湖南省衡阳市衡阳县2026-2027学年高三上学期11月模拟考试数学试题

2026年11月高三试卷 数学参考答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 5 6 7 8 答案 C A B A B B 1.C【解析】集合B={x-1<x<2,x∈Z}={0,1},A={0,1,2,3},所以A∩B={0,1}.故选C. 2.C【解析】由题可得9十6十8十9十7十十8=8，解得a=9,将这组教据从小到大排列为67,8,89,9,9，则中位数为 7 8.故选C. 3.A【解析】当a∥b时，则x·(x-1)=2,解得x=2或一1，所以“x=2”是“a∥b”的充分不必要条件.故选A 4,B【解折双白线的高心率=-5，-3，∴a=号故选B √a a 5.A【解析】设y=f(x)=2cos(2x-平)，该函数的图象向右平移吾个单位长度得到函数的图象的解析式为：y gx)-f(x-晋)=2cos[2(x-晋）-]=2os(2x-7), 令2红一登-kx(∈ZD,可得它的对称轴的方程为x-经+贸(k∈， 显然当=一1时，对称轴x=一酒与y轴最近。故选A 6.B【解析】由题意可知100mL血液中药物含量不低于30mg时药物有效， 设他第一次服药后经过x小时后药物仍有效， 故(1-20%)≥0.3，即0.8≥0.3， 两边同时取对数可得g68r≥g03,中≤货08-能号-8那号-路595， 那么他经过5个小时后第二次服用最佳.故选B. 7.D【解析】由题可知f()-巨e(a+)=巨e,易得fx)f）=2, 因为{an}为正项等比数列，所以a·ag=a6·a, 又as·ag=a,所以a6·a,=a,所以a6=1, 所以a41·a11=a2·ao=…=a5·a=a=1, 所以f(a1)·f(a1)=f(a2)·f(ao)=…=f(a5)·f(a,)=2, 又f(a6)=f(1)=√2emmD=√2e'=√2， 则f(a1)·f(a2)·…·f(a1)=25×f(a6)=32W2.故选D. 8.B【解析】由题意可知，能滚动到的空间部分可分为四个部分： ①中间一个核心小长方体：长、宽、高分别为3,2,4的长方体， V1=(5-2)×(4-2)×(6-2)=24; ②十二条棱各对应一个四分之一的圆柱，共12个，底面半径为1，高分别为2,3,4， V,=4xX1X(2+3+4)×4=9; ③八个顶点各对应一个八分之一的球，恰好拼成一个半径为1的球， V,=3π 4 数学参考答案(27XD)一1 ④六个面各对应一个长方体， V4=(2×3×1+3×4×1+4×2×1)×2=52, 所以V=V+V+V,+V,=76+号无故选B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部 分选对的得部分分，有选错的得0分 题号 9 10 11 答案 AD ABD BCD 9.AD【解析】对选项A,由F1,0)得号=1，即力=2，所以抛物线C的方程为y2=4x.A正确， 对选项B,由抛物线定义得|AB=x1十x2十2=8十2=10，B错误； 对选项C,设直线AB的方程为x=my十1，联立y=4x,整理得y-4my-4=0,可得M十为=4m,M为=-4，当B驴 =4时，可得为=一4，代入韦达定理关系式，计算可得m=士是，所以直线的斜率为士号，C错误； 对选项D,方法一：设直线l1的方程为y=k1(x一1)， （y2=4x, 联立 y=k1(x-1), 整理得好x-2附x-4x十始=0，所以西十-2十4， 同理可得直线4与尚C线的交点的被坐标满足十石2张兰，共中么为直线么的斜车，6·=一1， 由相浙线定又可知A1十DE=石十石十++2p2士4+2+4=爱+意+8≥√需+8=16， 当且仅当k1=一k2=1或一1时，等号成立.故D正确， 方法二：设0为直线AB的领斜角，AB=盖0易知DE r(o+》1+1DE=益+心) 4 4 4 4 （品)十o)(sm0计co心0≥8+2V16=16,当且仅当im0=cos0时，等号成立.故D正痛. 10.ABD【解析】对选项A,当λ=1时，点N为AC的中点，易知，点N为BD的中点，又点M为DD1的中，点， 所以MN∥DB,又DBC平面BDC,MN中平面BDC,所以MN∥平面BDC,A正确； 对选项B,由题可知AC∥AC,则AC∥平面A1CM,△A1CM的面积为定值，点N到平面A1CM的距离为定值， 故四面体CMA1N的体积为定值，B正确； 对造项C,∠MND即为直线MN与平面ABCD所成的商，an∠MD=架NMD为定值，DN景小时，∠MND最 大，当ONLAC时，DN最小，此时入=，C错误； 对选项D,若-2时，连接BN,并延长交DC于H,易知△ABND△CHN,则光-船-能-是，此时点H为 DC的中点，所以MH∥DC∥AB,所以A,B,N,M四点共面.D正确.（也可用基底法，证明A衣=号AB+ 号A证得) 1.D【解折】时选项A山=S-忌+号幽>0，解得S=4=2,当≥2时，=十8，坐现得 2 S%-S1=4,故{S%}为等差数列，S%=S+4(n-1)=4n,则Sn=2V元，当n=1时，S=2,符合上式，故Sn=2元， 数列{Sn}不是等差数列，A错误； 对选项B,当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2(Wn-√n-I),当n=1时，a1=2也满足，∴.an=2(Wn-√n-I), 数学参考答案(27XD)一2 Vn+后，可知数列{a,}为造减教列，所以a,>a1,B正确， 由a,=2(Wm-√n-1)=2 对楼项c含-岛系+市含+行v中一E)下-1.c运 2 对达项D,◆)=g士-n≥2，则fe)=1+士兰10，所以画故在[2+)上单调说 增，所以fx)≥f2)=是-1h2>0,令x=S(5.=2m≥2》，即fS)>0,即3专>h+lh2.D正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.5【解析】由复数z=2-i,可得2=3一4i,所以2|=√32+4=5. 13.[2√5,6]【解析】由题可知，m·n=2m十3n=6,可得直线l恒过定点A(-2,一3)， 圆C:x2十y2+6y=0的圆心为C(0,一3)，半径为r=3, |CA=2<r,定点A在圆C内， 当直线l经过圆心C时，PQlmx=2r=6, 当CALPQ时，|PQ|m=2√-CA下=2√32-2=2√5， 所以PQ的取值范围为[2√5,6] 14.(-20-2)U[0,十∞)【解析】由题令f)=0,可得。-t-(e-1D(2ax+lhz）-1=0, 令t=2ax+lnx,设g(t)=e-(e-l)t-1,所以g'(t)=e-(e-1), g(t)>0时，t∈(ln(e-1),+∞)，g'(t)<0时，t∈(-o∞，ln(e-1), 所以g(t)在区间(-o∞，ln(e一l))上单调递减，在区间(ln(e一1)，十o∞)上单调递增， 又g(0)=0,g(1)=0,所以函数g(t)仅有两个零，点0,1， 若f(x)恰有2个零，点，即方程2ax+lnx=0和2ax+lnx=1共有2个不同实数根， 令h()=2ax+lnx,则K(x)=2a+子（x>0), 当a≥0时，h'(x)>0,即h(x)在区间(0，十∞)上单调递增， x→0时，h(x)→一o∞，x→十o∞时，h(x)→十∞， 故h(x)=0和h(x)=1各有1个实数根，符合题意； 当a<0时，由M(x)>0,可得xe(0,一)，由(x)<0,可得xe(-品，十∞)， 所以A()在区间(0，一品)上单调递增，在区间（一品，十∞）上单调道减， x→0时，h(x)→一∞，x十c∞时，h(x)-0∞， 要满足题意，可得0<h(-)<1,解得一。<a<记， 所以aE(-0-是)U0,+o). 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.【解析】(1)设“其中至少有一名学生非常满意”为事件A,“另一名学生不是非常满意”为事件B,…(1分) n(AB)=C2oC30=600, …（3分) n(A)=C2C%0+C3=600+190=790, (5分) 所以P(BA)=n(AB)=600_60 n(A)790791 …(6分) 备注：没化简不扣分 数学参考答案(27X①)一3 (2②)由题可知从50名学生中随机抽取1人，不满意的概率为号， 现从所有学生中随机抽取4名学生，则X~B(4,号)， (8分) PX-o)=Cx(告》'-器PX=1)=C×号×（告厂-器， px=2》=C×(号)广×()°-器PX=3》=Cx(号）'x×号-品， P(x=4)=C×（广=赢 (10分) 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 256 256 96 16 1 625 625 625 625 625 所以E(X0=4X号=号 (13分) 备注：期望计算错误扣1分 16.【解析】(1)f(x)=2√3 sin xcos-2sin2x-1=√3sin2x-(1-cos2x)-1 =3sin2x+cos2z-2=2sin(2x+吞）-2， (3分) 当x∈(-，5]时，则2z+吾∈(-晋，]， (4分) sim(2x+看）∈(-，1]--2<f)0, 。。。。。。。。。。。。。。。。 (5分) 函数f)在区间(-至，号]上的值城为(-5-2,0]小.… (6分) (2)若fA)=-1,则2sin(2A+若）-2=-1，sin(2A+君)=号 (7分) 0<A<,音<2A+晋<号2A+吾-哥…A=景 (9分) 又bcos C+ccos B=√3，.a=√3，… (11分) “sA公+灰4c-61,∴2-+3. 2bc 2b(b+1) ∴.2+b-2=0,又b>0,.b=1,c=b+1=2,… (13分) ∴5-snA-吉×1x2×号-停 (15分) 17.【解析】(1)证明：过，点A作AH⊥SB,垂足为H, 平面SAB⊥平面SBC,平面SAB∩平面SBC=SB, .AH⊥平面SBC,AH⊥BC.…(2分) 过，点S作SM⊥AB,垂足为M,同理可得SM⊥BC 又AH与SM相交，∴.BC⊥平面SAB, 又ABC平面SAB,∴.AB⊥BC.… (6分) (2)由(1)，以B为原点，直线BA为x轴，直线BC为y轴，在平面SAB内过，点B作BA的垂线为之轴，建立空间直 角坐标系，如图所示： 数学参考答案(27X①)一4 设∠SBA为0,0∈(0，π)，则S(cos0,0,sin0),A(2,0,0),B(0,0,0),C(0,W2,0), SC-=(-cos0w2,-sin0),BC=(0W2,0),AC=(-2,W2,0）.…(8分) 设平面SBC的法向量为m=(x,y,名)， SC·m=-xcos0+√2y-名sin0=0, 则 m=sin e0-cos..... (10分) BC.m=2y=0, 设平面SAC的法向量为n=(x2,2,), (SC.n=-z2cos 0+2y-zsin 0=0, 则 .n=(sin0,W2sin0,2-cos0),…(12分) AC.n=-2xm+W22=0, :年面SBC与平面SAC所成角的余弦值为汽， losa1-a调-a8亦 1-2cos0 = =7, 解得c0s0,sin0号或cos0=0,5in91,…… (14分) 又Vc=号X号×ABX BCX SBXsin9=2、 1 3sin 0, 三被徐S-ABC的你叔为号号 (15分) 备注：直接写出结果只给2分 18.解标】)2名=号a=2C,…(2分) 又a十c=3,∴.a=2,c=1,b=√a-c2=√3， (4分) 椭圆C的标准方程为子十学1.… (5分) (2)（1)设A(x1,y),B(x2,2),P(-26十6，y6), 若直线PA的斜率存在，切线PA的方程可设为y一=(x一)， [y-y=k(x-), 限苦+号1 整理得(4k2+3)x十8(y-kx1)kx十4(y-kx1)2-12=0, △=64k2(y1-k.1)2-4(4k2+3)[4(y-k.x1)2-12]=0, 化简得(4-x)k2十2x1yk十3-y=0,… (7分) +=1， ∴.16yk2+24x11k+9x=0,即(4yk+3x)2=0, 部得长一治 … (9分) 数学参考答案(27X①)一5 直线PA的方程为y一=—爱（红一 化简得4yy十31x=4y听+3x=12, 当直线PA的斜率不存在时，同理可得PA的方程为x=一2或x=2,满足上式， .切线PA的方程为3xx十4yy=12,将点P代入得3（一2y十6）x1十4yM=12. 同理切线PB的方程为3x2x十4y2y=12,将点P代入得3（一2y十6）x2+4y%2=12, ∴.直线AB的方程为(-6%十18)x十4%y-12=0,即(-3y十9)x+2y%y-6=0,…(10分) 9x-6=0, 2 即(-3x十2y)6+9x-6=0,令 解得 \x一3 -3x+2y=0, y=1, 直线AB过定点（号，1小： …(11分) 备注：若直接写出答案，无解答过程，则这一问只给2分 ()当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=号，显然不存在点E,…(12分） 当直线AB的斜率存在时，设立线AB的方程为y-1=(x一号)，令m=1-号， (y-nxm, 联+号 整理得(3十4n)x2+8mx+4m2-12=0, 易知△=48(4n2-m2+3)>0, -8m x十x2= 3+4n, ……*e… (14分) _4m2-12 五·=3+4m, .y十y2=n(x1十x2)+2m= 6m 3+4n 若存在，点E,使得四边形OAEB为平行四边形， 则0成-i+0成点E的坐标为（导3平）， (15分) 16n2m2 12m2 六3干4玩十3十4ry=1,即4m=4n+3, 将m=1- 3n代入上式得20十48m-9=0, 解得n=-12±3②红 10 存在直线AB的斜率n=一12士3√2 10 即存在，点E,使得四边形OAEB是平行四边形.… (17分) 19.【解析】(1)当a=0时，f(x)-1-xlnx-x,则f'(x)=-lnx-2, 令f(x)=0,可得lnx=-2,x=e2,…(2分） ,f(x)=一lnx一2在区间(0，十∞)上单调递减， ∴.f(x)在区间(0，e2)上单调递增，在区间(e2,十o∞)上单调递减， ∴f(x)有极大值点e2,极大值为f(e2)=1一e21n(e2)-e2=1十e2,无极小值.…(5分) 备注：没写极值扣1分，只写出极大值不扣分 数学参考答案(27XD)一6 (2)(1).'f(x)≥0对Vx>0恒成立，可知f(1)=e-1≥0，.a≥0， 当a=0时，f(x)=1-xlnx-x,f(e)=1-2e<0,显然f(x)≥0不恒成立； 当a=1时，f(x)=e-xlnx-x,x∈(0，十oo),则f(x)=e-lnx2,… (6分) 下证f(x)>0对Hx∈(0，+o∞)恒成立， 方法-（隐零点法）：令以)=寸)=心-nx一2，剥h()=g-士， 又(2)=e-2<0,'(1)=e-1>0, 由零点存在定里可知，存在me(合1)使得m）=0,即e一品-0， …(7分） 又(x)在区间(0，十o∞)上单调递增，∴.当x∈(0，m)时，以'(x)<0,当x∈(m,十o∞)时(x)>0, ∴·(x)在区间(0，m)上单调递减，在区间(m,十∞)上单调递增， =km)=e-lnn-2-+m-2>0, 即f(x)>0对Vx∈(0，十∞)恒成立，… …(8分) 方法二（放缩法）：令p(x)=e-x-1,则p(x)=e-1, 当x∈[0，十∞)时，p(x)≥0，∴.(x)在区间[0，十∞)上单调递增； 当x∈(-∞，0)时，9(x)<0,.p(x)在区间(-∞，0)上单调递减， 故p(x)≥p(0)=0,∴.e≥x十1，当且仅当x=0时等号成立.… …(7分) 由ex≥lnx十1得lnx≤x-l,当且仅当x=1时等号成立， ∴.f(x)=e-lnx-2>x十1-(x-1)-2=0, 即f(x)>0对x∈(0，十0∞)恒成立.…(8分) ∴.f(x)在区间(0，十∞)上单调递增， 当x∈(0，l)时，f(x)=e-xlnx-x>1-xlnx>0, 当x∈[1，+o∞)时，f(x)≥f1)=e-1>0, ∴.f(x)≥0对x>0恒成立. 综上，a的最小值为1.…（们0分） (i)由(i)可知a=l,则h(x)=f(x)十2x=e-xlnx十x,则h'(x)=e-lnx, 假设存在，点A,设A(t,h(t),则切线的斜率k=h'(t)=e一lnt, 切线的方程为y一h(t)=h(t)(x一t), 令x=0,可得y=h(t)-th'(t),∴.B(0,h(t)-th'(t), 令y-0,可得z=48c4号o） (12分) y市-威2：8=0，中0=2，A0, 即(2t-1)e-tnt-t=0.… (13分) 令g(x)=(2x-1)e-xlnx-x,x∈(0，+∞)， g(x)=(2x十1)e2-lnx-2>2x+1-lnx-2≥2x-(x-1)-1=x>0, g(x)在区间(0，十∞)上单调递增，… (15分) 又g①=e-10,8(号)-2h2-含-号n2-1D<0, 由零点存在定理可知∈（分，1），使得g()=0. 存在，点A使得C馆-BA成立.…(17分) 数学参考答案(27X①)一7 2026年11月高三试卷 数 学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则 A． B． C． D． 2．一位射击运动员在一次射击测试中射靶次，每次命中的环数如下：，，，，，，，平均数为，则这组数据的中位数 A． B． C． D． 3．设向量，，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．双曲线的离心率为，则 A． B． C． D． 5．将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象与轴最近的对称轴的方程是 A． B． C． D． 6．一种细菌性感染后的人群需多次服用某种药物才能治愈，这种药物在治疗中的浓度治疗阈值又叫最低有效浓度，是指药物在血液中含量需要维持在特定浓度阈值以上才能起效，浓度下降至阈值以下，疗效就会中断，浓度过高则增加肾毒性风险．该药的最低有效浓度为血液中药物含量不低于，已知某患者第一次服用该药后当前浓度为，他服用该药后血液中的药物含量会以每小时的速度减少，那么他经过几个小时后进行第二次服用最佳？结果精确到个位（参考数据：，） A． B． C． D． 7．已知函数，正项等比数列满足，则… A． B． C． D． 8．一长方体盒子的长、宽、高分别为，，，盒子内装有一个半径为的小球，小球在盒子内任意滚动，则小球在盒子内滚动部分的体积为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知抛物线的焦点为，过点作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则下列说法正确的是 A．抛物线的方程为 B．若，则 C．当时，直线的倾斜角为 D．的最小值为 10．如图所示，在长方体中，，点为的中点，点为对角线上的一点，且，则下列说法正确的是 A．当时，平面 B．，四面体的体积为定值 C．当时，直线与平面所成的角最大 D．当时，，，，四点共面 11．已知各项都是正数的数列的前项和为，且，则 A．数列是等差数列 B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知复数，则__________． 13．已知向量，，满足，直线与圆交于，两点，则的取值范围为__________． 14．已知函数恰有2个零点，则实数的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 某学校对高一年级学生进行“学校食堂午餐”满意度调查，在随机抽取的名学生中，有名学生表示非常满意，名学生表示一般，名学生表示不满意． （1）从这名学生中随机选取名学生，已知其中至少有一名学生非常满意，求另一名学生不是非常满意的概率； （2）若以这名学生的满意度情况来估计所有学生满意度情况，且以频率作为概率，现从该校所有高一年级学生中随机抽取名学生，设表示不满意的学生人数为，求的分布列和数学期望． 16．（本小题15分） 已知函数． （1）求函数在区间上的值域； （2）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，若，求的面积． 17．（本小题15分） 如图，在三棱锥中，平面平面，平面平面． （1）求证：； （2）若，，，且平面与平面所成角的余弦值为，求三棱锥 的体积． 18．（本小题17分） 已知椭圆：的离心率为，椭圆上的点到右焦点的距离的最大值为，为坐标原点． （1）求椭圆的标准方程； （2）点在直线：上运动，过点作椭圆的两条切线，切点分别为点，． （i）证明：直线过定点； （ii）椭圆上是否存在点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的斜率；若不存在，说明理由． 19．（本小题17分） 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）若对恒成立． （i）求的最小值； （ii）当取最小值时，在函数的图象上是否存在点，过点作函数的图象的切线与轴交于点，与轴交于点 ，使得成立？并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $