2.2.3 直线的一般式方程 同步讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

 2.2.3　直线的一般式方程

 选择性必修第一册　第二章　直线和圆的方程

[学习目标]

1．经历由方程的解与直线上的点的对应关系归纳出直线方程一般式的过程，掌握一般式 （、 不同时为 0）的适用性。

2．会把点斜式、斜截式、两点式方程化为一般式，能由一般式求出斜率与在两条坐标轴上的截距，并据此画出直线。

3．能由系数 、、 的取值判断直线的特殊位置，会用系数刻画两条直线的平行与垂直，并解决含参直线问题。

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 1．直线方程的一般式

前面得到的几种直线方程，整理后都是关于 、 的二元一次方程。斜率为 且经过点 的直线，由点斜式得 ，移项化为 ；经过 、 的直线由两点式化为 。反过来看方程 ，它有无数组解，图 1 描出的五组整数解 (−2,3)、(0,2)、(2,1)、(4,0)、(6,−1) 对应的点在同一条直线上，其余任意一组解对应的点也在这条直线上。

图 1: 方程 的五组整数解对应的点在同一条直线上

(1) 关于 、 的二元一次方程 （、）叫做直线方程的一般式，简称一般式。

(2) 每一条直线都可以写成一个二元一次方程：斜率存在时，由点斜式 展开得 ，此时 ，；斜率不存在时，直线方程为 ，即 ，此时 。

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) 斜率不存在的直线没有一般式方程。（　　）

(2) 一条直线的一般式方程是唯一确定的。（　　）

 提醒： 一般式对任何直线都适用，这是它优于四种特殊形式之处。同一个方程的两边同乘一个非零常数，表示的还是同一条直线，所以结果通常约定把 化为正整数，且各系数的最大公约数为 1。

 2．由一般式读出斜率与截距

方程 化为斜截式是 ，斜率为 2，在 轴上的截距为 −2； 化为 ，斜率为 ，且经过原点； 即 ，是与 轴垂直的直线，没有斜率。图 2 在同一坐标系中画出这三条直线，它们的差别全部体现在 的系数是否为零上。

图 2: ：；：；：，只有 的 系数为 0

(1) 当 时，把 化为斜截式得 ，所以斜率 ，在 轴上的截距 。

(2) 当 且 时，方程化为 ，它与 轴垂直，斜率，在 轴上的截距是。

(3) 在方程中令 解出的 ，就是直线在 轴上的截距；令 解出的 ，就是直线在 轴上的截距。截距是实数，不是长度。

判断

(1) 直线 的斜率是 。（　　）

(2) 直线 在 轴、 轴上的截距分别是 3 与 2。（　　）

 提醒： 斜率是 而不是 ；截距是 而不是 。求不出斜率时先检查 是否等于 0，不要直接两边除以 。

 3．系数取值与直线的特殊位置

图 3 中 ： 平行于 轴，： 平行于 轴，： 经过原点， 就是 轴（方程 ）， 就是 轴（方程 ）。这五条直线的方程都是 ，它们位置的差别全部落在系数上： 时直线与 轴平行或重合， 时直线与 轴平行或重合， 时直线经过原点。

图 3: ：，：，：，：，：

(1) 直线 （、 不同时为 0）与 轴平行或重合的充要条件是 ；与 轴平行或重合的充要条件是 。

(2) 直线经过原点的充要条件是 。

判断

(1) 当 时，直线 与 轴重合。（　　）

(2) 当 时，直线 （、 不同时为 0）经过原点。（　　）

 4．用系数表示两条直线的平行与垂直

设 ：，：，且 。由 2.1.2，两条直线平行当且仅当斜率相等且在 轴上的截距不相等。把 、 代入 ，去分母得 ；把 代入同一组斜率，得 。图 4 中 与 的系数满足 ， 与 的系数满足 ，位置关系可以直接由系数验出。

图 4: ：，：，：；，