都有， 反证法证明： 若，则，与是关联的矛盾， 若，而是关联的，即，矛盾， 成立，即是关联的； 是关联的， （为常数），任取，则， 是在关联的． 函数是关联的，且是关联的，满足必要性； 综上，命题得证． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高三级第一学期期中考试 数学科试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求。 1．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 2．双曲线的离心率为 A． B． C． D． 3．若，则（　　） A． B． C． D． 4．若，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为 A． B． C． D． 6．对24小时内降水在平地上的积水厚度（）进行如下定义： 0~10 10~25 25~50 50~100 小雨 中雨 大雨 暴雨 小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级（    ） A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 7．已知、是函数的图象上两个不同的点，则（   ） A． B． C． D． 8．若集合表示的图形中，两点间最大距离为d、面积为S，则（    ） A．， B．， C．， D．， 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．已知函数，则（     ） A．在处取得极小值 B．的图象关于点中心对称 C．有个零点 D．直线是的一条切线 10．在的二项展开式中，下列结论正确的是（   ） A．常数项是60 B．各项系数之和是64 C．二项式系数最大值是20 D．不含的项 11．如图，在长方体中，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（   ） A．截面是平行四边形 B．若，则 C．存在点，使得截面为长方形 D．截面的面积存在最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．向量在正方形网格中的位置如图所示，若(λ，μ∈R)，则______． 13．设集合，集合，且，则实数的取值范围为______． 14．已知，均为正项数列，令，，…，．某人用图分析得到恒等式：，则______（）． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，角所对边分别为，满足. （1）若，求角； （2）若，，求的面积. 16．已知在六面体中，平面，平面，且，底面为菱形，且． （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值． 17．已知抛物线的焦点为，圆，抛物线上一点到其准线的距离等于其到圆心的距离，且. (1)求抛物线和圆的方程； (2)过抛物线上一点作圆的切线分别交抛物线于两点，已知直线的斜率为，求点的坐标. 18．某火锅店为了鼓励顾客们办理本店的会员卡，在持有会员卡的顾客点单后，推出“玩游戏，送果盘”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子，若向上点数不超过4点，获得1分，否则获得2分.进行若干轮游戏，若累计得分为9分，则游戏结束，可得到“果盘”一份；若累计得分为10分，则游戏结束，可得“牛肉卷”一份，最多进行9轮游戏. (1)当进行完3轮游戏时，总分为，求的分布列和数学期望； (2)若累计得分为的概率为，初始分数为0分，记 （i）证明：数列是等比数列； （ii）求活动参与者得到“牛肉卷”的概率. 19．设定义域为的函数以及非空集合，若对任意，当时，都有，则称是关联的. (1)若，则是否是关联的？是否是关联的？ (2)若是{3}关联的，当时，，解不等式：； (3)证明：既是关联的，又是关联的，当且仅当是关联的． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $