湖南省长沙市2026-2027学年高三上学期期中数学自编模拟测试（九）

湖南省长沙市2026-2027学年高三数学上学期期中模拟测试（九）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B A D B D B BC BD 题号 11 答案 AC 1．D 【分析】根据集合交集的定义，取两个集合中元素的公共取值范围即可求解. 【详解】因为，，所以. 2．C 【详解】因为直线与直线平行， 根据两直线平行的充要条件可得，解得或， 当时，代入可得与，两条直线平行且不重合，符合题意； 当时，代入可得与，两条直线重合，不符合题意. 所以 3．B 【分析】由圆的方程可确定两圆的圆心和半径，由两圆圆心距与两圆半径的关系可判断出位置关系. 【详解】由圆方程知：圆心，半径；由圆方程知：圆心，半径； 圆心距，所以，故圆与圆外切. 4．A 【分析】先求函数的定义域，结合复合函数单调性分析判断. 【详解】令，解得或， 可知函数的定义域为， 因为在定义域内单调递增，且在内单调递减，在内单调递增， 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：A. 5．D 【详解】由，得，所以， 所以，所以，又，，所以， 解得. 6．B 【分析】利用向量数量积的定义得，再根据抛物线的定义可得，进而可求解. 【详解】， 当即点为坐标原点时，取最小值， 故选:B. 7．D 【分析】根据，确定点的位置，经过，，三点的平面将三棱柱分为两部分，通过补形确定经过三点的平面，利用棱柱、棱台的体积计算方法，得到，两部分的体积，最终求得比值. 【详解】取的中点，连接，； ，，即点在线段上，. 过点作，分别交，于点，. 平面是过点，，三点的平面. 设，直三棱柱的高为. . ，，； ； 直三棱柱被平面分成，两部分的体积较小）， ，则； . 8．B 【分析】设为圆上一点，得到的中点，求得，结合直线与圆有公共点，得到，求得，进而求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】因为双曲线的右焦点为，则，即， 且双曲线的渐近线方程为， 设为圆上一点，且圆心为，半径， 则的中点在其渐近线上，可得， 即，所以点在直线上， 因为圆心到直线的距离为， 因为圆上存在点满足条件，所以直线与圆有公共点， 所以，即，可得，可得，所以， 又因为双曲线的离心率，所以， 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故选：B. 9．BC 【分析】利用对立事件的性质判断A，利用方差与标准差的性质判断B，利用古典概型概率公式判断C，利用超几何分布的性质判断D即可. 【详解】对于A，事件“至少击中两次”与事件“至多击中一次”互为对立事件，故A错误； 对于B，由方差与标准差的性质可得B正确， 对于C，记3名男同学为A，B，C，2名女同学为a，b， 则从中任选2名同学的情况如下，有， ，共10种， 其中至少有1名女同学的情况有， ，共7种，得到所求概率为，故C正确； 对于D，由题可知，女演员的人数X服从超几何分布，故D错误． 故选：BC． 10．BD 【分析】先建立空间直角坐标系，再应用异面直线夹角的余弦公式计算判断A；应用数量积公式计算判断B；应用向量的模长公式计算判断C；应用线面夹角正弦公式计算判断D. 【详解】以点为原点，以分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，, 所以，，，，, 所以， 所以与所成的角为所成的角为，故A错误； 由，可知，故B正确； 由，得，故C错误； 平面的一个法向量为，设与平面所成的角为， 所以，则， 所以，故D正确， 故选：BD. 11．AC 【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理、基本不等式、三角形面积公式逐一判断即可. 【详解】由双曲线定义及点在右支上可知，，又，解得，， 由三角形三边关系得，化简得，故双曲线离心率， 在中，由余弦定理得， ， A，若为锐角三角形，则必须满足且，解得，正确； B，若为钝角三角形，则满足或， 所以或，故不一定成立，错误； C， ， 因为，由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 此时取得最小值，即取得最大值， 将代入得，即，此时为直角三角形，正确； D，的面积， 当，即时面积取得最大值， 但当，即时也为直角三角形，此时面积为并非最大值，错误． 12． 【详解】因为，所以， 所以． 13．4 【分析】列方程得到的零点，然后确定零点个数即可. 【详解】令，得， 所以， 由，可得的取值可以是0，1，2，3，故零点个数为4． 故答案为：4. 14．1或. 【分析】首先将点代入圆方程中，再结合，对表达式进行化简，最终得到，转换成几何运算，结合绝对值三角不等式找到最小值和点的位置，最终联立方程求出点的坐标，计算出的值. 【详解】解：已知点在圆上，所以，即， 所以 ， 其几何意义是点到点，的距离之和， 即， 根据绝对值三角不等式：，当点在线段上时取等号； 点即在圆上，也在线段上，所以此时点为线段与圆的交点； 已知点，，利用两点式方程可得：直线的方程为； 方程联立得：，解得或； 即或； 两组解均满足题意，所以或； 故答案为：或. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用两点求斜率，由点斜式方程即可求解； （2）根据中垂线的性质，利用垂直直线的斜率关系，结合点斜式方程，可得答案. 【详解】（1）， 边所在直线的方程， 即； （2）， 所以， 又中点坐标， 所以边的垂直平分线的方程为， 即. 16．(1)或 (2)或 【详解】（1）根据正弦定理得 因为，，所以 所以或120° 当时， 此时 当时， 此时 （2）当时，， 当时，， 17．(1) (2) 【分析】（1）利用离心率可以得到的关系，再利用左焦点到点的距离是，计算出； （2）设直线方程为，与椭圆方程联立，把通过转化为，韦达定理表示出，从而求出k的取值范围. 【详解】（1）由于椭圆 的离心率 ， 则 ，， 由于 ，故，，， 所以 ， 由于椭圆的左焦点为 ， 已知点 ，且 到 的距离为 ， 则，即，, 因为 ，所以 ， ，故 ， ， 所以椭圆 的方程为：； （2）由（1）可知，左焦点 ， 设过 且斜率为 的直线方程为， 、 ， 联立 ，得 ， 经检验， 根据韦达定理，可知， 由于 ，则，即， 即， 即， 整理，得， 将和 代入， 得， 化简得，解得， 所以的取值范围为. 18．(1)如图所示，作出符合题意的图形， 取的中点，连接，． 因为为的中点，所以且．     又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，故．     又平面，平面， 所以平面． (2) (3)由（2）可知，，，， ，平面的一个法向量为．     因为， 所以直线不在平面内． 【分析】（1）取的中点，连接，，先证明，然后证明平面. （2）以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用向量法计算两平面的夹角的余弦值. （3）若直线在平面内，则会与平面的法向量垂直，所以只需验证与平面的法向量是否垂直即可. 【详解】（1）略. （2）取的中点，的中点，连接，． 易得，而平面，则平面．     因为，所以，且．     所以，，两两互相垂直．以为坐标原点， 直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，， 所以，．     设平面的法向量为， 则令，得，， 所以平面的一个法向量为．     易知是平面的一个法向量．     因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为． （3）略. 19．(1) (2)（ⅰ）； （ⅱ）直线与圆相切，理由如下： 设直线：，代入，整理得. 则，. 所以. 所以直线的斜率. 直线方程为：， 整理得：. 所以原点到直线的距离：. 因为， . 所以. 故直线与圆相切. 【分析】（1）根据双曲线的离心率，双曲线上的点，结合双曲线中，，的关系列式，可求，，的值，得到双曲线的方程. （2）（ⅰ）设直线的方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理，得到，，结合的斜率为，可求的值，再利用的面积，可求的值. （ⅱ）直线：，与双曲线方程联立，结合韦达定理，得到，，利用两点式写出直线的方程，利用点到直线距离公式，求原点到直线的距离，即可得到结论. 【详解】（1）由题意，. 所以双曲线的方程为：，即. （2）（ⅰ）如图， 设直线方程为，代入， 得，整理得：. 由，整理得：. 设，， 则，. 所以. 又，，由直线的斜率为， 所以或. 因为，所以不合题意，舍去.故. 此时，， 所以. 由点到直线的距离为， 由. 所以直线的方程为. （ⅱ）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市2026-2027学年高三数学上学期期中模拟测试（九） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合，B=，则（   ） A． B． C． D． 2．已知直线与直线平行，则（    ） A．2 B．或2 C． D．或1 3．已知圆，圆，则圆与圆（     ） A．相交 B．外切 C．内含 D．外离 4．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 5．已知平面向量，，且，则（     ） A．2 B． C． D． 6．已知抛物线的焦点为，动点在上，圆的半径为1，过点的直线与圆相切于点，则的最小值为（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 7．在直三棱柱中，点满足，若经过，，三点的平面将棱柱分为，两部分的体积较小，则与的体积之比为（ ） A．4∶5 B．5∶7 C．10∶17 D．8∶19 8．已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．一个人连续射击三次，事件“至少击中两次”与事件“至多击中一次”互为互斥事件但不是对立事件 B．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小 C．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 D．从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从二项分布 10．如图，若正方体的棱长为2，E为的中点，则（   ） A．与所成的角为 B． C． D．与平面ABCD所成角的正切值是 11．设双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，已知的实轴长一定，则（ ） A．若为锐角三角形，则的离心率 B．若为钝角三角形，则的离心率 C．当取得最大值时，为直角三角形 D．当为直角三角形时，的面积最大 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若复数满足，则________． 13．函数在上的零点个数为___________． 14．已知点在圆上，则当取最小值时，___________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知的三个顶点分别为，求： (1)边所在直线的方程； (2)边的垂直平分线的方程． 16．在中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，已知，， (1)求b； (2)求的面积S. 17．椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离是. (1)求椭圆C的方程； (2)过点且斜率为k的直线交椭圆C于M，N两点，若求k的取值范围. 18．如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，，． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)设点在线段上，且，判断直线是否在平面内，并说明理由． 19．在平面直角坐标系中，已知点在双曲线上，且的离心率为． (1)求的方程； (2)若直线与交于，两点，设关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，记直线为． （ⅰ）若的斜率为，的面积为，求的方程； （ⅱ）若经过点，试判断与单位圆的位置关系，并说明理由． 第1页（共2页） 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $