2.3.4 两条平行直线间的距离 教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

教学目标

（1）能熟练运用点到直线的距离公式，经历两条平行直线间的距离公式的推导过程，体会其中化归与转化的数学思想；

（2）能正确求出两条平行直线间的距离，明确使用公式的前提是两直线方程已化为一般式且x、y的系数对应相同；

（3）能根据两条平行直线间的距离求方程中的待定参数，养成先定位置关系再代数运算的习惯，提升数学运算素养；

（4）通过“几何问题代数化”的探究活动，发展直观想象、逻辑推理与数学抽象等核心素养。

教学重难点

教学重点：两条平行直线间的距离公式的推导与应用。

教学难点：公式推导中化归方向的确定，以及两直线方程中x、y的系数必须对应相同这一前提的理解与运用。

教学准备

PPT课件、几何画板动态演示。

教学流程设计

一、问题引入（约5分钟）

上节课我们把“点到直线的距离”这个几何问题转化成了代数运算。请同学们回顾：

问题1：点 到直线l:Ax+By+C=0（其中A、B不同时为零）的距离公式是什么？

预设答案：。

教师活动：用几何画板演示一条直线在平面内平移的过程，引导学生观察：平移前后两直线的倾斜程度没有改变，它们始终平行。

问题2：两条平行直线没有公共点，但它们之间“靠得有多远”，可以用什么量来刻画？

师生活动：学生观察演示、交流讨论；教师指出——夹在两条平行线间的公垂线段的长度，就是这两条平行直线间的距离，并板书课题。

【设计意图】由旧知引出新知，把新问题的研究建立在上一课时的基础上；借助动态演示让学生直观感知“距离”的几何意义，为推导公式埋下化归的种子。

二、创设情境，探究发现（约15分钟）

1. 情境引入

2026年，多地加快城市地下综合管廊建设，把电力、通信等管线集中敷设在地下廊道中。某段管廊施工时，两侧电缆支架的安装基准线是两条平行直线。以设计基准点为原点、以1 m为单位长度建立平面直角坐标系，这两条基准线所在直线分别对应 :3x+4y-5=0 与 :3x+4y-15=0。施工中必须保证两侧支架轴线之间预留足够的检修空间，就需要知道这两条平行直线间的距离（如图1）。

图1  两条平行直线间的距离

2. 探究：如何求两条平行直线间的距离

教师活动：两条平行直线间的距离，就是夹在它们之间的公垂线段的长。直接作出公垂线段并不方便，能否把它转化为我们已经会计算的距离？请结合图2思考。

学生活动：讨论后发现——在 上任取一点 ，由于两平行线间的公垂线段处处相等，点 到 的距离，就是这两条平行直线间的距离（如图2）。这样，新问题就化归为上一课时已经解决的“点到直线的距离”。

图2  化归为点到直线的距离

3. 从具体到一般，推导公式

先解决情境中的具体问题：在 上任取一点 ，则 3+4-5=0，即 。

点 到 的距离为

，

即这两条安装基准线之间的距离为2 m。

一般地，设两条平行直线分别为 : 与 :（其中A、B不同时为零，且 ）。