2.3.3 点到直线的距离公式 同步讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

 2.3.3　点到直线的距离公式

 选择性必修第一册　第二章　直线和圆的方程

[学习目标]

1．理解点到直线的距离的意义，经历由直角三角形面积推出距离公式的过程，掌握公式 的结构与使用前提。

2．掌握两条平行直线间距离的求法，会把线线距离化为点线距离，使用前能把两条直线的 、 系数化为对应相同。

3．能用距离公式求三角形面积、由距离反求参数，并能处理动直线过定点时的距离最值。

[链接教材 · 夯基固本] 落实主干 · 激活技能

 1．点到直线的距离

2.3.2 中，两点间的距离已经能用坐标表示。图 1 里直线 的方程是 ，点 为 (3,4)。取 上三点 (0,4)、(2,0)、(3,−2)，它们与 连线的长分别是 3、、6。再过 作 的垂线，垂足为 ，可解得 ，这条垂线段的长是 ，比上面三条都短。

图 1: 与 上三点连线长 3、、6，垂线段 的长 最短

(1) 过点 作直线 的垂线，垂足为 ，线段 叫做点 到直线 的，点 到直线 的距离就是这条垂线段的。

(2) 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，最短。这一点到直线的距离，就是这些连线长度的最小值。

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) 点 到直线 的距离，就是过点 且与 垂直的直线。（　　）

(2) 若点 与直线 上某一点连线的长为 5，则点 到 的距离不大于 5。（　　）

 2．点到直线的距离公式

公式可以由直角三角形的面积得到。图 2 中仍是 与 。过 作 轴的平行线 ，代入 得交点 ；过 作 轴的平行线 ，代入 得交点 。于是 ，，。垂线段 是直角三角形 斜边上的高，由 得 ，与图 1 的结果一致。

图 2: 在直角三角形 中用两种方法表示面积，斜边上的高 就是点 到 的距离

把上面的数换成字母：设 ，（、 都不为 0）。过 作 轴的平行线交 于 ，由 得 ，所以 ；同理 。在直角三角形 中由面积相等算出的高，就是下面的距离。

(1) 点 到直线 （、 不同时为 0）的距离 。

(2) 使用公式前，必须把直线方程化为，公式中的 、、 分别是 的系数、 的系数与。当 时直线为 ，即 ，距离为 ，公式仍然成立； 时同理。当点 在 上时 ，公式给出 。

 提醒： 直线写成 时，要先化成 ，此时 等于 −1 而不是 1，把 直接当作 而不改变符号是最常见的错误。

判断

(1) 求点 (0,2) 到直线 的距离时，可以把 、、 代入公式。（　　）

(2) 点 到直线 的距离是 。（　　）

 3．两条平行直线间的距离

图 3 中 与 的斜率都是 −2，是两条平行直线。在 上取点 ，用刚得到的公式求它到 的距离，得 ；改取 上的另一点 ，到 的距离是 ，两次结果相同。

图 3: 垂线段 与 都垂直于两条平行线，且长都等于 ，与取哪一个点无关

(1) 夹在两条平行直线间的的长，叫做两条平行直线间的距离。求法是：在一条直线上一点，把两条平行直线间的距离化为到的距离。

(2) 设 与 （）。在 上任取一点 ，则 ，把它代入点到直线的距离公式，得 。

(3) 公式中的 、、、 来自两条直线中 、 的系数的一般式。若两条直线为 与 ，应先把 的两边同乘 2，化为 后再代入。

 提醒： 两条平行直线都与同一条坐标轴垂直时，距离就是两个常数之差的绝对值，例如 与 之间的距离为 5，不必代入公式。

判断

(1) 直线 与 之间的距离可以写成 。（　　）

(2) 直线 与直线 之间的距离是 3。（　　）

 4．距离公式的两类应用

图 4 中 的三个顶点为 、、。直线 的斜率为 ，方程是 ；。 边上的高就是点 到直线 的距离，垂足为 ，，所以面积为 。

图 4: 边上的高 等于点 到直线 的距离，，