小升初奥数培优21：分数应用题（讲义）-2026-2027学年六年级数学上册（人教版）

小升初奥数培优21：分数应用题 学习目标 1. 熟练找准分数应用题中的单位"1"，掌握"的前比后"判断方法，区分单位"1"已知、未知的解题思路。 2. 理解量率对应核心思想，牢记基础公式，会画线段图辅助分析数量关系。 3. 掌握奥数高频题型：统一单位"1"、倒推还原问题、抓不变量解题（和不变、部分量不变）。 4. 能够对比"甲比乙多几分之几"和"乙比甲少几分之几"这类易错题，规避分率陷阱。 5. 灵活使用算术法、方程法两种思路解题，提升复杂分数复合应用题的分析能力。 知识精讲 （一）基础概念 1. 单位"1"：把一个整体看作单位"1"（标准量）。 判断口诀："的"前面，比 / 是 / 占后面是单位"1"。 例：甲是乙的 → 乙是单位"1"；甲比乙多 → 乙是单位"1"。 2. 分率：表示一个量占单位"1"的几分之几，不带单位。 3. 对应量（分量）：分率所对应的具体数量，带单位。 （二）三大基础公式（量率对应核心） 1. 单位"1"已知：单位"1"的量 × 对应分率 = 对应量（乘法） 2. 单位"1"未知：对应量 ÷ 对应分率 = 单位"1"的量（除法 / 方程） 3. 求分率：对应量 ÷ 单位"1"的量 = 分率 易错提醒："甲比乙多" ≠ "乙比甲少"，二者单位"1"不一样！ 甲比乙多：乙为单位1，甲 = ； 乙比甲少：。 （三）奥数四大解题方法 方法1：线段图法 优先推荐，把单位"1"画成一条线段，标出各段分率、具体数量，直观找到量和分率的对应关系。 方法2：统一单位"1" 题目出现多个不同单位"1"（如第一天看全书，第二天看余下的），不能直接加减分率，要把所有分率转化成同一个标准量（通常转化为总量）。 方法3：倒推法（还原法） 多次拿走"余下的几分之几"，正向思考麻烦，从最后的剩余数量反向计算：余下量 ÷（1 − 分率）= 上一次的总量。 方法4：抓不变量（小升初压轴高频） 三类不变量： (1) 部分量不变：如女生人数不变，转来男生； (2) 总和不变：甲给乙若干，两人总数不变； (3) 差不变：两人同时增加 / 减少相同数量，相差不变。 思路：把不变量定为新的单位"1"，重新转化分率。 （四）解题标准步骤 1. 读题，标记分率句，找出单位"1"； 2. 判断单位"1"已知还是未知； 3. 寻找具体数量对应的分率（最难一步）； 4. 列式计算（算术或方程）； 5. 检验，看结果是否符合题意。 例题讲解 【典型例题1】基础量率对应 一本书，小明第一天看了全书的，第二天看了全书的，两天一共看了45页。这本书一共有多少页？ 【详解】 解：把全书总页数看作单位"1"，单位"1"未知，用除法。 两天一共对应的分率： 对应量是45页， 总页数：（页） 答：这本书一共有100页。 【答案】　100 页 【跟踪训练1】 一堆煤，第一天运走总数的，第二天运走总数的，两天一共运走30吨。这堆煤原有多少吨？ 【详解】 解：把煤的总吨数看作单位"1"，单位"1"未知。 两天合计分率： 总吨数：（吨） 答：这堆煤原有60吨。 【答案】　60 吨 【典型例题2】统一单位"1"（余下型） 有一堆苹果，第一天拿走全部的，第二天拿走余下的，第二天拿走了30个。这堆苹果原来一共多少个？ 【详解】 解：第一天的单位"1"是全部苹果；第二天的单位"1"是第一天拿走之后余下的，单位不统一，先转化。 第一天拿走，余下： 第二天占全部的分率： 第二天对应量30个，对应分率 总数：（个） 答：原来一共60个苹果。 【答案】　60 个 【跟踪训练2】 一批货物，第一次运走总数的，第二次运走余下的，第二次运了20吨。这批货物一共多少吨？ 【详解】 解：第一次运走，余下： 第二次占总数分率： 总量：（吨） 答：这批货物一共100吨。 【答案】　100 吨 【典型例题3】倒推还原问题 一桶油，第一次倒出，第二次倒出余下的，最后还剩10千克。这桶油原来多少千克？ 【详解】 解：倒推法，从最后剩下的10千克往前算。 第二次倒之前，剩下的分率： 第一次倒完余下：（千克） 第一次倒出，余下 原来总量：（千克） 答：这桶油原来30千克。 【答案】　30 千克 【跟踪训练3】 一根绳子，第一次剪去全长的，第二次剪去余下的，最后剩下18米。绳子原长多少米？ 【详解】 解：倒推计算。 第二次剪之前对应的分率： 第一次剪完余下长度：（米） 第一次剪完余下分率： 原长：（米） 答：绳子原长40米。 【答案】　40 米 【典型例题4】抓不变量（部分量不变，压轴） 阅览室里女生占总人数的，又来了8名女生，这时女生占总人数的。阅览室原来有多少人？ 提示：男生人数不变，把男生当作统一单位"1"。 【详解】 解：男生人数不变。 原来女生占总人数，男生占： 原来女生是男生的： 后来女生占总人数，男生占： 后来女生是男生的： 女生增加8人，对应的分率差： 男生人数：（人） 原来总人数：（人） 答：阅览室原来有28人。 【答案】　28 人 【跟踪训练4】 某班男生占全班人数的，转来5名男生后，男生占全班的，原来全班多少人？（女生不变） 【详解】 解：女生人数不变。 原来男生占，女生占： 原来男生是女生的： 后来男生占，女生占： 后来男生是女生的： 男生增加5人，对应分率差： 女生人数：（人） 原来全班：（人） 答：原来全班45人。 【答案】　45 人 【典型例题5】易错题：比多比少陷阱题 甲数是120，乙数比甲数少，甲数比乙数多几分之几？ 【详解】 解：第一步：乙数的单位"1"是甲数。 乙数： 第二步：求甲比乙多几分之几，单位"1"变成乙数。 相差量： 分率： 答：甲数比乙数多。 【答案】　 【跟踪训练5】 果园里梨树有80棵，桃树比梨树多，梨树比桃树少几分之几？ 【详解】 解：桃树单位"1"是梨树。 桃树：（棵） 梨树比桃树少，单位"1"是桃树。 相差： 分率： 答：梨树比桃树少。 【答案】　 奥数练习 第1题　 甲、乙两人共有一些钱，甲占总数的。甲给乙40元后，甲占总数的。两人原来各有多少钱？ 【详解】 甲给乙钱，两人总钱数不变，把总钱数看作单位"1"。 原来甲占，后来甲占。 甲减少40元对应的分率： 总钱数：（元） 原来甲：（元）；原来乙：（元）。 【答案】　甲96元，乙128元 第2题　 某班女生人数是男生人数的，后来又转来3名女生，这时女生人数是男生的。原来男生有多少人？ 【详解】 转来的是女生，男生人数不变，把男生人数看作单位"1"。 女生占男生的分率由变为，分率差： 转来的3名女生对应分率，男生人数：（人）。 【答案】　原来男生126人 第3题　 学校买来一批图书，分给高年级，分给中年级剩下图书的，还剩126本。这批图书共有多少本？ 【详解】 把图书总数看作单位"1"。 分给高年级，余下：。 中年级占总数：。 剩下占总数：。 126本对应，总数：（本）。 【答案】　336本 第4题　 一瓶酒精，第一次用去全瓶的还多10毫升，第二次用去余下的少5毫升，最后还剩20毫升。这瓶酒精原来有多少毫升？ 【详解】 倒推。设第一次用完后剩下y毫升。第二次用去，则剩下，得 （毫升）。 第一次用去全瓶的多10毫升，则余下的是全瓶的少10毫升，即全瓶 。 全瓶的为40毫升，全瓶：（毫升）。 【答案】　60毫升 第5题　 小明的钱是小红的，两人各花了6元后，小明剩下的钱是小红的。原来小明和小红各有多少元？ 【详解】 两人各花同样多的钱，两人钱数之差不变。 原来小明:小红 = 3:4（差1份）；后来小明:小红 = 5:7（差2份）。 因差不变，把差统一为2份：原来 3:4 = 6:8（差2份），后来 5:7（差2份）。 两人都减少6-5=1份，即1份对应6元。 原来小明：（元），小红：（元）。 【答案】　小明36元，小红48元 第6题　 甲、乙、丙三个数的和是180，甲数是乙数的，乙数是丙数的。三个数各是多少？ 【详解】 甲:乙 = 2:3，乙:丙 = 3:4，所以甲:乙:丙 = 2:3:4。 总份数：，每份：。 甲：，乙：，丙：。 【答案】　甲40，乙60，丙80 第7题　 一根铁丝，第一次用去全长的，第二次用去余下的，这时用去的比剩下的多20米。这根铁丝原长多少米？ 【详解】 把全长看作单位"1"。第一次用，余下。 第二次用：。 共用：；剩下：。 用去的比剩下的多：，对应20米。 全长：（米）。 【答案】　50米 第8题　 甲、乙两桶油共重90千克，把甲桶的倒入乙桶后，甲桶与乙桶的质量比是2:3。甲桶原来有多少千克油？ 【详解】 两桶总质量不变，仍为90千克。倒后甲:乙=2:3，甲桶：（千克）。 甲倒出后剩36千克，即甲原来的， 甲原来：（千克）。 【答案】　甲桶原来48千克 第9题　 甲、乙、丙三人分一批苹果，甲分得总数的，乙分得余下的，丙分得余下的，最后剩8个。这批苹果共有多少个？ 【详解】 把总数看作单位"1"。甲分，余。 乙分：，余。 丙分：，剩。 8个对应，总数：（个）。 【答案】　48个 第10题　 甲数比乙数少，乙数比丙数多，丙数是40。甲数比丙数少几分之几？ 【详解】 乙数（单位"1"是丙数）：。 甲数（单位"1"是乙数）：。 甲比丙少：，此时单位"1"是丙数：。 【答案】　甲数比丙数少 第11题　 一本书，第一天看了全书的，第二天看了剩下的，第三天看了再剩下的，这时还剩60页。这本书共多少页？ 【详解】 把总数看作单位"1"。第一天看，余。 第二天看：，余。 第三天看：，余。 60页对应，总数：（页）。 【答案】　150页 第12题　 一杯糖水，糖占糖水的，加入20克糖后，糖占糖水的。原来糖水有多少克？ 【详解】 加的是糖，水的质量不变。 原来糖:水 = = 1:4；后来糖:水 = = 1:2。 把水统一为4份：原来糖:水=1:4，后来糖:水=2:4。 糖由1份增到2份，增加1份对应20克。 水：克，原来糖：20克，原来糖水：（克）。 【答案】　原来糖水100克 第13题　 某校男生人数比全校人数的还多8人，女生人数比全校人数的少2人。全校共有多少人？ 【详解】 设全校有x人，则男生人，女生人。 ，整理得 ，即 ，。 【答案】　36人 第14题　 一堆化肥，第一天用去总数的多20袋，第二天用去余下的，最后还剩40袋。这堆化肥共有多少袋？ 【详解】 倒推。第二天用去余下的，则剩下的40袋是第一天后余下的，第一天后余下：（袋）。 第一天用去总数的多20袋，则余下的是总数的少20袋，即总数 。 总数的为140袋，总数：（袋）。 【答案】　210袋 第15题　 甲、乙两个粮仓，甲仓存粮是乙仓的。从甲仓运出60吨到乙仓后，甲仓存粮是乙仓的。两个粮仓原来各存粮多少吨？ 【详解】 两仓总和不变。原来甲:乙 = 5:7，甲占总；后来甲:乙 = 1:3，甲占总。 甲减少60吨对应：。 总和：（吨）。 原来甲：（吨），乙：（吨）。 【答案】　甲仓150吨，乙仓210吨 第16题　 一根绳子，第一次剪去全长的，第二次剪去余下的又1米，最后还剩9米。这根绳子原来长多少米？ 【详解】 倒推。第二次剪去余下的又1米，剩9米，则第一次剪后余下：（米）。 第一次剪去全长的，余下为15米，全长：（米）。 【答案】　20米 第17题　 果园里的桃树占总数的，后来又种了12棵桃树，这时桃树占总数的。原来桃树和梨树各有多少棵？ 【详解】 种的是桃树，梨树棵数不变。原来桃:梨 = = 3:5；后来桃:梨 = = 5:7。 把梨统一（5和7的最小公倍数35）：原来桃:梨 = 21:35，后来桃:梨 = 25:35。 桃增加25-21=4份，对应12棵，每份棵。 原来桃：（棵），梨：（棵）。 【答案】　桃树63棵，梨树105棵 第18题　 一种商品，先涨价，再降价，现价是原价的几分之几？如果现价是96元，原价是多少元？ 【详解】 把原价看作单位"1"。涨价后：。 再降价后：。 现价是原价的。若现价96元，原价：（元）。 【答案】　现价是原价的；原价100元 第19题　 甲、乙、丙三个工程队修一条路，甲队修了全长的，乙队修了余下的，丙队修完剩下的路，已知丙队比甲队少修15米。这条路全长多少米？ 【详解】 把全长看作单位"1"。甲修，余。 乙修：，余（即丙修）。 丙比甲少修：，对应15米。 全长：（米）。 【答案】　75米 第20题　 甲、乙两个书架，甲书架书的本数是乙的。从甲书架取出20本放入乙书架，这时甲书架的书是乙的。甲书架原来有多少本书？ 【详解】 两书架总数不变。原来甲:乙 = 3:4，甲占总；后来甲:乙 = 2:3，甲占总。 甲减少20本对应：。 总数：（本）。 原来甲：（本）。 【答案】　甲书架原来300本 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优21：分数应用题 学习目标 1. 熟练找准分数应用题中的单位"1"，掌握"的前比后"判断方法，区分单位"1"已知、未知的解题思路。 2. 理解量率对应核心思想，牢记基础公式，会画线段图辅助分析数量关系。 3. 掌握奥数高频题型：统一单位"1"、倒推还原问题、抓不变量解题（和不变、部分量不变）。 4. 能够对比"甲比乙多几分之几"和"乙比甲少几分之几"这类易错题，规避分率陷阱。 5. 灵活使用算术法、方程法两种思路解题，提升复杂分数复合应用题的分析能力。 知识精讲 （一）基础概念 1. 单位"1"：把一个整体看作单位"1"（标准量）。 判断口诀："的"前面，比 / 是 / 占后面是单位"1"。 例：甲是乙的 → 乙是单位"1"；甲比乙多 → 乙是单位"1"。 2. 分率：表示一个量占单位"1"的几分之几，不带单位。 3. 对应量（分量）：分率所对应的具体数量，带单位。 （二）三大基础公式（量率对应核心） 1. 单位"1"已知：单位"1"的量 × 对应分率 = 对应量（乘法） 2. 单位"1"未知：对应量 ÷ 对应分率 = 单位"1"的量（除法 / 方程） 3. 求分率：对应量 ÷ 单位"1"的量 = 分率 易错提醒："甲比乙多" ≠ "乙比甲少"，二者单位"1"不一样！ 甲比乙多：乙为单位1，甲 = ； 乙比甲少：。 （三）奥数四大解题方法 方法1：线段图法 优先推荐，把单位"1"画成一条线段，标出各段分率、具体数量，直观找到量和分率的对应关系。 方法2：统一单位"1" 题目出现多个不同单位"1"（如第一天看全书，第二天看余下的），不能直接加减分率，要把所有分率转化成同一个标准量（通常转化为总量）。 方法3：倒推法（还原法） 多次拿走"余下的几分之几"，正向思考麻烦，从最后的剩余数量反向计算：余下量 ÷（1 − 分率）= 上一次的总量。 方法4：抓不变量（小升初压轴高频） 三类不变量： (1) 部分量不变：如女生人数不变，转来男生； (2) 总和不变：甲给乙若干，两人总数不变； (3) 差不变：两人同时增加 / 减少相同数量，相差不变。 思路：把不变量定为新的单位"1"，重新转化分率。 （四）解题标准步骤 1. 读题，标记分率句，找出单位"1"； 2. 判断单位"1"已知还是未知； 3. 寻找具体数量对应的分率（最难一步）； 4. 列式计算（算术或方程）； 5. 检验，看结果是否符合题意。 例题讲解 【典型例题1】基础量率对应 一本书，小明第一天看了全书的，第二天看了全书的，两天一共看了45页。这本书一共有多少页？ 【跟踪训练1】 一堆煤，第一天运走总数的，第二天运走总数的，两天一共运走30吨。这堆煤原有多少吨？ 【典型例题2】统一单位"1"（余下型） 有一堆苹果，第一天拿走全部的，第二天拿走余下的，第二天拿走了30个。这堆苹果原来一共多少个？ 【跟踪训练2】 一批货物，第一次运走总数的，第二次运走余下的，第二次运了20吨。这批货物一共多少吨？ 【典型例题3】倒推还原问题 一桶油，第一次倒出，第二次倒出余下的，最后还剩10千克。这桶油原来多少千克？ 【跟踪训练3】 一根绳子，第一次剪去全长的，第二次剪去余下的，最后剩下18米。绳子原长多少米？ 【典型例题4】抓不变量（部分量不变，压轴） 阅览室里女生占总人数的，又来了8名女生，这时女生占总人数的。阅览室原来有多少人？ 提示：男生人数不变，把男生当作统一单位"1"。 【跟踪训练4】 某班男生占全班人数的，转来5名男生后，男生占全班的，原来全班多少人？（女生不变） 【典型例题5】易错题：比多比少陷阱题 甲数是120，乙数比甲数少，甲数比乙数多几分之几？ 【跟踪训练5】 果园里梨树有80棵，桃树比梨树多，梨树比桃树少几分之几？ 奥数练习 第1题　 甲、乙两人共有一些钱，甲占总数的。甲给乙40元后，甲占总数的。两人原来各有多少钱？ 第2题　 某班女生人数是男生人数的，后来又转来3名女生，这时女生人数是男生的。原来男生有多少人？ 第3题　 学校买来一批图书，分给高年级，分给中年级剩下图书的，还剩126本。这批图书共有多少本？ 第4题　 一瓶酒精，第一次用去全瓶的还多10毫升，第二次用去余下的少5毫升，最后还剩20毫升。这瓶酒精原来有多少毫升？ 第5题　 小明的钱是小红的，两人各花了6元后，小明剩下的钱是小红的。原来小明和小红各有多少元？ 第6题　 甲、乙、丙三个数的和是180，甲数是乙数的，乙数是丙数的。三个数各是多少？ 第7题　 一根铁丝，第一次用去全长的，第二次用去余下的，这时用去的比剩下的多20米。这根铁丝原长多少米？ 第8题　 甲、乙两桶油共重90千克，把甲桶的倒入乙桶后，甲桶与乙桶的质量比是2:3。甲桶原来有多少千克油？ 第9题　 甲、乙、丙三人分一批苹果，甲分得总数的，乙分得余下的，丙分得余下的，最后剩8个。这批苹果共有多少个？ 第10题　 甲数比乙数少，乙数比丙数多，丙数是40。甲数比丙数少几分之几？ 第11题　 一本书，第一天看了全书的，第二天看了剩下的，第三天看了再剩下的，这时还剩60页。这本书共多少页？ 第12题　 一杯糖水，糖占糖水的，加入20克糖后，糖占糖水的。原来糖水有多少克？ 第13题　 某校男生人数比全校人数的还多8人，女生人数比全校人数的少2人。全校共有多少人？ 第14题　 一堆化肥，第一天用去总数的多20袋，第二天用去余下的，最后还剩40袋。这堆化肥共有多少袋？ 第15题　 甲、乙两个粮仓，甲仓存粮是乙仓的。从甲仓运出60吨到乙仓后，甲仓存粮是乙仓的。两个粮仓原来各存粮多少吨？ 第16题　 一根绳子，第一次剪去全长的，第二次剪去余下的又1米，最后还剩9米。这根绳子原来长多少米？ 第17题　 果园里的桃树占总数的，后来又种了12棵桃树，这时桃树占总数的。原来桃树和梨树各有多少棵？ 第18题　 一种商品，先涨价，再降价，现价是原价的几分之几？如果现价是96元，原价是多少元？ 第19题　 甲、乙、丙三个工程队修一条路，甲队修了全长的，乙队修了余下的，丙队修完剩下的路，已知丙队比甲队少修15米。这条路全长多少米？ 第20题　 甲、乙两个书架，甲书架书的本数是乙的。从甲书架取出20本放入乙书架，这时甲书架的书是乙的。甲书架原来有多少本书？ 第 1 页 共 15 页 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